KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních bodů, rozumíme pod F v krajním bodě příslušnou jednostrannou derivaci. F je spojitá na I, protože má v každém bodě intervalu I vlastní derivaci. Věta 7.: a Je-li F primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, potom pro každé c R je F + c také primitivní funkcí k funkci f na intervalu I. b Jsou-li F a G primitivní funkce k funkci f na intervalu I, pak eistuje c R takové, že G F + c tj. G F + c I. Příklad 7.: Je-li f 0 tj. f 0 a M 0,, 3, pak pro funkce F pro každé M a G pro 0,, G 7 pro, 3, platí F G f pro všechna M. Přitom pro žádné c R neplatí G F + c. Ve Větě 7., b je tedy podstatné, že I je interval, a proto také požadujeme v definici, aby I byl interval. neurčitý integrál funkce f na intervalu I...... f d zkráceně též f d... množina všech primitivních funkcí k funkci f na intervalu I používáme zde tyto názvy:... integrační znak; f... integrand;... integrační proměnná nebude-li hrozit nedorozumění, použijeme někdy pro neurčitý integrál jen stručné označení f
[MA-8:P7.b] Příklad 7.: a Je-li 0 a, b, pak funkce f sgn nemá primitivní funkci na a, b. b Funkce f cos + sin pro 0, f0 0, má primitivní funkci na R, přestože není na R spojitá - má nespojitost v nule. Primitivní funkcí je funkce F cos, 0, F 0 0 - viz Příklad 4.8. Věta 7.: Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak eistuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I. Poznámka: I když primitivní funkce eistuje ke každé spojité funkci, ne vždy ji lze vyjádřit pomocí elementárních funkcí v konečném tvaru tj. pomocí konečného počtu aritmetických operací a operací skládání. Mezi takové primitivní funkce patří primitivní funkce k funkcím e, sin, cos e,, sin definované., cos, ln na intervalech, na kterých jsou tyto funkce Poznámka: Lze ukázat, že pokud funkce f je derivací funkce F na intervalu I, pak f má Darbouovu vlastnost viz Důsledek 5.. Tedy primitivní funkce eistují jen k funkcím s Darbouovou vlastností. 7. Základní metody hledání primitivní funkce Značení: Je-li A, B M, c M, pak píšeme A ± B { a ± b a A, b B }, c ± A { c ± a a A }, c A { c a a A }. pokračování na straně P7. za tabulkovými integrály
Tabulkové integrály [MA-8:P7.a] f F nap r. I A A R A R α α+ α + e e R R pro α N 0, 0, 0, 0, pro α Z ln, 0, 0, pro α Z; α < a a > 0, a a ln a R
[MA-8:P7.b] sin cos R cos sin R cos sin tg cotg arcsin arccos arctg + arccotg sinh cosh R cosh sinh R π + kπ, π + kπ ; k Z kπ, k + π ; k Z, R cosh sinh + tgh R cotgh, 0, 0, argsinh R argcosh argcosh,,... pro některé racionální eponenty lze brát též I, 0 Věta 7.3 o linearitě: Necht F je primitivní funkce k funkci f na intervalu I, G primitivní funkce ke funkci g na intervalu I a α R. Pak a F + G je primitivní funkcí k f + g na I, tj. f + g d f d + g d, b α F je primitivní funkcí k α f na I, tj. α f d α f d.
Integrace per partes [MA-8:P7.3a] Věta 7.4 integrace per partes: Necht mají funkce u, v vlastní derivace na intervalu I a eistuje primitivní funkce k funkci u v na intervalu I. Pak eistuje také primitivní funkce k funkci u v na intervalu I a platí u v d u v u v d. Příklad 7.3: Nalezení ln d na intervalu 0,. Použijeme rovnost ln ln. Takovýto přepis integrandu se hodí i při hledání arctg d, arcsin d apod., kde je ovšem potřeba metodu per partes kombinovat s metodou substituce. ln Příklad 7.4: Najděte I d. Řešení: Na 0, máme ln I d ln d u ln u v v ln ln ln d ln I. PP ln Tím jsme dostali pro I rovnici I ln I, odkud na 0, je d I ln + c. Podobně se hledají např. cos a e b d, sin a e b d v těchto případech se jen integrace per partes použije dvakrát.
