CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23
I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 : V 1 : 2x 2 + 10x 12 V 2 : x 2 + 3x 10 V 3 : 4x 3 8x 2 2 Zjednodušte výraz W = 54 36 4 18 3. 3 Pro x R řešte: log (2x 1) = 2 log x 4 Na intervalu ( π; 3π 2 ) jsou dány funkce f: y = sin x a g: y = cos x. Jejich grafy se protínají v bodě P [ x; 2 2 ]. Určete hodnotu úhlu x v míře stupňové. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Rodina Mayerova se rozhodla zrekonstruovat koupelnu. Váhali mezi dvojicí nabídek, čas je ale tlačil, chtěli být s rekonstrukcí do 10 dnů hotovi. Oslovili dvě firmy s nejlepšími referencemi. Firma Kučera & syn by sama zvládla zakázku splnit za 12 dní, firma Koupelny pro vás, spol. s r.o., za 18 dní. Firmy Mayerovým nabídly, že budou pracovat společně. První dva dny budou pracovat zaměstnanci firmy Kučera & syn, zbývající dny budou pracovat obě firmy společně. 5 Za kolik dní by tak byla zakázka splněna? VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Je dán trojúhelník ABC, bod X na straně BC a bod Y na straně AB. Platí, že XC = 2 cm a XB = 3 cm a zároveň že úsečka XY je rovnoběžná se stranou AC trojúhelníka ABC. Obsah S 1 trojúhelníka ABC je 12 cm 2. 2 Maturita z matematiky ZD
6 Vypočtěte obsah S 2 trojúhelníka XYB. (Výsledek vyjádřete ve tvaru zlomku.) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 V aritmetické posloupnosti platí: a 1 + a 3 = 4; a 2 + a 4 = 0. max. 3 body 7 7.1 Jaký je součet s 4 prvních čtyř členů této posloupnosti? 7.2 Určete diferenci d této posloupnosti. 7.3 Určete, kolik po sobě jdoucích členů této posloupnosti (prvním počínaje) je třeba sečíst, aby součet byl větší než 50. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 9 Pozemek má tvar rovnoramenného lichoběžníka s výškou v = 8 m, kde jedna jeho základna je dvakrát delší než základna druhá. Výměra pozemku je 360 m 2. 8 Jaká je délka kratší základny lichoběžníka? 1 bod 9 O kolik % se zvětší výměra pozemku, bude-li mít dvakrát větší výšku? 1 bod Maturita z matematiky ZD 3
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Do krychle o hraně délky a je vepsána koule o poloměru r. max. 4 body 10 10.1 Napište vztah pro výpočet poloměru r vepsané koule v závislosti na objemu V krychle. 10. 2 Jaký je poměr (vyjádřený zlomkem) objemu vepsané koule k objemu krychle? (Poměr vyjádřete zlomkem v základním tvaru.) 11 Jsou dány přímky: p 1 : 4x 3y = 0; p 2 : 3x + 4y = 0; p 3 : 3x + 4y 25 = 0; p 4 : y 4 = 0. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1 11.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 11.1 Přímky p 1 jsou kolmé. 11.2 Přímky p 2 jsou totožné. 11.3 Přímky p 1, p 2 se protínají právě v jediném společném bodě. 11.4 Přímky p 1, p 3 a p 4 se protínají právě v jediném společném bodě. 12 Je dána rovnice x 3 + x = s neznámou x R. x 3 x 3 2 body Které z uvedených čísel (A E) je součtem hodnot všech kořenů rovnice? A) 4 B) 3 C) 1 D) 3 E) 4 13 Jsou dány číslice 0, 1, 3, 4 a 9. Kolik sudých přirozených trojciferných čísel mohu z těchto číslic sestavit? A) 10 B) 20 C) 40 D) 50 E) 125 2 body 4 Maturita z matematiky ZD
