. TAYLORŮV POLYNOM. Nalezěte Talorov olom řádu k v bodě a ro ásledující fukce: a) arctg, k D, a D b) tg, k D, a D c) e, k D 5, a D. Vočtěte: a) cos.;/ s chbou meší ež. b) log.;/ s chbou meší ež. c) e s chbou meší ež.. Nalezěte Talorov olom řádu k v bodě (okud eí řečeo jiak) ro ásledující fukce: a) si cos, k D b) tg, k D 5 c) e, k D d) cos. /, k D, v bodě e) 7 si. /, k D f) cos.si /, k D 5 g) si.si /, k D h) si. cos /, k D i) log.cos /, k D d). Sočtěte limit: cos e ; b) lim ; c) lim si ; si.si / si./ C d) lim ; 5 C 5 C C 5 ; f) lim cotg ; g) lim ; si C e si cos.si / C C ; i) lim.cos / si.cos / si ; j) lim :. si / a) lim e si. C / e) lim!c h) lim!c 5. Najděte N tak, ab říslušá limita bla koečá a růzá od a sočtěte tuto limitu:. C / e. C / a) lim ; b) lim. Najděte a; b R tak, ab D ; c) lim. C /. / C e cos cos.tg / ; d) lim ; e e) lim tg.si / si.tg / : a) lim.a C b cos / si D ; b) lim a si b tg D a sočtěte lim a si b tg 5 ; 7. Všetřete kovergeci ásledujících řad: X a) log si X ; b) D D r!! X C log ; e) C c) lim cos a C arctg b b R a sočtěte ji. si ; c) X D si X D log C ; f) tg 5 si 5 X D e 5 ; arcsi Výsledk:. a) C. /. / C. / b) C. / C. / C 8. / c) e C e. / C e. / C e. / C e. / C e. / 5. a) ;995 b) ;95 c) ;5. a) b) C C 5 5 c) C C C d) g) C 5 h) i) 5. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 5 j) 5 5. a) ( D ) b) e ( D ) c) 7 8 ( D ) d) ( D ) e). a) a D, b D b) a D, b D, limita je 7. a) K b) K c) D d) K e) D f) K 9. / 9. / e) 9 f) ( D 7) c) a D, b D, limita je C 5
. MOCNINNÉ ŘADY. Nalezěte oloměr kovergece ásledujících mociých řad a všetřete jejich kovergeci v krajích bodech itervalu kovergece: X a) ; b) X X X ; c) Š ; d) ; e) X X Š X Š X log ; f) ; g)./š ; h) ; ) D D D D X i) ; R; j) X Š X a ; a > ; k) D D D X C X C. / ; o) ; ) D D r) X D D D C. /. C / ; l) X D C ; s)* X.Š/./Š ; D C C C ; ) t)* D D X X Š ; ; m) a ; a > ; D D X a C b ; b > a > ; X./ : Š D D Výsledk:. a) R D, AK b) R D, K, D c) R D d) R D C e) R D, D f) R D, D g) R D C h) R D, K, D i) R D, D ro, K ro >, D ro, K ro > j) R D ro a, R D C ro a > k) R D, K, D l) R D C m) R D, D ro a, AK ro a > ) R D e, e D o) R D, D ) R D, D ) R D b, b AK r) R D, AK s) R D, D (Raabe) t) R D e, e K, e D (Raabe+Talor)
. PRIMITIVNÍ FUNKCE. Nalezěte rimitiví fukce a co ejvětších možiách k ásledujícím fukcím: a) C C 7 ; b) 8e C e 8 C cos ; c) C si./; d) cos./ C e ; e). C 5/ ; f) si. C 7/; g) cos. / ; h) ; i) ; j) C. / ; k) ; l) ; m) 5 ) ; o) C ; C ; ) ; ) ; r) C 5 ; s) e C e C ; t) tg ; u) cotg ; v) jcos j; w) si ; ) si ; ) cos ; z). Nalezěte rimitiví fukce a co ejvětších možiách k ásledujícím fukcím: C cos a) e ; b) arctg C ; c) tg ; d) C 5 ; e) cos. / ; f) C ; g) C ; h) log ; i) C C C ; j) si log ; k) r) e e C ; l). C / ; m) C C C 9 ; ) C ; o) 8 C ; ) si ; ) e C e ; s) log C log ; t) cos5 si ; u) tg 5 ; v) si C cos ; w) cos C cos./ log log log ;. Nalezěte rimitiví fukce a co ejvětších možiách k ásledujícím fukcím: a) e ; b) e ; c) log ; d) log ; e) e ; f) cos e ; g) ec si ; h) log ; i) a log ; j) e a si b; k) arctg ; l) arcsi ; m) e ; ) log C C ; o) 5 e ; ) si ; ) arctg ; r) si log ; s) e si ; t) ; u)* earctg. C /. Nalezěte rimitiví fukce a co ejvětších možiách k ásledujícím fukcím: a) C C ; b) C ; c). / ; d) ; e) C ; f) 5 C ; g) C. /. C / ; h). C /. C / ; i) ; j) 7 5 ; k) 7 5 ; l) C 5 C ; m) ; C ). C C / ; o) C ; ) 8 C C 5. Nalezěte rimitiví fukce a co ejvětších možiách k ásledujícím fukcím: a) si ; g) arctg e b) ; c) e si cos C si ; h) cos si ; m) si cos si C cos ; d) si si C cos ; e) ; f) C e C e C e si si C cos ; i) si C cos si C cos ; j). C cos / si ; k) si C ta ; l) si C si ; C si. C / ; ) si cos C 5 ; o).si C cos / ; ) a si ; a; b > ; C b cos ) C " cos ; < " < ; r) si C si ; s) si cos si C cos ; t) si si C cos ; u) si C cos. Nalezěte rimitiví fukce a co ejvětších možiách k ásledujícím fukcím: a) C C ; b) C C C ; c). C / ; d) C ; e) C C C ; f) C C C ; g) C ; h) C. /. C / ; i) r C ; j) r C ; k) ; l) ; m). C / ; ) ; o) C C ; ) C ; C ) ; r) C C C C C ; s) C C C C C ; t).5 /
Návod: 5. a) R b) er artes c) R t d) R t Ct t.t / e) R f) R t t.ctct Ct /.tc/.t C/ h) R i) R t C j) R k) R t Ct t. t /.t C/.t C/.Ct/. t / t g) R t l) R.tC/ ebo R t.tc/.ct / m) R Csi u du, R.tC/ ) R t CtC o) R Ct.Ct / ) R a t Cb ) R r) R t s) R t.t / t) R t u) R Ct C"C. "/t.t C/.t C/.Ct /.t t / Ct Ct. a) R t Ct b) R.t tc/.t /.t / c) R t d) R e) R t.t / D R t.t /.t t C / t.tc/ Ct.tC/ f) R t tc g) R t 5.t CtC/ h) R t i) R t t. t/ tc j) R t t.t C/.t /.t C/.t / k) R 8t ebo R t.tc/ l) R t ebo R.t Ct / m) R t C ) R.t / o) R. t /. t /.tc/. t /.tc/.t C/. t/.ct / ) R t.ct /.t C ebo R t Ct ) R t r) lze vužít vzorec ro a b, kde a D C a tc/. t/.ct /. t/.ct/ b D C s) R t.t tc/. t/.t / t) R t.ct / Výsledk:. a) C C 7 logjj a. ; / a a.; C/ b) 8e C e 8 logjj C si a. ; / a a.; C/ c) cos./ a.; C/ d) si./ C e a R e). C 5/ a R f) cos. C 7/ a R g) tg. / a ; C C k, k h) logj j a. ; / a a. ; C/ i). / a R j) C a.; C/ k) 9 C 9 5 5 8 a. ; / a a.; C/ l) 8 5 5 a. ; 5 / m) arctg a R ) 7 7 C a.; C/ o) arctg a R ) arcsi a ; ) sg a R r) log 5 5 C 5 log a R s) e e C a R t) C tg a. ; / C k, k u) cotg a.; / C k, k v) a R:. / k si C k ro h ; i C k, k w) a R:. /k.si C cos / C k ro h ; i C k, k ) si a R ) 8 C si C si a R z) tg a. ; / C k, k. a) e a R b) arctg a R c) logjcos j a. ; / C k, k d) C 5 a R e) tg. / a C