Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel C ) nzýváme mticí typu (m n) (nd tělesem T) (Poznmenejme že někdy se v litertuře hovoří o mtici typu m x n resp i o mtici m / n ) Mtici A typu (m n) nzýváme čtvercovou pokud m n Hovoříme pk o mtici řádu m Vektor ( i 1 i 2 i n ) nzýváme i tým řádkovým vektorem mtice A vektor 1 j 2 j nzýváme j tým sloupcovým vektorem mtice A (Stručně hovoříme o řádcích či m j sloupcích mtice A) Součtem mtic A 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 b11 b12 b1 n b21 b22 b2 n B bm 1 bm 2 b téhož typu (m n) je mtice A + B + b + b + b + b + b + b + b + b + b 11 11 12 12 1n 1n 21 21 22 22 2n 2n m1 m1 m2 m2 mn mn ra Je -li r œ T libovolný pk r násobkem mtice A rozumíme mtici r11 r12 r1 n r21 r22 r2n rm 1 rm2 r 1
1 2 Příkld: Je li A B 3 4 A + B 5 5 5 5 ( 3) A 3 6 9 12 4 3 2 1 dvojice čtvercových mtic řádu 2 potom Lehko se ověří že množin T m n všech mtic typu (m n) tvoří vzhledem k opercím sčítání mtic násobení sklárem z T vektorový prostor dimenze m n (Oznčme mtici typu (m n) mjící v průsečíku i tého řádku j tého sloupce prvek 1 jinde prvek 0) Těchto m n mtic zjevně generuje vektorový prostor T m n lehko se ověří že jde o prvky lineárně nezávislé Definice: Nechť je dán mtice A typu (m n) O prvcích 11 22 k k E ( i j) kde k min { m n } říkáme že leží v hlvní digonále nebo tké že tvoří hlvní digonálu mtice A Definice: Řekneme že dvě mtice A ( i j ) B ( i j ) jestliže i j b i j pro všechn i 1 m j 1 n Píšeme A B Definice: Buď A ( i j ) mtice typu (m n) B ( bi j ) b téhož typu (m n) se rovnjí mtice typu (n p) Součinem A B mtic A B (pozor n pořdí!!) rozumíme mtici C ( c i j ) typu (m p) kde c i j n i k bk j k 1 Poznámk: 1 Může se stát že součin A B je definován le součin B A ne Kupříkldu pro A 1 2 3 4 5 6 B 3 5 7 je A B 13 + 25 + 37 43 + 55 + 76 34 79 součin B A le není definován 2 Součin A B mtice A typu (m n) mtice B typu (k p) tedy bude definován pouze v přípdě kdy n k bude jím mtice typu (m p) Ob dv součiny A B B A budou definovány právě tehdy když A je typu (m n) mtice B je typu (n m) V tomto přípdě bude součin A B čtvercovou mticí řádu m součin B A čtvercovou mticí řádu n A dokonce ni v přípdě kdy obě mtice A B jsou čtvercovými mticemi téhož řádu n kdy jsou sice ob součiny A B B A definovány zdlek nemusí nstt rovnost A B B A 2
