Kapitola 2 Funkce více proměnných Ve vědních i technických oborech se často setkáváme s veličinami, jejichž hodnot ávisí na větším počtu proměnných. Objem válce je ávislý na poloměru podstav a výšce, tlak plnu na teplotě a objemu, isk ekonomického subjektu na nákladech a ceně, napětí v elektrickém obvodu na hodnotách odporů, kapacit a indukčností jeho prvků, apod. Matematický aparát pro popis takovýchto ávislostí v sstémech s konečně mnoha stupni volnosti posktuje teorie funkcí více proměnných. Tato kapitola je ákladním úvodem do problematik. Základní pojm Funkce n-proměnných je obraení f : M R obraující jistou množinu M v euklidovském prostoru R n do množin reálných čísel. Množina M se přitom naývá definiční obor funkce f, který se často onačuje smbolem D(f). Pokud nebude definiční obor funkce specifikován, budeme jím roumět maimální množinu, na které může být daná funkce definována. Je-li D(f) a má-li složk = (, 2,..., n ), pak smbol f() namená stručný ápis hodnot f(, 2,..., n ). Tento působ ápisu budeme často používat. Množina f(m) = {f() M} se naývá obor hodnot funkce f (na množině M). Příklad 2.. (i) Uvažujme funkci dvou proměnných f(, ) = 2 + 2. (Jiný působ ápisu této funkce je pomocí rovnice = 2 + 2. Budeme se více držet první možnosti.) Tato funkce je definována v celém euklidovském prostoru R 2. Její obor hodnot je množina všech neáporných čísel. (ii) Funkce f(,, ) = ln( 2 2 2 ) je funkcí tří proměnných. Je definována na množině všech uspořádaných trojic (,, ) R 3, pro něž je argument logaritmu kladný, tj. pro něž platí 2 + 2 + 2 <. 7
8 KAPITOLA 2. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Definičním oborem je v tomto případě otevřená jednotková koule se středem v počátku souřadnic. Oborem hodnot je interval (, 0. (iii) Funkce daná předpisem je funkce n-proměnných. Platí přitom f(, 2,..., n ) = 2 n D(f) = {(, 2,..., n ) 2... n 0}. Zde je definiční obor již složitější množina. V případě rovin, tj. n = 2, je to. a 3. kvadrant. Pro prostor (n = 3) se D(f) skládá už e čtř celkového počtu osmi oktantů. V obecném R n je definiční obor složen 2 n částí a každá nich je tvořena takovými bod = (, 2,..., n ), které mají přesně sudý počet áporných složek. Obor hodnot je interval 0,. K popisu funkcí více proměnných je často užitečné stanovit množin, ve kterých funkce nabývají stejné hodnot. Tto množin naýváme konstantními hladinami. Z konkrétních situací je náme jako vrstevnice, ioterm, iobar, ekvipotenciální hladin, apod. Příklad 2.2. (i) Uvažujme funkci f(, ) =. Hladin konstantnosti, příslušící danému c R jsou množin H c = {(, ) = c}. Pro hodnotu c = 0 dostáváme sjednocení souřadnicových os, pro nenulová c hperbol mající souřadnicové os jako asmptot. Soustava konstantních hladin je náorněna na obr. 2.. c < 0 c > 0 c > 0 c < 0 Obr. 2.
. ZÁKLADNÍ POJMY 9 (ii) Podívejme se na konstantní hladin a definiční obor funkce f(,, ) = arcsin 2 + 2. Výra v argumentu funkce arcsin musí být v absolutní hodnotě nejvýše jedna. Ted { D(f) = (,, ) R 3 }. 2 +, (, ) (0, 0) 2 Pro bod definičního oboru proto platí, že absolutní hodnota poměru -tové souřadnice a vdálenosti od os nesmí přesáhnout hodnotu. Geometrick to namená, že definiční obor je sjednocením dvou kuželů, jejichž osou je osa, vrchol je v počátku a vrcholový úhel je pravý. Samotný počátek souřadnic přitom do definičního oboru nepatří. Obor hodnot funkce arcsin je interval π/2, π/2. Zvolme c π/2, π/2. Konstantní hladina H c příslušná této hodnotě je množina všech řešení rovnice arcsin 2 + = c, 2 nebo ekvivalentně = sin c. 2 + 2 Hladina H c je ted kuželovou plochou s vrcholem v počátku a osou níž je vjmut bod (0, 0, 0). Výjimkou je případ c = 0, ve kterém dostaneme souřadnicovou rovinu be počátku, vi obr.2.2. c = π/3 c = π/2 c = 0 Obr. 2.2 c = π/2 c = π/3 Funkce jedné proměnné bývá často náorňována grafem v rovině. Podobným působem je možno geometrick vjádřit i funkci dvou proměnných f(, ). Tentokrát ovšem v prostoru tříroměrném. Pro daný bod (, ) v ákladní souřadnicové rovině můžeme hodnotu funkce f(, ) nanést na vertikálu procháející bodem (, ) vi. obr. 2.3. Získáme tak množinu Graf(f) = {(,, ) = f(, ), (, ) D(f)}, kterou naýváme grafem funkce f. Průmět grafu do souřadnicové rovin je přitom definiční obor dané funkce. V případě jednodušších funkcí se často podaří stanovit graf pomocí nalostí analtické geometrie v prostoru. V komplikovanějších případech mohou pomoci počítačové program.
