48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou přirozená čísla, řešíme substitucí t n x, kde n je nejmenší společný násobek čísel r,..., r k. Pomocí této substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální lomené funkce. Integrály typu ) f (x, r ax + b, r N, r, a, b R, řešíme substitucí t r ax + b. Pomocí této substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální lomené funkce. Integrály typu ( ) ax + b f x, r, cx + d kde r N, r, a, b, c, d R a ad bc 0, řešíme substitucí t r ax+b. Pomocí této cx+d substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální lomené funkce. Integrály typu ( f x, ) ax + bx + c, kde b 4ac 0, tj. kvadratický polynom nemá dvojnásobný reálný kořen, řešíme pomocí tzv. Eulerovy substituce. Existuje několik variant těchto substitucí, zde uvedeme některé z nich: i) jestliže a > 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x < x, obdržíme ax + bx + c a (x x ) x x x x a x x x x x x, což s použitím substituce t x x x x ii) jestliže a < 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x < x, obdržíme ax + bx + c a převedeme na integrál z racionální lomené funkce; (x x ) x x x x a (x x ) x x x x, což s použitím substituce t x x x x převedeme na integrál z racionální lomené funkce; iii) jestliže a > 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x < x nebo jestliže kvadratický polynom nemá reálné kořeny, můžeme použít substituci ax + bx + c ± a x ± t, přičemž volba konkrétních znamének je zcela libovolná, čímž obdržíme integrál z racionální lomené funkce; iv) jestliže c 0, můžeme zavést substituci ax + bx + c ±x t ± c, s jejíž pomocí převedeme integrál na integrál z racionální lomené funkce. Integrály typu x m (a + bx n ) p, m, n, p Q, tedy tzv. binomický integrál, řešíme jednou z následujících substitucí i) jestliže p Z, volíme substituci x t s, kde s je společný jmenovatel m a n; ii) jestliže m+ n Z, volíme substituci a + bxn t s, kde s je jmenovatel p; http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 49 iii) jestliže m+ + p Z, volíme substituci n ax n + b t s, kde s je jmenovatel p. Integrály typu sin n x cos m x, kde m, n Z řešíme pomocí substituce i) t sin x, jestliže m je liché a n sudé nebo nula; ii) t cos x, jestliže n je liché a m sudé nebo nula; iii) t cos x nebo t sin x, jestliže m a n jsou lichá čísla; iv) jestliže m i n jsou sudá čísla, případně některé z nich nula, upravíme výraz pomocí vzorců sin x krokem i) iv). Integrály typu cos x a cos x +cos x. Dále pokračujeme dle získaného výsledku R (sin x, cos x), řešíme pomocí substituce i) jestliže R(sin x, cos x) R(sin x, cos x), volíme substituci t sin x; ii) jestliže R( sin x, cos x) R(sin x, cos x), volíme substituci t cos x; iii) jestliže R( sin x, cos x) R(sin x, cos x), volíme substituci t tg x; iv) jestliže nenastane ani jedna z předchozích možností, použijeme k řešení tzv. univerzální substituci: t tg x x arctg x a + t dt. Potom z obrázku t x + t získáme identity sin x t + t a cos x + t sin x t + t a cos x t + t. http://user.mendelu.cz/hasil
40 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (6) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + x + x +. x x + x + x + t x t 4 x t dt + t + t + t ( t t + t + ) ( t 4 dt t + x x + x + ln x + + C. t 4 + t + t dt t + 4 t + t + ln t + dt ) + C http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 4 (64) Pomocí vhodné substituce vypočtěte + x x x + 6 x 5. + x x x + 6 t 6 x + t x 5 6t 5 dt t t 6t 5 + t dt 6 dt t 6 + t 5 t + ( 6 t t + ) ( ) t dt 6 t + t + t ln t + + C x 6 x + 6 x 6 ln 6 x + + C. http://user.mendelu.cz/hasil
