Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nzývá reálná funkce reálné proměnné. Grfem f se rozumí množin {, f) ) D f } R 2. U hezkých funkcí bude možno grf nmlovt. Zdlek ne všechny funkce mjí tuto vlstnost. Definujeme dvě tkové funkce: Dirichletov funkce: Riemnnov funkce: f) = {, když Q 0, když R Q. { f) =, když = p, kde p Z, q N, nsdp, q) = q q 0, když R Q. Zto poslední funkce, kterou ted zvedeme, zvná signum z ltinského znmení ), má velice jednoduchý tvr nčrtnout její grf je sndné. Definujeme, když > 0 sgn) = 0, když = 0, když < 0. Zvedeme několik užitečných pojmů: Definice.2. Necht f je reálná funkce reálné proměnné. Řekneme, že funkce f je omezená, resp. shor omezená, resp. zdol omezená, když obor hodnot H f je množin omezená, resp. shor omezená, resp. zdol omezená, funkce f je rostoucí, když, 2 D f ) < 2 f ) f 2 )), funkce f je ostře rostoucí, když, 2 D f ) < 2 f ) < f 2 )), funkce f je klesjící, když, 2 D f ) < 2 f ) f 2 )), funkce f je ostře klesjící, když, 2 D f ) < 2 f ) > f 2 )),
funkce f je monotonní, když je rostoucí nebo klesjící, funkce f je ryze monotonní, když je ostře rostoucí nebo ostře klesjící. Poznámky. ) Omezenost funkce lze symbolicky zpst tkto: K R) D f ) f) K). Podobně lze zpst omezenost shor, resp. zdol. 2) Když je funkce f ryze monotonní, pk je f prostá. Proto eistuje inverzní funkce f, přičemž se zchovává typ monotonie, tj. f je ostře rostoucí f je ostře rostoucí, f je ostře klesjící f je ostře klesjící. 3) Prostá funkce nemusí být ryze monotonní. Příkldem prosté funkce, která není ni klesjící ni rostoucí, je f) = s definičním oborem R {0}. Definice.3. Necht f je reálná funkce reálné proměnné, jejiž definiční obor D f podmínce D f ) D f ). Řekneme, že funkce f je sudá, když D f )f) = f )); funkce f je lichá, když D f ) f) = f )). vyhovuje Definice.4. Necht f je reálná funkce reálné proměnné, pro niž eistuje kldné l R tkové, že ) D f ) + l, l D f ); 2) D f )f + l) = f)). Funkci f říkáme periodická číslu l period funkce f. Příkld.5. Aplikujme zvedené pojmy n výše zmíněné funkce. ) Funkce signum je lichá, není periodická. 2) Konstntní funkce je vždy sudá. Konstntní funkce je lichá pouze v přípdě, že f) je identicky rovno 0. Konstntní funkce je periodická, její periodou je libovolné kldné reálné l, nejmenší period neeistuje. 3) Dirichletov funkce je sudá, nvíc je periodická s periodou libovolné rcionální kldné l. Ani zde neeistuje nejmenší period. 4) Riemnnov funkce je sudá periodická s periodou libovolné přirozené l, nejmenší periodou je tedy číslo..2 Definice ity funkce Než přistoupíme k definici ity funkce, musíme si vyjsnit, v jkých bodech má smysl uvžovt o itě funkce. 2
Definice.6. Řekneme, že R je hromdným bodem množiny A R, když eistuje prostá posloupnost n ) tková že n =. Příkld.7. Uved me n několik příkldech, jk mohou vypdt hromdné bodů množiny. Konečná množin nemá žádný hromdný bod. Množin A = { n n N} má jediný hromdný bod 0. Intervl 0, ) má z hromdný bod libovolný prvek intervlu 0,. Tento příkld ukzuje, že hromdný bod množiny A může, le tké nemusí ptřit do množiny A. Množin přirozených čísel má jediný hromdný bod, to +. Množin celých čísel má dv hromdné body, to ±. Množin Q má z své hromdné body celou množinu R. Definice.8. Necht R je