Msrykov univerzit v Brně Ekonomicko správní fkult Mtemtik B distnční studijní opor Miloslv Mikuĺık Luboš Buer Brno 2005
Tento projekt byl relizován z finnční podpory Evropské unie v rámci progrmu SOCRATES Grundtvig. Z obsh produktu odpovídá výlučně utor, produkt nereprezentuje názory Evropské komise Evropská komise neodpovídá z použití informcí, jež jsou obshem produktu. This project ws relized with finncil support of Europen Union in terms of progrm SOCRATES Grundtvig. Author is exclusively responsible for content of product, product does not represent opinions of Europen Union nd Europen Commission is not responsible for ny uses of informtions, which re content of product Recenzovl: Doc. RNDr. Jindřich Klpk, CSc. Mtemtik B Vydl Msrykov univerzit v Brně Ekonomicko správní fkult Vydání první Brno, 2005 c Miloslv Mikulík, Luboš Buer, 2005 ISBN 80-210-3640-0
Identifikce modulu Znk KMMATB Název Mtemtik B Určení kombinovné bklářské studium Grnt/utor doc. RNDr. M. Mikulík, CSc. Spoluutor RNDr. L. Buer, CSc. Cíl Vymezení cíle Cílem textu Mtemtik B je přiblížit čtenáři ty prtie mtemtiky, které jsou potřebné ve sttistice řdě ekonomických disciplín. Cílem textu není nučit student provádět perfektně numerické výpočty. Jde o to, by čtenář pochopil jednotlivé mtemtické pojmy nučil se je používt při řešení úloh ekonomického chrkteru. To le neznmená, že by se neměl brát zřetel i n numerickou stránku. Dovednosti znlosti získné po studiu textů Student by se měl nučit kritickému přístupu k numerickým výpočtům, obzvláště v přípdě, že nd jejich prováděním nemá dosttečnou kontrolu (zokrouhlování čísel, nevhodný výpočtový postup td.). Student by měl získt schopnost používt posloupnosti řdy to zejmén ve finnční mtemtice. Měl by získt dosttečné znlosti z diferenciálního integrálního počtu funkcí jedné více proměnných potřebné v plikcích. Čsový plán (Pro celý předmět) prezenční část 12 hodin smostudium 102 hodin elboráty 16 hodin Celkový studijní čs: 130 hodin
Způsob studi Studijní pomůcky doporučená litertur: Josef Polák: Přehled středoškolské mtemtiky. ISBN 80-85849-78-X Jn Coufl, Jindřich Klůf, Miloš Kňk, Jiří Henzler: Učebnice Mtemtiky pro ekonomické fkulty. ISBN 80-7187-1484 Vybvení internet Návod práce se studijními texty Učební text předpokládá znlost středoškolské mtemtiky minimálně v rozshu uvedeném v učebním textu Mtemtik A. Učební text Mtemtik B je rozdělen do osmi kpitol. Kždá kpitol je dále členěn do podkpitol. N zčátku kždé kpitoly je uveden cíl, kterého by se studiem kpitoly mělo dosáhnout. N konci kpitoly je shrnutí učiv úlohy k procvičení. N uvedený cíl i n uvedený souhrn je nutno se dívt orientčně. Jsou zde uvedeny pouze hlvní body. Jednotlivé kpitoly je nutno studovt podrobněji. Jednotlivé pojmy jsou sice zváděné definicemi vzthy mezi nimi mtemtickými větmi, všk nedoporučuji se definicím větám učit slovo od slov. Je nutno všemu porozumět říci to vlstními slovy, přípdně s doprovodným náčrtkem. Jde o znlosti ne o definice věty. Doufám, že zvolená úprv textu zvýší jeho čitelnost. Zvádění vybrných důležitých pojmů jejich vlstností je vloženo do rámečků. N text vytištěný mlým písmem se dívejte jen jko n orientční text. Slouží k získání ndhledu. N odhd potřebný k smostudiu se dívejte jen orientčně. Látk obsžená v Mtemtik B je částečně probírán (nebo má být probírán) n gymnáziích. Záleží tedy n znlostech, s nimiž ke studiu přistupujete. Upozorňuji, že důkzy vět nejsou předmětem zkoušky. Kdo všk chce látce dokonle porozumět, neměl by je zcel zvhrnout. Několik poznámek ke studiu. Bylo by ideální, byste n kždé soustředění byli připrveni, to znmená, byste studovli látku dopředu. N soustředěních byste se mohli pk změřit n část nepochopeného textu. Během semestru musíte vyprcovt dv eleboráty, jejichž zdání dostnete od svého tutor s termínem odevzdání. Tutor má právo tento termín posunout. Dovoluji si Vás upozornit, že tto form studi vyžduje prvidelnost soustvnost. V tomto učebním textu se seznmujete s větším počtem pojmů než v Mtemtice A. Proto je nutno prvidelně studovt. Informce o zkoušce. Kždý musí složit zkoušku v termínu, který je stno-
ven studijním řádem. Zkoušk sestává ze dvou částí: z písemné z ústní. Obě tyto části bsolvujete ve stejný den. Písemná zkoušk obshuje 4 6 otázek, výpočet příkldů přípdně teoretické otázky. Obtížnost příkldů je stejná jko u příkldů n konci kždé kpitoly, resp. u příkldů v textu. U zkoušky můžete používt klkulčku seznm vzorců, které si vlstnoručně npíšete. Ústní zkoušk je změřen převážně n teorii. Upozorňuji, že důkzy vět se nezkoušejí. Definice věty se neučte doslov. Uvádějte je vlstními slovy.
Obsh
Obsh Stručný obsh Kpitol 1 Posloupnosti řdy Zvádí se pojem posloupnosti její limity. Vyšetřují se především ritmetické geometrické posloupnosti. Zvádí se pojem řdy řeší se problemtik její konvergence. Stručně je pojednáno o posloupnostech řdách funkcí. Kpitol 2 Funkce zákldní pojmy Tto kpitol je věnován především možnostem grfického zobrzení geometrických útvrů v prostoru E n. Kpitol 3 Limit spojitost funkce jedné proměnné Zvádí se pojem limity funkce jedné proměnné spojitost funkce jedné proměnné. Vyšetřuje se spojitost součtu, rozdílu, součinu podílu dvou spojitých funkcí. Rovněž se vyšetřuje limit složené funkce spojitost složené funkce. Kpitol 4 Derivce reálné funkce reálné proměnné Zvádí se pojem derivce funkce jedné proměnné. Odvozují se derivce elementárních funkcí. Dále se ukzuje, jk derivovt součet, součin, podíl dvou funkcí složenou funkci. Kpitol 5 Použití derivcí Zvádí se pojem lokálního extrému funkce jedné proměnné globálního extrému funkce jedné proměnné n množině. Vyšetřuje se průběh funkce. Dále se výkld soustřed uje n diferenciál Tylorovu větu funkcí jedné proměnné. Kpitol 6 Neurčitý integrál Zvádí se pojem neurčitého integrálu uvádějí se metody n jeho výpočet. Je rozebírán rozkld rcionální lomené funkce n součet polynomů prciálních zlomků jejich integrce. Je zde též zmínk o integrci některých tříd funkcí. Kpitol 7 Určitý integrál Zvádí se pojem určitého integrálu, vyšetřuje se jeho existence vlstnosti. Uvádějí se způsoby jeho výpočtu: metod per prtes metody substituční. Zvádí se pojem nevlstního integrálu vzhledem k funkci vzhledem k intervlu. Kpitol 8 Funkce n proměnných Zvádí se pojem limity spojitosti funkce n proměnných. Vyšetřuje se spojitost součtu, součinu podílu spojitých funkcí. Zvádí se pojem prciálních derivcí. Uvádí se též lokální diferenciál Tylorov vět funkcí n proměnných. Je pojednáno o hledání extrémů funkcí n proměnných.