Metoda substituce [MA-8:P7.3b] Věta 7.5 o substituci: a Necht I, J jsou otevřené intervaly, F je primitivní funkce k funkci f na J, ϕi J a ϕ má vlastní derivaci na I je tam tedy spojitá. Potom fϕt ϕ t dt F ϕt + c na I. b Pokud je ϕ navíc prostá na I, ϕi J a eistuje primitivní funkce G k funkci fϕt ϕ t na I, pak f d Gϕ + c na J. Tvrzení Věty 7.5 lze zapsat také takto: fϕt ϕ t dt f d; ϕt; t I. Poznámka: Ve Větě 7.5 je z předpokladů části a funkce ϕ spojitá, tedy v části b lze nahradit předpoklad prostoty funkce ϕ předpokladem ryzí monotonie funkce ϕ. Příklad 7.5: Najděte Řešení: Máme cosln u u du cosln u u du. u 0, ln u... R d u du cos d sin +c sinln u+c na 0,. Necht F je primitivní funkce k funkci f na intervalu a, b. Vyjádřete po- f + B d, b fa + B d A, B R, A 0. Příklad 7.6: mocí F a Řešení: a Máme + B a, b pro a B, b B. Tedy f+b d a B, b B y + B... y a, b dy d fy dy F y+c F +B+c na a B, b B.
b Označme I { A + B a, b}. Pak [MA-8:P7.4a] fa+b d I z A + B... z a, b dz A d A fa+b A d A fz dz Příklad 7.7: Nalezení Důležité! A F z + c F A + B + c na I. A Příklad 7.8: Nalezení I n + Pro n > lze odvodit rekurentní vzorec I n Příklad 7.9: Nalezení Příklad 7.0: Najděte f d na intervalu I Df \ { f 0 } k N. f k + 5 d na R, pro n,. n n In n d na R. d. + n. Řešení:. možnost: Na, máme cos t... t 0, π d arccos t d sin t dt sin t sin t dt cos t dt t + c arccos + c na,. sin t dt V substituci jsme využili toho, že funkce cos t je prostá na 0, π a na začátku druhého řádku úprav toho, že sin t > 0 na 0, π.
[MA-8:P7.4b]. možnost: Na, máme sin z... z π d, π arcsin z d cos z dz cos z cos z dz sin z dz z + c arcsin + c na,. cos z dz V substituci jsme využili toho, že funkce sin z je prostá na π, π a na začátku druhého řádku úprav toho, že cos z > 0 na π, π. Přestože v první a druhé možnosti vyšly na první pohled různé výsledky, jsou oba tyto výsledky správné. Funkce arccos a arcsin se totiž liší jen o konstantu arcsin arccos. π 7.3 Integrace racionální funkce 7.3. Racionální funkce P, Q... polynomy s reálnými koeficienty, Q nenulový R P Q... racionální funkce Z věty o dělení polynomů viz předmět LAA eistují polynomy Y a Z, st Z < st Q, takové, že P Y Q + Z R, tj. R Y Q + Z Q Pro st P < st Q je Y nulový polynom a Z P. Y }{{} už umíme integrovat + Z. Q }{{} st Z < st Q
Dále uvažujeme jen funkce ryze lomené, tj. racionální funkce typu [MA-8:P7.5a] R P, kde st P < st Q. Q Nejjednodušší typy funkcí ryze lomených... jednoduché též parciální zlomky: Věta 7.6: A, A R; α R; k N, α k B + C + p + q l, B, C R; p, q R, p 4q < 0; l N. Každou ryze lomenou funkci lze zapsat právě jedním způsobem jako součet jednoduchých zlomků. Každou racionální funkci lze zapsat právě jedním způsobem jako součet polynomu a jednoduchých zlomků. Přesněji:,,... právě jedním způsobem až na pořadí sčítanců... Jak hledat rozklad funkce ryze lomené na součet jednoduchých zlomků najdete ve skriptech [JT- DIP], str. -4. Kde to lze, doporučiji použít zakrývací pravidlo. Základním vlastnostem polynomů a jejich kořenů je věnována. kapitola skript [PO-ÚAZL]. Jaké máme očekávat v rozkladu jednoduché zlomky? Obecně všech typů, kde jmenovatel je dělitelem polynomu Q někde ovšem může vyjít nulový čitatel. Příklad 7.: Rozložte na součet polynomu a jednoduchých zlomků racionální funkci R 7 + 4 [ 3 3 3 + + 4 ]. +