hromdným bodem definičního oboru D f funkce f necht c R. Řekneme, že funkce f má v bodě itu c, pokud pro kždou posloupnost n ), jejiž členy n jsou z množiny D f \ {}, pltí n = = f n ) = c. Zpisujeme f) = c nebo zkráceně f = c. Definice, kterou jsme uvedli, je připisován německému mtemtikovi Heinrichu Heinemu. Původní definice ity funkce nevyužívá pojmu it posloupnosti. Její zákldy položil Bernhrd Bolzno, mtemtik, který celý svůj život prožil v Čechách. Bolznovu definici všk zpíšeme v moderní symbolice. Definice.9. Necht R je hromdným bodem definičního oboru D f funkce f necht c R. Řekneme, že funkce f má v bodě itu c, pokud pltí Hc ) H ) Df \ {} ) H = f) H c ). V přípdě, kdy body c leží v R, tj. jsou to konečné hodnoty, lze Bolznovu definici formulovt v symbolice nzývné v mtemtické hntýrce ε δ. Okolí H c bodu c je totiž intervl H c = c ε, c + ε) pro nějké ε > 0, tedy výrok f) H c lze přepst jko f) c < ε. Podobně okolí bodu je tvru H = δ, + δ) pro nějké kldné δ. Fkt, že c R je itou funkce f v bodě R lze zpst i tkto: ε > 0) δ > 0 ) Df \ {} ) < δ = f) c < ε ). Necháme n čtenáři, by si rozmyslel, jk lze přepst itu funkce bez použití symbolů H H c v přípdě, kdy = c R, nebo v přípdě, kdy R = +, tp. celkově 9 možností). 3
Příkld.0. Pro libovolný bod R pltí e = e, protože podle věty o posloupnostech vzth n implikuje e n e. Ze stejného důvodu je pro kždé 0, + ). ln = ln Příkld.. Ukážeme, že 0 + ) = e. ) Abychom určili itu, podle definice máme uvžovt posloupnosti n ) tkové, že n = 0, kde nvíc n 0 pro kždé n N. Zřejmě pro bsolutní hodnotu pltí n = +. Připomeňme vzth z kpitoly, kde jsme zvedli číslo e : p n = + = + ) pn = e. p n Úlohu posloupnosti p n ) ted hrje posloupnost n. Proto f n) = + n ) n = + n ) n = e. Poznámk.2. Udělejme několik důležitých komentářu k definci. Definice nevyžduje, by byl bod z definiční ho oboru funkce f. Npř. funkce sgn 2 definovná v bodě 0, přesto je sgn =. 0 2 není Je-li bod D f, nemá číslo f) žádný vliv n hodnotu ity funkce v bodě. Npř. sgn 0 2 = sgn 0 2 = 0. Poždvek, by byl bod hromdným bodem množiny D f je nezbytný k tomu, bychom nšli lespoň jednu posloupnost n D f \ {}, která má z itu. Poznámk.3. Když se nám podří njít dvě posloupnosti n ) y n ) bodů z D f \ {} tkové, že n = y n = f n ) fy n ) Pk f) neeistuje. 4
Příkld.4. Ukžme, že Zkoumejme dvě posloupnosti 0 sin neeistuje. n = 2πn y n = 2πn + π 2. Pro obě pltí n = y n = 0, le sin n = sin2πn) = 0 sin y n = sin2πn + π 2 ) =. Příkld.5. Zkoumejme dvě ity 0 0. 2 O první z it sndno ukážeme, že neeituje. Položíme-li totiž z n = n z y n = n, obě posloupnosti mjí itu = 0, zto f n ) = n = n + f n ) = n = n Zto zřejmě it 0 2 = +. Funkce se chová velice rozdílně podle toho, zd doszujeme z proměnnou hodnoty vprvo nebo vlevo od nuly. Tkové chování postihuje pojem jednostrnné ity. Definice.6. Necht bod R je hromdným bodem množiny D f, + ) necht c R. Řekneme, že c je itou funkce f v bodě zprv, pokud pro kždou posloupnost n ), jejiž členy n jsou z množiny D f, + ), pltí n = = f n ) = c. Zpisujeme f) = c nebo zkráceně f = c. + + Obdobně Necht bod R je hromdným bodem množiny D f, ) necht c R. Řekneme, že c je itou funkce f v bodě zlev, pokud pro kždou posloupnost n ), jejiž členy n jsou z množiny D f, ), pltí n = = f n ) = c. Zpisujeme f) = c nebo zkráceně f = c. 5