Úplný obsh 1. Posloupnosti řdy................................................................ 13 1.1. Zvedení pojmu posloupnosti 14 1.2. Aritmetická geometrická posloupnost 17 1.3. Limit posloupností 21 1.4. Vlstnosti posloupností reálných čísel 29 1.5. Posloupnosti funkcí 36 1.6. Nekonečné řdy 38 Číselné řdy 38 1.7. Řdy funkcí 50 1.8. Shrnutí, úlohy 52 2. Funkce zákldní pojmy........................................................... 57 2.1. Shrnutí, úlohy 70 3. Limit spojitost funkce jedné proměnné......................................... 71 3.1. Limit spojitost funkce jedné proměnné v dném bodě 73 3.2. Limit spojitost funkce vytvořené pomocí dvou funkcí 83 3.3. Shrnutí, úlohy 92 4. Derivce reálné funkce reálné proměnné.......................................... 95 4.1. Zvedení pojmu derivce funkce 96 4.2. Derivce elementárních funkcí 109 4.3. Shrnutí, úlohy 127 5. Použití derivcí.................................................................... 129 5.1. Extrémy funkcí, věty o funkcích spojitých n intervlu 130 5.2. Věty o funkcích spojitých n intervlu, b 133 5.3. Funkce monotónní n intervlu lokální extrémy 136 5.4. Absolutní extrémy 143 5.5. Konvexit konkávnost funkce 144 5.6. Hledání kořenů rovnice f(x) = 0 metodou půlení intervlu. 153 5.7. L Hôospitlovo prvidlo 154 5.8. Průběh funkce 158 5.9. Diferenciál Tylorov vět 164 5.10. Shrnutí úlohy 169 6. Neurčitý integrál.................................................................. 173 6.1. Primitivní funkce 174 6.2. Metod per prtes (po částech). 181 6.3. Výpočet neurčitého integrálu substitucí. 183
Obsh 6.4. Integrování rcionálních lomených funkcí 190 Polynom jeho rozkld 191 Rcionální lomená funkce její rozkld 196 Integrce rcionální lomené funkce 202 Integrce některých význmných tříd funkcí 209 6.5. Shrnutí, úlohy 213 7. Určitý integrál..................................................................... 217 7.1. Zvedení Riemnov integrálu 220 7.2. Vlstnosti Riemnov integrálu 228 7.3. Existence Riemnov integrálu 233 7.4. Výpočet Riemnov integrálu 236 Metod per prtes metod substituční pro výpočet určitého integrálu 243 7.5. Nevlstní integrály 247 7.6. Numerický výpočet určitého integrálu 252 7.7. Shrnutí, úlohy 256 8. Funkce n proměnných............................................................261 8.1. Limit spojitost funkcí více proměnných 264 8.2. Prciální derivce 277 8.3. Totální diferenciál Tylorov vět 287 8.4. Extrémy funkcí více proměnných 293 8.5. Shrnutí, úlohy 306
Úvod
Úvod Znlosti diferenciálního integrálního počtu jsou předpokldem při řešení řdy ekonomických problémů. Výkld je změřen n výkld mtemtického prátu potřebného při řešení konkrétních problémů. I tk je rozsh poměrně znčný. Řešení prktických úloh je nutno většinou provádět n počítči. Proto porozumění jednotlivým pojmům vzthům mezi nimi je důležitější než mechnické počítání. Tento učební text vychází z pilotní verze studijního textu Mtemtik B. Některé psáže z pilotní verze byly přeprcovné. Doufám, že to přispělo ke zvýšení srozumitelnosti výkldu. Přesto se může stát, že při studiu nrzíte n překlep. Předem se z kždý přípdný překlep omlouvám. Prosím, byste mne informovli o Všich potížích při studiu tohoto textu. (Tel. 601 305677). Rád bych poděkovl pnu Bc. Dvidu Holcovi, který text nejen pečlivě vysázel, le i vytvořil všechny obrázky uvedené v textu. Jimi přispěl nemlou mírou k jeho čitelnosti. Zároveň mu děkuji z tvůrčí přístup při přepisování textu. Autor
Zvedení pojmu posloupnosti Aritmetická geometrická posloupnost Limit posloupností Vlstnosti posloupností reálných čísel Posloupnosti funkcí Nekonečné řdy Řdy funkcí Shrnutí, úlohy 1 Posloupnosti řdy
1. Posloupnosti řdy Cíl kpitoly Seznámit se s pojmem posloupnosti, zejmén posloupnosti reálných čísel. Seznámit se s ritmetickými geometrickými posloupnostmi. Pro tyto posloupnosti zvládnout výpočet n tého členu užitím prvního členu diference u ritmetické posloupnosti prvního členu kvocientu u geometrické posloupnosti. Osvojit si výpočet prvních n členů těchto posloupností. Seznámit se s pojmem limity posloupnosti reálných čísel s pojmem divergence posloupnosti reálných čísel. Nučit se určovt limitu posloupnosti vytvořené z jiných posloupností, jejichž limity jsou známé. Seznámit se se zvedením Eulerov čísl e. Seznámit se s pojmem nekonečné číselné řdy se způsobem zvedení jejího součtu. Seznámení se s pojmem divergence číselné řdy. Zvedení pojmu bsolutní konvergence řd. Seznámit se s metodmi n určování konvergence resp. divergence nekonečné číselné řdy. Seznámit se se zákldními pojmy posloupností funkcí řd funkcí. Čsová zátěž Předpokládná náročnost je 10 hodin. Úvod. V této kpitole pojednáme o posloupnostech řdách. S