k;, C k k f) 8 log. C / a R g) arctg. / a R h) logjlog j a.; / a a.; C/ i) log. CC/ a R j) cos log a.; C/ k) log.e C/ a R l) arctg a.; C/ m) log. CC9/ a R ) C logj C j a. ; / a a. ; C/ o) arctg a R ) cos C cos a R ) logjlog log j a.; e/ a a.e; C/ r) e log.ce / a R s).clog / C log a. e ; C/ t) si 7 si 7 C si a.; / C k, k u) cos cos logjcos j a. ; / C k, k v) a R: F./ D arctg tg C k arcsi si a R ro. ; / C k, F. C k/ D C k, k w). a) e. / a R b) e.c/ a R c).log / a.; C/ d).log / a.; C/ e) e. C C / a R f) e.si cos / a R g) ec. si cos / a R h).log log C / a.; C/ a.; C/ ro a, log a a si b b cos b a.; C/ ro a D j) e a R k) arctg a Cb i) Ca Ca log Ca log. C / a R l) arcsi C a. ; / m) e a.; C/ ) log C C C a R o). /e a R ). si C si / a R ) arctg C log. C / a.; C/ r).si log cos log / a.; C/ s) e si C. / cos a R t) C arcsi a. ; /. /earctg u) a R C. a) log. C / C arctg a R b) C log ˇˇ ˇ a. ; /, a. ; / a a.; C/ c) C a. ; / a a.; C/ d) 97. / 97 log ˇˇ C ˇ a. ; /, a. C 99. / 99 9. / 98 ; / a a.; C/ e) log. C / C arctg a R f) 7 7 C 5 C logj C j C logj j a. ; /, a. ; / a a.; C/ g) C log ˇˇ Cˇ a. ; /, a. ; / a a.; C/ h) log ˇˇ Cˇ a. ; /, a. ; / a C C C a. ; C/ i) j log j 8 C a ; C, a C ; C a a C ; C j) logj j C P 7 kd k k a. ; / a a.; C/ k) logj C j logj j C P 8 kd k a. ; /, a. ; / a k a.; C/ l) C logjj 9 logj j C 8 logj j a. ; /, a.; /, a.; / a a.; C/ m). / log C arctg C a. ; / a a.; C/ ) CC o) 8 log C C C C arctg. C / C ) C log.c /C a R 5. a) a. C CC 7 C C 7 7C.C/ 9 arctg C 7 a R arctg. / a R (áověda k rozkladu: racujte s výrazem. C / ) log. C/ C log. C C/ log cos Ccos a.; /Ck, k b) log.ce / arctg e e a R c) arctg. / ; / C k, a.; / C k a a. ; / C k, k e) arctg e log.e C / C arctg. C / log.ccos / a R d) log cos jcos j log.e C / a R
f) a. ; / C k: F./ D C log tg C ro.tg C/ C k, F. C k/ D C k, k g) arctg si a R h) logjtg j a.; si / C k, k i) a R: F./ D arctg tg C k ro. ; / C k, F. C k/ D.k C /. /, k j) log. C cos / C log. cos / log. C cos / a.; / C k, k k) logjtg j tg a.; / C k, k l) a. ; / C k: F./ D C ro C k, Ctg F. C k/ D C k, k m) a k C k ; C, a ; a a k C k ; C C, k N: F./ D ro C k, Ctg C F. C k / D, k ) a R: F./ D arctg C tg Ck ro. ; /Ck, F.Ck/ D.kC 5 5 5 /, 5 tg C k.ctg / ro. ; / C k, F. C k/ D.k C /, k ab arctg a b tg C k ab ro. ; / C k, F. C k/ D.k C /, k ) a R: F./ D ab C k ro. ; / C k, F. C k/ D.k C " /, k r) a R: F./ D k o) a R: F./ D tg arctg ) a R: F./ D arctg " " C" tg arctg tg k ro. ; / C k, F. C k/ D.k C /, k s) a. ; / C k: F./ D tg C Ctg logˇˇˇ tg ˇ ro C l, F. C l/ D, k; l t) a. tg C ; / C k: F./ D G./ ro. ; / C k, F./ D G./ C ro. ; / C k, F. C k/ D, k, kde G./ D log tg tg C C.tg C/ arctg tg u) a R: F./ D