Příklad 7.: Rozložte na součet polynomu a jednoduchých zlomků funkci R 6 + 4 + 3 + [ 5 + + + ]. + + Určete tvar, v kterém je třeba hledat rozklad na jednoduché zlomky ra- Příklad 7.3: cionální funkce a b [MA-8:P7.5b] 3 + 4 + 4 3 [ A + B + 4 + C + D + 4 + E 3 + F + G 4 [ + 4 + 5 + + 4 A + B + 4 + 5 + C + D + 4 + 5 + E + F + + G + 4 + H + 4 ], ]. 7.3. Integrace racionální funkce integrace polynomu + integrace jednoduchých zlomků Integrace jednoduchých zlomků TYP A ; n N α α n a n > A α n d A α n d Př. 7.6a α n+ A + c n + A n + c na, α a na α, α n b n A α d A ln α + c na, α a na α,
[MA-8:P7.6a] TYP B + C + p + q n ; n N, p 4q < 0 R jmenovatel nemá reálné kořeny přepíšeme B + C + p + q n B + p + p + q n }{{} viz A + p + q B {}}{ + p + p + q n + + C Bp + p + q n C Bp + p + q }{{ n } viz B K prvnímu kroku rozkladu: koeficient B v prvním zlomku rozkladu jsme vybrali tak, aby v čitateli tohoto zlomku byla obsažena všechna z čitatele zadané racionální funkce, koeficient C Bp v čitateli druhého zlomku rozkladu odpovídá tomu, že po sečtení čitatelů obou zlomků rozkladu musíme dostat původní čitatel. Neučte se tyto koeficienty ani dále uvedené vyjádření integrálů jako vzorečky podstatné tu je znát princip rozkladu na součet dvou zlomků a postup, jakým lze integrály najít. A + p + p + q n d + p + q t + p d dt dt t n pro n > viz a: n pro n viz b: t n + c n + c na R + p + q n ln t + c ln + p + q + c na R }{{} > 0!
[MA-8:P7.6b] B + p + q n d + p p n d + q 4 q p 4 q p n }{{ 4 } n q p 4 + p q p 4 + n d + p q p 4 q p 4 t d dt n q p 4 t dt + n pro n : q p arctg t + c 4 q p arctg + p 4 q p 4 + c na R pro n > se použije Příklad 7.8 primitivní funkci dostaneme opět na celém R
6 + 4 + 3 + Příklad 7.4: Vypočtěte 5 d. [MA-8:P7.7a] 7.4 Některé důležité substituce polynom P, y dvou proměnných, y... N 0, c m,n R... součet konečného počtu funkcí typu c m,n m y n, kde m, n racionální funkce R, y dvou proměnných, y...... podíl dvou polynomů dvou proměnných, y; R, y P, y, Q, y 0 Q, y analogicky pro tři a více proměnných nebude-li řečeno jinak, budou v dalším písmena R, R atd. označovat racionální funkce Poznámka: Dále uvedené substituce lze někdy použít, i když R není racionální funkce viz např. Příklad 7.7.
A Substituce pro integrály typu R e a d [MA-8:P7.7b] Použijeme substituci e a t prostá funkce na R, t 0,. Pro R pak můžeme psát e a t... t 0, R e a d a ln t d a t dt Rt at }{{} racionální funkce dt nebo pro R e a R e a e a také R e a e a d e a t... t 0, a e a d dt a R e a a e a d a Rt dt. Příklad 7.5: Najděte primitivní funkce k funkci f e 4 e 4 + e +. Řešení: e 4 e 4 + e + d e e + e + d R; t 0, e t ln t prostá d t dt t +t+ t t + t + t dt {}}{ t + t + t dt ln t + lnt + t + + c + t + ln e + ln e 4 + e + + c + ln e4 + e + + c na R vynechali jsme u logaritmů absolutní hodnoty, protože argumenty jsou kladné
Příklad 7.6: Najděte primitivní funkce k funkci f [MA-8:P7.8a] e 6 e e 4. + Řešení: e 6 e e 4 + d e e + e d R; t 0, e t e d dt t t + dt dt + t + dt t+arctg t+c e +arctg e +c na R B Substituce pro integrály typu Rln d Použijeme substituci ln t prostá funkce na 0,, t R a pro 0, dostaneme Rln d ln t... t R d dt Rt dt.