4 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (65) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + + x +. x + + t x + t + t(t + ) x + t dt t dt t t dt ( t + + ) ( ) t dt + t + ln t + C t x + + 4 x + + 4 ln x + + C. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 4 (66) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + x x. x + x x 4t t x+ x x +t t 4t (t ) dt t t + t 4t (t ) dt ( (t + )(t ) dt t + t + t + ln t + ln t + arctg t + C x + ln x + ln x + x + arctg ln x + x + x arctg x + C. ) dt x + x + C http://user.mendelu.cz/hasil
44 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (67) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x( x + 5 x ). x( x + 5 t 0 x x ) 0t 9 dt ( 0 t t + t t + 4 t 5 t + 0 0t 9 dt 0 t 0 (t 5 + t 4 ) ) dt ) + C ( ln t + t t + t ln t + 4t4 x ln ( 0 + x + ) 0 0 0 x 5 5 + 0 x 0 x 5 5 x + C. dt t 6 + t 5 http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 45 (68) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x +. x + t x + x + x t x + t dt (t 4 + t ) dt ( t 5 ( ) (x + ) x + + 5 t + t t t + dt t dt ) ( ) 5 + t + C t t 5 + + C + C (x + ) x + 5 + C. http://user.mendelu.cz/hasil
46 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (69) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + + x +. x + + x + t 6 x + t 6t 5 dt + t 6t5 dt ( 6 t 6 + t 4 + t t t + + t ) dt + t 6t7 7 + 6t5 5 + 6t4 4 6t 6t + 6t + 6 ( t + t + t ) dt 6t7 7 + 6t5 5 + t4 t t + 6t + ln + t 6 arctg t + C 6 6 (x + )7 + 6 6 (x + )5 + (x + ) x + x + + 7 5 + 6 6 x + + ln + x + 6 arctg 6 x + + C. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 47 (70) Pomocí vhodné substituce vypočtěte + x. x x t +x + x x x x t x t (t ) dt t dt t + C (t ) t t (t ) dt ( ) + x + C. x http://user.mendelu.cz/hasil
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (7) Pomocí vhodné substituce vypočtěte (x + ) x + 4. (x + ) t x + x + 4 t dt ( 5(t + ) + 48 5(t 4) x + 5 ln x + + t t t 4 dt ) dt t 48 ln t + + 5 5 + 48 + C. 5 ln x + 4 ln t 4 + C http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 49 (7) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + x. x + x x + x + x x + x + x t x t dt t ( + t) t t t dt dt + t + t ( ) t Př. (45) t dt + t t t t + arcsin t dt + t t sin u t + arcsin t + sin u du t t + arcsin t ( sin u) du t sin u arcsin t u dt du t t t + arcsin t u cos u + C t t + arcsin t u sin u + C x x + arcsin x arcsin x x + C ( x ) x arcsin x + C. http://user.mendelu.cz/hasil
40 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (7) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + x x + + x. x + x x + + x t t t + t t ( t t ( ( u u + u u + u u du u 4 4 4 ln u + C 6 t x + t x t dt t t t ) t t t t t t t t ) ( u u + u ( 4 u u t t t + t t dt dt )) du ) du dt u t t u + u t du t t t ( ) 4 t t ln t t + C ( x ) 4 x + ln x x + + C 6 ( (x ) 4 (x ) / (x + ) / + 6 (x ) (x + ) 6 ) 4 (x ) / (x + ) / + (x + ) ln x x + + C ( x x + 4 (x ) / (x + ) / + 6 ( x ) 6 ) 4 (x ) / (x + ) / + x + x + ln x x + + C x x x ln x x + 4 + C. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 4 (74) Pomocí vhodné substituce vypočtěte + x + x +. + polynom x + x + má reálné kořeny, x + x + t x x+ x t 6t t + (t + (x + ) x + +) t + + t dt t + x x+ 6t dt (t +) 6t t + t dt 6 (t + ) t + t + (t + )(t + t + ) dt ( 4 5 5 t + + 5 t + 4 ) 5 5 t + dt 5 4 5 t 5 ln ( 4 5 + + 5 arctg t ) ln t + 5 + C 5 5 5 ln x x + + + 5 + 5 5 ln x x + + 5 arctg x x + + C. http://user.mendelu.cz/hasil