těmito pojmy jste se již setkli. Hlvní pozornost věnujte ritmetickým geometrickým řdám. Mjí upltnění npř. ve finnční mtemtice. V plikcích se setkáváme i s posloupnostmi řdmi funkcí. Číselná řd předstvuje číslo, ovšem jen v přípdě, že je konvergentní. Proto je v této kpitole věnován pozornost i metodám n zjišt ování konvergence řdy. Kriteri pro zjišt ování konvergence řd není nutno znát zpměti, le je nutno se v nich dobře orientovt správně je plikovt v konkrétních přípdech. Posloupnosti řdy se čsto používjí v numerických metodách mtemtiky. příkldy posloupností 1.1 Zvedení pojmu posloupnosti Zčněme s několik příkldy. Příkld 1.1. Předpokládejme, že n zčátku roku je zložen účet se vstupním vkldem Z. Úrok ve výši p% se k vkldu připisuje vždy n konci roku tkto vzniklá částk se dále úročí. Určete částku S n, n níž se vstupní kpitál Z zúročí z n let. Řešení. Úrok se počítá podle vzorce u = K i t, (1.1) 14
kde i = p, t je dob v rocích, K kpitál, z něhož se počítá úrok. Z první 100 rok se vložený kpitál Z zvýší o úrok Zi, tedy n částku Je tedy n zčátku druhého roku n účtě kpitál S 1 = Z + Zi. (1.2) S 1 = Z(1 + i). (1.3) Tento kpitál vzroste z druhý rok o úrok S 1 i, tedy n částku S 2 = S 1 + S 1 i. (1.4) Je tedy po druhém roce n účtě podle (1.3), (1.4) kpitál S 2 = Z(1 + i) 2. Tímto způsobem postupujeme dále. Po n-tém roce je n účtě kpitál S n = Z(1 + i) n. Je-li npř. p = 2%, Z = 1000Kč, je z 10 let n účtě kpitál S 10 = 1000 (1 + 0,02) 10, to jest S 10 = 1219 Kč. Ke kždému přirozenému číslu n jsme tedy přiřdili číslo S n. Budeme říkt, že čísl S 1,S 2,S 3,...,S n,... tvoří (nekonečnou) posloupnost. Příkld 1.2. Uvžujme intervl,b. Necht n N necht x 0,x 1,...,x n jsou čísl, pro něž pltí Potom k číslu n je přiřzeno n intervlů Toto rozdělení oznčme D n. Budeme říkt, že = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. (1.5) x 0,x 1, x 1,x 2,..., x n 1,x n. tvoří posloupnost dělení intervlu,b. D 1,D 2,D 3,... (1.6) 15
1. Posloupnosti řdy Přikročme nyní k definování posloupnosti. Definice 1.1. (Posloupnost) Necht M je množin nějkých objektů. Kždé zobrzení definovné n množině přirozených čísel se závislým oborem M nzveme (nekonečnou) posloupností v M. Kždé zobrzení definovné n množině {1, 2,...,n} nzýváme konečnou posloupností. Jestliže M je množin reálných (komplexních) čísel, budeme mluvit o posloupnosti reálných (komplexních) čísel. Necht (n) je funkce definovná n množině přirozených čísel. Jk bylo uvedeno, tvoří čísl (1),(2),... (1.7) posloupnost. Místo (n) jsme zvyklí u posloupností psát n. Číslo n nzýváme n-tým členem posloupnosti. Posloupnost (1.7) lze pk psát jko 1, 2,... (1.8) nebo jko { n } n=1. (1.9) N obr. 1.1 je znázorněno několik členů dné posloupnosti { n } n=1 reálných čísel. 3 y n 2 1 1 2 3... n x Obrázek 1.1: Body reprezentující členy posloupnosti. Ke grfickému znázornění posloupnosti { n } n=1 reálných čísel stčí většinou znázornit průměty bodů [n, n ], n = 1,2,... do osy y. Tuto osu jsme zvyklí kreslit n vodorovnou přímku. Viz obr. 1.2. 16
1 2 n 3 Obrázek 1.2: Znázornění posloupnosti. Jko příkld uved me posloupnost { } 1 n 2 n=1. Jestli n-tý člen této posloupnosti oznčíme n, to jest, jestliže n = 1 n = 1,2,..., je npř. 5 = 1, 25 7 = 1, td. 49 Jestliže M je množin funkcí, definovných n intervlu I, budeme mluvit o posloupnosti funkcí. Jestliže se tedy ke kždému přirozenému číslu n přiřdí funkce f n (x), x I, dostáváme posloupnost f 1 (x), f 2 (x),... x I. n 2, Zpisujeme ji též jko {f(x)} n=1, x I. Jko příkld uved me posloupnost funkcí {x n } n=1 n intervlu 0,1. N obr. 1.3 jsou nkresleny první tři členy této posloupnosti. 1 y = x y = x 2 y = x 3 0 1 Obrázek 1.3: Posloupnosti funkcí {x n } n=1. Zopkujme si následující speciální číselné posloupnosti, které byste měli znát z dřívějšího studi. 1.2 Aritmetická geometrická posloupnost Aritmetická posloupnost. Číselnou posloupnost { n} n=1 nzýváme ritmetickou, jestliže existuje tkové číslo d, zvné diference, že n+1 n = d, n = 1, 2,.... (1.10) ritmetická posloupnost 17
1. Posloupnosti řdy Jko příkld uved me posloupnost { n + 3 5 } Oznčíme-li n = n+3 5 pro n = 1,2,..., dostáváme. (1.11) n=1 Po úprvě n+1 n = n+1 n = 1 5 (n + 1) + 3 5 n + 3. 5 pro n = 1,2,.... Je tedy posloupnost (1.11) ritmetická. Aritmetická posloupnost { n } n=1 členem 1 diferencí d. Potom je určen npř. prvním n = 1 + (n 1)d, n = 2, 3,... (1.12) V různých plikcích se prcuje se součtem s n prvních n členů ritmetické posloupnosti { n } n=1. Připomeňme si, že s n = 1 + n 2 n. (1.13) Jko příkld si uved me ritmetickou posloupnost { n } n=1, v níž V tomto přípdě je podle (1.12) 1 = 4 5, d = 1 5. (1.14) n = 4 5 + (n 1) 1 5. Po úprvě dostáváme n = n + 3. 5 Npř. 5 = 5+3, to jest 5 5 = 8. V tomto příkldě je npř. podle (1.13) 5 tkže po doszení Po vyčíslení dostáváme s 5 = 1 + 5 2 s 5 = 4 5 + 8 5 2 s 5 = 6. 5, 5. 18
