Matematické metody rozhodování

Transkript

1 Mateatcké etody rozhodování Lteratra: [] J. Fotr, M. Píšek: Eaktní etody ekonockého rozhodování. Acadea, Praha 986. [2] J. Fotr, J. Dědna: Manažerské rozhodování. Skrpta VŠE, Praha 993. [3] R. Hšek, M. Maňas: Mateatcké odely v ekono. SNTL, Praha 989. [4] J. Talašová: Fzzy etody vícekrterálního hodnocení a rozhodování. VUP Olooc, [5] akákolv čebnce lneární algebry nebo něaký úvod do ateatky na VŠ (atce, deternanty, vlastní čísla a vlastní vektory atc, relace, rozklad nožny).. Mateatcký úvod Matce, typ atce, čtvercová atce, řádkový a slopcový vektor, ednotková atce. Operace s atce sčítání, násobení atce reálný čísle, lneární kobnace atc, násobení atc. Deternant, výpočet deternantů 2., 3. a 4. řád (Sarrssovo pravdlo, Laplaceův rozvo). Vlastní čísla a vlastní vektory atc, věta o výpočt vlastních vektorů atce. Kartézský sočn nožn, relace, vlastnost relací (reflevní, syetrcká, tranztvní, úplná, antsyetrcká, spořádání, kvazspořádání, ekvvalence). Rozklad nožny podle relace ekvvalence na třídy navzáe ekvvalentních prvků. Kartézský sočn nožn, relace, rozklad nožny Nechť S,T so dvě nožny. Poto ech kartézský sočne rozíe nožn všech spořádaných dvoc prvků z nožn S a T. S T = { (s,t) ; s S a t T } Poe kartézského sočn ůžee rozšířt na n lbovolných nožn S,, Sn: S Sn = { (s,, sn) ; s S, pro každé =,, n }. Specální případe kartézského sočn n nožn e n-tá kartézská ocnna nožny S S n = {(s,, sn) ; s S, pro každé =,, n}. Relace Jedno ze základních potřeb ateatky e srovnávání obektů, dávání vztah ez obekty a na základě daných vztahů a vlastností vzáené přřazování obektů. Proto e ední ze základních stavebních kaenů ateatky relace.

2 Nechť S,T so lbovolné nožny. Bnární relací z nožny S do nožny T rozíe lbovolno podnožn kartézského sočn nožn S a T. Je-l spořádaná dvoce (s, t) kartézského sočn S T prvke relace, poto zapsee (s, t) R nebo také srt. Jestlže R e relace z nožny S do nožny S, tedy R S S, poto hovoříe o bnární relac na nožně S. Relace R = a R = S T, které so nevlastní podnožna kartézského sočn S T, nazýváe prázdná relace a nverzální relace. Nechť R S T. Inverzní relací k relac R nazvee relac tvořeno vše spořádaný dvoce (t, s) nožn T, S takový, že spořádaná dvoce (s, t) náleží relac R. R- = { (t, s) T S ; (s, t) R}. Příklady relací:. Uvaže drho kartézsko ocnn nožny celých čísel Z. Poto nožna všech dvoc celých čísel (a, b), pro které platí, že a dělí b e relace na nožně Z. (Tto relac značíe a b.) 2. Nechť B e nožna všech bodů v rovně, P nožna všech příek v rovně. Poto nožna všech dvoc (b, p) B P, pro které platí, že bod b leží na příce p, e relace z B do P. 4. Nechť S e nožna všech občanů České repblky. Poto na této nožně občanů ůžee defnovat například následící relace: a) R2 e nožna všech spořádaných dvoc (, y) takových, že občan bydlí ve stené ěstě ako občan y. b) R3 e nožna všech spořádaných dvoc (, y) takových, že občané a y so sorozenc. Nyní s vedee ednotlvé vlastnost relací na nožně. Nechť R e bnární relace na nožně S. Poto tato relace se nazývá ) reflevní právě tehdy, když pro každé s S platí (s, s) R, ) syetrcká právě tehdy, když pro každé s, s2 S platí: estlže (s, s2) R, poto (s2, s) R, ) antsyetrcká právě tehdy, když pro každé s, s2 S platí: estlže (s, s2) R a zároveň (s2, s) R, poto s = s2, v) tranztvní právě tehdy, když pro každé s, s2, s3 S platí: estlže (s, s2) R a zároveň (s2, s3) R, poto (s, s3) R. v) úplná právě tehdy, když pro každé s, s2 S platí: (s, s2) R nebo (s2, s3) R Relace, která e reflevní, antsyetrcká a tranztvní, se nazývá částečné (lneární) spořádání. 2