20 KAPITOLA 2. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH = f(, ) Obr. 2.3. (, ) Příklad 2.3. (i) Pokusme se náornit graf funkce f(, ) = 2 2. Průsečíkem grafu této funkce s rovinou jsou přímk = a =. Soustava ostatních vrstevnic je dána soustavou hperbol, jejichž vrchol leží na osách a. Ře grafu rovinou o rovnici = 0 je parabola = 2. Podobně v rovině = 0 je řeem parabola = 2. Tto parabol spolu se soustavou vrstevnic napovídají, že graf má tvar sedla náorněného na obr. 2.4(a). (a) Obr. 2.4 (b) (ii) Všetřujme funkci f(, ) = 2 2. Definiční obor této funkce je uavřený jednotkový kruh se středem v počátku. Graf je popsán algebraick podmínkami = 2 2, ekvivalentně 2 + 2 + 2 =, 0. Odtud vidíme, že grafem je horní část kulové ploch se středem v počátku a poloměrem jedna, obr. 2.4(b). (iii) Znáorněme graf funkce f(, ) = + 2 + 2.
. ZÁKLADNÍ POJMY 2 Funkce f je definována na celé množině R 2. Identita f(, ) = f(, ) říká, že grafem je plocha souměrná vhledem k počátku. Použitím sstému gnuplot je náorněna na obr. 2.4. Obr. 2.4 Kromě funkcí s více proměnnými hrají v teorii i aplikacích důležitou úlohu i obecnější objekt obraení mei euklidovskými prostor. Řešíme-li například soustavu n lineárních rovnic o n nenámých, pak řešení je n-tice čísel (výstup), která ávisí na n 2 koeficientech soustav a n absolutních členech (vstup). Proces řešení ted můžeme chápat jako obraení prostoru R n2 +n do prostoru R n. Eplicitní podoba tohoto obraení je dána Cramerovým pravidlem. Jiný příklad si můžeme vpůjčit elementární teorie pole. Podle Newtonova gravitačního ákona můžeme gravitační silové pole vtvořené jednotkovým hmotným bodem umístěným v počátku popsat obraením F : R 3 \ {(0, 0, 0)} R 3. Hodnota F (,, ) přitom udává vektor intenit pole v bodě (,, ), tj. vektor F (,, ) = κ (,, ), ( 2 + 2 + 2 ) 3 kde κ je gravitační konstanta. Každé obraení F : R n R k je možno přiroeně repreentovat pomocí k-tice funkcí n- proměnných F (, 2,..., n ), F 2 (, 2,..., n ),..., F k (, 2,..., n ) definovaných rovností (2.) F (, 2,..., n ) = ( ) F (, 2,..., n ), F 2 (, 2,..., n ),..., F k (, 2,..., n ). Funkce F,..., F k naýváme složkami obraení F. Zobraení F popisující výše uvedené
22 KAPITOLA 2. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH gravitační pole má např. složk F (,, ) = F 2 (,, ) = F 3 (,, ) = κ ( 2 + 2 + 2 ) 3, κ ( 2 + 2 + 2 ) 3, κ ( 2 + 2 + 2 ) 3. Důležitým tpem obraení mei euklidovskými prostor je obraení lineární, které je studováno v Lineární algebře. Protože tento tp obraení budeme často používat, připomeneme si na tom místě jeho definici a ákladní vlastnosti. Lineární obraení F : R n R k je obraení, které splňuje následující podmínku: F (λ + λ 2 ) = λ F () + λ F () pro všechna λ, λ 2 R,, R n. Každé lineární obraení F : R n R k je přitom možno vjádřit ve tvaru (2.2) F () = A, kde A je jednonačně určená matice tpu k n (k-řádků, n-sloupců). Součin v (2.2) přitom chápeme jako maticový součin matice A se sloupcovým vektorem. Matici A budeme naývat maticí lineárního obraení F. 2 Cvičení Úloha: Naleněte definiční obor funkce ( 2 + 2 + 2 ) f(, ) = ln 2 2 + 2. Ted nebo Řešení: Výra v argumentu logaritmu musí být kladný, a proto 0 < 2 + 2 + 2 2 2 + 2 = ( + )2 + 2 ( ) 2 + 2. ( + ) 2 + 2 > 0 a ( ) 2 + 2 > 0; ( + ) 2 + 2 < 0 a ( ) 2 + 2 < 0.