Příkld.7... 0+ = + 0 = sgn = sgn = 0+ 0 Poznámk.8. Z defince ity jednostrných it hned plyne tvrzení: f = c právě tehdy, když součsně + f = c f = c. Rozdílnost jednostrnných it indikuje tedy neeistenci ity celkové..3 Výpočet ity funkce Protože n hodnotu c ity funkce v bodě se lze dívt jko n itu posloupnosti f n ), lze všechny výpočetní věty o itách posloupnosti získt přímo z podobných vět pro výpočet itu posloupnosti. Vět.9. f ± g) = f ± g, f.g) = f. g, f g ) = f g z předpokldu, že je hromdným bodem množiny D f±g, resp. D f.g, resp. D f g prvých strnách rovnosti mjí smysl. výrzy n Příkld.20. Uvžujme funkci f) = 4 + 2 2 3 3 3 2 + 2 zkoumejme její ity postupně v bodech =,, 2,. Protože zřejmě = mužeme s použitím předchozí věty spočítt itu pro kždý bod R, pro který bude výrz f) definován. Proto 4 + 2 2 3 3 3 2 + 2 = f ) = 0. Hodnoty f) f2) nejsou definovány. To znmená, že 2 jsou kořeny polynomu 3 3 2 +2. Sndno uprvíme 4 + 2 2 3 3 3 2 + 2 = 2 + 3) + ) ) ) 2) Nyní už můžeme určit prostým doszením 2 + 3) + ) f) = 2) Pro výpočet ity v bodě = 2 uprvíme dále 2 + 3) + ) 2 2) = 2 + 3) + ) 2) = 8. = 2 2 + 3) + ) 6 2
Limit prvního zlomku je 7, druhý zlomek itu nemá, protože it zprv zlev je + resp.. Proto ni celková it neeistuje. Pro výpočet ity v bodě = musíme provádět uprvy jiného druhu, bychom mohli využít toho, že = 0. 4 + 2 2 3 3 3 2 + 2 = + 2 3 2 4 3 + 2 = + 2 3 2 4 2 3 + 2 =. = 2 Následující vět hrje při výpočtu ity funkce důležitou roli; roli dleko význmnější než je role obdobné věty u posloupnosti, tedy věty o itě vybrné posloupnosti. Vět.2. o itě složené funkce) Necht R je hromdným bodem definičního oboru složené funkce f g) ), necht b, c R necht jsou splněny tyto tři podmínky:. b f) = c, 2. g) = b, 3. bud H ) D g H {})g) b) nebo b D f fb) = c). Pk f g) ) = c. Příkld.22. Odvodíme důležitou itu Větu o itě složené funkce použijeme n ln + ) 0 =. 2) vnější funkci f) = ln bod b = e vnitřní funkci g) = + ) bod = 0. Protože podle vzthu ) je 0 g) = e = b, je splněn 2. podmínk vety. Stčí položit je splněn i. podmínk. Protože c := e f) = ln e = fg)) = ln + ) = ln + ) stčí k důkzu tvrzení 2) ověřit splnění 3. podmínky. Jelikož b = e D f = D ln fb) = ln e = c = je prvdivá druhá, část 3. podmínky. Příkld.23. Dokážeme e =. 3) 0 Opět použijeme větu o itě složené funkce. Tentokráte f) = ln + ) bod b = 0 g) = e bod = 0. 7,
Stčí položit c = f) = =, protože g) = e = 0 = b je vyhověno 0. 2. podmínce. V tomto přípdě, všk b = 0 / D f. Nicméně 0 ln+) g) = e 0 = b pro kždé 0 =, je vyhověno i 3. podmínce, kde z okolí H lze zvolit libovolné okolí bodu 0. Celkově do doszení máme z čehož už 3) plyne. ln + e ) fg)) = 0 0 e = 0 ln e e = 0 e =, Poznámk.24. N jendoduchém příkldě ukážeme, že podmínk 3. ve znění věty není zbytečná. Uvžujme funkci f) = sgn 2 bod b = 0. Jk jsme ukázli v poznámce.2 je f) = = b c. Je-li vnitřní funkce konstntně rovn 0, tj. g) = 0, pk g) = 0 = b. Přesto.4 Nerovnosti v itách fg)) = 0 = 0 = f). b Anlogicky, jk tomu bylo u it posloupností, it zchovává nerovnosti mezi funkcemi. Vět.25. Necht eistují obě ity f) g) necht nvíc eistuje okolí H tkové, že H \ {} D f H \ {} D g. Pk pltí implikce. H \ {}) f) g) ) = f) g). 2. f) < g) = H H ) H \ {}) f) < g) ). Přímým důsledkem této věty je vět o itě sevřené funkce. Vět.26. Necht pro funkce f, g, h body, c R pltí:. eistuje okolí H tkové, že H \ {} D f Dg Dh ; 2. f) g) h) pro kždé H \ {} ; 3. eistují f) = h) = c. Pk eistuje i it g) je rovn c. Připomeňme si definice funkcí sin, cos tg. Pro hodnoty 0, π ) je z geometrické předstvy 2 zřejmé, že 0 < sin <. Protože funkce sin je lichá, pltí tké < sin < pro kždé π 2, π 2 ) {0} 8
