5. Derivace Derivaceoboustranná, zprava, zleva reálné funkce f reálné proměnné v bodě a Rbyladefinovánavkapitole4vizřádky9a9±;tatoderivacesepodrobněji nazýváderivaceřádu.oboustrannéderivaceřádu n,kde n >jepřirozenéčíslo, se definují indukcí, v níž zbývá provést indukční krok: Je-lia Ramá-lifunkce fvkaždémbodě jistéhookolíuaderivacif n řádu n,definujemederivaci f n ařádu nfunkce fvbodě arovností f n a:=f n a, má-lipravástranasmysl.dodejme,žederivacířádu0vbodě aležícímvdefiničním oborufunkce fbudemerozumětčíslofa.kroměnázvu derivaceřádun seběžně užíváitermín derivacen-téhořádu.jednostrannéderivaceřádůn >nebudeme nikde potřebovat, a proto je ani nebudeme definovat. Říkáme, že funkce f je diferencovatelná v bodě a, eistuje-li konečná derivace f a;říkáme,že f jediferencovatelnávmnožině M R,je-lidiferencovatelná v každém bodě této množiny. Přechod od f ke konečné derivaci f se nazývá diferencovánífunkce f. Připomeňme, že funkce diferencovatelná v bodě a je v tomto bodě spojitá, že obrácené tvrzení neplatí, a zopakujme dobře známá základní pravidla derivování: Věta5.oderivacisoučtuarozdílu.Eistují-liderivace f a, g a,je f ±g a=f a±g a, má-lipravástranasmysl. Analogická tvrzení platí pro derivace zprava a zleva. Věta 5.o diferencování součinu. Jsou-li funkce f, g diferencovatelné v bodě a,platítotéžosoučinu fg,přičemž 3 fg a=f aga+fag a. Analogická tvrzení platí pro derivace zprava a zleva. Věta 5.3o diferencování podílu. Jsou-li funkce f, g diferencovatelné v bodě aaje-li ga 0,jeipodíl f/gdiferencovatelnývbodě a,přičemž 4 f a= f aga fag a g g. a Analogická tvrzení platí pro derivace zprava a zleva. Věta 5.4o diferencování superpozice. Je-li funkce f diferencovatelná v bodě aafunkce gvbodě fa,jesuperpozice g fdiferencovatelnávbodě a,přičemž 5 g f a=g faf a. 50
Poznámka 5.. Všimněme si, že větu o derivaci součturozdílu lze na rozdíl od vět 5. 5.4užítizaněkterýchsituací,kdyjsouderivacenekonečné. Jeproto zcela korektní napsat např. 6 3 + 5 { } = 3 /3 + 5 4/5 pro 0. + + =+ pro =0 Větu5.všaknelzeužítkvýpočtuderivacerozdílu h:= 3 5 vbodě 0, protože bychom dostali výraz + +, který nemá smysl. To samozřejmě nevyvrací eistenci této derivace; vzhledem k tomu, že 3 5 = /3 4/5 = 4/5 /5 pro 0, je h 0=. Příklad5..Prvníderivacífunkce f:=lg+vintervalu,+ je funkce / +. Předpokládáme-li platnost identity 7 f n = n n! prokaždé,+ + n aněkteré n N,ihnedvidíme,že f n+ =f n = n n n! n! + n+= n + n+ všudev,+ ;tímjeplatnost7dokázánaprokaždé n N. Příklad5..Jaksnadnonahlédneme,platívšudevRaprovšechnaceláčísla n 0identity 8 8 sin 4n =sin, sin 4n+ =cos, sin 4n+ = sin, sin 4n+3 = cos, cos 4n =cos, cos 4n+ = sin,cos 4n+ = cos, cos 4n+3 =sin. Příklad 5.3. Aplikujeme-li dvakrát větu o diferencování superpozice, dostaneme identitu arctgeptg = eptg+ eptg cos platnouvšudevr { k+π;k Z}.V.5.4 lzeužít,protožekaždázetří zúčastněných funkcí je diferencovatelná všude ve svém definičním oboru. Zdůraznilijsmetotím,žejsmevěty5. 5.4nazvalivětamiodiferencovánísoučinu,podílu a superpozice. 5