3 Příklady: a) Relace neostré nerovnost "enší nebo rovno" na přrozených, celých, raconálních nebo reálných číslech e částečné spořádání. b) Nechť P(S) e systé všech neprázdných podnožn nožny S. Poto nožnová nklze e relací částečného spořádání na P(S). c) Relace dělení na celých číslech e částečný spořádání. Nechť S e nožna. Identcko relací nazvee relac R S S, která obsahe všechny dvoce prvků (s, s), s S a značíe d. Mez ednotlvý vlastnost relací este sposta vztahů: Nechť R e relace na nožně S.Poto tato relace e ) reflevní právě tehdy, když d R, ) syetrcká právě tehdy, když R-= R, ) antsyetrcká právě tehdy, když R- R = d, v) tranztvní právě tehdy, když Ro R = R. Bnární relac R na nožně S nazvee ekvvalence, e-l reflevní, syetrcká a tranztvní.. Rovnost = e relace ekvvalence. 2. Nechť n e přrozené číslo a nechť R e relace na nožně všech celých čísel defnována předpse (, y) R právě tehdy, když n (-y) pro každé, y Z. Poto říkáe, že prvek e kongrentní s prvke y odlo n, relac R značíe a nazýváe kongrence na celých číslech odlo n. Konkrétně například číslo 6 e kongrentní s čísle 0 odlo 2, zapsee 6 0 (od 2). Na následící důkaz toho, že relace kongrence e ekvvalence, s deonstree, ak obecně pracee s relace, ech vlastnost a ak vlastnost relací dokazee. Msíe dokázat, že relace kongrence odlo n N na Z e reflevní, syetrcká a tranztvní.. Nechť Z. Poto n - a odtd prvek e kongrentní sá se sebo odlo n, číž e splněna vlastnost reflevty. 2. Nechť, y Z. Nechť prvek e kongrentní prvk y odlo n. To e ekvvalentní to, že rozdíl prvků -y e děltelný n, ovše to platí právě tehdy, když číslo opačné -(-y) = y- e děltelné n. Toto e ovše ekvvalentní to, že prvek y e kongrentní prvk odlo n a tedy vlastnost syetre e splněna. 3. Nechť, y, z Z. Nechť prvek e kongrentní s prvke y odlo n a prvek y e kongrentní s prvke z odlo n. To e ekvvalentní to, že rozdíly prvků -y a y-z so děltelné n. Tedy ůžee psát = nk + y = nk + nl + z = n(k+l)+z, kde k,l Z a odtd n -z, číž e splněna vlastnost tranztvty. Díky vlastnost syetre zednodšeně říkáe, že prvky, y so kongrentní odlo n. 3

4 Důležtý type relace v teor vícekrterálního rozhodování e relace kvazspořádání: Bnární relace R na nožně S se nazývá kvazspořádání, e-l reflevní a tranztvní (někdy se defne ako tranztvní a úplná, reflevnost plyne z úplnost). Rozklade nožny S nazýváe každý systé eích podnožn, které so neprázdné, po dvo dsnktní a ech sednocení e celá nožna S. Ke každé relac ekvvalence R na nožně S este rozklad nožny S na třídy navzáe ekvvalentních prvků. Tento rozklad nazýváe rozklad příslšný ekvvalenc R a značíe R/S. Platí též obráceně, že ke každé rozklad nožny S na třídy este ekvvalence R na S taková, že e to rozklad příslšný k relac R. Např. relace kongrence odlo 2 na nožně celých čísel Z vytváří rozklad nožny Z na tříd sdých a tříd lchých čísel. 4

5 2. Rozhodování základní poy 2. Úloha rozhodování v anageent Rozhodování představe edn z nevýznaněších anažerských aktvt, někdy se chápe ako ádro řízení. Kvalta rozhodování ovlvňe výsledky efektvnost fngování organzací. Manažerské fnkce rozdělee na sekvenční a průběžné Sekvenční plánování, organzování, vedení, kontrolování (realzí se postpně) Průběžné analýza čnností, rozhodování, konkace Ze sekvenčních anažerských fnkcí se rozhodování nevýrazně platňe v plánování. 2.2 Stránky rozhodovacího proces, teore rozhodování Rozhodovací procesy probíhaící na různých úrovních řízení aí dvě stránky věcno (ertorní) a procedrální (forálně logcko). Mertorní stránka odráží odlšnost rozhodovacích procesů v závslost na obsahové nápln dané věc. Procedrální stránka znaená rčté společné rysy rozhodovacích probléů, ech rácový postp (procedr) řešení právě tato stránka rozhodovacích procesů e předěte teore rozhodování. V průběh hstorckého vývoe došlo ke koncpování různých teorí rozhodování teore tlty (žtk) stanove se celkové ohodnocení varant př větší počt krtérí teore socálně-psychologcké zaěřené na sbekt a eho chování teore kvanttatvně orentované založené na aplkac ateatckých odelů teore noratvního charakter poskytí návod, ak řešt rozhodovací probléy teore deskrptvního charakter popsí ž proběhlé rozhodovací procesy 2.3 Rozhodovací proces, rozhodovací problé Rozhodovací proces proces řešení rozhodovacího problé. Základní atrbte rozhodování e proces volby poszování ednotlvých varant a výběr optální varanty. Problé e vyezen estencí dference (odchylky) ez žádocí stave (standarde, noro, pláne) a sktečný stave. Tato dference sí být přrozeně nežádocí (sktečný stav e horší než stav žádocí). Probléy lze rozdělt na reálné (ž estící oho být nebezpečné, nebdo-l se řešt) a potencální (oho vznknot v bdocn). Fáze rozhodovacích procesů dentfkace problé, analýza a forlace, stanovení krtérí hodnocení varant, podle kterých se bdo varanty poszovat tvorba sobor varant, 5