Příklad 7.7: Najděte primitivní funkce k funkci f [MA-8:P7.8b] 5 ln ln 3 + ln. Řešení: > 0, e máme totiž: ln 3 + ln ln ln + ln + 0 ln e viz rozklad jmenovatele po substituci 5 ln ln 3 + ln d t ln dt d 5t t 3 + t dt }{{} t t +t+ t + t + t dt ln t + t + t + t + t + dt + 3 t dt + t + }{{} t+ + ln t lnt + t + + 3arctg t + + c ln ln lnln + ln + + 3arctg ln + + c na 0, e a na e, Příklad 7.8: Najděte primitivní funkce k funkci f ln. Řešení: Toto je případ, kdy R není racionální funkce, přesto lze postupovat podobně jako v předcházejícím příkladu. Funkce f je zde definována pro ta, pro která platí ln,, tj. pro e, e. ln d ln t d dt t dt arcsin t + c arcsinln + c na e, e
C Substituce pro integrály typu R sin, cos d [MA-8:P7.9a] Výběr substituce závisí na vlastnostech funkce Ru, v. Speciálně na tom, co se stane, když v předpisu pro funkci Ru, v u jedné z proměnných, nebo u obou proměnných změníme všude znaménko. Není přitom potřeba pracovat s proměnnými u a v. Stačí zkusit, co se stane s hodnotou zlomku, jestliže změníme znaménko u všech sinů resp. kosinů resp. sinů a kosinů. Výběr substituce: I Zkusíme, zda funkce Ru, v nemá některou z dále uvedených vlastností: a R u, v Ru, v tj. R je lichá v první proměnné, b Ru, v Ru, v tj. R je lichá v druhé proměnné, c R u, v Ru, v. V těchto případech nás následující úvahy vedou k vhodným substitucím. Vybereme-li však na základě vlastností funkce Ru, v substituci t tg, lze v prai často funkci Rsin, cos připravit k použití této substituce jiným někdy i výrazně jednodušším způsobem, než jak je to ukázáno pro obecný případ viz např. příklady 7., 7.. a R u, v Ru, v tj. R je lichá v první proměnné V tomto případě se bude sin po eventuálním rozšíření zlomku výrazem sin vyskytovat ve jmenovateli jen v sudých mocninách a čitatel bude možné zapsat jako součin funkce sin a funkce, v níž se sin vyskytuje opět jen v sudých mocninách. Sudé mocniny sinu tedy bude možné převést na mocniny kosinu a zbylý lichý sinus z čitatele použít na derivaci kosinu. To znamená, že lze funkci Rsin, cos přepsat ve tvaru Rsin, cos Rsin, cos sin, kde R je vhodná racionální funkce dvou proměnných. Vzhledem k předchozím úvahám zde volíme substituci cos t t,, sin t.
Na R tak dostaneme R sin, cos sin d cos t... t, sin d dt sin t [MA-8:P7.9b] R t, t }{{} racionální funkce proměnné t dt. b Ru, v Ru, v tj. R je lichá v druhé proměnné V tomto případě se bude cos po eventuálním rozšíření zlomku výrazem cos vyskytovat ve jmenovateli jen v sudých mocninách a čitatel bude možné zapsat jako součin funkce cos a funkce, v níž se cos vyskytuje opět jen v sudých mocninách. Sudé mocniny kosinu tedy bude možné převést na mocniny sinua zbylý lichý kosinus z čitatele použít na derivaci sinu. Funkci Rsin, cos lze tentokrát přepsat ve tvaru Rsin, cos Rsin, cos cos, kde R je opět vhodná racionální funkce dvou proměnných. K integraci použijeme substituci sin t t,, cos t, která nám na R dá R sin, cos cos d sin t... t, cos d dt cos t R t, t }{{} racionální funkce proměnné t dt.