VevětěV.5.4semluvíjeno oboustranné diferencovatelnosti jinoujsmeani nezavedli; jednostranné a nekonečné derivace pomocí ní počítat nelze. Často však lze užít následující jednoduché a velmi užitečné tvrzení, k němuž se uchylujeme zejména v případech, kdy se pro výpočetoboustranné nebo jednostranné derivace nehodí žádná ze zatím uvedených vět. Věta5.5.Je-li a R,je-li fspojitávjistém UaU + a, U aaje-lilimita f a±f a+, f a rovna A R,eistujeiderivace f af + a, f aa rovnáse A. Zprávěuvedenévětyihnedplyne,ženapř. 9 arcsin + =arcsin =+, arccos + =arccos =. Příklad5.4.Prokaždé,0 0, nechťje 0 f:= arccos + lg +. Funkcearccosa jsoudiferencovatelnévkaždémbodě,, zlomekvlogaritmujekladný,je-linavíc 0,funkcelgjediferencovatelnávR +. Je-litedy0 < <,jsousplněnyvšechnypředpokladyv.5.4ajeproto f = arccos + + +. Přidiferencováníprvníhozlomkuv0jsmedalipřednostvětěV.5. před větou V. 5. 3; logaritmus zlomku na pravé straně jsme před diferencováním rozložili na rozdíl logaritmu čitatele a jmenovatele, což je možné, protože jak čitatel, tak i jmenovatel jsou kladné funkce. Protože výraz ve druhé řádce je roven /,dokázalijsmezatím,že f = arccos, je-li 0 < <. Oboustranné derivace funkce f v bodech ± neeistují např. proto, že definiční obor funkce f neobsahuje žádné oboustranné okolí žádného z těchto bodů; zbývá všakrozhodnout,zdalieistujíjednostrannéderivace f + af +.Jakjsme jižřekli,větu5.4nelzeaplikovat. Mohlibychomsesicepokusitpostupovatpodle definice,aledalekojednoduššíjeaplikovatv.5.5;tojemožné,protože Nejenproto,žeoboustrannéderivacenejsoukdispozici,aležejednostrannéderivacefunkcí arccosa jsouvbodech ±nekonečné.znemožnostiaplikovatvětu5.4samozřejmě neplyne, že uvedené derivace neeistují. 5
funkce fjespojitájakv,0,takiv0, ; eistují limity lim + f = π, lim f =0. ZV.5.5protoplyne,že f + = π, f =0. Je-lifunkce f dánanějakým vzorcem,budemejivyšetřovatvmaimálních intervalech,vnichžmá vzorec smysl.sjednocenívšechtěchtointervalůbudeme považovatzadefiničníoborfunkce f;označímejej Df.Vdalšímbudemeřešit úlohy, které krátce nazveme vyšetření spojitosti a derivace dané funkce. Úloha se standardně bude skládat z těchto částí: Nalezenídefiničníhooboru Dffunkce f. Nalezení všech maimálních intervalů, v nichž je f spojitá. Nalezení všech bodů Df,vnichž fneníspojitáoboustranně,zprava,zleva.nalezeníoboustrannýchresp.jednostrannýchlimitfunkce fvbodech Df,vnichž fnení spojitá a v nichž tyto limity eistují. 