6 stanovení důsledků varant (dopadů, účnků ednotlvých varant z hledska zvolených krtérí), hodnocení důsledků varant a výběr optální varanty (příp. preferenční spořádání varant), realzace zvolené varanty (praktcká pleentace rozhodntí), kontrola výsledků realzované varanty, nápravná (korekční) opatření. Cíle rozhodování (řešení rozhodovacího problé) chápee rčtý stav fry, kterého se á řešení problé dosáhnot. Cíle se vyadří nečastě číselně (např. rentablta kaptál, výše podíl na trh atd.) nebo slovní popse (zlepšení pracovních podínek, zlepšení age fry atd.). Krtéra hodnocení představí hledska zvolená rozhodovatele složící k posození výhodnost ednotlvých varant z hledska dosažení cílů. Rozeznáváe krtéra výnosového typ (vyšší hodnoty preferovány před nžší např. zsk) a krtéra nákladového typ (nžší hodnoty preferovány před vyšší např. náklady). Dále rozlšee krtéra kvanttatvní (hodnoty vyádřeny číselně) a kvaltatvní (ech důsledky vyádřeny slovně). Sbekte rozhodování (rozhodovatele) e ten, kdo rozhode. Může to být bď ednotlvec, nebo skpna ldí (orgán). Hovoříe o ndvdální a kolektvní sbekt rozhodování. V pra se rozlše eště stattární rozhodovatel (á pravooc k volbě varanty) a sktečný rozhodovatel (sktečně rozhode). Např. na nžší úrovn řízení se vybere něaká varanta a vyšší úroveň řízení en schválí, nebo zaítne. Klasfkace rozhodovacích probléů dobře a špatně strktrované probléy, prograovaná a neprograovaná rozhodntí. Dobře strktrované rozhodovací probléy aí rtnní postpy řešení, řeší se opakovaně na operatvní úrovn řízení, aí zpravdla edné kvanttatvní krtér hodnocení. Špatně strktrované rozhodovací probléy vyskytí se zpravdla na vyšších úrovních řízení, so do značné íry nové a neopakovatelné, vyžadí tvůrčí přístp, neestí pro ně standardní procedry řešení. Rozhodování za stoty rozhodovatel s stoto ví, co nastane, aké bdo důsledky varant. Rozhodování za rzka rozhodovatel zná ožné bdocí stace, které oho nastat, a sočasně zná ech pravděpodobnost Rozhodování za nestoty neso znáy pravděpodobnost bdocích stavů. (ternologe není v lteratře ednotná) Další typy rozhodovacích procesů statcké a dynacké podle toho, zda se v čase ění nebo neění nožna varant rozhodování ednokrterální a vícekrterální podle počt krtérí hodnocení strategcké, taktcké a operatvní podle řídící úrovně, na které procesy probíhaí 6

7 3. Vícekrterální rozhodování a hodnocení varant základní poy 3. Úloha vícekrterálního rozhodování Úloho vícekrterálního rozhodování (s konečno nožno varant) se rozí následící problé: Je dána nožna n varant, které so poszovány dle stanovených X,, 2, n hledsek (krtérí) z nožny. Úkole e vybrat z dané nožny varant X varant *, která e nelepší vzhlede ke krtérí z nožny K. K rčení optální varanty stačí, abycho byl schopn varanty z X na základě ech celkového posození vzhlede ke krtérí z K spořádat. Varanta zaíaící první ísto v toto spořádání e pak varanto optální. K K, * X, K2, K Mateatcká forlace problé: Na nožně varant defnee dílčích preferenčních relací (ke každé krtér edn relac) R, =, 2,,, předpse e podle K hodnocena steně nebo lépe než k, k,2, n: X,, 2, n R k Na základě dílčích preferenčních relací ůžee stanovt celkovo preferenční relac R na X:, k,2, n: R k e celkově hodnocena steně nebo lépe než k Optální varanto e pak varanta * X, pro ktero platí * R pro všechna,2, n Drhý ožný ateatcký přístp: Předpokládáe, že preference na nožně varant X vzhlede ednotlvý krtérí K, =, 2,,, so vyádřeny kvanttatvně, poocí dílčích hodnotících fnkcí : X R,, =, 2,, s vlastností, k,2, n: k R k a naší cíle e defnovat celkovo hodnotící fnkc s vlastností : X R, k,2, n: k R k 7