2. CVIČENÍ 23 První alternativa repreentuje množinu K, která je vnějškem sjednocení dvou kruhů se střed v bodech (, 0) a (, 0) a poloměr. Druhá alternativa popisuje prádnou množinu. Definiční obor je proto množina K. Úloha: Ve výrobním procesu jsou náklad rodělen na částku L určenou na md a částku K určenou na ostatní výdaje (investice, surovin, apod.). Ekonomové odvodili, že v některých případech je celková výroba F (L, K) při daném roložení nákladů dána tv. Cobb-Douglasovou funkcí produkce F (L, K) = cl a K a, kde c, a, 0 < a < jsou konstant dané konkrétními podmínkami. Ukažte, že větší-li se k-krát obě složk nákladů, větší se k-krát i celková produkce. Jak se mění produkce klesnou-li md na polovinu a dvojnásobí-li se ostatní náklad? Řešení: Platí Analogick, F (kk, kl) = ck a L a k a K a = kcl a K a = kf (L, K). ( L ) F 2, 2K = c La 2 a 2 a K a = c 2 2a F (L, K). Produkce bude 2 2a násobek produkce původní. Úloha: Teplota T (, ) v bodě (, ) rovin je dána vtahem T (, ) = 20 + 2 + 4 2. Určete v jakém romeí se teplota pohbuje a stanovte ioterm. Řešení: Jistě platí T (, ) 20. Výra 2 + 4 2 může nabýt libovolné neáporné hodnot. Obor hodnot funkce T je tudíž interval 20, ). Zvolme c > 20. Ioterma je pak křivka o rovnici Po úpravě 20 + 2 + 4 2 = c. 2 c 20 + 2 c 20 4 Analtická geometrie říká, že tato rovnice repreentuje elipsu se středem v počátku a poloosami c 20, c 20 2. Soustava ioterm je ted soustavou elips se střed v počátku, jejichž -ová poloosa je dvakrát větší než nová. Výjimkou je případ c = 20, kterému odpovídá jednobodová ioterma {(0, 0)}. =.
24 KAPITOLA 2. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Úloha: Naleněte definiční obor, konstantní hladin a obor hodnot funkce čtř proměnných f(, 2, 3, 4 ) = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4. Řešení: Funkci f můžeme vjádřit přehledněji ve tvaru f() = 2. Je řejmé, že D(f) = { R 4 }. Protože norma nabývá libovolné neáporné hodnot, je dík onačení t = obor hodnot funkce f stejný jako obor hodnot pomocné funkce g(t) = t 2 definované na intervalu 0, ) (, ). Funkce g je na intervalu 0, ) klesající s limitami v krajních bodech g(0) =, lim t g(t) =. Na intervalu (, ) je také klesající s limitami v krajních bodech lim t + g(t) =, lim t g(t) = 0. Závěrem ted můžeme konstatovat, že obor hodnot funkce f je množina (, (0, ). Konstantní hladina odpovídající hodnotě c (, 0) je dána rovnicí Po úpravě 2 = c. = c +. Každá konstantní hladina je hranice čtřroměrné koule se středem v počátku a poloměrem + /c. Úloha: Předpokládejme, že vrstevnice funkce f(, ) jsou soustředné kružnice, jejichž poloměr se pohbuje v intervalu (0, r), r R { }. Vrstevnice odpovídající hodnotě f(0, 0) je {(0, 0)}. Ukažte, že graf funkce f je rotační plocha, která vnikne rotací grafu jisté funkce jedné proměnné kolem os. Ukažte dále, že funkce s touto vlastností jsou právě funkce tvaru f(, ) = g( 2 + 2 ), kde g je definována na intervalu 0, r), r R { }. Řešení: Jsou-li vrstevnice výše popsané soustředné kružnice pak graf funkce f(, ) se nemění při rotaci kolem os. Skutečně se ted jedná o rotační plochu, kterou ískáme rotací libovolného řeu grafu funkce rovinou, která je kolmá na rovinu a procháí počátkem. Například je možno volit rovinu o rovnici = 0 (souřadnicová rovina ) a popsat tak graf funkce jako výsledek rotace grafu pomocné funkce h() = f(, 0) nakresleného v rovině.
