Příklad k přednášce 3 1. Určete, zda závislost a daná uvedeným vztahem je funkce = f(). V případě záporné odpovědi stanovte, kterými funkcemi je možné příslušnou závislost popsat. 1. =3 2, (, + ) je funkcí, grafem je přímka 2. 4 2 +9 2 = 36, 3, 3 není funkcí, je to rovnice elips; funkcí je např. vztah = 3 2 9 2, 3, 3, grafem je část elips, kde 0, 2 2. Vjádřete povrch S koule jako funkci jejího objemu V, tj. napište p5edpis funkce S(V )[S(r) =2πr 2, V (r) = 4 3 πr3 ]. 3. Vjádřete objem V koule jako funkci jejího povrchu S. S = 3 36πV 2,V (0, + ) V = S 3 36π,S (0, + ) 4. Je dána funkce f() =2 2 3+1. Vpočtěte f(0), f(2), f( 1), f(m)+1, f(m +1),f(m 2 ), [f(m)] 2. 1, 3, 6, 2m 2 3m +2, 2m 2 + m, 2m 4 3m 2 +1, 4m 4 12m 3 +13m 2 6m +1 5. Je dána funkce g(t) =t 2. Vpočtěte g(b) g(a), g(a+h) g(a h). b a 2h b + a, pokudb a; 2a, pokudh 0 6. Je dána funkce 3 pro 1, 0, h() = 1 pro (0, 1, 3 2 pro (1, 3. Určete h( 1), h ( ( 2) 1, h(0), h 1 2), h(1), h(2), h(3) a načrtněte její graf. 1, 3 1, 1, 1, 1, 4, 7 3 3
7. Určete definiční obor funkcí: 1. f() = 1 3 +12 2. f() = 6 3. f() = 1 2 6 R \{ 4} 6, + ) (3, + ) 4. f() = 9 2 2 6 5. f() = 3 3 2 3 (, 3 2 ) 6. f() = 8+2 2 7. f() = 2 3 +2 8. f() = 2 2 2 8 R (, 1 2, + ) (, 2) (4, + ) 9. f() = 10. f() =log( 2 4). 11. f() = log( 2 5) 12. f() = ln [ln(ln )] (e, + ) (, 2 3, + ) (, 2) (2, + ) (, 0 4
8. Určete definiční obor a obor hodnot funkcí: 1. f() =4sin D(f) =R, H(f) = 4, 4 2. f() = 3 2 3. f() = 9. Nakreslete graf funkcí: D(f) = 3, 3, H(f) = 0, 3 D(f) =R {0},H(f) ={ 1, 1} 1. f() = 2. f() = 3. f() = +1 + 1 5
4. f() = 2 1 5. f() = 2 4 +3 g() = 2 4 +3 f g 6. f() = 3 2 +1 +2 +1 7. f() = 3 2 + +3 1 6
8. f() = +1 1 (nepovinný) 9. f() = 1 +1 10. f() =2cos2 2 pro (, 1) 11. f() = 2 3 pro 1, 1 2 pro (1, + ) (na ukázku, není povinný) 7
10. Určete primitivní period funkcí: 1. f() =sin2 2. f() =tg3 p 0 = π p 0 = π 3 3. f() =cos 6 p 0 =12π 4. f() =sin +sin 2 +sin 3 5. f() =sin 2 6. f() = 2 p 0 =2π p 0 = π není periodická 11. Zjistěte, zda je funkce či lichá: 1. f() = 2 2. f() = 2 lichá 3. f() =2 2 4. f() = + 1 2 5. f() = 1 4+ 2 6. f() = 3+ 2 ani, ani lichá lichá 7. f() = 3 2 1 lichá 8
8. f() = 4 2 2 9. f() = ( +1)3 ( 1) 2 ani, ani lichá 10. f() = 3 6 + 5 120 11. f() = 12. f() = +2 lichá lichá 13. f() = 3 3 +2 14. f() = +1 1 15. f() = 3 +5 2 7 16. f() = 3 ( +2) 2 + 3 ( 2) 2 12. Zjistěte, zda je funkce prostá: 1. f() =sin2 2. f() =3e + 3. f() =3log 4. f() = 1 + +4 f není prostá f je prostá f je prostá f není prostá 9
13. Všetřete monotónnost funkce: 1. f() = 2 +3 2. f() = 1+ 1 3. f() = Funkce je klesající, a ted rze monotónní, a tím monotónní na intervalu (, 3 ) 2 a rostoucí, a ted rze monotónní, a tím monotónní na intervalu ( 3, + ); 2 není monotónní (na D(f) =R). Funkce je rostoucí, ted rze monotónní, a tím monotónní na intervalech (, 1) a (1, + ). Funkce je klesající, ted rze monotónní, a tím monotónní. 14. Zjistěte, zda je funkce omezená: 1. f() = 2 2 +1 Je omezená, pro každé R je 0 2 < 1. 2 +1 2. f() = 1 cos(2 3) 3 3. f() = 2 4 +5 Je omezená, pro každé R je 1 cos(2 3) 1. 3 3 Není omezená. Je omezená zdola, pro každé R je 2 4 +5 1. 15. Rozhodněte, zda jsou si rovn funkce: 1. f() = 3 3 a g() = f g; f = g na R + 0 2. f() =( 1) + 2 3 a g() = (1 2 2 ) f = g 10
3. f() =log 2 a g() =2log f g; f = g na R + 4. f() = +1 +1 a g() =1 f g; f = g na R \{ 1} 5. f() =2 a g() = 2 f g; f = g na R \{0} 16. Vjádřete součet, rozdíl, součin a podíl funkcí: 1. f() = 2 3ag() =ln (f + g)() =(g + f)() = 2 3+ln, R + ; (f g)() = 2 3 ln, R + ; (g f)() =ln 2 +3, R + ; (f g)() =(g f)() =( 2 3) ln, R + ; ( f g ( g f ) ) () = 2 3, ln R+ \{1}; () = ln, 2 3 R+ \{ 3} 2. f() =e a g() =sin (kπ, [k +1]π); k Z () = sin, R e () = e, sin (f + g)() =(g + f)() =e +sin, R; (f g)() =e sin, R; (g f)() =sin e, R; (f g)() =(g f)() =e sin, R; ) ) ( g f ( f g 17. Utvořte složenou funkci fg z daných funkcí. Pokud fg neeistuje, sestrojte složenou funkci fg 1,kdeg 1 je vhodné zúžení funkce g. 1. f() =cos, g() = 3 2. f() = 3, g() =cos fg() =cos 3, R fg() =(cos) 3, R [(cos ) 3 píšeme též cos 3 ] 11
3. f( = 1, g() =2 4, R \{2} fg 1 () = 1 2 4 4. f() =ln, g() =ln fg 1 () =ln(ln), (1, ) 18. Určete inverzní funkci f 1 a její definiční obor k následujícím funkcím: 1. =2 3 f 1 : = +3, R 2 2. = 1 2, 0, 1 f 1 : = 1 2, 0, 1 3. = 1 1+, R \{ 1} f 1 : = 1 1+ 4. =arcsin 2 5. =4 3 f 1 : =2sin, π 2, π 2 f 1 : =log3(4 ), (, 4) 12