8 Fnkce, =, 2,,, a se nazývaí ordnální fnkce tlty. Optální varanto e pak varanta s nevyšší celkový hodnocení (tlto) * X * a,2, n Uspořádání varant, dané celkovo preferenční relací R, popř. ordnální fnkcí tlty, představe neednodšší typ hodnocení, hodnocení ordnální. Více nforace z hledska celkového posození varant představe kardnální hodnocení založené na kardnální fnkc tlty. V eho případě vedle spořádání varant získáe nforac o relatvních rozdílech v hodnocení varant z dané nožny X. 3.2 Krtéra hodnocení Krtér rozíe takové charakterstky varant, na základě kterých lze tyto varanty poszovat vzhlede k dané celkové cíl hodnocení. Požadavky na sobor krtérí: - úplnost celkový cíl hodnocení by ěl být beze zbytk vyádřen sobore krtérí - neredndance sobor bez nadbytečných krtérí - nálnost - ěřtelnost vždy e ožné forlovat hodnocení varant vzhlede k těto krtérí - asně defnovaný obsah Stro krtérí (stro dílčích cílů) e etoda napoáhaící vytvoření takového sobor krtérí: Nedříve so celkové cíl hodnocení přřazena značně abstraktní (obecná) krtéra, která se pak rozloží do konkrétněších krtérí. Tento postp se opake tak dloho, dokd se nedospěe k přío ěřtelný charakterstká varant. Uvedený způsobe vytvořená herarche krtérí e znázorněna grafe typ stro. Typy krtérí: - kvaltatvní vyadří kvalt rčté vlastnost, hodnoty zadány slovně - kvanttatvní vyadří kvantt rčté vlastnost, hodnoty zadány číselně - ordnální defní na nožně varant preferenční relac - kardnální ožňí kvanttatvní porovnávání rozdílů v hodnocení varant Není ožné ednodše ztotožňovat krtéra kvaltatvní a ordnální na straně edné a kvanttatvní a kardnální na straně drhé. Podrobně se bdee zabývat type preferenčních relací požívaných pro ordnální krtéra. Ordnální krtér e takové, které na nožně varant genere preferenční relac:, y X : R y e hodnocena steně nebo lépe než y 8

9 V teor vícekrterálního rozhodování obvykle předpokládáe, že preferenční relace á vlastnost kvazspořádání, t. de o relac tranztvní a úplno. (Z úplnost plyne také reflevnost). Na rozdíl od spořádání tak oho být různé prvky hodnoceny steně. Kvazspořádání R, představící neostro preferenční relac, lze přřadt další dvě relace: relac ostré preference (P) a relac ndference (I) varant: P y I y R y R y non y R y R Kvazspořádání proto také někdy zapsee ako R = (P, I). Z defnc relací P a I e zřeé, že platí R P I, P I Z význa relace R a defnce relací P a I dále plyne, y X :, y X : P y I y e hodnocena lépe než y e hodnocena steně ako y Věta: Nechť e dáno kvazspořádání R na X. Pak pro relace P a I odvozené z R výše vedený způsobe platí:. nastává právě edna z ožností (trchotoe):, y X P y, y P, nebo I y 2. I e relace ekvvalence (reflevní, syetrcká, tranztvní). 3. P e tranztvní relace. 4. Pro relace P a I so splněny podínky tzv. síšené tranztvty:, y, z X : P y y I z P z, I y y P z P z Naopak, so-l na X defnovány relace P a I splňící podínky -4, pak relace kvazspořádání. R P I e Věta (o strktře kvazspořádané nožny) Nechť e dáno kvazspořádání R = (P, I) na X. Defne relac R * na rozklad X/I nožny X podle ekvvalence I následící způsobe: * X, X X / I : X R X X, y X : R y Pak R * e lneární spořádání. Je-l naopak dán rozklad nožny X na sostav dsnktních podnožn X, A, t. X A X, X X pro, A,, 9

10 a lneární spořádání R * na toto rozklad, pak relace R defnovaná na X vztahe, y X : R y X, y X, X R * X e kvazspořádání. Každé kvazspořádání R lze tedy ekvvalentně vyádřt poocí lneárního spořádání R * eho tříd ndference. Další věty vádí do vzáeného vztah relac kvazspořádání a ordnální fnkcí tlty. Věta: Nechť R e kvazspořádání na nožně tlty, t. fnkce s vlastností : X R X,, 2, n. Pak este ordnální fnkce k, k,2, n : k R Věta: Nechť e dána lbovolná fnkce : X R. Pak relace R defnovaná vztahe, y X : R y y e kvazspořádání. Poznáka: Pro vztah ez kvazspořádání R = (P, I) a e odpovídaící ordnální fnkcí tlty platí: P y I y y y 3.3 Norování dílčích hodnocení, nezávslost krtérí V případě kvanttatvního krtéra s rostocí preferencí (t. krtéra, ehož vyšší hodnota e preferována před nžší) defní eho hodnoty na važované nožně varant ordnální fnkc tlty. Protože v dále popsovaných etodách vícekrterálního hodnocení e celkové hodnocení počítáno ako vážený průěr hodnocení dílčích, e vhodné, aby tato dílčí hodnocení byla norována. Proto v případě daného kvanttatvního krtéra s rostocí preferencí bdee eho hodnoty lneárně transforovat z původního nterval 0,, kde 0 e neenší (a tedy nehorší) hodnota této charakterstky dosažená na dané nožně varant X, na nterval 0,, představící ednotno hodnotící škál s rostocí preferencí, podle vzorce 0