3 Nalezeníoboustranné resp. jednostranné derivace funkce f ve všech bodech, kde eistuje. Protožezeistencekonečnéderivace f f +, f funkce f plynejejí spojitostzprava, zleva, není nutné o ní v takových bodech eplicite mluvit; spojitost je však důležitá v bodech, v nichž konečná derivace neeistuje. Podobně není nutné mluvit o jednostranných derivacích v bodech, v nichž eistuje derivace oboustranná. Budeme říkat, že funkce f je spojitá ve svém definičním oboru, je-li spojitá v každém maimálním intervalu, z nichž se skládá její definiční obor. Při vyšetřování spojitosti bychom se jen stěží obešli bez znalosti těchto tvrzení: Věta5.6..Jsou-lifunkce f, gspojitéoboustranně,zprava,zlevavbodě a, platítotéžofunkcích f, f ±g, fg,atakéofunkci f/g,pokudje ga 0..Jsou-lifunkce f, gspojitévintervalu I R,platítotéžofunkcích f, f ±g, fg,atakéofunkci f/g,pokudje g 0všudevI. Věta5.7..Je-lifunkce fspojitávbodě aafunkce gvbodě fa,jesuperpozice g fspojitávbodě a..je-lifunkcefspojitávintervaluiafunkcegvnějakémintervalujobsahujícím fi,jesuperpozice g fspojitávi. Poznámka 5.. V některých případech lze při vyšetřování spojitosti a derivace využít specifických vlastností dané funkce, jako je sudost, lichost nebo periodicita. Přestože předpokládáme, že tyto tři pojmy jsou čtenáři dobře známy, připomeneme jejich přesné definice: Splňuje-limnožina M Rpodmínku M M,říkáme,žefunkce f definovanávmjesudáresp.lichá,platí-liprokaždé Mrovnostf =f resp. f = f. 53
Je-lip R + asplňuje-limnožinam Rpodmínku M ±p M,říkáme, žefunkce fdefinovanávm je p-periodickánebožemáperiodu p,platí-lipro každé Mrovnost f±p=f. Při počítání derivací nám část práce mohou ušetřit tato tři tvrzení: Věta5.8.Sudánebolicháfunkce f: M Rjevbodě a Mspojitázprava zleva, právě když je spojitá v bodě a zlevazprava. Důsledek.Sudánebolicháfunkce f: M Rjespojitávbodě a M,právě kdyžjespojitávbodě a. Věta5.9.Je-li f: M Rsudálicháfunkceaje-li a M,je f + a= f a f +a=f a,má-lijednastranarovnostismysl. Důsledek.Je-lisudálicháfunkcef: M RdiferencovatelnávM,je f funkce lichásudá. Věta5.0.Nechť p R + anechť f: M Rje p-periodickáfunkce;pakplatí tato dvě tvrzení:.je-li fspojitávbodě a Mzlevazprava,oboustranně,platítotéžvkaždém bodě a+np,kde n Z..Prokaždé a Makaždé n Zje f +a=f +a+np, f a=f a+np, f a=f a+np,má-lijednastranapříslušnérovnostismysl. Příklad 5.5. Funkce 3 f:= 3 sin jespojitávcelém R,aleV.5.4 lzeaplikovatjenvbodech 0mod π,protože Id /3 0=+ av.5.4předpokládádiferencovatelnost.protože 4 f = cos 3 3 sin provšechna / {nπ; n Z}, protoželim nπ cos =cosnπ = n aprotože 3 sin konvergujek0pro nπajekladnávšudekroměbodů nπ,jepodlev.5.5 { } { } + sudá 5 f nπ= lim nπ f = pro všechna n. lichá Příklad5.6.Jednostrannéderivace π-periodickéfunkce f:= 3 sin lze vbodě0počítatpřímozdefinice: f +0= lim 0+ 3 sin =+, f 0= lim 0 3 sin = ; podlev.5.0jevdůsledkutoho f + nπ=+, f nπ= prokaždé n Z. Příklad 5.7. Funkce 6 f:=lg 54