Příkld 1.3. Předpokládejme, že n konto v pěněžním ústvu zčneme ukládt částku K n zčátku kždé m-tiny roku (m je dné přirozené číslo). Částk K uložená n zčátku j-té m-tiny roku, j = 1,2,...,m, se úročí dnou úrokovou mírou p% po dobu t = m j+1 roku. N konci roku se úroky m připisují njednou n uvedené konto. Určeme uloženou částku i s úrokem z této částky z dobu jednoho roku. Řešení. N obr. 1.4 je n číselné ose vyznčeno rozdělení roku n m stejně dlouhých období vyznčeny vkldy ve výši K n zčátku kždé m-tiny roku. Položme i = p. První vkld se úročí po dobu celého roku, tkže je 100 K K K K K z něho podle (1.1) úrok ve výši Druhý vkld se úročí po dobu m 1 m 0 1 2 3... m 1 m Obrázek 1.4: Znázornění vkldů. u 1 = Ki m m. roku, tkže ke konci roku je z něho úrok u 2 = Ki m 1 m. Tímto způsobem dále postupujeme. Poslední m-tý vkld se úročí po dobu 1 m roku, tkže ke konci roku je z něho úrok u m = Ki 1 m. Čísl u 1,u 2,...,u m tvoří m členů ritmetické posloupnosti. Jejich součet je podle (1.13) odtud dostáváme to jest s m = K i (m + (m 1) + + 2 + 1) m s m = K i m m + 1 m, 2 s m = K m + 1 i. 2 N konci roku bude n účtu celkem částk S rovn uložené částce mk vkldů plus úroky ve výši s m. Je tedy Úprvou dostáváme S = mk + K m + 1 i. 2 S = mk ( 1 + m + 1 ) 2m i. (1.15) 19
1. Posloupnosti řdy geometrická posloupnost Geometrická posloupnost. Číselnou posloupnost { n } n=1 nzýváme geometrickou, jestliže existuje tkové číslo q, zvné kvocient, že n+1 = n q, n = 1, 2,.... (1.16) Jko příkld uved me posloupnost { } 2 n. Abychom dokázli, že tto posloupnost je geometrická, položme n = 2n vypočítejme n+1. Dostáváme 3 n+1 n=1 3 n+1 n n+1 n = 2 n+1 3 n+2 2 n 3 n+1 = 2n+1 3n+1 2 n 3 n+2 = 2 3 pro n = 1,2,.... Je tedy dná posloupnost geometrická s kvocientem q = 2 3. Geometrická posloupnost { n } n=1 je určen npř. prvním členem 1 kvocientem q. Potom n = 1 q n 1, n = 2, 3,... (1.17) V různých plikcích se prcuje se součtem s m prvních m členů posloupnosti. Připomeňme si, že Skutečně, Úprvou Poněvdž s m = 1 1 q m 1 q s m = 1 + 1 q + + 1 q m 1. pro q 1. (1.18) s m = 1 (1 + q + + q m 1 ). (1.19) (1 q) (1 + q + + q m 1 ) = 1 q m, (1.20) dostáváme z (1.19), (1.20) vzth (1.18). Jko prktický příkld n geometrickou posloupnost je možno uvést výše uvedený příkld 1.1 nebo následující příkld. Příkld 1.4. Předpokládejme, že n zčátku kždého roku se uloží n konto částk K. N konci kždého roku se stv kont zvýší o úrok. Určeme částku S n kontě po n letech při roční úrokové míře p%. Řešení. N obr. 1.5 jsou n číselné ose vyznčeny vkldy n zčátku kždého roku. Oznčme i = p počítejme stv kont po n letech. První vkld se 100 20
K K K K K 0 1 2 3... n 1 n Obrázek 1.5: Znázornění vkldů. podle příkldu 1.1 zúročí po n letech n částku S 1 = K(1 + i) n. (1.21) Druhý vkld se podle příkldu 1.1 zúročí po n 1 letech n částku S 2 = K(1 + i) n 1. (1.22) Tímto způsobem pokrčujeme dále, ž poslední vkld se podle příkldu 1.1 zúročí z jeden rok n částku Stv kont S po n letech bude tedy roven S n = K(1 + i). (1.23) S = S 1 + S 2 + + S n. (1.24) Doszením (1.21), (1.22), (1.23) do (1.24) dostáváme S = K(1 + i) [ 1 + (1 + i) + + (1 + i) n 1]. (1.25) Výrz v hrnté závorce je součet n členů geometrické posloupnosti. Podle (1.18) dostáváme z (1.25) Tedy 1 (1 + i)n S = K(1 + i) 1 (1 + i). S = K 1 + i i ((1 + i) n 1). (1.26) 1.3 Limit posloupností Zčněme s několik příkldy, jimiž se pokusíme přiblížit čtenáři pojem limity posloupnosti. limit posloupnosti Příkld 1.5. Uvžujme posloupnost reálných čísel { } 1. (1.27) n n=1 Položme n = 1. Znázorněme si několik členů této posloupnosti n číselné n ose, viz obr. 1.6. Vidíme, že s rostoucím n se číslo n přibližuje k nule, všk žádné číslo z n není rovno 0. Po precizování slov přibližuje se budeme říkt, že posloupnost { n } má limitu rovnu 0. 21
1. Posloupnosti řdy 0 3 = 1 4 = 1 3 4 2 = 1 2 1 = 1 Obrázek 1.6: První členy posloupnosti {1/n}. Příkld 1.6. Uvžujme posloupnost reálných čísel { } n 2 + 1. (1.28) n n=1 Položme n = n2 +1, n = 1,2,.... Je tedy n 1 = 2, 2 = 5 2, 3 = 10 3, 4 = 17 4,... Vidíme, že množin čísel obshující všechn čísl n není shor ohrničená. Budeme říkt, že posloupnost (1.28) diverguje k +. Opět je nutno precizovt, co znmená, že posloupnost diverguje k +. Příkld 1.7. Uvžujme posloupnost reálných čísel Položme n = ( 1) n, n = 1,2,.... Tedy {( 1) n } n=1. (1.29) 1 = 1, 2 = 1, 3 = 1, 4 = 1,... Vidíme, že množin obshující všechn čísl n, to jest množin { 1,1}, je jk shor, tk i zdol ohrničená, všk čísl n se s rostoucím n nepřibližují k žádnému číslu. Budeme říkt, že posloupnost (1.29) diverguje (osciluje). Po tomto úvodu přikročme k zvedení pojmu limit posloupnosti. Definice 1.2. (Limit posloupnosti) Necht M je množin nějkých objektů s metrikou ρ. Dále necht { n } n=1 (1.30) je posloupnost prvků z M. Řekneme, že α M je limitou posloupnosti (1.30), píšeme lim ρ n = α, nebo n α (pro n ), n jestliže k libovolnému ε > 0 existuje tkové n 0 N, že pro všechn n > n 0 pltí ρ( n, α) < ε. 22