arctg tg C C arctg tg Ck ro. ; /Ck, F. Ck/ D.k C /, k. a) C log C C a. ; C/ b) C C C logˇˇ C C ˇˇ logˇˇ C C ˇˇ a. ; / a a. ; C/ c) C log C 7. C / 7. C / C 5. C / 5 C a.; C/ d) arctg. C / a. ; C/ f) CC " a.; / e). C / log C C a R. C / C g) 7. C / 7 C 5. C / 5. C / C C C C C log C C a. ; / a a.; C/ h) log ˇ C ˇ ˇ C log C C C C arctg C C a. ; /, a. ; / a a.; C/ i) log ˇ C C C ˇˇˇ C arctg C a. ; / a a.; / j) log jt j arctg tc C arctg t, kde t D t Ct C C, a. ; /, a. ; / a a.; C/ k) sg. / Clogˇˇˇ ˇ log C ebo. / C logˇˇ C ˇˇ, a. ; / a a.; C/ l) sg. C r r r /. /. C / C Clogˇˇˇˇ C! ˇ log C C ebo. / C logˇˇ C ˇˇ, a. ; / a a. C ; C/ m) 8 arctg C C 8 arctg C C a. ; / ). / C C C 8 log C C a R o) arctg a. ; / C ) log t C log t C C r C arctg t, kde t D CC, a. ; C /; ebo log. t/ arctg t, kde t D, a. ; / a a.; C /, lze sleit v ) C log C a.; C/ r) C. C / log. C t t C / a.; C/ s) 8 C logjt j logjt j, kde t D 7 C C, a. ; /, a. ; / a a. ; C/ t) 5 log t C tc t C 5 tc arctg. t C/C 5 arctg. t 5t /, kde t D, a.; 5/ Ct 5 5
e). Sočtěte tto určité itegrál: a) C e d; N ; b) d C cos ; f) arctg d; g) k) 8. URČITÉ INTEGRÁLY si d; N ; c) j j d; h) 9 C d ; < " < ; l) C " cos si cos d; N ; d) d C ; i). si / d C e ; j) d C cos ; C e ;. /ŠŠ. /ŠŠ Výsledk:. a) Š b) ro sudé, ro liché c) ŠŠ ŠŠ i) j) k) 8 " l) C d) e) f) g) h) log
k) f) 5. KONVERGENCE INTEGRÁLŮ. Všetřete kovergeci ásledujících itegrálů ( ; ˇ; R): o) f) k) C si a) d; b) d; g) cos C log C e d; ) t) w) C C d; l) C 7 C C si log d; c) d; d) d arctgˇ d; h) log ; i) C log. C / d; ) logˇ. / arccotg d; u) C ˇ d; ) C d; m) C C arctg d; e) si d; log. C / log d; j) d; log. C e / d; ). C d; r) si cosˇ d; v) d; ) C ˇ. Všetřete kovergeci ásledujících itegrálů ( R): a) C C C ) C si d; b) si d; g) si. / C d; C C si si d; ) e cos C si C d; h) d; c) C C l) si. / d; m) t) C C C arctg si si C d; i) C e.si / si d; r) si C d; u)* jlog j d; s) si cosˇ. tg log cos d; z) d; d) C si. C / d; ) C C C C cos C si d; e) e d; j) si.e / d; o) si d; s) C si si. C log / d C /ˇ d; cos / d; arccos log d C C C C si d; si C d; cos. / d; si.log / d; si C si d; Návod:. b) výočet c) rozdíl itegrálů k) růstová škála ) ro D substituce r) log D log s) Talor arccotg arccos t) lim!c sočteme substitucí D cotg z) lim! sočteme substitucí D cos. /ˇ. d) BC, jsi j si g) rozdíl itegrálů ebo Abel h) jsi j si j) o) substituce ) substituce r), s) součet itegrálů t) si.a C b/ u) substituce Výsledk:. a) K b) K c) D d) D e) K, > f) D g) K, < < C ˇ h) D i) K j) K k) K l) K m) K ) K, >, ˇ > o) K, > ) K, > ebo D a ˇ > ) K, < < r) K, > s) K, < < t) K u) K, >, ˇ > v) K, ˇ >, C > w) K, maf ; ˇg >, mif ; ˇg < ) K, < C < ˇ ) K, < < z) K, <. a) D b) AK c) AK d) AK ro >, NAK ro < e) NAK f) AK g) D h) NAK i) AK ro < < 5, NAK ro < j) NAK k) NAK l) AK ro <, NAK ro > m) NAK ) NAK o) D ) AK ro < <, NAK ro < ) AK ro < <, NAK ro < r) NAK s) D t) NAK ro < < u) AK ro >, NAK ro < 7
. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU. Vočtěte obsah obrazce ohraičeého křivkami: a) D C ; D ; b) D C 8; D 7 ; D 8; c) D ; D ; D a; D b; < a < b; < <. Vočtěte lochu elis.. Vočtěte délku křivk, která je grafem fukce: a) log cos ; h; i; b) ; h; i; c) e ; h; ai; a >. Vočtěte obvod kruhu. 5. Vočtěte délku křivk daé arametrickým vjádřeím (a > ): a).t/ D a.t si t/;.t/ D a. cos t/; t h; i; b).t/ D a.cos t C t si t/;.t/ D a.si t t cos t/; t h; i. Vjádřete arametrick asteroidu, tj. roviý útvar C D a, a > a vočtěte jeho délku. 7. Vočtěte délku části Archimédov sirál zadaé v olárích souřadicích rovicí r D a', ' h; i, a >. 8. Vočtěte objem a) koule, b) kužele, c) rotačího elisoidu, d) auloidu. 9. Vočtěte objem rotačího tělesa, které vzike rotací obrazce ležícího v roviě kolem os. Obrazec je ohraiče křivkami jejichž rovice jsou D a D.. Vočtěte ovrch a) koule, b) kužele, c) auloidu.. Vočtěte obsah rotačí loch, která vzike rotací křivk D, h; i kolem os. Výsledk:. a) b) 9 c).b a/. /. ab. a) log b) 8 7. / c) a C C e a C log. C / log. C C e a /. r 5. a) 8a b). a 7. a C C a log C C 8. a) r b) r v c) ab d) Rr 9.. /. a) r b) r r C v C r c) rr. 55 log 8
7. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH ŘEY, LIMITA A SPOJITOST. Určete a akreslete defiičí obor, vrstevice a (okud to lze) řez rovoběžé s roviami a : a) C ; b) ; c) C ; d) ; e) jj C ; f) mif; g; g) maf; g; h) ; i) ; j) C ; k) arcsi ; l). C / ; m). C /. /; ) si. C /; o) sg.si si /. Všetřete lim lim f.; /, lim lim f.; / a lim f.; /, kde!! Œ;!Œ; a) f.; / D C. / ; b) f.; / D. C / si ro ; f.; / D. Všetřete ásledující limit: si. C / a) lim ; b) lim Œ;!Œ; C Œ;!Œ; e) lim Œ;!Œ; i) lim Œ;!Œ; l) lim Œ;!Œ; ; f) lim C Œ;!Œ; ; j) lim C. / Œ;!Œ; C ; m) lim C C Œ;!Œ; log. C C / ; c) lim C Œ;!Œ; si./ ; g) lim C Œ;!Œ; C C ; d) lim C Œ;!Œ; C ; ; h) lim C Œ;!Œ; C ; C C C ; k) lim ; Œ;!Œ; C C C ; ) lim Œ;!Œ;. C / C ; o) lim. C / ; ) lim. C C / ; ) lim. C / e ; r) lim Œ;!Œ; Œ;;!Œ;; Œ;!Œ; Œ;!Œ; s) lim Œ;!Œ; si./ ; t) lim C Œ;!Œ; si si cos cos ; u) lim ; v)* lim cos. C / Œ;!Œ; C Œ;!Œ; w)*. Lze fukci si./ rozšířit sojitě a celou roviu? 5. Lze fukci rozšířit sojitě a celou roviu? si Csi C si C log. C / lim Œ;!