4 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (75) Pomocí vhodné substituce vypočtěte (x ) x + x +. polynom x + x + nemá reálné kořeny x + x + x + t (x ) x t t x + x + x t +t t x + t t t+ t (t t+) dt (t ) (t t+) ( (t ) dt t +t t t+ t + t dt t + + ) t + dt t t t ln t + + + ln + ln x + x + x + + x x + x + + + C. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 4 (76) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + x x +. x + x x + (t t+) (t ) polynom x x + nemá reálné kořeny x x + t x x t t (t t+) dt (t ) t t + dt t + t t t t ( t t + (t ) t(t ) dt ) u t dt ln t + du dt u ln t ln t ln t ln u (t ) + C ln x + x x + x ln + x x + ( u + ) du u 4x + x x + + C. http://user.mendelu.cz/hasil
44 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (77) Pomocí vhodné substituce vypočtěte (x + 4) x + x 4. (x + 4) polynom x + x 4 má reálné kořeny, 4 x + x 4 (x + 4) x + 4 x x+4 t x x+4 x 4t + t x + 4 5 t 0t dt ( t ) 0t ( t ) ( 5 t ) 5 t t dt t 5 t dt 5 sgn ( t ) dt 5 sgn ( t ) t + C 5 sgn (x + 4) x x + 4 + C 5 x x + x 4 + C. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 45 (78) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x x + x +. x x + x + polynom x + x + má reálné kořeny, x x+ x + x+ t(t ) t ( t ) t t x+ x+ x t t x + t t dt ( t ) t t t ( t ) t t dt dt sgn ( t ) 4t ( t ) dt sgn ( t ) ( (t ) + (t + ) (t + ) + (t ) sgn ( t ) ( (t ) (t + ) ln t + + ln t sgn ( t ) ( t t ) ln t + t + C sgn ( t ) t t sgn ( t ) t + ln + C t x + sgn (x + ) x + x + sgn (x + ) x + x + x + sgn (x + ) ln x + x + sgn (x + ) ln x + sgn ( t ) ln x + sgn ( t ) ln x+ (t + ) t + C t + t + C ) dt ) + C + x+ + C x+ ( ) x + + x + x + + C x + ( ) x + x + sgn (x + ) ln x + + x + + C. http://user.mendelu.cz/hasil
46 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (79) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + x + x. x + x + x polynom x + x má reálné kořeny ± 5 x + x x + t (t t ) (t + t + t + )( t) dt x t + t x + t (t t ) t (t t ) dt ( t) ( t + ( ) t ) dt t ln t + ln t + C x + x x ln x + x x + ln x + x x + C. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 47 (80) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 4x + 6x 5. 4x + 6x 5 polynom x + x má reálné kořeny 5 a x + 4x 5 4 t 5 x x x 5+t t + x ( 5 x) ( ) x ( ) x 5 x x 5 x dt arctg t + C arctg t + x + C. t + t (t +) dt t (t +) t + t dt http://user.mendelu.cz/hasil
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (8) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x(7 + 5x 4 ). Jde o binomický integrál. x(7 + 5x 4 ) p Z x t, t dt t(7 + 5t ) t dt t (49 + 70t + 5t 4 ) dt 49t + 70t 5 + 5t 7 dt t4 56 (686 + 45t + 50t 4 ) + C 56 x x(686 + 45x 4 + 50x 8 ) + C. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 49 (8) Pomocí vhodné substituce vypočtěte ( + 5x) 4. x Jde o binomický integrál. ( + 5x) 4 x 4 ( + 5x) p Z x t 4, 4t dt x t ( + 5t 4 ) 4t dt 4 ( + 5t 4 ) dt (8 4 + 60t 4 + 50t 8 + 5t ) ( dt 4 8t + t 5 + 50 t9 + 5 ) t + C 4 9 4 x( + 468x + 650x + 75x ) + C. http://user.mendelu.cz/hasil