Jestliže posloupnost (1.30) má v M limitu, nzveme ji konvergentní. Jestliže posloupnost (1.30) nemá v M limitu, nzveme ji divergentní. Poznámk. Definice 1.2 nic nevypovídá o způsobu nlezení limity posloupnosti. Uvádí pouze jk zjistit, zd určité α M je nebo není její limitou. (Jk to zjistit, může být v konkrétních úlohách obtížný problém.) N obr. 1.7 je znázorněn konvergentní posloupnost { n } n=1 s limitou α. 1 M n0+1 α n0+2 ε 2 Obrázek 1.7: K definici limity posloupnosti. Jestliže lim n n = α, potom ρ( n,α) < ε pro n > n 0. Body 1, 2,..., n0 (tedy konečný počet bodů) mohou mít od α libovolnou vzdálenost. Jestliže ρ( n,α) < ε (1.31) pltí pro všechn n s výjimkou konečného počtu bodů, říkáme, že (1.31) pltí skoro všude. Definici limity posloupnosti prvků z metrického prostoru M můžeme tedy pozměnit tkto: Definice. Necht M je množin s metrikou ρ. Řekneme, že posloupnost { n } n=1, n M, konverguje k α M, jestliže pro libovolné ε > 0 je ρ( n,α) < ε pro skoro všechn n. Vět 1.1. (Počet limit) Kždá posloupnost { n } n=1 nejvýše jednu limitu. prvků z M s metrikou ρ má Důkz: Předpokládejme, že existuje posloupnost { n } n=1 prvků z M, která má lespoň dvě limity, oznčme je α,β, kde α β. 23
1. Posloupnosti řdy Zvolme libovolné ε > 0. Potom existují tková n 1,n 2, že ρ( n,α) < ε 2 ρ( n,β) < ε 2 pro n > n 1 pro n > n 2. Položme n 0 = mx(n 1,n 2 ). Potom pro n > n 0 pltí ρ(α,β) ρ(α, n ) + ρ( n,β) < ε. (1.32) Poněvdž α,β jsou pevné body v M α β, nemůže (1.32) pltit pro libovolné ε > 0. Má tedy kždá posloupnost { n } n=1 prvků z M nejvýše jednu limitu. Jestliže množinou M v definici 1.2 je množin reálných čísel R vzdálenost v ní je definovná vzthem ρ(x,y) = y x pro x,y R, lze definici 1.2 nhrdit následující definicí. Definice 1.3. (Limit číselné posloupnosti) Necht { n } n=1 (1.33) je posloupnost reálných čísel. Necht α R. Řekneme, že posloupnost (1.33) má limitu rovnu α píšeme lim n = α, resp. n α (pro n ), (1.34) n jestliže k libovolnému číslu ε > 0 existuje tkový index n 0, že pro všechny indexy n > n 0 je n α < ε. (1.35) Jestliže neexistuje vlstní limit lim n n, potom posloupnost (1.33) nzýváme divergentní. Poznámk. Vzth (1.35) lze nhrdit ekvivlentním vzthem α ε < n < α + ε, pro n > n 0. (1.36) N obr. 1.8 je znázorněno několik členů posloupnosti (1.33) reálných čísel s limitou α. divergentní posloupnosti Rozdělení divergentních posloupností reálných čísel. Divergentní posloupnosti se dělí do následujících skupin. 24
y α + ε α α ε 1 2 3 4... n 0 n0 + 4 n0 + 3 n0 + 2 n0 + 1 x Obrázek 1.8: K definici limity posloupnosti reálných čísel. ) Řekneme, že posloupnost reálných čísel { n } n=1 diverguje k + ( ) píšeme lim n = ( lim n = ), jestliže k libovolnému číslu K n n existuje tkové číslo n 0, že pro všechn n, pro něž je n > n 0, pltí n > K ( n < K). Místo rčení posloupnost { n } n=1 diverguje k + ( ) se používá též rčení posloupnost { n } n=1 má nevlstní limitu + ( ). b) Jestliže posloupnost reálných čísel je divergentní nemá ni nevlstní limitu + ni nevlstní limitu, říkáme, že osciluje. Necht je posloupnost reálných čísel. Jestliže { n } n=1 (1.37) lim n = n ( ), říkáme, že posloupnost (1.37) diverguje k + ( ). Jestliže neexistuje vlstní ni nevlstní lim n, říkáme, že n posloupnost (1.37) osciluje. Příkld 1.8. Necht c je libovolné reálné číslo. Položme n = c pro n = 1,2,... Potom lim n = c. n 25
1. Posloupnosti řdy Důkz: Necht ε > 0 je libovolné reálné číslo. Položme n 0 = 1. Potom pro všechn n n 0 pltí Je tedy skutečně lim n c = c. Příkld 1.9. Posloupnost n c = c c = 0 < ε. { } 1 n n=1 1 je konvergentní lim n = 0. n Důkz: Zvolme libovolné číslo ε > 0. Necht n 0 je číslo pro něž je n 0 > 1. ε Je-li tedy n > n 0, je n > 1, tkže ε n = 1 < ε. To znmená, že pro n > n n 0 je 1 n 0 < ε. Je tedy skutečně lim n 1 = 0. n Příkld 1.10. Necht n = n 2 pro n = 1,2,.... Potom posloupnost { n } n=1 diverguje k +. Důkz: Předpokládejme, že k je libovolné číslo větší než 1. Zvolme n 0 tk, že n 0 > k. Potom pro všechn n > n 0 je n = n 2 > n 2 0 > k 2, tkže n > k. Odtud lehce nhlédneme, že n > k pro libovolné k. Tedy lim n n =. Příkld 1.11. Necht n = ( 1) n pro n = 1,2,.... Potom posloupnost { n } n=1 nemá vlstní ni nevlstní limitu, tedy osciluje. Uvžujme tyto možné přípdy. ) Poněvdž pro K = 2 není n > K pro žádné n, není lim n =. n b) Poněvdž pro K = 2 není n < K pro žádné n, není lim n =. n c) Předpokládejme, že existuje α R tk, že lim n = α. Zvolme ε = 1. n 4 Potom v intervlu (α ε,α + ε) nemohou ležet součsně čísl 2n = ( 1) 2n = 1, 2n+1 = ( 1) 2n+1 = 1, nebot 2n 2n+1 = 2 > ε. Tedy číslo α není limitou vyšetřovné posloupnosti. Posloupnost {( 1) n } n=1 tedy nemá ni vlstní ni nevlstní limitu, tedy osciluje. Příkld 1.12. Uvžujme posloupnost bodů z R 2 {[ n,b n ]} n=1, (1.38) kde n = 1 1, b n n = 1 n. V R 2 uvžujme Euklidovskou metriku ρ. Ukžme, že limitou posloupnosti (1.38) je bod [1,0]. Skutečně, zvolme ε > 0. Bez újmy n obecnosti předpokládejme, že 0 < ε < 1. Potom 1 ρ([ n,b n ],[1,0]) = n + 1 2 n. 26