2. CVIČENÍ 25 Druhá část úloh je jednoduchá. Soustředné kružnice se středem v počátku mají a vrstevnice právě t funkce, jejichž hodnota ávisí výhradně na vdálenosti od počátku ted na výrau 2 + 2. Proto můžeme takovéto funkce jednodušeji repreentovat ve tvaru g( 2 + 2 ), kde g je definována na jistém intervalu 0, r), r R + { }. Úloha: Popište graf následujících funkcí: (i) f(, ) = 2 + 2 ; (ii) f(, ) = 2 + 2 ; (iii) f(, ) = e 2 2 2 4 4. Řešení: (i) Zadání funkce beprostředně odpovídá předchoí úloe. Její graf je proto útvar, který vnikne rotací parabol = f(, 0) = 2 ležící v rovině kolem os. Výsledkem je povrch rotačního paraboloidu náorněný na obr. 2.5(a). = 2 + 2 = 2 + 2 (a) Obr. 2.5 (b) (ii) Zde graf vnikl rotací funkce = f(, 0) =. Výsledná plocha je kuželová a je na obr.2.5(b) (iii) Podívejme se, jak vpadají vrstevnice funkce f(, ). Pro bod (, ) ležící na vrstevnici odpovídající hodnotě c > 0 máme rovnici (2.3) e 2 2 2 4 4 = c. Čtenář obenámený s analtickou geometrií v rovině již asi vidí, že se musí jednat o kružnice. Skutečně, po doplnění na mocnin dvojčlenů a úpravě ískáme eponent ve tvaru Vrátíme-li se k rovnici (2.3) máme 2 2 2 4 4 = ( + ) 2 ( + 2) 2 +. e (+)2 (+2) 2 + = c, a po úpravách ( c ( + ) 2 + ( + 2) 2 = ln. e)
26 KAPITOLA 2. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Bude-li c > e je výra na pravé straně v předchoí rovnici áporný, což namená, že rovnice řešení nemá. Na druhé straně, je-li 0 < c e popisuje ískaná rovnice sstém soustředných kružnic se středem v bodě (, 2) a poloměrem ln(c/e). V případě c = e kružnice degeneruje na bod (, 2). Oborem hodnot funkce f jsou ted přípustné hodnot c, tj. interval (0, e. Podobně jako v předchoí úloe vidíme, že graf vnikne rotací jisté křivk, tentokrát kolem os rovnoběžné s osou a procháející bodem (, 2). Tuto křivku naleneme jako průnik libovolné rovin kolmé na podstavu a procháející bodem (, 2). Volba rovin o rovnici = 2 dá = f(, 2) = e (+)2 + = ee (+)2 = h(). Graf funkce h je náorněn na obráku 2.6. osa rotace h() = e (+)2 Obr. 2.6 Graf funkce f vnikne rotací grafu funkce h kolem příslušné os. Získáme tak útvar připomínající sopku Vesuv s vrcholem (, 2, e). Úloha: Nadmořská výška terénu v bodě (, ) R 2 je dána funkcí f(, ) = 3 + 2 2 9 + 2 0. Určete reliéf terénu, jestliže se vdáme bodu (0, 0) ve směru (i) přímk s rovnicí = 2, (ii) přímk s rovnicí = 2. Řešení: (i) f(, 2) = 3 + 2 9 0. Dostáváme tak funkci jedné proměnné (polnom třetího stupně), jejíž graf je náorněn na obr. 2.7(a).