14 Přiřaďte ke každé funkci f 1 f 4 (14.1 14.4) její definiční obor (A F): 14.1 f 1 : y = 3 x x 14.2 f 2 : y = log (3 x) 14.3 f 3 : y = 3x x 2 14.4 f 4 : y = (x 3) 1 max. 4 body A) R {3} B) R {0} C) 0; 3 D) (0, + ) E) 3; + ) F) ( ; 3) 15 V rovině jsou dány body A [1; 0], B [ 1; 4], C [ 1; 2], D [6, 1]. Přiřaďte ke každému vektoru u 1 u 4 (15.1 15.4) jeho souřadnice (A F). 15.1 u 1 = BD 15.2 u 2 = AC + AD max. 4 body 15.3 u 3 = 1 2 AB 15.4 u 4 = AS AB, kde S AB je střed úsečky AB A) ( 1 4 ; 1 8 ) B) (1; 2) C) (0; 2) D) (3; 3) E) ( 1; 2) F) (7; 5) KONEC TESTU Maturita z matematiky ZD 5
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 : V 1 : 2x 2 + 10x 12 V 2 : x 2 + 3x 10 V 3 : 4x 3 8x 2 Rozložíme každý výraz na součin a porovnáme: V 1 : 2x 2 + 10x 12 = 2 (x 3) (x 2) V 2 : x 2 + 3x 10 = (x + 5) (x 2) V 3 : 4x 3 8x 2 = 4x 2 (x 2) Největším společným dělitelem výrazů je dvojčlen V = x 2. Řešení: V = x 2 2 Zjednodušte výraz W = 54 36 4 18 3. Jednotlivé odmocniny částečně odmocníme a provedeme početní operace. Víme, že absolutní hodnota z čísla kladného je to číslo samo, z čísla záporného číslo k němu opačné. W = 54 36 4 18 3 = 3 6 6 4 3 2 3 = 3 6 6 4 3 6 = = 6 4 = 2 = 2 = 2 Řešení: W = 2 3 Pro x R řešte: log (2x 1) = 2 log x Uvědomíme si, že rovnice má omezený definiční obor (podmínky, za nichž má smysl). Logaritmované číslo musí být kladné, tedy x > 0 a zároveň x > 1 2. Definičním oborem rovnice je interval ( 1 2 ; + ). Poté upravíme rovnici pomocí pravidel o počítání s logaritmy: log (2x 1) = 2 log x log (2x 1) = log x 2 Rovnici odlogaritmujeme. 6 Maturita z matematiky ZD
2x 1 = x 2 x 2 2x + 1 = 0 (x 1) 2 = 0 Tato kvadratická rovnice má jeden dvojnásobný reálný kořen x = 1, který je i řešením zadané rovnice. Řešení: x = 1 4 Na intervalu ( π; 3π 2 ) jsou dány funkce f: y = sin x a g: y = cos x. Jejich grafy se protínají v bodě P [ x; 2 2 ]. Určete hodnotu úhlu x v míře stupňové. Obě goniometrické funkce jsou zadány ve třetím kvadrantu, v intervalu, kde nabývají obě záporné hodnoty y = 2. Hledáme tedy úhel, pro který zároveň 2 platí: sin x = 2 2, cos x = 2 2 2 Určíme úhel v prvním kvadrantu (v intervalu (0; π)), který odpovídá hodnotě 2 pro obě funkce. Jedná se o úhel π. 4 Nyní již stačí dopočítat úhel ve třetím kvadrantu (intervalu ( π; 3π 2 ) ), tj. x = π + Řešení: x = 225 π 4 = 5π 4 v míře obloukové, tedy 225 v míře stupňové. Maturita z matematiky ZD 7
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Rodina Mayerova se rozhodla zrekonstruovat koupelnu. Váhali mezi dvojicí nabídek, čas je ale tlačil, chtěli být s rekonstrukcí do 10 dnů hotovi. Oslovili dvě firmy s nejlepšími referencemi. Firma Kučera & syn by sama zvládla zakázku splnit za 12 dní, firma Koupelny pro vás, spol. s r.o., za 18 dní. Firmy Mayerovým nabídly, že budou pracovat společně. První dva dny budou pracovat zaměstnanci firmy Kučera & syn, zbývající dny budou pracovat obě firmy společně. 5 Za kolik dní by tak byla zakázka splněna? Ze zadání úlohy vyplývá: Neznámou x označíme počet dní, za které bude splněna zakázka. Kučera & syn za 1 den splní 1 zakázky. Protože budou pracovat x dní, odpracují zakázky. 