11 y 0 0 Tto transforační fnkc lze pak považovat za norovano ordnální fnkc tlty odpovídaící dané kvanttatvní krtér. Defnce nezávslost krtérí Nechť celkové hledsko hodnocení varant e vyádřeno nožno krtérí. Nechť těto krtérí so přřazeny ordnální fnkce tlty K K,,, 2,, K2, K a celkové hodnocení varant e vyádřeno ordnální fnkcí tlty. Pak řeknee, že krtér K popsané ordnální fnkcí tlty, na krtérích ostatních, estlže pro lbovolné dvě varanty a y, pro které platí,2, y, y b, pro,2,,,, e nezávslé nezávsí ech výsledné hodnocení (t. pořadí dané celkovo ordnální fnkcí tlty ) na pevně zvolených hodnotách b. Krtéra K, K 2,, K nazýváe nezávslá, e-l každé z těchto krtérí nezávslé na ostatních. Příklad Hodnotíe kalklačky. Krtéra so cena, velkost tlačítek a velkost dsplee. Nechť pro 2 konkrétní kalklačky, y platí, že ech cena e různá, ale velkost tlačítek dsplee so stené. Pak cena e nezávslá na ostatních krtérích, estlže výsledné hodnocení kalklaček nezávsí na pevně zvolených hodnotách velkostí dsplee a tlačítek. 4. Váhy krtérí Váha krtérí K, K 2,, K rozíe nezáporná reálná čísla v, v 2,, v, která vyadří rozdílno význanost ednotlvých krtérí vzhlede k celkové hodnocení varant. Většna etod vícekrterálního hodnocení prace s norovaný váha, pro které platí v Máe-l stanoveny nenorované váhy z nch vypočtee podle vzorce v w, w 0,,2,,, w k w k pak norované váhy v

12 Váhy bývaí v lteratře zabývaící se vícekrterální rozhodování vyezeny po ateatcké stránce en vel obecně ako nezáporná reálná čísla, která v případě norovaných vah dávaí sočet edna, přčež základní vlastností, ktero nožna vah sí splňovat vzhlede k preferencí na nožně krtérí, e:,2,, v vk K, k : e význaněší nebo steně význané ako K k. Je zřeé, že k rčení vah krtérí, které by respektovaly tento požadavek, stačí defnovat kvazspořádání na nožně krtérí. Takto defnované váhy však představí poze ordnální nforac o preferencích v nožně krtérí. Metody stanovení vah: Metoda párového srovnávání krtérí Metfesselova alokace (poocí stro krtérí) Saatyho etoda (atce ntenzt preferencí S) 4. Metoda párového srovnávání krtérí Př požtí této etody so váhy krtérí odvozeny z preferenční relace epertně defnované pro dano nožn krtérí. Pokd nepředpokládáe ožnost steně hodnocených krtérí, vycházíe z ncdenční atce relace ostré preference P defnované na nožně krtérí K, pro eíž prvky platí p,k e - l - tékrtér význaněvší než k - té, 0 není - l to tak Význanost -tého krtéra, eho nenorovaná váha w, e pak odvozena z počt krtérí, před který e dané krtér preferováno, a vypočtena ze vzorce w p k, k Přpočtená každé váhy zabraňe to, aby neéně význané krtér dostalo nlovo váh. Výpočet norovaných vah v se pak provádí standardně podle výše vedeného vzorce. Příklad Incdenční atce relace ostré preference pro 4 krtéra: K K 2 K 3 K 4 K K

13 K 3 0 K Nenorované váhy: w =, w 2 = 3, w 3 = 4, w 4 = 2 Norované váhy: v = 0,, v 2 = 0,3, v 3 = 0,4, v 4 = 0,2 4.2 Metfesselova alokace (poocí stro krtérí) Tato etoda e založena na yšlence seskpení krtérí daného sobor do dílčích skpn podle příbznost ech věcné náplně. Váhy krtérí se rčí následící postpe: a) neprve se stanoví váhy ednotlvých skpn krtérí tyto váhy so norovány (sočet vah skpn krtérí e roven edné) b) dále se stanoví váhy každého krtéra v ednotlvých skpnách tyto váhy so opět norovány (sočet vah v rác každé skpny krtérí e roven edné) c) výsledné váhy krtérí se vždy stanoví vynásobení váhy krtéra v eho skpně váho této skpny krtérí Norování vah skpn a vah krtérí v rác skpny zabezpeče, že výsledné váhy krtérí so opět norovány. 4.3 Saatyho etoda stanovení vah (atce ntenzt preferencí S) Saatyho etoda se lší od etody párového srovnávání v to, že př eí požtí e ísto atce preferencí P zadávána atce ntenzt preferencí S. Jeí prvky s,k vždy představí epertně stanoveno relatvní význanost -tého krtéra vzhlede ke k-té (t. vyadří, kolkrát e -té krtér význaněší než k-té). Př zadávání těchto hodnot vyžívá epert základní pětbodové stpnce ntenzt preferencí, opatřené azykový popsy: s,k so - l obě krtéra steně význaná, 3 e - l - tékrtér slabě význaněvší než k - té, 5 e - l - tékrtér dost význaněvší než k - té, 7 e - l - tékrtér prokazatelně význaněvší než k - té, 9 e - l - tékrtér absoltně význaněvší než k - té. Pokd e naopak -té krtér éně význané než k-té, pak s, k (*) s k, 3