Tedy pro n > 2 ε 2 je ρ([ n,b n ],[1,0]) < ε. Posloupnost (1.38) tedy konverguje k bodu [1,0]. Vybrná posloupnost. Necht je posloupnost necht { n } n=1 (1.39) {k i } i=1 je tková posloupnost přirozených čísel, že Potom posloupnost k 1 < k 2 < k 3 <... { ki } i=1 nzýváme vybrnou posloupností z posloupnosti 1.39. Příkld 1.13. Necht k i = 2i, i = 1,2,3,.... Potom posloupnost je vybrná z posloupnosti 1 2, 1 4, 1 6,... 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7,... Je zřejmé, že jestliže lim n n = α, kde α R { ki } i=1 je vybrná posloupnost z posloupnosti { n } n=1, potom lim i ki = α. Posloupnosti reálných čísel Definice 1.4. (Ohrničená posloupnost) Necht { n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Řekneme, že { n } n=1 je shor (zdol) ohrničená, jestliže množin P, obshující právě všechny prvky posloupnosti { n } n=1, je shor (zdol) ohrničená. Posloupnost { n } n=1 je ohrničená, je-li zdol i shor ohrničená. Příkld 1.14. Posloupnost { 1 n } n=1 je ohrničená, nebot 0 < 1 n 1 pro všechn n = 1,2,.... 27
1. Posloupnosti řdy Definice 1.5. (Posloupnost neklesjící) Necht { n } n=1 je tková posloupnost reálných čísel, že 1 2 n... ( 1 < 2 < < n <... ). je neklesjící (ros- Potom říkáme, že posloupnost { n } n=1 toucí). Příkld 1.15. Posloupnost {1 1 n } n=1 je rostoucí, nebot pro n = 1,2,.... 1 1 n < 1 1 n + 1 Definice 1.6. (Posloupnost nerostoucí) Necht { n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Říkáme, že { n } n=1 je nerostoucí (klesjící), jestliže 1 2 n... ( 1 > 2 > > n >... ). Příkld 1.16. Posloupnost { 1 n } n=1 je klesjící, nebot pro n = 1,2,.... 1 n > 1 n + 1 Pro neklesjící (nerostoucí) posloupnosti pltí tyto dvě věty: Vět 1.2. (Vět o existenci limity) Necht { n } n=1 je ohrničená neklesjící (nerostoucí) posloupnost reálných čísel. Potom ( ) lim n = α sup n = α lim n = α inf n = α, n n n kde α R. n Důkz: Důkz provedeme pro neklesjící posloupnosti. Necht sup n = α. n Zvolme ε > 0. Pk podle definice suprem existuje n 0 tk, že α ε < n0 < α. 28
Potom le pro všechn n n 0 je Je tedy α ε < n < α. lim n = α. n Podobně se dokáže dlší část věty. Tento důkz ponecháváme čtenáři. Vět 1.3. (Vět o existenci limity) Necht { n } n=1 je neklesjící (nerostoucí) neohrničená posloupnost. Potom ( ) lim n = lim n =. n n Důkz: Důkz vyplývá z definice nevlstních čísel,. 1.4 Vlstnosti posloupností reálných čísel Vět 1.4. Necht { n } n=1 je posloupnost reálných čísel necht lim n = A, n kde A R 1). (1.40) Necht c R. Pk lim c n = ca, pokud ca má smysl. (1.41) n Důkz: Mohou nstt tyto přípdy. α) Necht A R necht c > 0. Podle definice vlstní limity posloupnosti k libovolnému ε > 0 existuje tkové n 0, že A ε c < n < A + ε c pro n > n 0. (1.42) Vynásobíme-li (1.42) číslem c, dostáváme Je tedy v tomto přípdě 1) R = R {, } ca ε < c n < ca + ε. lim c n = ca = c lim n. n n 29
1. Posloupnosti řdy β) Necht A R necht c < 0. Podle definice vlstní limity posloupnosti k libovolnému ε > 0 existuje n 0 tk, že A + ε c < n < A ε c pro n > n 0. (1.43) (Zvžte, že ε c dostáváme < 0.) Vynásobíme-li (1.43) dným záporným číslem c, ca ε < c n < ca + ε pro n > n 0. Je tedy v tomto přípdě lim c n = ca = c lim n. n n γ) Je-li c = 0, A R, je c n = 0 pro n = 1,2,..., tkže lim c n = 0 = ca. n δ) Je-li c = 0, A = +, resp. A =, nemá ca smysl. ε) Necht A =, c > 0. Potom k libovolnému K R existuje n 0 tk, že n > K c pro n > n 0. (1.44) Vynásobením (1.44) číslem c dostáváme Je tedy v tomto přípdě c n > K pro n > n 0. lim c n =. n ϕ) Necht A =, c < 0. Potom k libovolnému K R existuje n 0 tk, že n > K c pro n > n 0. (1.45) Vynásobením (1.45) číslem c (c < 0 dle předpokldu) dostáváme Je tedy v tomto přípdě c n < K pro n > n 0. lim c n = c lim n = ca =. n n Podobně se dokáže přípd, kdy A =. 30