440 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (8) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x x. Jde o binomický integrál. x p m+ Z, 4 Z n x x t, x t, t dt, x x 4t dt ( ) t ( t 4 ) t dt 4 ( t ) t dt 4 4 8t t 4 + 6t 6 t 8 dt 4 ( 8 4 4 t 5 t + 6 7 t4 ) 9 t6 + C 4 [ 8 ( x) 8 5 ( x) + 6 7 ( x) ] 9 ( x) + C. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 44 (84) Pomocí vhodné substituce vypočtěte + 4 x. x Jde o binomický integrál. + 4 x x ( + x 4 ) x (t ) tt (t ) dt ( ) t 7 7 t4 + C ( + x 4 4 ) 4 p m+ Z, Z n + x 4 t, x (t ) 4, 4(t ) t dt t (t ) dt t 6 t dt ( ) + x 4 + C. 7 4 http://user.mendelu.cz/hasil
44 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (85) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x ( ) x 7 7. Jde o binomický integrál. x ( ) x 7 7 x ( ) + x 7 7 p m+ Z, Z 7 n + x t 7, x 9(t 7 + ), 7 4(t 7 + ) t 6 dt (t 7 + ) t 4(t 7 + ) t 6 dt ( ) 6 t 8 dt 4t 9 + C 4 x 9 7 7 + C. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 44 (86) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 4. + x 4 Jde o binomický integrál. 4 + x 4 ( + x 4 ) 4 p 4 Z, m+ n 4 Z, m+ n + p 4 4 0 Z x 4 + t 4, x (t 4 ) 4, + x 4 t 4 x 4 t 4 (t 4 ), 4 (t4 ) 5 4 4t dt ) t (t 4 ) 4 (t 4 ) 5 4 4t dt ( 4 t ( (t )(t + )(t + ) dt 4 (ln t ln t + + arctg t) + C 4 t t 4 dt ) t 4 t + + dt t + 4[ ln( 4 x 4 + ) ln( 4 x 4 + + ) + arctg( 4 x 4 + ) ] + C. http://user.mendelu.cz/hasil
444 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (87) Pomocí vhodné substituce převeďte binomický integrál na integrál z racionální lomené funkce. x + x. x x( + x + x) p Z, m+ n Z, m+ n + p Z x + t, x (t ), + x t x t (t ), t(t ) dt (t ) t(t ) ( t)(t ) dt t (t ) dt. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 445 (88) Pomocí vhodné substituce převeďte binomický integrál na integrál z racionální lomené funkce. x 8 7x. x 8 7x p Z, m+ n Z, m+ n + p Z 8x 7 t, x (t + 7), 8 7x t x t 8(t + 7), t (t + 7) 4 dt (t + 7) t(t + 7) ( )t (t + 7) 4 dt 8 t (t + 7) dt. http://user.mendelu.cz/hasil
446 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (89) Pomocí vhodné substituce vypočtěte cos 5 x sin x. ( cos 5 x sin x sin x ) cos x sin t sin x x dt cos x ( ) t (t t dt t 4 + t 6) dt t t5 5 + t7 7 + C sin x sin5 x 5 + sin7 x 7 + C. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 447 (90) Pomocí vhodné substituce vypočtěte cos 5 x sin 4 x. ( cos 5 x sin 4 x sin x ) cos x sin 4 t sin x x dt cos x ( ) t (t t 4 dt 4 t 6 + t 8) dt t5 5 t7 7 + t9 9 + C sin5 x 5 sin7 x 7 + sin9 x 9 + C. http://user.mendelu.cz/hasil
448 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (9) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x. sin x sin x sin x t cos x dt sin x dt t dt t ( ) t dt t + ln t ln t + + C ln cos x ln cos x + + C ln cos x cos x + + C ln sin x cos x + C ln tg x + C ln tg x + C. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 449 (9) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x + 4 cos x + sin x. sin x + 4 cos x + sin x t cos x dt sin x t ( + 4 5 dt 5 t + 4 t + 4 cos x 5 cos x arctg + C. t + 4t + t dt ) dt t 5 arctg t + C http://user.mendelu.cz/hasil
450 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (9) Pomocí vhodné substituce vypočtěte + sin x. t tg x sin x + sin t x +t dt +t t arctg + C +t dt + t +t ( ) arctg tg x + C. + t dt t + dt http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 45 (94) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin 4 x cos 4 x. sin 4 x cos 4 x t tg x +t dt ( t + t + tg x t 4 (+t ) (+t ) + t dt ) dt t t + arctg t + C tg x + arctg (tg x) + C tg x t 4 + t dt tg x + x + C. http://user.mendelu.cz/hasil