12 12 x 1 Koupelny pro vás, spol. s r.o., za 1 den splní zakázky. Protože budou pracovat x 2 dní, odpracují zakázky. 18 x 2 18 Jednu celou zakázku tedy vyjádříme rovnicí, kterou ekvivalentními úpravami dořešíme: x x 2 + = 1 / 36 12 18 3x + 2(x 2) = 36 5x 4 = 36 5x = 40 x = 8 Zakázka bude splněna za 8 dní. Řešení: 8 dní VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Je dán trojúhelník ABC, bod X na straně BC a bod Y na straně AB. Platí, že XC = 2 cm a XB = 3 cm a zároveň že úsečka XY je rovnoběžná se stranou AC trojúhelníka ABC. Obsah S 1 trojúhelníka ABC je 12 cm 2. 8 Maturita z matematiky ZD
6 Vypočtěte obsah S 2 trojúhelníka XYB. (Výsledek vyjádřete ve tvaru zlomku.) Trojúhelníky ABC a YBX jsou podle věty uu podobné. Dle zadání platí, že: XC = 2 cm a XB = 3 cm. Tedy BC = 5 cm. Z toho plyne, že XB BC = 3 5. Koeficient podobnosti těchto trojúhelníků je určen zmenšením délky strany BC na délku strany BX, tedy k = 3 5. Tento koeficient určuje vždy poměr velikostí dvou odpovídajících si úseček v trojúhelníku YBX a ABC. Porovnejme obsahy vypočtené pomocí odpovídající si dvojice strana-výška. Použijeme-li, že S 1 = c v c a S 2 2 = c' v' c. 2 Protože c' = 3 5 c a v' c = 3 5 v c, potom musí S 2 = Vztah upravíme a vypočteme S 2. S 2 = S 2 = S 2 = 9 c v c 25 2 9 S 25 1, kde S 1 = 12 cm 2 9 25 12 = 108 25 cm 2 3 5 c 3 5 v c 2. Řešení: 108 25 cm 2 Maturita z matematiky ZD 9
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 V aritmetické posloupnosti platí: a 1 + a 3 = 4; a 2 + a 4 = 0. 7 7.1 Jaký je součet s 4 prvních čtyř členů této posloupnosti? max. 3 body Ze zadání úlohy vyplývá, že sečteme-li obě rovnice soustavy, získáme součet prvních čtyř po sobě jdoucích členů, tj. a 1 + a 3 + a 2 + a 4 = s 4 = 4. Řešení: s 4 = 4 7.2 Určete diferenci d této posloupnosti. Vyjádříme a 2 = a 1 + d; a 3 = a 1 + 2d; a 4 = a 1 + 3d, kde d je diference této aritmetické posloupnosti. Tyto vztahy dosadíme do soustavy a převedeme ji ze soustavy o čtyřech neznámých na soustavu o dvou neznámých a 1 ; d. { a 1 + a 3 = 4 a 2 + a 4 = 0 { a 1 + a 1 + 2d = 4 a 1 + d + a 1 + 3d = 0 { 2a 1 + 2d = 4 2a 1 + 4d = 0 Z první rovnice vyjádříme diferenci 2d = 4 2a 1, tj. d = 2 a 1 a dosadíme do druhé rovnice. Určíme a 1 a dopočteme diferenci d. 2a 1 + 4 ( 2 a 1 ) = 0 2a 1 8 = 0 a 1 = 4; d = 2 a 1, tj. d = 2 Řešení: d = 2 10 Maturita z matematiky ZD
7.3 Určete, kolik po sobě jdoucích členů této posloupnosti (prvním počínaje) je třeba sečíst, aby součet byl větší než 50. Hledáme tedy nejmenší přirozené číslo n, pro které platí, že s n > 50. Pro součet s n prvních n členů aritmetické posloupnosti platí vztah s n = (a 1 + a n ) n 2. Pro n-tý člen posloupnosti platí: a n = a 1 + (n 1) d. Dosadíme již vypočtené hodnoty. a n = 4 + 2 (n 1) a n = 6 + 2n Nyní zkompletujeme nerovnici s n > 50. (a 1 + a n ) n 2 > 50 ( 4 6 + 2n) n 2 > 50 / 2 (2n 10) n > 100 2n 2 10n 100 > 0 n 2 5n 50 > 0 (n + 5)(n 10) > 0 n ( ; 5) (10; + ) Hledáme řešení nerovnice v množině přirozených čísel, nejmenším takovým je n = 11. Řešení: 11 členů VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 9 Pozemek má tvar rovnoramenného lichoběžníka s výškou v = 8 m, kde jedna jeho základna je dvakrát delší než základna druhá. Výměra pozemku je 360 m 2. Maturita z matematiky ZD 11