Œ; C C C C ; C ; Výsledk:. a) D f D R Œ; C/, vrstevice jsou levé olovi arabol b) D f D.R fg/ R, vrstevice jsou římk rocházející očátkem c) D f D R, vrstevice a hladiě c je kružice se středem v očátku a oloměrem c d) D f D R, vrstevice jsou herbol a jeda dvojice římek e) D f D R, vrstevice a hladiě c R je graf fukce c jj f) D f D R g) D f D R h) D f D Œ; C/ [. ;, vrstevice a hladiě c > jsou herbol tvaru c, a hladiě je to dvojice os i) D f D fœ; R I C g, vrstevice a hladiě c je kružice se středem v očátku a oloměrem c j) D f D fœ; R I C > g, vrstevice a hladiě c > je kružice se středem v očátku a oloměrem C k) D c f D fœ; R I jj > g [ fœ; R I jj < g, vrstevice jsou římk rocházející očátkem l) D f D fœ; R I g, vrstevice jsou dvojice arabol, a hladiě jeda arabola m) D f D fœ; R I C g, vrstevice a hladiě c < jsou dvojice kružic se střed v očátku a oloměr 5 9 c, a hladiě jeda kružice se středem v očátku a oloměrem ) D f D fœ; R I k C.k C /; k N g, vrstevice jsou oslouosti kružic se střed v očátku o) D f D R, vrstevice a hladiě a jsou šachovice, a hladiě mřížka. a) dvojásobé limit jsou, dvojá eeistuje b) rostředí limita eeistuje, ostatí jsou. a) b) c) C d) e) eeistuje f) g) eeistuje h) eeistuje i) j) eeistuje k) l) m) ) o) ) ) r) s) eeistuje t) eeistuje u) v) w) eeistuje. ANO 5. ANO (f.a; a/ D cos a) 9
8. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH PARCIÁLNÍ DERIVACE, TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL. Všetřete arciálí derivace a totálí difereciál ásledujících fukcí (říadě dodefiovaých ulou v očátku): a) m ; m; N b) e ; c) C C ; d) ; e) C ; f) C ; g) jj; r h) ; i) C arcsi ; j) j si j; k) C ; l) jj; m) C ; ) C ; o) C C C ; ) C C log. C /; ) e CC ; r). C / si C ; s) C ; t) ; u) ; v) ; w)* jsi si j; )* C log. C /; )*.jj C jj/ C Výsledk:. a) @ D mm, @ D m, totálí difereciál eistuje všude b) @ D e, @ D e, TD eistuje všude c) D C, D C, @ @ @ D C, TD eistuje všude d) D f D fœ; R I C g,.; / D @ a @ D ro C <, TD eistuje okud C < e) @ D a @ D mimo očátek, TD eistuje všude kromě očátku f) C @.; / D a. C / @.; / D. okud C /,.; / D.; / D, TD eistuje všude kromě D g).; / D jj sg ro,.; / D jj sg @ @ @ @ ro,.; / D.; / D, jide PD eeistují, TD eistuje mimo os a v očátku h).; / D ro, @ @ @.; / D @ ro, @.; / D.; / D, jide PD eeistují, TD eistuje mimo os @ i) C D f D fœ; R I. ^ / _. ^ /g, @.; / D C ro Œ; D f, a, @.; / D arcsi ro Œ; D f,,.; / D, jide PD eeistují, TD eistuje tam, kde j).; / D sg. si / cos @ @ @ a.; / D sg. si / okud si, @ @. C k;. /k / D, jide PD eeistují, TD eistuje mimo D si k) @.; / D a.; / D.C / @ okud.c /, jide PD eeistují, TD eistuje tam, kde PD l) @.; / D sg ˇ ˇˇ ˇ okud, @.; / D sg ˇ ˇˇ ˇ okud, @.; / D.; / D, jide PD eeistují, @ TD eistuje mimo os m) @.; / D. a C / @.; / D. ro Œ; Œ;,.; / D.; / D, C / @ @ TD eistuje mimo očátek ) @.; / D. C / a. C / @.; / D. / ro Œ; Œ;,.; / D.; / D,. C / @ @ TD eistuje