[MA-8:P7.0a] c R u, v Ru, v V tomto případě po eventuálním rozšíření zlomku výrazem cos, cos nebo cos 3 bude možné ve jmenovateli vytknout cos a v čitateli a zbytku jmenovatele pak zbudou jen sudé mocniny sinů a kosinů, někdy vynásobené součinem sin cos. Integrand Rsin, cos lze tentokrát předpsat ve tvaru Rsin, cos Rsin, cos, sin cos, kde R je vhodná racionální funkce tří proměnných. Při integraci využijeme toho, že cos vytknutý ve jmenovateli lze použít na derivaci tangenty a že platí cos cos cos + sin + tg, sin sin cos + sin tg + tg nebo sin cos + tg tg + tg, sin cos Na intervalech sin cos cos + sin tg + tg t tg, dt cos d nebo sin cos tg cos tg + tg. π + kπ, π + kπ, k Z, tak můžeme použít substituci cos + t, sin t t, sin cos + t + t. Poznámka: Jak se vypořádat s faktem, že definiční obor funkce tg je někdy menší než definiční obor původní integrované funkce, najdete u příkladu 7.. Poznámka: Je-li π + kπ, π + kπ, můžeme v prai psát stejně jako např. v příkladu 7. arctg t+kπ a d +t dt. Není tedy nutné upravovat funkci R tak, aby bylo možné ve jmenovateli vytknout cos. Poznámka: Někdy je zde vhodnější substituce t cotg. Poznámka: V některých případech lze použít všechny tři uvedené substituce. Dá se dokonce celkem snadno ukázat, že pokud je možné použít dvě z těchto substitucí, lze použít i třetí. Záleží ovšem na konkrétním příkladu, která ze substitucí se nejsnáze provede a která nás dovede k nejjednodušší integraci racionální funkce.
[MA-8:P7.0b] II Pokud funkce R nemá ani jednu z vlastností popsaných v I použijeme k substituci funkci tg, prostou na intervalech k π, k + π, k Z. Pro k π, k + π je přitom π + kπ, π + kπ, takže arctg t + kπ a arctg t + kπ. Substituce tedy bude vypadat takto tg t, d + t, cos cos sin cos sin cos + sin tg + tg t + t, sin sin cos sin cos cos + sin tg + tg t + t. Jak je vidět, tato substituce převede integraci jakékoliv funkce typu Rsin, cos na integraci racionální funnkce. Její velkou nevýhodou je však to, že po ní dostáváme racionální funkce s vyšším stupněm polynomu ve jmenovateli než u jiných substitucí. Přitom integrace racionálních funkcí v vysokým stupněm polynomu ve jmenovateli je pracná, často i neproveditelná běžným způsobem, protože nemusíme umět najít rozklad jmenovatele. Proto volíme tuto substituci, jen když nemáme jinou možnost.
Příklady na výběr substituce pro integrály typu [MA-8:P7.a] Rsin, cos d.. sin sin + d viz příklad 7.9 Ru, v u sin, neboli Rsin, cos u + sin + u sin R u, v Ru, v, R sin, cos Rsin, cos u + sin + Ru, v u sin Ru, v, Rsin, cos u + sin Rsin, cos + u sin R u, v Ru, v, R sin, cos Rsin, cos u + sin + z jednodušších substitucí lze tedy použít pouze substituci t cos sin sin + sin sin, tedy jde o integrál typu Rsin, cos sin d + cos 3 d viz příklad 7.0 Ru, v, neboli Rsin, cos v3 cos 3 R u, v Ru, v, R sin, cos Rsin, cos v3 cos 3 Ru, v v Ru, v, Rsin, cos Rsin, cos 3 cos 3 R u, v v Ru, v R sin, cos Rsin, cos 3 cos 3 z jednodušších substitucí lze tedy použít pouze substituci t sin cos 3 cos cos 4 cos, tedy jde o integrál typu cos Rcos, sin cos d
3. cos 4 d viz příklad 7. [MA-8:P7.b] Ru, v, neboli Rsin, cos v4 cos 4 R u, v Ru, v, R sin, cos Rsin, cos v4 cos 4 Ru, v v Ru, v, Rsin, cos Rsin, cos 4 cos 4 R u, v v Ru, v R sin, cos Rsin, cos 4 cos 4 z jednodušších substitucí lze tedy použít pouze substituci t tg cos 4 cos, tedy jde o integrál typu Rcos, sin, sin cos d 4. 3 sin cos d Ru, v 3u v, neboli Rsin, cos 3 sin cos R u, v 3 u v Ru, v, R sin, cos Rsin, cos 3 sin cos Ru, v 3u v Ru, v, R sin, cos Rsin, cos 3 sin cos R u, v 3 u v Ru, v, R sin, cos 3 sin cos Rsin, cos z jednodušších substitucí lze tedy použít pouze substituci t tg 3 sin cos 9 sin sin cos + 4 cos, tedy jde o integrál typu Rcos, sin, sin cos d