14 Věta (Perron-Frobenova) Matce S s dano vlastností (*) á aální reálné vlastní číslo a > 0 a odpovídaící vlastní vektor w á všechny složky kladné. Lze kázat, že pokd bde epert ve svých hodnoceních preferencí dostatečně konzstentní, pak složky norovaného vlastního vektor atce S odpovídaícího eí aální vlastní čísl a lze považovat za norované váhy važovaných krtérí. Jednodšší aproac vah krtérí získáe výpočte geoetrckých průěrů čísel v řádcích Saatyho atce a ech následný norování. 5. Metody vícekrterálního hodnocení varant - úvod Př hodnocení varant rozhodovacího problé podle různých hledsek (krtérí) e přrozené vypočítat celkové hodnocení (tlt, žtek) varant ako průěr hodnocení dílčích, která sí být rčtý způsobe standardzována, aby byla sčtatelná. Maí-l ednotlvá hledska hodnocení rozdílno důležtost, pak artetcký průěr e nahrazen průěre vážený (resp. vážený sočte). Vícekrterální fnkce tlty za stoty (fnkce žtk, žtková fnkce, preferenční fnkce) ozn. přřaze každé varantě rozhodování tlt (žtek, ohodnocení, hodnot) vyádřeno reálný čísle. Čí e toto číslo větší, tí více rozhodovatel dano varant rozhodování prefere. Konstrkce vícekrterální fnkce tlty za stoty e v obecné případě obtížná, proto se v pra nečastě prace s adtvní tvare této fnkce, který lze vyádřt následící forlí. Společná forle pro všechny ednodché etody vícekrterálního hodnocení: kde pro, 2,, v v v - nezáporná nenorovaná váha krtéra : K, v 2 2 v - dílčí hodnocení varanty vzhlede ke krtér K (hodnota dílčí fnkce tlty ordnálního nebo kardnálního charakter), 4

15 - celkové hodnocení dané varanty vzhlede k celé sobor krtérí. Jednotlvé etody se odlší způsobe stanovení vah krtérí a způsobe rčení dílčích hodnocení. Vlastnost dílčích fnkcí tlty Dílčí fnkce tlty vyadří zěn ohodnocení (přínos pro rozhodovatele) v závslost na zěnách hodnoty daného krtéra hodnocení (zěnách důsledků varant vzhlede k toto krtér). Pro krtéra výnosového typ (krtéra s rostocí preferencí) e odpovídaící dílčí fnkce tlty vždy rostocí, přčež ůže být konvení, konkávní nebo lneární. Konkávní rostocí dílčí fnkce tlty odpovídá stac, kdy rozhodovatel cení stené přírůstky hodnot daného krtéra stále éně (přírůstky dílčí tlty pro steně velké přírůstky daného krtéra klesaí). Konvení rostocí dílčí fnkce tlty zobraze naopak stac, kdy stené přírůstky hodnot daného krtéra znaenaí pro rozhodovatele stále větší přínos (přírůstky dílčí tlty pro steně velké přírůstky daného krtéra rosto). Pro krtéra nákladového typ (krtéra s klesaící preferencí) e odpovídaící dílčí fnkce tlty vždy klesaící, a to konkávní (konvení) v případě, že rozhodovatel cení stené poklesy hodnot daného krtéra stále více (éně). V pra so dílčí fnkce tlty často lneární. V toto případě znaenaí pro rozhodovatele stené přírůstky ( rostocí dílčí fnkce tlty), resp. stené poklesy ( klesaící dílčí fnkce tlty) hodnot daného krtéra vždy stený přínos. Defnční obore dílčích fnkcí tlty so ntervaly hodnot ednotlvých krtérí. Dílčí fnkce tlty e zvyke norovat tak, že nabývaí hodnot z nterval ez 0 a. Pro nehorší hodnot daného krtéra nabývá dílčí fnkce tlty hodnot 0 a pro nelepší hodnot krtéra nabývá hodnoty. 6. Jednodché etody vícekrterálního hodnocení varant (stanovení hodnoty, tlty varant) Následící etody lze požít poze v případě, že krtéra K so nezávslá. 6. Metoda bazcké varanty e rčena pro kvanttatvní krtéra s rostocí nebo klesaící preferencí celkové hodnocení varanty popsané vektore (, 2,, ) naěřených hodnot krtérí K, K 2,, K e př požtí této etody dáno forlí 5