Jelikož 0 = 0, dostneme z předchozí věty sin = 0. 4) 0 Jelikož cos 2 + sin 2 = cos π, π ) je kldný, odvodíme pomocí prvidel pro výpočet 2 2 ity cos = sin 2 =. 5) 0 0 Využijeme ještě jednu nerovnost, kterou vyčteme z grfického znázornění trigonometrických funkcí Jelikož tg = sin cos dostneme 0 < sin < < tg pro 0, π 2 ). cos < sin < pro 0, π 2 ). Protože funkce cos i funkce sin jsou sudé, lze pltnost předchozích nerovnosti rozšířit n π, π ) {0}. Z věty o itě sevřené funkce odvodíme 2 2 Pro nlogický vzth s fukcí cos dostneme sin 0 =. 6) cos 0 neeistuje, protože ity zprv zlev jsou různé totiž +. Příkld.27. Pro výpočet následující ity využijeme známého vzthu sin 2 + cos 2 =. cos 0 = 0.5 Dlší důležité ity = 0 cos )cos + ) cos + ) cos +. 0 sin 2 = 0 cos + ) = ) 2 sin. =.. 0 = 0. 0 2 Ztím jsme se věnovli hlvně výpočtu ity funkce v bodě 0. Odvodili jsme ln + ) y 0 =, 0 e = 0 sin = Tyto ity větu o itě složené funkce použijeme při výpočtu dlších důležitých it v obecném bodě R. 9
N zčátku kpitoly jsme přímo z definice ity viděli, že e = e ln = ln. Abychom ukázli, že rovněž sin = sin, budeme potřebovt součtový vzorec pro funkci sin sinα + β) = sin α cos β + cos α sin β. Můžeme proto pst sin = sin ) + ) = sin ) cos + cos ) sin, tedy sin = cos sin ) + sin cos ) = = cos y 0 sin y + sin y 0 cos y = cos. 0 + sin. = sin V posledním kroku úprv jsem využili větu o itě složené funkce, kde z vnitřní funkci bereme y = g) =, rovněž jsme použili vzthy 4) 5). Ze znlosti součtového vzorce pro cosα + β) obdobně odvodíme, že cos = cos. Příkld.28. Pro R odvod te Uprvujeme e e = e e ) e e = e. = e e = e y 0 e y y = e. = e. Pro předposlední rovnost jsme využili větu o itě složené funkce, kde z vnitřní funkci jsme vzli g) =. Příkld.29. Pro > 0 odvod te Uprvujeme ln ln ln ln ) ln ln + = = ) =. ) = ln + = ln + y) y 0 y =. Opět jsme využili větu o itě složené funkce, tentokráte z vnitřní funkci jsme vzli g) =. Příkld.30. S použitím binomické věty vypočítme itu 5 5 = ) 4 + 3 + 2 2 + 3 + 4 ) Stejným postupem dostneme n n = nn, pro kždé n N. 0 = 4 + 3 + 2 2 + 3 + 4 ) = 5 4.
Opustíme-li podmínku celočíselnosti eponentu n, musíme využít složitější prát. Připomeňme, že funkce e ln jsou k sobě nvzájem inverzní, tedy jejich složením dostneme identitu. Proto pltí e ln b = b pro kždé b > 0. Příkld.3. Uvžujme nyní prmetry α R > 0 dokžme Uprvujeme α α = α e α ln α α = αα. α ) ) α = α ln α ln = αα e α ln = α α e y ln ln. y 0 y ) α e α ln = α ln = ln ln = α α.. = αα Pro závěr výpočtu jsme použili příkld.29 větu o itě složené funkce s vnější funkcí fy) = e y y vnitřní funkci g) = α ln. Příkld.32. Odvodíme, že sin sin = cos. K výpočtu této ity postupně využijeme součtový vzorec pro sinα + β), výsledek příkldu.27 větu o itě složené funkce. sin sin = sin ) cos + cos ) sin sin sin ) cos ) = cos. + sin. = = = cos. + sin.0 = cos.