8 Jaká je délka kratší základny lichoběžníka? 1 bod Pro obsah lichoběžníka platí vztah S = a + c 2 v, kde a, c jsou základny a v je výška lichoběžníka. Označíme-li neznámou z kratší ze dvou základen, má delší základna délku 2z. Dosadíme do vzorce pro obsah lichoběžníka a vyjádříme neznámou z. z + 2z S = v / 2 2 v 2S = 3z v z = 2S 3v Ze zadání víme, že S = 360 m 2 a v = 8 m. Vypočteme z. z = 2 360 = 30 m 3 8 Kratší základna má tedy délku 30 m. Řešení: 30 m 9 O kolik % se zvětší výměra pozemku, bude-li mít dvakrát větší výšku? 1 bod Ve vzorci pro výpočet obsahu budeme místo původní výšky počítat s dvojnásobkem 2v. Nový lichoběžník tak bude mít obsah: S' = z + 2z 2v 2 S' = 3zv Dosadíme již známé hodnoty z = 30 m a v = 8 m. S' = 3 30 8 = 720 m 2 Výsledný obsah je dvojnásobkem původního, jde tedy o 100% nárůst. Úlohu šlo samozřejmě řešit jednoduchou logickou úvahou. V lichoběžníku platí, že zdvojnásobí-li se jeho výška, zdvojnásobí se i jeho obsah. Musí tedy jít o 100% nárůst. Řešení: o 100 % 12 Maturita z matematiky ZD
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Do krychle o hraně délky a je vepsána koule o poloměru r. max. 4 body 10 10.1 Napište vztah pro výpočet poloměru r vepsané koule v závislosti na objemu V krychle. Objem zadané krychle je V = a 3. Poloměr vepsané koule je polovinou hrany krychle. Platí a = 2r. Zapíšeme objem V s použitím poloměru r koule a postupnými úpravami z něj tento poloměr vyjádříme: V = (2r) 3 V = 8r 3 / : 8 V = r 3 8 r = 3 V 8 Řešení: r = 3 V 8 Maturita z matematiky ZD 13
10.2 Jaký je poměr (vyjádřený zlomkem) objemu vepsané koule k objemu krychle? (Poměr vyjádřete zlomkem v základním tvaru.) Porovnáme objemy V 1 koule a V 2 krychle v závislosti na poloměru r určíme poměr V 1 V2 V 1 = V 1 V2 V 2 = 8r 3 V 3 4 πr 3 1 V2 = = 4π = π 8r 3 24 6 Poměr objemu vepsané koule k objemu krychle je π 6. Řešení: π 6 11 Jsou dány přímky: p 1 : 4x 3y = 0; p 2 : 3x + 4y = 0; p 3 : 3x + 4y 25 = 0; p 4 : y 4 = 0. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1 11.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 11.1 Přímky p 1 jsou kolmé. 11.2 Přímky p 2 jsou totožné. 11.3 Přímky p 1, p 2 se protínají právě v jediném společném bodě. 11.4 Přímky p 1, p 3 a p 4 se protínají právě v jediném společném bodě. Přímky je možné si zakreslit do soustavy souřadnic, nebo využít vlastností jejich normálových vektorů a obecných rovnic. Pro přímky p 1, p 2, p 3 a p 4 se jedná o normálové vektory: n 1 = (4; 3); n 2 = (3; 4); n 3 = (3; 4); n 4 = (0; 1). V tvrzení 11.1 je řečeno, že přímky p 1 jsou kolmé. Ze souřadnic normálových vektorů n 1 = (4; 3); n 3 = (3; 4) plyne, že jejich skalární součin je roven 0. n 1 n 3 = 4 3 + ( 3) 4 = 12 12 = 0 Vektory, a tudíž i přímky jsou vzájemně kolmé. Tvrzení je pravdivé. V tvrzení 11.2 je řečeno, že přímky p 2 jsou rovnoběžné. Ze souřadnic normálových vektorů n 1 = (3; 4); n 3 = (3; 4) plyne, že jsou stejné, tedy přímky jsou rovnoběžné, nebo totožné. V obecné rovnici přímky p 1 chybí prostý (absolutní člen), v rovnici přímky p 3 je roven 25. Zatímco přímka p 1 prochází počátkem, přímk jím neprochází, nejsou tedy totožné, ale jsou rovnoběžné. Tvrzení je nepravdivé. 14 Maturita z matematiky ZD