1 2 Kupř pro A B 3 4 tedy není komuttivní 2 1 1 3 je A B 4 7 B A 5 8 Násobení mtic 10 15 10 14 Má tedy násobení mtic lespoň nějké rozumné vlstnosti? Vět: Buď A mtice typu (m n) B C mtice typu (n p) D mtice typu (p q) dále r œ T libovolný prvek Potom (i) A (B + C) A B + A C (ii) (iii) (A B) D A (B D) (r A ) B r (A B) Vzhledem k tomu že pltí socitivní zákon můžeme definovt mocninu čtvercové mtice n přirozený exponent Definice: Nechť n œn je přirozené číslo A je čtvercová mtice Pk přirozenou mocninu mtice A definujeme indukcí A 2 A A A n A A n-1 Mtici A pro kterou existuje číslo n œ Ntk že A n O kde O je tzv nulová mtice obshující smé nuly nzýváme nilpotentní mticí nilpotentní Příkld: Je dán mtice A 1 1 1 1 Máme A2 A A O tudíž mtice A je Definice: Čtvercovou mtici A ( i j ) řádu n nzveme digonální jestliže má mimo digonálu smé nuly tj i j 0 pro i j Číslo tr (A) n ii nzýváme stopou mtice A i 1 Jednotková mtice řádu n je čtvercová mtice I ( e i j ) řádu n mjící všude v hlvní digonále prvek 1 všude jinde prvek 0 tj pltí e ii 1 i 1 2 n e ij 0 pro i j i j 1 2 n Definice: Buďte A B čtvercové mtice řádu n Řekneme že B je inverzní mtice k mtici A (nebo že A je inverzní mtice k mtici B) jestliže A B B A I Pokud inverzní mtice k mtici A existuje je určen jednoznčně znčí se A -1 3
Mtice A k níž existuje inverzní mtice se nzývá mtice regulární v opčném přípdě hovoříme o mtici singulární 2 1 Příkld: Mtice A 1 1 je regulární neboť pro mtici A-1 A -1 1 0 1 1 A I Mtice A je singulární 0 1 2 2 Vět: Jsou li A B regulární čtvercové mtice řádu n pk (i) součin A B je regulární mtice pltí (A B) -1 B -1 A -1 (ii) mtice A -1 je regulární (A -1 ) -1 A 1 1 1 2 pltí A A-1 Důkz: (i) Je jednk (A B) (B -1 A -1 ) A( B B -1 ) A -1 AI A -1 A A -1 I obdobně vyjde i (B -1 A -1 ) (A B) B -1 I B B -1 B I odkud (A B) -1 B -1 A -1 (ii) Rovnosti A A -1 A -1 A I lze rovněž přečíst tk že A je mtice inverzní k A -1 11 12 1n 21 22 2n Definice: Buď A m 1 m2 trnsponovnou k mtici A rozumíme mtici mtice typu (m n) Mticí 11 21 m 1 12 22 m2 A T typu (n m) kterou dostneme z mtice A výměnou 1 n 2 n řádků z sloupce (resp sloupců z řádky) Zřejmě pltí: 1) (A T ) T A 2) (λ A) T λ A T λ œ T libovolný 3) (λ 1 A + λ 2 B ) T λ 1 A T + λ 2 B T λ 1 λ 2 œ T libovolné 4) (A B) T B T A T je -li součin A B definován 4
A A T 5) je li mtice A regulární je i A T regulární pltí (A T ) -1 (A -1 ) T Definice: Nechť A je čtvercová mtice řádu n Mtice A se nzývá symetrická jestliže 5
Determinnty Definice: Nechť A je čtvercová mtice řádu n Determinntem mtice A nzýváme číslo det (A ) které vypočteme tkto: Pro n 1 je det (A ) det ( 11 ) 11 pro n 2 je det (A ) 11 12 21 22 11 22 12 21 pro n > 2 lze provést rozvoj podle zvoleného řádku nebo sloupce Jestliže A je čtvercová mtice řádu n pk symbolem vznikne z mtice A vynecháním i tého řádku j tého sloupce A ij budeme znčit mtici která i+ Rozvojem podle i tého řádku definujeme det (A) ( 1 ) 1 det ( A ) i+ 2 + ( 1 ) det ( A ) + + ( 1 ) i + n det ( ) i 2 i 2 in in A i 1 i 1 Kupř rozvojem podle prvního řádku máme 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ( 1) 1+1 5 6 8 9 + 2 ( 1)1+2 4 6 7 9 + 3 ( 1)1+3 4 5 7 8 1 ( 3) + 2 ( 1) ( 6) + 31 ( 3) 0 Číslo A ij ( 1) i + j det ( ij ) A se nzývá lgebrický doplněk prvku ij Obecně lze s využitím lgebrických doplňků zpst rozvoj podle i tého řádku tkto: det (A ) i1 A i1 + i2 A i2 + + in A in Nedosttkem této definice je její nejednoznčnost není určeno podle kterého řádku provádíme rozvoj Lze dokázt že výsledek výpočtu nezávisí n zvoleném řádku nvíc lze determinnt mtice počítt stejným postupem rozvojem podle libovolně zvoleného sloupce Při prktickém výpočtu volíme řádek či sloupec s co největším počtem nul Srussovo prvidlo pro výpočet determinntu mtice řádu 3: 11 12 13 det A 21 22 23 31 32 33 11 22 33 + 21 32 13 + 12 23 31 31 22 13 6
32 23 11 33 21 12 Důkz rozvojem podle determinntu mtice A podle prvního řádku Pišme det (A) 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 ( 1) 1+1 22 23 32 33 + 12 ( 1) 1+2 21 23 31 33 + 13 ( 1) 1+3 21 22 31 32 11 ( 22 33 32 23 ) 12 ( 21 33 31 23 ) + 13 ( 21 32 31 22 ) Pro snzší zpmtování sdružíme kldné záporné členy: det (A) 11 22 33 + 12 31 23 + 13 21 32 31 22 13 11 32 23 21 12 33 Srussovo prvidlo pro výpočet determinntu mtice řádu tři tedy říká že je třeb sečíst tři kldné sčítnce tvořené součinem prvků v hlvní digonále resp součinem dvou členů nd hlvní digonálou se členem v levém dolním rohu součinem dvou členů pod hlvní digonálou se členem v prvém horním rohu (Schémticky směr násobeníց je svázán se znménkem +) Dále sčítnci získní násobením členů ve směru vedlejší digonály (směr ր ) jsou optřeni znménkem Bohužel pro determinnty mtic vyšších řádů již není k dispozici nlogické prvidlo Vět: Pro kždou čtvercovou mtici A pltí det A det A T Lze tedy provádět i rozvoj podle sloupce!! Výsledek se nezmění Vět: Nechť mtice B vznikne z mtice A přehozením dvou řádků (sloupců) Potom det B det A Důsledek: Jsou li dv řádky (sloupce) mtice A stejné potom det A 0 Důkz: Podle předchozí věty je det B det A (zde le B A) odkud det A 0 Vět: Nechť mtice B vznikne z mtice A přičtením c- násobku j tého řádku (sloupce) k i tému řádku (sloupci) Potom det B det A 11 12 13 1n j1 j 2 j3 jn Důkz: B + c + c + c i1 j1 i2 j2 in jn n1 n2 nn 7
det B ( i 1 + c j1)a i1 +( i 2 + c j2 )A i2 + + ( in + c jn )A in i1 A i1 + i2 A i2 + + in A in + c( j1 A i1 + j2 A i2 + + jn det A + 0 det A 11 12 1 n j1 j2 jn A in ) det A + cdet j1 j2 jn n 1 n2 nn Vět o násobení determinntů: Buďte A B dvě čtvercové mtice řádu n Potom det(ab) det (A) det (B) Vět: Buď A čtvercová mtice řádu n Jestliže mtice B vynásobením libovolného řádku prvkem c œ T pk vznikne z mtice A det (B) c det (A) Příkld: Vypočtěte D 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 Řešení: Je D 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 0 1 0 0 8 3 2 2 2 1 2 0 2 1 0 2 8 2 2 1( 1) 2 2 0 2 0 2 10 2 0 2 2 0 2 0 2 2( 1) 6 10 2 2 2 48 Vět: Buď A čtvercová mtice řádu n A je regulární právě tehdy když det (A) 0 Příkld: Rozhodněte kdy je mtice A x 0 1 2 x 3 4 5 6 singulární Řešení: det A x 0 1 2 x 3 6x 2 + 0 + 10 4x 15 x 0 6x 2 19 x +10 0 Kořeny 4 5 6 jsou x 1 5 2 x 2 2 Pro tyto dvě hodnoty prmetru x je mtice A singulární mticí 3 8