16 v, v, v 0,,2,, kde váhy v oho být stanoveny lbovolno z etod (např. Metfesselova alokace, Saatyho etoda) -té dílčí hodnocení e dáno vztahe v případě krtéra s rostocí preferencí (výnosového typ) a b b v případě krtéra s klesaící preferencí (nákladového typ) b b b vektor,, 2, představe tzv. bazcko varant bazcká varanta e volena ako vektor nelepších nebo přede zvolených (požadovaných) hodnot krtérí na dané sobor etoda e tedy založena na stanovení dílčích ohodnocení varant vzhlede k ednotlvý krtérí poocí porovnání hodnot důsledků varant vždy s hodnota bazcké varanty dílčí fnkce tlty (pro každé krtér ná) pro krtéra výnosového typ so lneární (příky), pro krtéra nákladového typ so to hyperboly tato etoda standardzace dílčích krtérí odstraňe vlv rozdílných ednotek ěření požtých pro ednotlvá krtéra PŘÍKLAD: hodnotíe sobor šest nvestčních varant áe 4 krtéra hodnocení: o rentablta kaptál (v %) o prodktvta práce (000 Kč/prac.) o energetcká náročnost (GJ/l. Kč prodkce) o klograová cena (USD/kg prodkce) všechna krtéra so kvaltatvní, navíc výnosového typ, en energetcká náročnost e nákladového typ některo z etod stanovíe váhy krtérí v, v 2, v 3, v 4 do tablky zapíšee hodnoty krtérí daného sobor varant Krt./Var. Váhy v V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 Baz. Rentablta 0, Prodktvta 0, En. náročnost 0, Cena 0,

17 neprve prověříe, zda v sobor varant neeste tzv. donovaná varanta, což e taková (ůže ch být více) varanta, k níž este ná varanta, která e aspoň podle ednoho krtéra lepší a podle žádného krtéra horší než varanta donovaná v naše případě e donovano varanto V 6 e donována varanto V (e ve 2 ohledech lepší než V 6 a ve dvo stená) lze prověřt, že V až V 5 ž tvoří sobor nedonovaných varant (tento postp e dobré platnt ve všech etodách vícekrterálního hodnocení varant) vypočítáe dílčí hodnocení všech 5 varant pro ednotlvá krtéra např. pro varant V (eí důsledky označíe až 4 ): b , b 2 0, b , 4 0, b 4 (nákl. typ) dílčí ohodnocení dle ednotlvých krtérí vynásobíe vaha krtérí a sečtení dostanee celkové hodnocení varanty V (podle úvodní forle): 0,400,54 0,00,8 0,50,625 0,350,5 0,2 0,08 0,09 0,8 0, 56 V tak postpee dále pro další varanty a výsledky etody bazcké varanty shrnee do tablky: Krtér Váhy Baz. Varanta var. V V 2 V 3 V 4 V 5 Rentablta 0, ,2 0,7 0,40 0,9 0,32 Prodktvta 0, ,08 0,09 0,08 0,07 0,0 En. náročnost 0, ,09 0,2 0,07 0,5 0,06 Cena 0, ,8 0,35 0,26 0,3 0,22 Celk. hodnocení 0,56 0,73 0,8 0,72 0,70 Pořadí závěr: optální varanto e varanta V 3, nehorší varanto e varanta V 6.2 Bodovací etoda e vhodná pro takové rozhodovací úlohy, kde převaží kvaltatvní krtéra př požtí této etody epert provádí dílčí hodnocení varanty vzhlede k dané krtér podle obvykle slovně vyádřené hodnoty kvaltatvní charakterstky 7

18 přřazení bodů z bodové škály, která e ednotně stanovena pro všechna važovaná krtéra celkové hodnocení varanty e dáno forlí v b, v, v 0,,2,, kde b,, b so bodová hodnocení varanty dle ednotlvých krtérí valdta celkového hodnocení varant závsí předevší na kvaltě a kopetenc hodnottele 6.3 Metoda váženého pořadí této etody se dílčí ohodnocení varant vzhlede k ednotlvý krtérí rče podle pořadí varant vzhlede k těto krtérí rčena pro rozhodovací úlohy s převaho kvaltatvních krtérí, neboť vyžee-l kvanttatvní krtér k pohé spořádání varant, ztrácí se část nforace vyžtelné pro hodnocení celkové hodnocení varanty e dáno forlí v n p, v, v 0,,2,, kde p e pořadí varanty v lneární spořádání varant podle -tého krtéra, n e počet hodnocených varant a váhy so stanoveny analogcky ako předchozích etod z tohoto vztah plyne, že dílčí ohodnocení nelepší varanty z hledska ednotlvých krtérí e rovno právě počt krtérí, dílčí ohodnocení nehorší varanty e rovno 6.4 Metoda lneárních dílčích fnkcí tlty (etoda nverzální standardzace) 8