5. cos sin cos d viz příklad 7. [MA-8:P7.a] Ru, v v u v, neboli Rsin, cos cos sin cos v R u, v u v Ru, v, R sin, cos cos Rsin, cos sin cos v Ru, v u v Ru, v, R sin, cos cos Rsin, cos sin cos v R u, v u v Ru, v, R sin, cos cos Rsin, cos sin cos z jednodušších substitucí lze tedy použít pouze substituci t tg cos sin cos cos sin cos cos, tedy jde o integrál typu Rcos, sin, sin cos d 6. sin cos sin + cos d Ru, v uv sin cos, neboli Rsin, cos u + v sin + cos R u, v uv Ru, v, u + v sin cos R sin, cos Rsin, cos sin + cos Ru, v u v sin cos Ru, v, R sin, cos Rsin, cos u + v sin + cos R u, v u v sin cos Ru, v, R sin, cos Rsin, cos u + v sin + cos lze tedy použít pouze substituci t tg
[MA-8:P7.b] Příklad 7.9: Najděte primitivní funkce k funkci f sin sin +. Řešení: sin sin + d sin cos d t cos, dt sin d dt t t t + dt ln t ln t + }{{}}{{} t +t + c ln cos + cos + c na R Příklad 7.0: Najděte primitivní funkce k funkci f cos 3. Řešení: Musí platit cos 0, tj. π + kπ, π + kπ, k Z. d cos 3 cos sin d t sin, dt cos d 4 dt t 4 t + t + + t + t 4 t t + t t + ln t + t + ln t + }{{} t+ + c 4 ln t }{{} t + c sin + sin + ln cos sin dt + c na π + kπ, π + kπ; k Z
Příklad 7.: Najděte primitivní funkce k funkci f cos 4. Řešení: Musí platit cos 0, tj. π + kπ, π + kπ I k, k Z. tg t cos 4 d arctg t + kπ prostá d +t t + dt + t dt t + t3 3 + c tg + tg 3 3 [MA-8:P7.3a] t + dt + c na π + kπ, π + kπ; k Z Nebo jinak cos 4 d tg t d dt cos cos +t cos cos d + t dt... Příklad 7.: Najděte primitivní funkce k funkci f cos sin cos. Řešení: Máme 3π 4 +kπ, π 4 +kπ; k Z. Protože však použijeme substituci t tg, musíme nejdříve vyloučit π + kπ, tedy budeme mít 3π 4 + kπ, π + kπ I k nebo π + kπ, π 4 + kπ J k : cos sin cos d tg d I k, t, nebo J k, t, tg t { arctg t + kπ π pro Ik prostá arctg t + kπ pro J k d t + dt t t + dt
t t + dt t + t 4 t t + [MA-8:P7.3b] dt t + ln t 4 lnt + arctg t + c ln tg 4 lntg + + kπ + c 4 ln tg tg + + c 4 ln sin + c V předposlední rovnosti jsme využili toho, že kπ +c může být jakákoliv reálná konstanta a zápis s,,+c je jen symbolický. V poslední rovnosti jsme použili přepis tg tg + sin cos sin + cos sin cos sin sin cos + cos sin. Funkce F 4 ln sin je spojitá na 3π 4 + kπ, π 4 + kπ a na I k a J k je její derivací funkce f, která je spojitá v π + kπ. Tedy z věty 4.5 je F π + kπ f π + kπ a F je primitivní funkcí k f na celém intervalu 3π 4 + kπ, π 4 + kπ. Příklad 7.3: Najděte primitivní funkce k funkci f cos + 3. Řešení: Na intervalech k π, k + π I k máme tg t prostá na I k cos + 3 d arctg t + kπ d dt +t + t dt t + 3 +t + t dt dt arctg t + c arctg tg + c G + c. t + Přestože byla integrovaná funkce definovaná a spojitá na R, je díky použité substituci funkce G primitivní funkcí k funkci f jen na intervalech k π, k + π, k Z. Primitivní funkci k f na celém R nemůžeme dostat dodefinováním
funkce G v lichých násobcích π, protože v nich G nemá limity. Máme totiž } lim k+ π G + π skok : π. lim k π + G lim k+ π + G π [MA-8:P7.4a] Můžeme si ale pomoci tím, že na různých intervalech budeme ke G přičítat různé konstanty. Tím dostaneme funkci, která bude opět na každém z výše uvedených intervalů primitivní funkcí k funkci f a která navíc při vhodné volbě konstant bude mít v bodech k + π limity. Těmito limitami ji pak dodefinujeme a dostaneme tak primitivní funkci k f na celém R. Primitivní funkci na R tedy dostaneme,,slepením vhodných primitivních funkcí na jednotlivých podintervalech. Primitivní funkcí k funkci f na R je tedy například funkce F arctg tg + k π, k π, k + π, k Z π + k π, k π. e Typ sin m cos n d m - liché nebo n - liché... použijeme substituce uvedené v a a b m - sudé a n - sudé... přejdeme k dvojnásobnému argumentu: cos + cos sin cos Tyto vztahy lze získat např. vyjádřením cos a sin z následujících rovností: cos cos sin { cos cos cos, sin sin sin.