Příkld: Vypočtěte D 2 4 3 5 1 3 5 1 2 5 2 3 3 2 1 0 Řešení: Budeme směřovt k rozvoji podle čtvrtého sloupce kde se již vyskytuje jedn nul Dlší zde vytvoříme tím že odečteme pětinásobek druhého řádku od řádku prvního tké trojnásobek druhého řádku od řádku třetího: D 3 19 28 0 1 3 5 1 1 4 17 0 3 2 1 0 1( 1) 2+4 3 19 28 1 4 17 3 2 1 Nyní bychom již mohli užít Srrusovo prvidlo le můžeme ještě npř přičíst ( 3) - násobek druhého řádku jk prvnímu tk i ke třetímu řádku provést pk rozvoj podle prvního sloupce: D 0 7 23 1 4 17 1( 1) 1+2 7 23 10 52 0 10 52 ( 364 230) 594 Příkld: Vypočtěte D 2 0 1 2 2 2 5 2 6 1 5 13 1 12 7 2 6 3 8 1 4 9 5 10 8 Řešení: Připrvíme si rozvoj podle prvního řádku Nejprve přičteme první sloupec ke sloupci čtvrtému pátému pk přičteme dvojnásobek třetího sloupce ke sloupci prvnímu: 2 0 1 0 0 2 5 2 8 3 D 5 13 1 17 12 2 6 3 10 3 4 9 5 6 4 0 0 1 0 0 6 5 2 8 3 7 13 1 17 12 8 6 3 10 3 6 9 5 6 4 1( 1) 1+3 6 5 8 3 7 13 17 12 8 6 10 3 6 9 6 4 Nyní budeme chtít připrvit rozvoj determinntu podle prvního sloupce Můžeme npříkld odečíst čtvrtý řádek od všech osttních řádků - tím se jednk vytvoří v prvním řádku nul jednk se zmenší čísl vyskytující se v determinntu což usndní výpočet: 9
D 0 4 2 1 1 4 11 8 Poté ještě odečtením dvojnásobku druhého řádku od řádku 2 3 4 1 6 9 6 4 třetího resp odečtením šestinásobku druhého řádku od řádku třetího dostneme D 0 4 2 1 1 4 11 8 0 11 18 17 0 15 60 44 1( 1) 2+1 4 2 1 11 18 17 15 60 44 4 2 1 11 18 17 15 60 44 Nkonec známým způsobem připrvíme rozvoj determinntu podle prvního řádku přičteme k prvnímu sloupci čtyřnásobek sloupce třetího ke druhému sloupci dvojnásobek sloupce třetího: 4 2 1 11 18 17 15 60 44 0 0 1 57 52 17 161 148 44 1 ( 1) 1+3 57 52 161 148 ( ) ( 57 )( 148) ( 52)( 161) 64 Zkončíme jednoduchým příkldem ukzujícím že determinnty budou mít jisté využití i při řešení soustv lineárních rovnic Příkld: Vyřešme soustvu 2 x + 5 y 8 3 x + y 1 Řešení: Je téměř zpměti vidět že x 1 y 2 je jediným řešením dné soustvy Užijme všk k řešení determinntů (Crmerovo prvidlo) Z koeficientů u neznámých n levé strně sestvme tzv determinnt soustvy D s 2 5 3 1 13 0 Nyní v tomto determinntu nhrdíme koeficienty u neznámé x sloupcem prvé strny tj vektorem 8 1 tedy D x 8 5 1 1 Dx 13 Vypočteme x D s 1 Obdobně máme D y 2 8 3 1 26 y Dy D 2 s Více o soustvách lineárních rovnic příště 10