MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.7/2.2./28.21) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republik. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smk@seznam.cz
MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce 2 Nechť,δ R,δ >. Okolí bodu, rzí okolí bodu ( δ, +δ) - okolí bodu ( δ, - levé okolí bodu, +δ) - pravé okolí bodu ( δ, +δ) { } - rzí okolí bodu ( δ, ) - levé rzí okolí bodu (, +δ) - pravé rzí okolí bodu Prvk a se nazývají nevlastní bod. R = R {, } - rozšířená množina reálných čísel Pro a R a bod, platí: a+ = a = + = = Nevlastní bod = = ( ) ( ) ( ) = a = = a ± = Pro a > : Pro a < : a =, a =, a ( ) = a ( ) = Neurčité výraz - nejsou definován:, ±, ±, ±
MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce 3 Definice it DEFINICE (Limita funkce). Funkce = f() má v bodě R itu L R, jestliže ke každému ε > eistuje δ > tak, že pro všechna z rzího okolí bodu platí L ε < f() < L+ε. Zápis: Čteme: Limita funkce f() pro jdoucí k bodu je L. f() = L L+ε L L ε Řečeno svými slov - ita je funkční hodnota bodu, který je kousíček od bodu. A to jak nalevo, tak i napravo!!! δ +δ DEFINICE (Limita funkce zleva (jednostranná ita)). Stejná definice jako definice it funkce, jen rzí okolí bodu nahradíme levým rzím okolím bodu. Zápis: f() = L Čteme: Limita funkce f() pro jdoucí k bodu zleva je L. DEFINICE (Limita funkce zprava (jednostranná ita)). Stejná definice jako definice it funkce, jen rzí okolí bodu nahradíme pravým rzím okolím bodu. Zápis: + f() = L Čteme: Limita funkce f() pro jdoucí k bodu zprava je L.
MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce 4 Řečeno svými slov - ita zleva je funkční hodnota bodu, který je kousíček od bodu nalevo. Limita zprava je funkční hodnota bodu, který je kousíček od bodu napravo. VĚTA (Kolik má funkce v bodě it). Funkce f() má v bodě jednu nebo žádnou itu. VĚTA (Kd má funkce v bodě itu). Funkce f() má v bodě itu, právě tehd kdž obě jednostranné it (zleva i zprava) jsou si rovn. A platí Limita funkce f() neeistuje, kdž f() + f() = f() = f() = L. + f(). Ab eistovala ita funkce f() v bodě, nemusí být v tomto bodě definovaná. Musí však být definovaná v nějakém rzím okolí tohoto bodu. Nevlastní ita DEFINICE (Nevlastní ita, nevlastní ita zleva a zprava). Funkce má nevlastní itu v bodech,,+ R, kdž L = nebo L =. f() = f() = f() = f() = δ +δ + + f() = f() =
MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce 5 DEFINICE (Limita v nevlastním bodě). Funkce má itu v nevlastním bodě, kdž = nebo =. Limita v nevlastním bodě L+ε L L ε f() = L f() = L Nevlastní ita v nevlastním bodě f() = f() = f() = f() =
MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce 6 Příklad. Urči it funkce zadané grafem v bodech =, 3, 1,,1,3, : 2 f() = 3 f() = 1 3, (f( 3) = 1) 1 f() = neeistuje 3 1 1 3 1 1 3 1 f() = 1 +f() = f() =, (f() = ) 1 f() = 3 f() = neeistuje, (f(3) = 1 3 ) 3 f() = 1 3, 3 +f() = 2 f() =
MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce 7 DEFINICE (Spojitost v bodě). Funkce f() je spojitá v bodě R, jestliže (Limita funkce v bodě se rovná funkční hodnotě v bodě.) Funkce f() je spojitá v bodě R zleva (zprava), jestliže DEFINICE (Spojitost na intervalu). Funkce f() je spojitá na intervalu, jestliže je spojitá ve všech bodech tohoto intervalu. Spojitost funkce f() = f( ). f() = f( ) ( f() = f( )). + VĚTA. Základní elementární funkce a funkce, které vznikl součtem, rozdílem, součinem, podílem a skládáním těchto funkcí jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru. Bod, v nichž funkce není spojitá, se nazývají bod nespojitosti. Bod nespojitosti základních elementárních funkcí jsou bod, v nichž tto funkce nejsou definované. Například bod nespojitosti funkce = tg jsou bod, k Z. Bod nespojitosti racionální lomené funkce jsou nulové bod jmenovatele. k π 2 To, že je funkce spojitá ve všech bodech intervalu, odpovídá naší představě o tom, že grafem je čára nakreslená plnulým nepřerušovaným tahem. Výpočet it Při výpočtu it f() postupujeme tak, že dosadíme bod do funkce f().
MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce 8 VĚTA (Pravidla pro počítání it). Nechť f() a g() jsou funkce, které mají itu v bodě R a c R. Pak platí 1. c = c 2. c f() = c f() 3. (f()±g()) = f()± g() 4. (f() g()) = f() g() 5. f() g() = f() g(), kde g() Limita spojité funkce Je-li funkce f() spojitá v, pak dostaneme po dosazení bodu do funkce funkční hodnotu, která je zároveň itou funkce v daném bodě. Cvičení 1. 1 1. 2 2 2 2. π 2 sin 3. 2 1 (+1)ln Limita polnomu a racionální lomené funkce pro ± VĚTA. Platí ± (a n +a 1 n 1 + +a n 1 +a n ) = ± a n ± a n +a 1 n 1 + +a n 1 +a n a n b m +b 1 m 1 = + +b m 1 +b m ± b m Cvičení 2. 1. ( 3 +5 6) 2. (3 2 5) 3. (2 5 3 +1) 4. 3 2+1 2 3 + 2 5. 73 2 +2 6. 2 8 2 +2+7 3 4 +4 Limita ostatních funkcí pro ± Z grafu to vidíme :-) a výpočtem dosadíme za a vpočítáme. Příklad. 1. = 2. 1 = 3. 1 = 2 4. ln = 5. e = 6. e = 7. sin = neeistuje 8. cos = neeistuje 9. arctg = π 2 1. arctg = π 2 11. arccotg = π 12. arccotg =
MT MATEMATIKA Limita funkce, spojitost funkce 9 Limita funkce, dostaneme-li po dosazení a, kde a R {} Počítáme pomocí jednostranných it, které se musí rovnat. Cvičení 3. 1 1. 2. 1 +12 6 3 3 3. 4 +4 4. 5 ( 5) 2 8 +8 5. 6 (+6) 6. 3 2 2 7. 1 6 8. 2 6 (6 ) 4 Limita složené funkce Při výpočtu it složené funkce postupujeme tak, že nejdříve určíme itu vnitřní složk. Svými slov řečeno - vnoříme se itou až k vnitřní složce, ted Můžou nastat problém: ita funkce f() neeistuje funkce g() není v bodě ( f()) definovaná V těchto dvou případech ita složené funkce neeistuje. Cvičení 4. g(f()) g(f()) = g ( ) f(). 1. sin(arctg) 2. e 52 +1 2 8 3. 1 arctg 1 1 Limita funkce, dostaneme-li po dosazení nebo ± ± Těšíme se na přístí přednášku, kde se naučíme derivovat a pomocí derivací tto it počítat.