Příklad 7.4: Najděte primitivní funkce k funkci f sin 4. [MA-8:P7.4b] Řešení: sin 4 d cos d cos + cos d 4 cos + 4 + cos 4 d sin + 4 + 8 sin 4 + c 3 8 sin 4 + sin 4 3 + c na R D Substituce pro integrály typu R, n a + b c + d d, n N \ {}, ad bc Použijeme substituci y n a + b c + d. Příklad 7.5: Najděte primitivní funkce k funkci f + 3. Řešení: Zřejmě Df,. + 3 d 6, ; t 0, t t 6 + prostá na 0, d 6t 5 dt
6t 5 t 3 + t dt 6 [MA-8:P7.5a] t 3 t + dt 6 t t + t + dt t3 3t + 6t 6 ln t + + c 3 3 + 6 6 6 ln 6 + + c na, Příklad 7.6: Najděte primitivní funkce k funkci f. Řešení: Musí platit / > 0, tj.,. t 0, d t + t prostá na 0, + t + t d dt t + t t t + dt arctg t t t + + c arctg + c na, použili jsme výpočet z Příkladu 7.8 E Substituce pro integrály typu R, a + b + c d a 0, b 4ac jen stručně; jiné možné substituce viz skripta doplněním na úplný čtverec a vhodnou lineární substitucí převedeme a + b + c na tvar d ± y ± případ y je nezajímavý y, tj. např.: + 4 + 5 4 5 9 9 3 d y 3, d 3, y 3
následné substituce: [MA-8:P7.5b] a pro d y + odpovídá případu a > 0, b 4ac < 0 y sinh t y R y + cosh t t R b pro d y odpovídá případu a > 0, b 4ac > 0 { y cosh t y cosh t y > y < y sinh t t > 0 c pro d y odpovídá případu a < 0, b 4ac > 0 y cos t y, y sin t t 0, π nebo y sin t y, y cos t t π, π a+b dostaneme Rsinh t, cosh t a dále převedeme např. na R e αt c dostaneme Rsin t, cos t Poznámka: Při výběru z výše uvedených následných substitucí pomůže srovnání možných hodnot y s oborem hodnot funkcí sinh t, ± cosh t, cos t, sin t.
[MA-8:P7.6a] Příklad 7.7: Najděte primitivní funkce k funkci f d. Řešení: viz Příklad 7.0 u věty o substituci je to typ c. Příklad 7.8: Najděte primitivní funkce k funkci f Řešení: Pro, 0 a pro 0, máme + 4 + d d d + 4. y dy + d y + dy y y 0,, t 0, nebo y, 0, t, 0 y sinh t prostá dy cosh t dt t argsinh y lny + y + cosh t sinh t dt e t + e t e t + dt e t e t e t e dt t e t u e t dt du
[MA-8:P7.6b] u + u u du 3u + + du u u + u u + u du u + + ln u ln u + + c u + u e t + e t + ln }{{} cosh t et e t + + c + + + ln + + y + + + c + + 4 + ln + 4 + c na, 0 a na 0, v poslední úpravě jsme zlomek v argumentu logaritmu rozšířili nejdříve dvěma a pak výrazem + + 4.