všude o) @.; / D C. a C / @.; / D C. C / ro Œ; Œ;,. C / TD eistuje všude ) D f D fœ; R I. > ^ > /_. < ^ < /_. D /g, @ a.c/.; / D @ mimo očátek @.; / D @.; / D.C/. C /.C/ @.; / D.; / D, @ C. C / log.c/ C log. C / ro Œ; D. C /.C/. C / f fœ; g,.; / D.; / D, TD eistuje všude @ @ ) @.; / D e CC.; / D, TD eistuje všude cos ro Œ; Œ;, C C @. / ro Œ; Œ;,. C / @ /_. < ^ < /g, @ D ^ g, @ D ý ý @ a @ D, @.; / D sg.si, @ D ý D C a. CC / @.; / D e CC r) @.; / D si C.; / D.; / D, TD eistuje všude @.; / D, @ D log, C cos C C ro Œ; Œ;,. CC / a @.; / D si C s) @.; / D. C / a.; / D. C / @ @.; / D, TD eistuje všude t) D f D fœ; ; R I. > ^ >, @ D log, TD eistuje všude u) D f D fœ; ; R I > @ D ý log, TD eistuje všude v) D f D fœ; ; R I > ^ > g, log, @ D log log, TD eistuje všude w).; / D sg.si si / cos @ si / cos okud si si, C l/ D @. C k; C C @. C k; C l/ D, jide PD C C eeistují, TD eistuje tam, kde PD ) @.; / D log. C / C a. C/ @.; / D log. C / C ro. C/, @.; / D @.; / D okud C D, jide PD eeistují, TD eistuje tam, kde PD ).; / D @. /jjc. /jj a. C / @.; / D. / sg C jj okud Œ; Œ;,.; / D.; / D, TD eistuje. C / @ @ mimo očátek
9. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE. Necht f.u; v/ D uv a echt g W R fœ; g! R je defiováo ředisem g.; / D. C /.e /; C. Vočtěte.; / a.; /, kde F D f B g. @ @. Necht rf.; ; / D Œ; ; a echt g W R! R je defiováo ředisem g.; ; / D Œ C C ; C C ; C C. Vočtěte rf.; ; /, kde F D f B g.. Necht f W R! R má všude totálí difereciál. Vjádřete @ a @, kde F D f B g a g W R! R je dáo ředisem a) g.; / D si cos ; b) g.; / D C ; ; ; c) g.; / D ; C ;. Necht f W R!.; C/ má všude totálí difereciál. Vjádřete @ a @, kde F W R! R je dáo ředisem a) F.; / D f.; / f.;/ ; b) F.; / D f.; / f.;/ : 5. Necht f W R! R má totálí difereciál v bodě Œ; a slňuje f.; / D. Vjádřete.; /, je-li @ a) F.; / D f f.; /; f.; / ;.; / D ; @ @.; / D ; b) F.; / D f f.; /f.;/ ; f.; / f.;/ :. Necht f W R! R má totálí difereciál v bodě Œa; b. Nalezěte jej, latí-li a) F.r; / D f.r cos ; r si /; Œa; b D Œ; ; ; D ; ; D ; @r @ b) F.u; v/ D f.e u cos v; e u si v/; Œa; b D Œ; ;.; / D 7;.; / D : @u @v : Výsledk:..; / D e,.; / D e @ @. rf.; ; / D Œ; ;. a) @.; / D f.si cos /cos cos, @.; / D f.si cos /si si b) @.; / D @t. C ; ; /C @u. C ; ; ; / C C. / @v @v ; C ; ; /C @v. C ; @v. C ; ; / c) @.; / D @t ; C ;, @.; / D @t. a) @.; / D f.; /f.;/ @t b) @.; / D f.; /f.;/ @u f.;/ f.;/ @u.; /.; /.log f.; / C /,.; / log f.; / C f.;/ f.;/ ; /, @.; / D @t. C ; ; / @u. C ; C ; C ; @ 5. a).; / D b).; / D @ @ @.; / C @.; /. a) rf.; / D Œ ; b) rf.; / D Œ7; ; C @u @u ; C ; C ;.;/.; / D f.; /f.; /.log f.; / C / @u @t.; /, ;. / @.; / D f.; /f.;/.; / log f.; / C @t