Vět 1.5. Necht { n } n=1, {b n } n=1 jsou tkové posloupnosti reálných čísel, že lim n = A, n Potom pltí lim b n = B, kde A, B R 2). (1.46) n lim n ± b n ) = A ± B, n (1.47) lim n b n ) = A B, n (1.48) je-li nvíc b n 0, n = 1, 2,..., potom pltí n lim = A n b n B, (1.49) pokud prvé strny v (1.47), (1.48), (1.49) mjí význm. Důkz: Dokážeme (1.47). Vzthy (1.48), (1.49) se dokzují nlogicky. Mohou nstt tyto přípdy. α) Necht A =, B = b, kde,b R. Zvolme libovolné ε > 0. Existují tedy n 1,n 2 tk, že n < ε 2 pro n > n 1, b n b < ε 2 pro n > n 2. (1.50) Položme Potom n 0 = mx(n 1,n 2 ). (1.51) n < ε 2, b n b < ε 2 pro n > n 0. (1.52) Užitím (1.52) dostáváme Je tedy v tomto přípdě ( n + b n ) ( + b) = ( n ) + (b n b) (1.53) n + b n b ε 2 + ε 2 = ε. lim ( n + b n ) = + b = A + B. n β) Necht A =, B = b R. Potom A + b =. Zvolme libovolné ε R, ε > 0. Poněvdž lim n b n = b, existuje n 1 tk, že 2) R = R {, } b ε < b n < b + ε pro n > n 1. (1.54) 31
1. Posloupnosti řdy Poněvdž lim n n =, k libovolnému K existuje n 2 tk, že Položme K b + ε < n < pro n > n 2. (1.55) n 0 = mx(n 1,n 2 ). Potom pro n > n 0 pltí (1.54), (1.55). Součtem (1.54), (1.55) dostáváme K < n + b n < pro n > n 0. (1.56) Je tedy lim ( n + b n ) =. n γ) Přípd, kdy A = R, B =, se dokáže nlogicky jko bod β). δ) Necht A =, B =. Potom k libovolnému K existuje n 0 tk, že pro n > n 0 je Odtud dostáváme pro n > n 0 n > K 2, b n > K 2. n + b n > K 2 + K 2 = K tedy lim ( n + b n ) =. n Podobně se dokzuje (1.47) v Osttních přípdech. Příkld 1.17. Vypočítejte Řešení. ) lim n n + 1 n 2 + 1, ) Pokusme se plikovt větu 1.5. n 2 + 1 b) lim n n + 1, 2n 2 + 1 c) lim n n 2 + n. Položme n = n + 1, b n = n 2 + 1, n = 1,2,.... Zřejmě lim n =, lim b n =. Aplikcí (1.49) je lim n n n n bn =. Avšk není definováno v R. Tedy tento způsob výpočtu nevede k cíli. Výrz n+1 npřed zjednodušíme. Dělíme-li čittele i jmenovtele 2 +1 číslem n 2, dostáváme Položme n n + 1 n 2 + 1 = Zřejmě lim c n = 0, n Podle (1.49) je tedy + 1 n 2 n 2 = n 2 + 1 n 2 n 2 1 n + 1 n 2 1 + 1 n 2. c n = 1 n + 1 n 2, d n = 1 + 1 n 2. lim n lim d n = 1. n n + 1 n 2 + 1 = lim c n = 0 n d n 1 = 0. 32
b) Položme Zřejmě Aplikcí (1.49) bychom dostli n = n 2 + 1, b n = n + 1. lim n n = lim (n 2 + 1) =, n lim n n = lim (n + 1) =. n n 2 + 1 lim n n + 1 = lim n = n b n. Avšk není v R definováno, tkže tímto způsobem nelze vypočítt lim 2 +1. n n n+1 Výrz n2 +1 uprvme. Zřejmě n+1 Položme Podle (1.49) je c) Položme n 2 + 1 n + 1 = n + 1 n 1 + 1. n d n = n + 1 n, c n = 1 + 1 n. n 2 + 1 lim n n + 1 = lim d n = n c n lim n lim n ( ) n + 1 n ( 1 + 1 n n = 2n 2 + 1, b n = n 2 + n. Zřejmě lim n = lim b n =, tkže opět lim n n jko lim n n. lim n bn Výrz 2n2 +1 uprvme. Zřejmě n 2 +n Položme Podle (1.49) je Zvedení Eulerov čísl 2n 2 + 1 n 2 + n = 2 + 1 n 2 1 + 1. n d n = 2 + 1 n 2, c n = 1 + 1 n. 2n 2 + 1 lim n n 2 + n = lim d n = n c n ) = 1 =. 2n 2 +1 n n 2 +n ( ) lim 2 + 1 n n 2 lim (1 + 1) = 2 1 = 2. n n nelze počítt V mtemtice hrje velkou úlohu Eulerovo číslo, které se všeobecně znčí e. Toto číslo bylo již sice zvedeno v učebním textu Mtemtiky A, v dlším všk ukážeme zvedení čísl e podrobněji. 33
1. Posloupnosti řdy Vět 1.6. (Eulerov číslo) Posloupnosti { n } n=1, {b n } n=1, kde ( n = 1 + n) 1 n (, b n = 1 + n) 1 n+1, n = 1, 2,..., (1.57) jsou konvergentní mjí stejnou limitu. Oznčíme ji e nzveme Eulerovým číslem. Tedy lim n = lim b n = e. n n Posloupnost { n } n=1 je rostoucí posloupnost {b n} n=1 je klesjící. Číslo e je ircionální pltí n < e < b n pro n = 1, 2,.... Důkz: Především dokžme, že posloupnost { n } n=1 je rostoucí omezená. Užitím binomické věty dostáváme ( 1 + 1 n) n = 1 + ( ) n 1 1 n + ( ) n 1 2 n 2 + + ( ) n 1 n n n. To jest Poněvdž n = 1 + n 1! 1 n(n 1) + n 2! 1 n(n 1)... 1 + + n2 n! 1 n n. (1.58) n(n 1)... (n k + 1) n k = dostáváme z (1.58) Z (1.59) dostáváme = 1 n(n 1)... (n k + 1) = ( n n n 1 1 ) ( 1 2 n n ) ( 1 k 1 ), n n = 2 + 1 ( 1 1 ) + 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) +... 2! n 3! n n + 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) (... 1 n 1 ). (1.59) n! n n n n+1 = 2 + 1 2! + 1 n! + ( 1 1 1 (n + 1)! ( 1 1 ) + 1 ( 3! n + 1 )( 1 2 n + 1 ( 1 1 n + 1 n + 1 ) ( 1 2 n + 1 1 1 )( 1 2 ) +... n + 1 n + 1 ) (... 1 n 1 ) +... (1.60) n + 1 ) )... ( 1 n 1 n + 1 ) ( 1 n n + 1 34
Poněvdž 1 k n < 1 k n + 1 dostáváme porovnáním (1.59), (1.60) pro k = 1,2,...,n 1, tkže posloupnost { n } n=1 je rostoucí. n < n+1 pro n = 1,2,..., (1.61) Dokžme nyní, že posloupnost { n } n=1 je shor omezená. Nhrdíme-li ve vyjádření (1.59) všechny výrzy (1 k n ) číslem 1, tedy větším číslem, dostáváme Poněvdž dostáváme z (1.62) n 1 + 1 1! + 1 2! + + 1 n!. (1.62) 1 k! 1, k = 1,2,..., (1.63) 2k 1 n 1 + 1 1 + 1 2 + + 1 2 n 1. Poněvdž 1 + 1 2 + + 1 2 n 1 je součet n členů geometrické posloupnosti, dostáváme n 1 + 1 1 2 n 1 1 2 = 1 + 2(1 1 2 n ) < 3. Je tedy posloupnost { n } n=1 shor ohrničená. Poněvdž { n } n=1 je zároveň rostoucí, je podle věty 1.2 konvergentní. Oznčme Tedy pro kždé n je Položme nyní b n = ( lim 1 + 1 n = e. n n) dokžme, že {b n } n=1 je klesjící lim n b n = e. n < e. (1.64) ( 1 + 1 n) n+1, n = 1,2,... (1.65) Užitím binomické věty dostáváme (bereme dv členy rozvoje) Z (1.66) vyplývá Násobením (1.67) výrzem ( ) n+2 ( ) 1 n + 2 1 1 + > 1 + n(n + 2) 1 n(n + 2) = 1 + 1 n. (1.66) ( n 2 ) n+2 + 2n + 1 > 1 + 1 n(n + 2) n. (1.67) ( n+2 n+2 n+1) dosáváme ( ) n+2 n + 2 (n + 1)2 > n + 1 n + 1 n(n + 2) n ( ) n+2 n + 2. (1.68) n + 1 Odtud ( n + 1 n ) n+2 > n + 1 n ( ) n+2 n + 2. (1.69) n + 1 35