V tvrzení 11.3 je řečeno, že p 1, p 2 mají právě jeden společný bod. Z normálových vektorů plyne, že přímky p 1, p 2 jsou různoběžné, protože navíc nemají prostý (absolutní) člen, obě prochází bodem [0; 0]. Protože ale p 2 jsou rovnoběžné, nemají žádný společný bod. Dohromady tedy přímky p 1, p 2 společný průsečík nemají. Tvrzení je nepravdivé. V tvrzení 11.4 je řečeno, že p 1, p 3 a p 4 mají právě jeden společný bod. Z normálových vektorů plyne, že přímky p 1, p 3 a p 4 jsou různoběžné, mají tedy po dvou společné body. Přímka p 4 : y 4 = 0 je rovnoběžná s osou x a všechny její body mají druhou souřadnici rovnu 4. Pokud tedy takový průsečík existuje, musí mít druhou souřadnici rovnu 4. Stačí tedy určit, zda body přímek p 1, které mají druhou souřadnici rovnu 4, jsou stejné. Určíme bod přímky p 1 mající y = 4. 4x 3 4 = 0 4x = 12 x = 3 Společný průsečík přímek p 1 a p 4 je bod [3; 4]. Zjistíme, zda je bodem přímky p 3. 3 3 + 4 4 = 9 + 16 = 25 Bod [3; 4] leží i na přímce p 3, je tedy společným průsečíkem všech tří přímek. Právě jeden společný průsečík přímek p 1, p 2 existuje. Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO, NE, NE, ANO 12 Je dána rovnice x 3 + x = s neznámou x R. x 3 x 3 2 body Které z uvedených čísel (A E) je součtem hodnot všech kořenů rovnice? A) 4 B) 3 C) 1 D) 3 E) 4 x 3 Rovnice + x = má smysl pro x 3. x 3 x 3 Pro tyto přípustné hodnoty proměnné vynásobíme danou rovnici společným jmenovatelem obou zlomků, tj. výrazem x 3. Maturita z matematiky ZD 15
x 3 + x = / (x 3) x 3 x 3 x + x (x 3) = 3 x + x 2 3x 3 = 0 Upravíme a zjednodušíme kvadratický trojčlen. x 2 2x 3 = 0 Rozložíme jej na součin a určíme kořeny. (x 3)(x + 1) = 0 x 1 = 1 nebo x 2 = 3 Řešením zadané rovnice je ale jen x 1 = 1, druhý kořen odporuje podmínce. Rovnice má tedy právě jedno řešení. Řešení: C 13 Jsou dány číslice 0, 1, 3, 4 a 9. Kolik sudých přirozených trojciferných čísel mohu z těchto číslic sestavit? A) 10 B) 20 C) 40 D) 50 E) 125 2 body Budeme-li tvořit přirozená trojciferná čísla z těchto číslic, musíme dávat pozor na situace s 0. 1) Vytvoříme trojice z pěti číslic V ' 3 (5) = 5 3 =125 možností. Sudá jsou ta z nich, která končí 0 nebo 4, tedy dvě pětiny všech 50 možností. 2) Od těchto možností musíme odečíst čísla, u nichž je v řádu stovek nula, neboť v tomto případě jde o dvojciferná nebo jednociferná čísla V ' 2 (5)= 5 2 = 25 možností. Sudá jsou opět pouze ta z nich, která končí 0 nebo 4, tedy dvě pětiny všech 10 možností. 3) Celkový počet trojciferných čísel vytvořených z daných číslic je 2 (V' 5 3 (5) V ' 2 (5)) = 40 možností. Mohu vytvořit 40 sudých trojciferných čísel. Řešení: C 16 Maturita z matematiky ZD