jespojitáasudávesvémdefiničnímoboru,,+ ;snadnozjistíme, žeje lg = v,+ aže f + =f +=.PodleV.5.9jejejíderivacelichá,tedyrovná/ v,,anavícje f =+. Příklad 5.8. Funkce 7 f:= coslg sinlg jespojitávesvémdefiničnímoboru R +.Protožeabsolutníhodnotaidentitynemá derivacivpočátku,nelzev.5.4aplikovatvžádnémbodě R +,vněmžjebuď coslg=0,nebosinlg=0,tedyvžádnémbodě a n :=epnπ/,kde n Z. Není-li R + rovnožádnémuzčísel a n,je 8 f = coslg sinlg sgncoslg sinlg +sgnsinlg coslg =sgncoslgcoslg sinlg sgnsinlgcoslg+sinlg. Vzhledemkπ-periodicitěfunkcí cos, sin platíidentity 9 fe ±π = coslge ±π sinlge ±π = coslg±π sinlg±π = coslg sinlg =f provšechna R +.Zrovnosti a n± = a n e ±π kde n Zsnadnoplyneplatnost identity 0 f a n± =f a n resp. f a n± +=f a n + zapředpokladu,žejednajejístranamásmysl.podlev.5.5 jsoutatočíslarovna f a nresp. f + a n.zřejměprotostačívypočítatlimity f a 0, f a 0 +, f a, f a +,pokudovšemeistují;je-litomutak,jsoupořaděrovny f a 0, f + a 0, f a, f +a aobecnějitakérovny f a n, f +a n, f a n+, f +a n+ pro každé n Z.Tímbudenašeúlohaúplněvyřešena. Protožejesgncoslg=,sgnsinlg= va,a 0,jevtomtointervalu f =coslgpodle4,avdůsledkutoho f a 0 =coslg=. Podobnězjistíme,že f = sinlgva 0,a,takže f a 0 +=0, f a =,aže f = coslgva,a,takže f a +=0. Tímjedokázáno,žeprokaždé n Zplatírovnosti f a n=, f + a n=0, f a n+=, f + a n+=0. 55
Pro výpočet derivací vyšších řádů součinu dvou funkcí lze velmi často užít toto tvrzenípřipomínající binomickou větu: Věta5..Leibnizůvvzorec.Eistují-likonečné n-téderivacef n, g n funkcí f, gvbodě a R,jevtomtobodě n n fg n = f k k g n k. 3 Příklad5.9.Je-li λ R,0 µ R, n N,platíprokaždé Rrovnosti λ e µ n n n = λ k e µ n k k = e µ n = e µ n n k λλ λ k+ λ k µ n k n λ k! k k λ k µ n k. Připomeňmektomu,žetzv.binomickékoeficientyjsouprokaždé λ Rdefinovány vzorcem λ λλ λ k+ pro k N 4 := k! k pro ; všimněmesipřitom,žeprokaždéceléčíslo λ 0aprokaždé k > λjebinomický koeficient4 rovný 0. Příklad5.0.Prokaždé Rje 3 sin 9 = 9 9 k 3 k sin 9 k = 3 9 k 3 k sin 9 k = 3 cos+9 3 sin 36 6 cos 84 6 sin = 6cos+93 56sin. Příklad5..Indukcísesnadnodokáže,žeprokaždé n Nje 5 lg n = n n! n prokaždé R +. Ztohoihnedplyne,žeprokaždé R + jenapř. lg 7 7 7 = 0 lg 7 + 7 lg 6 + lg 5 = 66! 7+7 55! 6+ 44! 5=48 5. 56