19 přpoští následící typy krtérí: kvanttatvní krtéra s rostocí a klesaící preferencí, kvaltatvní krtéra se stanoveno preferenční relací (kvazspořádání) na nožně varant a kvaltatvní krtéra s epertně stanovený bodový hodnocení z dané bodovací škály dílčí ohodnocení varant vzhlede k ednotlvý krtérí se v této etodě stanove odlšně, a to v závslost na povaze těchto krtérí ať de o krtér kteréhokolv typ, vždy so hodnocení pro dano nožn varant standardzována tak, aby nehorší hodnotě krtéra na dané sobor varant odpovídala 0 a nelepší naopak kvanttatvní krtéra vychází se z předpoklad, že odpovídaící dílčí fnkce tlty aí lneární tvar tyto fnkce se stanoví tak, že nehorší hodnotě -tého krtéra (na dané sobor varant) se přřadí dílčí tlta 0, nelepší hodnotě 0 dílčí tlta a sponce těchto bodů so pak zobrazení lneárních dílčích fnkcí tlty dílčí hodnotící fnkce pro varant,, 2, e defnována vztahe 0 0 kvaltatvní krtéra se stanoveno preferenční relací kvazspořádání na nožně varant dílčí hodnotící fnkce e defnována vztahe n n p * * kde p značí pořadí třídy ndferentních varant, které náleží varanta v dané kvazspořádání, a značí počet ndferenčních tříd tohoto kvazspořádání n s epertně stanovený bodový hodnocení b varanty (bodovací škála ůže ít rostocí nebo klesaící preferenc) dílčí hodnotící fnkce e defnována analogcky ako pro kvanttatvní krtér 0 b b 0 b b 0 kde b představe nehorší a b nelepší bodové hodnocení varant dané nožny vzhlede k toto krtér 9

20 PŘÍKLAD (ž dělán etodo bazcké varanty): Krt./Var. Váhy v V V 2 V 3 V 4 V 5 Rentablta 0, Prodktvta 0, En. náročnost 0, Cena 0, donovaná varanta V 6 e ž vynechána neprve stanovíe defnční obory dílčích fnkcí tlty ednotlvých krtérí (vyezeny dolní hrancí a horní hrancí - nehorší a nelepší hodnoto 0 -tého krtéra v sobor varant) vypočítáe dílčí hodnocení varant podle vztah 0 0 např. pro varant V (eí důsledky označíe až 4 ): , , , dílčí ohodnocení dle ednotlvých krtérí vynásobíe vaha krtérí a sečtení dostanee celkové hodnocení varanty V (podle úvodní forle): V 0,400,5 0,00,40 0,50,60 0,350 0,06 0,04 0,09 0 0, 9 tak postpee dále pro další varanty a výsledky etody lneárních dílčích fnkcí tlty shrnee do tablky: 0 Varanta Krtér Váhy - V V 2 V 3 V 4 V 5 Rentablta 0, ,06 0 0,40 0,04 0,26 20

21 Prodktvta 0,0 50 0,04 0,06 0,05 0 0,0 En. náročnost 0, ,09 0,3 0,04 0,5 0 Cena 0, ,35 0,8 0,26 0,09 Celk. hodnocení 0,9 0,54 0,67 0,45 0,45 Pořadí závěr: optální varanto e opět (steně ako v etodě baz. varanty) varanta V 3, nehorší varanto e opět varanta V Graf lneární dílčí fnkce tlty pro krtér K (rentablta kaptál): Saatyho etoda (Analytcký herarchcký proces AHP, L. H. Saaty, 980) opět stanove ohodnocení varant ako vážený sočet (průěr) dílčích hodnocení vzhlede k ednotlvý krtérí norované váhy krtérí se počítaí Saatyho etodo stanovení vah, t. ako složky norovaného vlastního vektor Saatyho atce S ntenzt preferencí krtérí odpovídaícího aální vlastní čísl této atce stanovení dílčích ohodnocení varant e v Saatyho etodě analogcké ž znáé postp stanovení vah poze s tí rozdíle, že srovnávaný obekty neso krtéra, ale varanty rozhodování 2

22 pro každé krtér K stanovíe Saatyho atc S na základě párového srovnávání varant, př které se postpně rče velkost preference všech dvoc varant, a to přřazení bodů ze stpnce (, 3, 5, 7, 9) dílčí hodnocení varant vzhlede k -té krtér so defnována,,, n ako složky norovaného vlastního vektor atce S odpovídaícího eí aální vlastní čísl celkové hodnocení -té varanty, e pak dáno vážený průěre,,, n v kde platí v n,,,2,, n,,,2, předností Saatyho atce e ožnost vyžtí pro hodnocení varant vzhlede k sobor krtérí obsahící krtéra kvanttatvní kvaltatvní Poznáka: Místo vlastního vektor lze požít geoetrcký průěr řádků Saatyho atce. Celková ohodnocení varant e ntné norovat tak, aby ech sočet byl roven edné. 22