14 Přiřaďte ke každé funkci f 1 f 4 (14.1 14.4) její definiční obor (A F): 14.1 f 1 : y = 3 x x 14.2 f 2 : y = log (3 x) 14.3 f 3 : y = 3x x 2 14.4 f 4 : y = (x 3) 1 max. 4 body A) R {3} B) R {0} C) 0; 3 D) (0, + ) E) 3; + ) F) ( ; 3) 14.1 3 x Pro funkci f 1 : y = platí, že jmenovatel musí být různý od 0, tj. Df x 1 = R {0}. Řešení: B 14.2 Pro funkci f 2 : y = log (3 x) platí, že logaritmovaný výraz musí být kladný, tj. 3 x > 0 tj. x < 3. Df 2 =( ; 3). Řešení: F 14.3 Pro funkci f 3 : y = 3x x 2 platí, že výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tj. 3x x 2 0. Dvojčlen rozložíme na součin, určíme nulové body a rozhodneme o jeho znaménku v příslušných intervalech číselné osy: 3x x 2 = x (3 x) 0. Rovnice 3x x 2 = 0 má kořeny (nulové body) v bodech 0 a 3. Df 3 = ( ; 3) Řešení: C Maturita z matematiky ZD 17
14.4 1 Funkci f 4 : y = (x 3) 1 lze zapsat ve tvaru podílu f 4 : y =, tedy pro ni platí, že x 3 výraz ve jmenovateli musí být různý od nuly. x 3 0, tj. x 3 Df 4 = R {3} Řešení: A 15 V rovině jsou dány body A [1; 0], B [ 1; 4], C [ 1; 2], D [6, 1]. Přiřaďte ke každému vektoru u 1 u 4 (15.1 15.4) jeho souřadnice (A F). 15.1 u 1 = BD 15.2 u 2 = AC + AD 15.3 u 3 = 1 2 AB 15.4 u 4 = AS AB, kde S AB je střed úsečky AB A) ( 1 4 ; 1 8 ) B) (1; 2) C) (0; 2) D) (3; 3) E) ( 1; 2) F) (7; 5) max. 4 body 15.1 Vypočteme příslušný vektor: u 1 = BD = (6 ( 1); 1 4) = (7; -5) Řešení: F 18 Maturita z matematiky ZD
15.2 Vypočteme příslušné vektory: AC = ( 1 1; 2 0) = ( 2; 2) AD = (6 1; 1 0) = (5; 1) u 2 = AC + AD = ( 2; 2) + (5; 1) = ( 2 + 5; 2 + ( 1)) = (3; 3) Řešení: D 15.3 Vypočteme příslušné vektory: AB = ( 1 1; 4 0) = ( 2; 4) u 3 = 1 2 AB = 1 2 ( 2; 4) = ( 1 2 ( 2); 1 2 4 ) = (1; 2) Řešení: B Maturita z matematiky ZD 19
15.4 Určíme S AB (střed úsečky AB). S AB = [ 1 1 0 + 4 ; 2 2 ] = [0; 2] Vypočteme příslušné vektory: u 4 = AS AB = (0 1; 2 0) = ( 1; 2) Řešení: E KONEC TESTU 20 Maturita z matematiky ZD
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 10 jsou otevřené. 3) Úlohy 11 15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 35 30 1 29 24 2 23 18 3 17 12 4 Úloha Správné řešení Počet bodů 1 V = x 2 2 W = 2 3 x = 1 4 x = 225 5 8 dní 6 S 2 = 108 25 cm 2 7 7.1 s 4 = 4 1 bod 7.2 d = 2 1 bod 7.3 11 členů 1 bod 8 30 m 1 bod 9 o 100 %, též stoprocentní, 100% 1 bod 10 10.1 r = 3 V 8 max. 4 body 10.2 π 6 11 11.1 ANO 11.2 NE 11.3 NE 11.4 ANO 12 C 2 body 13 C 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky ZD 21
14 15 14.1 B 14.2 F 14.3 C 14.4 A 15.1 F 15.2 D 15.3 B 15.4 E max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 22 Maturita z matematiky ZD
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 10 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy 11 15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 35 30 1 29 24 2 23 18 3 17 12 4 Úloha Správné řešení Počet bodů 1 2 3 4 5 6 7 7.1 1 bod 7.2 1 bod 7.3 1 bod 8 1 bod 9 1 bod 10 10.1 max. 4 body 10.2 11 11.1 11.2 11.3 11.4 12 2 body 13 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky ZD 23
14 15 14.1 14.2 14.3 14.4 15.1 15.2 15.3 15.4 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 24 Maturita z matematiky ZD