2. CVIČENÍ 27 (a) (b) a představuje hledaný výškový profil. (ii) Analogick jako výše Obr. 2.7 f(2, ) = 2 + 2 6. Reliéfem terénu je tentokrát parabola nakreslená na obr. 2.7(b). Ře grafem funkce f v růných směrech jsou ted dán funkcemi odlišných tpů. Povšimněme si také skutečnosti, že ře grafem funkce f odpovídajícími v půdorse pravoúhlé síti = c, = c jsou poue posunutím grafů na obr. 2.7(a) a (b) a to ve vertikálním směru. Na graf funkce f se ted jedné stran můžeme dívat jako na sjednocení navájem posunutých křivek třetího stupně a druhé stran jako na sjednocení navájem posunutých parabol. (Tento tp grafu je rovněž na obráku 7.4). Určete definiční obor následujících funkcí. f(, ) = 2 + 2 ; 2. f(, ) = sin cos ; 3. f(, ) = 25 2 2 ; 4. f(, ) = 9 2 2 ; 5. f(,, ) = 4 2 2 2 ; 2 + 2 6. f(, ) = 2 2 + 2 ; 7. f(,, ) = + ; 8. f(, ) = ln( sin ); 9. f(, ) = arcsin( + );
28 KAPITOLA 2. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH 0. f(, 2,..., n ) = ln( 2 + + 2 n 36).. Ukažte, že F (t, t) = t 3 F (, ), kde F (, ) = 3 2 6 6. 2. Naleněte funkci f(), je-li (i) f ( ) = 2 + 2, > 0, 0 a (ii) f ( ) 2 2 = 2 4 +, 2 0. 3. Naleněte konstantní hladin funkce f(, ) = ( a) 2 + 2 ( + a) 2 + 2 a > 0. 4. Pro n grammolekul ideálního plnu platí, že tlak p je roven p = nrt, kde R je V konstanta, T je teplota a V je objem. Popište iobar. 5. Dle Poiseuilleho ákona fiologie je odpor R krevní cév délk l a poloměru r dán vtahem R = αl, α > 0. Při jakých hodnotách l a r ůstává tento odpor konstantní? r4 6. V ávislosti na parametru α stanovte tp konstantní hladin funkce f(, ) = e α2 + 2 2+. 7. Ukažte, že každá funkce dvou proměnných, jejíž konstantní hladin jsou sstémem hperbol = k, k > 0 je tvaru f(, ) = g(). Načrtněte graf následujících funkcí: 8. f(, ) = 2 + 3 2 ; 9. f(, ) = 2 + 2 ; 20. f(, ) = 4 + 2 + 2 ; 2. f(, ) = 2 + 2 ; 22. f(, ) = 2 2, a, b > 0; a 2 b 2 23. f(, ) = 2 ; 24. f(, ) = 2 ; 25. f(, ) = + ; 26. f(, ) = 27. f(, ) = 2 2 + 2 ; 2 + 2 + 2 2 + 2 ;
2. CVIČENÍ 29 28. Určete funkci dvou proměnných, jejíž graf vnikne rotací funkce = kolem os. 29. Pohbujeme se na ploše, která je grafem funkce f(, ) = 2 3 2 + 5. Výchoí poloha je bod (,, 3). Určete směr největšího a nejmenšího stoupání. Návod: porovnejte mei sebou derivace funkcí, které vniknou příslušnými ře grafu funkce f. 30. Všetřete, jak tp hladin konstantnosti lineární obraení F : R 3 R 3 ávisí na hodnosti h(a) matice A, která repreentuje lineární obraení F. Výsledk., 2 ; 2. k,l,r,s Z 2kπ, (2k + )π 2lπ π 2, 2lπ + π 2 π + 2rπ, 2rπ π 2 + 2sπ, 3 2 π + 2sπ ; 3. 2 + 2 25 vše mimo kružnici; 4. uavřený kruh 2 + 2 9; 5. otevřená koule 2 + 2 + 2 < 4; 6. otevřený kruh se středem v bodě (,0) a poloměrem be otevřeného kruhu se středem v bodě (/2, 0) a poloměrem /2; 7. R 3 be rovin + = 0; 8. > 0, 2kπ < < (2k + )π, < 0 (2k + )π < < (2k + 2)π; 9. pás, R; 0. vnějšek koule > 6; 2. (i) f() = + 2, (ii) f() = /( + 2 ); 3. kružnice se střed na ose a přímka = 0; 4. přímk procháející počátkem; 5. parabola čtvrtého stupně; 6. α = kružnice se střed na ose, α > 0 elips, α < 0 hperbol, α = 0 přímk rovnoběžné s osou ; 8 eliptický paraboloid; 9. kuželová plocha; 20. rotační plocha s osou rotace vniklá rotací hperbol = 4 + 2 jednodílný rotační hperboloid; 2. rotační plocha vniklá rotací části hperbol = 2, 0 kolem os ; 22. horní část elipsoidu se středem v počátku a poloosami a, b, c; 23. horní část válce s osou a poloměrem ; 24. parabolická plocha všechna posunuti parabol = 2 rovnoběžně s osou ; 25. části dvou rovin; 26. rotace grafu funkce f() = kolem os =, = ; 27. sjednocení křivek (+) 2 = 2c ležící v rovinách = c, c (, ); 28. f(, ) = 4 2 +c 2 + 2 ; 29. (, 6) 2 největší stoupání, (, 6) největší klesání; 30. Je-li h(a) = 3, hladin konstantnosti jsou bod; pro h(a) = 2 to jsou přímk; pro h(a) = rovin a pro h(a) = 0 je hladina konstantnosti R 3.