Cvičení Zapředpokladu,že a R +, b R +, < α < β <+,vyšetřetespojitosta derivacitěchtofunkcí: 3 5.0. lg+ + 5.0. lg 5.03. + 5.04. 5.05. + + 3 5.06. + 3 5.07. 3 + 3 5.08. lg +lglg 5.09. cotgarcsin 5.0. sin 3 5.. arctgtg 5.. 3 + 5.3. 5.4. + 3 5.5. arctg + 3 + 3 5.6. 5.7. arccos 5.8. arccotg sin+cos sin cos 5.9. argcoshlg 5.0. arcsinlg 3 5.. arccoslg 5.. arcsin 5.3. arcsin 5.4. lgarcsin 5.5. lg arccos a b a b 5.6. b a 5.7. arctg 5.8. lg+ sin 5.9. arcsinsin 5.30. arctge 5.3. 3 cos 5.3. 3 lg 5.33. arccos cos 5.34. 5.35. / 5.36. lg 3 Uněkolikapříkladůmůžebýtvýpočetjednostrannýchderivacívkrajníchbodechpříslušných intervalů dost obtížný, smíme-li užít jen dosud vyslovené věty. Čtenář, kterému jde jen o zvládnutí základních postupů, může proto tuto část úkolu vynechat; čtenář, kterému by vadilo, že příklad nedovede rozřešit v plném rozsahu, může zkusit vrátit se k řešení, až se seznámí s obsahem kapitoly 6, v níž jsou vyloženy méně elementární metody výpočtu limit. 57
5.37. lg 5.38. 5.39. lg lg 5.40. arctg arccos 5.4. sin cos 5.4. e arcsin 5.43. lg + lg sin 5.44. lg +sin e + sin cos 5.45. argcosh e 5.46. 5.47. lglge + +e 5.48. arctg lg arcsin 5.49. +lg + e 5.5. arctge lg e + 5.53. a aarccos a 5.55. arcsin + 5.50. lg ++ + 5.5. argsinh lg 3 +a 5.54. lg +a +arctg a 5.56. arccos 5.57. lg+sin sinarctgsin 5.58. arctg lg + arctg 5.59. arcsin + arcsin 5.60. 5.6. 5.6. lg + lg + + + 3arctg lg 3 + αβ +β αarctg α β V bodech uvedených v závorkách vypočítejte n- té derivace těchto funkcí: 5.63. n e α, kde α R R 5.64. e sin =0 5.65., 5.66. sincos R 5.67. lg + =0 5.68. + 0 58
5.69. Nechť { } ep / pro 0 6 f:=. 0 pro =0 Dokažteindukcí,žeeistujípolynomy a n tak,žerovnost 7 f n =a n ep platíprovšechna n Navšechna 0;pakdokažte,že f n 0=0provšechna n N.Rada.Substitucí =±/ tpřeveďtelimitupro 0±pravéstrany7 nalim t + a n ± tep t;podle6zkapitoly4jetatolimitarovnanule. Dodefinujeme-litedyfunkci7vbodě0nulou,budespojitávcelém Rastačí aplikovatv.5.5. 5.70. Zjistěte,prokterá n Nmáfunkce n sin pro 0 8 f:= 0 pro =0 vbodě0derivaciprvníhoresp.druhéhořáduaprokterá n Njeprvníresp.druhá derivace v bodě 0 spojitá. Řešení Funkcezpříkladů5.0 5.70značímevtomtoseznamuřešení f.všechnyjsou spojité ve svém definičním oboru; tuto informaci u jednotlivých příkladů již neuvádíme. 4 5.0. Df= R; f = + v R 5.0. Df=,+ ; f = v,+ ; f + = 5.03. Df= 0,+ ; f = 5.04. Df=,+ ; f = + 4 + v R +; f +0=+ 4 v,+ ; f + =+ 5.05. Df= 0,+ ; f =+ + 3 3 v R +; f +0=+ 4 Vkapitole7budemevyšetřovatifunkce,kterévněkterýchbodechspojiténejsou. 59
5.06. Df= 0,+ ; f =+ 3 3 v R +; f +0= 5.07. Df= R; f + = 3 3, je-li 3 ; + 3 f 3=, f =+ 5.08. Df=,+ ; f = lg + lg v Df 5.09. Df=,0 0, ; f =, je-li 0 < <; f + =f = 5.0. Df= R; f =3sgnsinsin cos v R. Pozor! V.5.4nelzeaplikovat, je-li 0 mod π,aleuvedený výsledekjepodlev.5.5správnýivtěchtobodech. 5.. Df=R { n+π; n Z}; f = sin sin 4 +cos 4 v Df 5.. Df= R; f = sgn, je-li ; f =f =, f + =f +=+ 5.3. Df=,,+ ; f = 3 je-li ; f =, f + =+ sgn /+ + 3, 5.4. Df=,3 3,+ ; f 5 = 3 3 + 3, 4 je-li 3; f = 5.5. Df=,,+ ; f =, je-li + 5.6. Df=,,,+ ; f = = +6 3 3 3 + 3 4, je-li ± ; f =+ 5.7. Df=,,+ ; f =, je-li >; f =f + =+ 60