45 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (95) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 5 4 + sin x. 5 4 + sin x 5 t tg x sin x dt t + t + 5 t +t +t dt ( t + 4 dt 5 4 + t + t dt +t ) + 5 6 5 4 5 arctg t + 4 5 4 0 arctg 4t + + C 5 arctg 4 tg x + + C. 5 5 5 0 4 + 4t + t dt + C http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 45 (96) Pomocí vhodné substituce vypočtěte cos x. t tg x cos x +t dt arctg t + C +t t dt +t arctg ( tg x t + dt ) + C. dt t + http://user.mendelu.cz/hasil
454 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (97) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x + cos x. sin x + cos x t cos x dt sin x dt + t ln + t + C ln + cos x + C. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 455 (98) Pomocí vhodné substituce vypočtěte cos x sin x. cos x sin x t sin x t dt cos x t dt ( + t + ) dt t t + t + ln t + C sin x + sin x + ln sin x + C. http://user.mendelu.cz/hasil
456 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (99) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x sin x cos x. sin x sin x cos x tg x tg x t tg x +t dt ( ) t (t )(t + ) dt t + t dt t + ln t + ( ) t t + dt + dt t + ln t 4 ln t + + arctg t + C ln tg x 4 ln tg x + + x + C. t t + t dt http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 457 (400) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x + cos x. sin x + cos x t tg x t +t dt +t + t + t dt +t + t t + t + t + t dt t t + + t 4 ( + t )(t + ) dt t + dt t + t dt t t + dt + 4 dt t + t + t dt t t + dt + 4 dt t ( ) t + t dt + ln t + + 4 arctg t ln + t + C ln tg x tg + ln x + 4 + arctg tg x + C. http://user.mendelu.cz/hasil
458 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (40) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x. Tento příklad je jedním z mála příkladů, které lze řešit jiným způsobem než univerzální substitucí t tg x, ale právě využití této substituce je nejvýhodnější. (Porovnejte s Příkladem 9.) sin x t tg x +t dt + t t + t dt t dt ln t + C ln tg x + C. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 459 (40) Pomocí vhodné substituce vypočtěte + sin x. Tento příklad je možné řešit substitucí t x a následně substitucí z tg t. Výhodnější je ale následující způsob. + sin x + sin x cos x t tg x +t dt + t + t dt ( + t) dt t + + C tg x + + C. +t +t http://user.mendelu.cz/hasil
460 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (40) Pomocí vhodné substituce vypočtěte + sin x. + sin x t tg x +t dt + t + t dt t + t + dt dt (t + +t ) + 4 t + y dt dy 4 (y + ) dy arctg y + C t + arctg + C arctg tg x + + C. http://www.math.muni.cz/~xzemane
II.. Speciální integrační metody 46 (404) Pomocí vhodné substituce převeďte daný integrál na integrál racionální lomené funkce. sin x sin x + cos x. sin x sin x + cos x t +t + t t + t dt sin x + cotg x t tg x +t dt 4t ( + t ) ( + t t ) dt 4t ( + t ) (t + 5)(t 5) dt. Poznámka. Po rozkladu na parciální zlomky, integraci racionálních lomených funkcí a vrácení substituce vyjde [ ] 8 5 5 5 arctgh 5 ( tg x ) 5 tg x tg x + + C 5 cos x 5 sin x 8 5 5 arctgh [ ] 5 (sin x + cos x ) + C. 5 sin x http://user.mendelu.cz/hasil