5.8. Df=R {n+ 4 π; n Z}; f vdf 5.9. Df= e,+ ; f = 5.0. Df= /e,e ; f = f + /e=f e=+ lg ve,+ ; f + e=+ 3lg lg 6 v/e,e; 5.. Df= e, /e ; f =, lg je-li e < < /e; f + e=f /e=+ 5.. Df=, ; f = sgn, je-li 0 < <; f + =, f ± 0=±, f =+ 5.3. Df=, ; f = sgn, je-li < a 0 ±; f ± =, f ± =f ±=±, f ±0= 5.4. Df=,, ; f = sgn arcsin, je-li,, ; f + =, f =+ 5.5. Df=,+ ; f = arccos/ v Df 5.6. Df= R + ; f =f lg a b + b a v Df 5.7. Df=R {± }; f = sgn 4 4 +5 5.8. Df=R; f = sgnsincos + sin f ± nπ=±provšechna n Z v Df, je-li 0 mod π; 5.9. Df=R; f =sgncos, je-li π mod π; f ± 4n π = f 4n+π = ±provšechna n Z 5.30. Df= 0,+ ; f = je-li R + ; f + 0=+ e arctge e e +, 6
5.3. Df= R; f = sin 3 3 cos, je-li {±a n; n N}, kde a n := + n π; f ±a n =, f ±a n =± 5.3. Df= R R + ; f = f ± e=f ±e=± 5.33. Df= 3 3 lg, je-li0 ±e; 4n π, 4n+π ; f = cos sin cos 4, n Z je-li 4n π, 4n+π; f + 4n π=+, n Z f 4n+π= 5.34. Df= 0,+ ; f = lg+vr + ; f + 0= 5.35. Df= R + ; f = / lg v Df 5.36. Df= R + ; f = lg lg v Df 5.37. Df=,+ ; f =lg lglglg+ v,+ ; f += 5.38. Df= 0,+ ; f = lglg++ v R + ; f + 0= 5.39. Df=,+ ; f lg =lg lglg+ ; f += 5.40. Df= 0, ; f arccos =f + arctg lgarctg, je-li 0,; f +0=0, f =+ 5.4. Df= nπ,n+π; f =f cos sin lgsin sin n Z v Df {nπ; n Z}; f +nπ= lge 5.4. Df= 0, ;f =f + e e arcsin v 0,; f +0=, f =+ 5.43. Df=0,; f = lg + v Df lg lg f + lg lg + 6
5.44. Df= R { n+π; n Z}; f = cos v Df 5.45. Df= R + ; f = sinh v Df 5.46. Df= R; f = sin cos sin cos, je-li 4 π modπ; f ± n+ 4 = ±/ 4. =0.84provšechna n Z 5.47. Df= R; f = 5.48. Df=,+ ; f = e +e lge + +e v R lg 3 v Df 5.49. Df=,; f = arcsin 3 v Df 5.50. Df= 0,+ ; f = 5.5. Df= R; f = e e + v Df + v R +; f + 0=+ 5.5. Df=R {±3}; f= 3 sgnlg 3, +lg 3 je-li Df {±, ±}; f ± =f ± =±4, f ± =f ± =± a 5.53. Df= a,a ; f = a+ v a,a; f + a=+, f a=0 5.54. Df= a,+ ; f = 5.55. Df= R; f = + v Df a a+a + v Df 5.56. Df=,,+ ; f = arccos, je-li >; f =, f + =0 5.57. Df= R; f = arctgsincos v R 5.58. Df= R; f = + arctg v R 63
5.59. Df=, ; f =arcsin v,; f + =f = 4 π 5.60. Df= R + ; f = lg + 3 v Df 5.6. Df=,+ ; f = 3 3 + v Df β 5.6. Df= α,β; f = α vα,β; f +α=+ n n n! 5.63. e α k k! αk k 5.64. 5.65. N k n, kde N= k+ n!! n+ { n prokaždéliché n } n prokaždésudé n 5.66. n g, kde g jerovno sin,cos, sin, cos podletoho,zdalije n, n, n, n 3dělitelnéčíslem 4 { } n!prokaždéliché n 5.67. f n 0= 0 prokaždésudé n 5.68. n n! n+ + n+ 5.70. n f 0eistuje; n 3 f jespojitávbodě0; n 4 f 0eistuje; n 5 f jespojitávbodě0 64