1. Posloupnosti řdy Násobíme-li (1.69) výrzem n n+1, dostáváme tkže b n = ( ) n+1 n + 1 > Je tedy posloupnost {b n } n=1 klesjící. Dokžme nyní, že n ( ) n+2 n + 2, n + 1 ( 1 + n) 1 n+1 ( > 1 + 1 ) n+2 = b n+1. n + 1 lim b n = e. (1.70) n Skutečně, vzth (1.65) lze přepst n tvr ( b n = 1 + 1 ) n ( 1 + 1 ) ( = n 1 + 1 ). (1.71) n n n Podle věty 1.5 je tedy ( lim b n = lim n lim 1 + 1 ) = e 1 = e. (1.72) n n n n S ohledem n (1.64) dostáváme n < e < b n pro n = 1,2,... Lze tedy e vypočíst s libovolnou předem zvolenou bsolutní chybou. Pro n = 10 dostáváme ( 1 + 10) 1 10 ( < e < 1 + 1 ) 11, 10 tkže 2,59 < e < 2,86. Důkz, že číslo e je ircionální, nebudeme provádět. Poznámk. Existuje řd jiných způsobů k získání proximce čísl e s poždovnou přesností. 1.5 Posloupnosti funkcí Limit posloupnosti funkcí. Definice 1.7. (Bodová konvergence) Necht {f n (x)} n=1, x I (1.73) je posloupnost funkcí definovných n intervlu I. Potom řekneme, že (1.73) konverguje bodově k funkci f(x), x I, jestliže pro kždé x I konverguje číslená posloupnost {f n (x)} n=1 k číslu f(x). Píšeme pk lim n f n (x) = f(x) pro x I. 36
Příkld 1.18. Uvžujme posloupnost funkcí V kždém bodě x 0,1) je {x n } n=1, x 0,1. (1.74) lim n xn = 0 pro x = 1 je x n = 1 pro n = 1,2,..., tkže lim n xn = 1 pro x = 1. Limitou posloupnosti (1.74) je tedy funkce { 0 pro x 0,1), f(x) = 1 pro x = 1. Všimněme si, že funkce x n, n = 1,2,... jsou funkce spojité n intervlu 0,1, všk jejich (bodovou) limitou je funkce f(x), která je nespojitá n intervlu 0,1. Definice 1.8. (Stejnoměrná konvergence) Necht {f(x)} n=1, x I, (1.75) je posloupnost funkcí definovných n intervlu I. Řekneme, že posloupnost (1.75) konverguje stejnoměrně k funkcí f(x) n intervlu I, jestliže lim sup f n (x) f(x) = 0. n x I Poznámk. Lehce nhlédneme, že jestliže posloupnost (1.75) stejnoměrně konverguje k funkci f(x) n intervlu I, potom též bodově konverguje k funkci f(x) n intervlu I. Opk nepltí. Konverguje-li posloupnost funkcí (1.73) bodově k funkci f(x) n intervlu I, nemusí tto posloupnost n intervlu I konvergovt stejnoměrně k funkci f(x). Npř. posloupnost {x n } n=1 konverguje bodově n intervlu 0, 1, le nekonverguje n něm stejnoměrně. (Dokžte!) Příkld 1.19. Necht f n (x) = 1 n 1 x2, x 1,1. Potom ρ(f n (x),0) = 1, x 1,1, n = 1,2,.... n 37
1. Posloupnosti řdy 1 Poněvdž lim = 0, konverguje posloupnost funkcí {f n n n(x)} n=1 stejnoměrně n intervlu 1, 1 k funkci f(x) 0. V tomto přípdě jsou jk funkce f n (x), n = 1,2,..., tk i funkce f(x) 0 spojité n intervlu 1,1. To pltí obecně. Necht posloupnost spojitých funkcí {f n (x)} n=1, x I, konverguje stejnoměrně n intervlu I k funkci f(x). Potom funkce f(x) je spojitá n I. 1.6 Nekonečné řdy 1.6.1 Číselné řdy zvedení pojmu Budiž dán posloupnost čísel 1, 2, 3,..., n,.... Symbol 1 + 2 + 3 + + n +..., (1.76) utvořený pomocí čísel dné posloupnosti, nzýváme nekonečnou číselnou řdou. Zvádíme pro něj též oznčení n. (1.77) n=1 Čísl n nzýváme členy nekonečné řdy, číslo n n tým členem. V dlším budeme užívt tké názvu řd místo nekonečná řd. Oznčme Tedy s n = 1 + 2 + + n. s 1 = 1, s 2 = 1 + 2,... Číslo s n nzýváme n tým částečným součtem řdy (1.76). řdy konvergentní řdy divergentní Mohou nstt dv přípdy: ) Posloupnost s 1,s 2,...,s n,... (1.78) je konvergentní má limitu lim s n = s, kde s R; řdu (1.76) n nzýváme pk konvergentní říkáme, že má součet s. Symbol (1.76) nebo (1.77) znčí pk součsně řdu i její součet. b) Posloupnost (1.78) částečných součtů je divergentní; řdu (1.76) nzýváme pk divergentní symbol (1.76) nebo (1.77) nemá pk význm čísl, má pouze význm řdy. V přípdě divergence řdy (1.76) jsou možné tyto přípdy: 38
I. Posloupnost částečných součtů {s n } n=1 má nevlstní limitu lim s n = + ; říkáme pk, že řd (1.76) diverguje k + symbol n (1.76) nebo (1.77) znčí pk tké +. II. Posloupnost částečných součtů {s n } n=1 má nevlstní limitu lim s n = ; říkáme pk, že řd (1.76) diverguje k symbol n (1.76) nebo (1.77) znčí pk tké. III. Posloupnost částečných součtů {s n } n=1 nemá ni limitu, ni nevlstní limitu; říkáme pk, že řd (1.76) osciluje. Jko příkld uved me tuto řdu. Příkld 1.20. Řdu + q + q 2 + q 3 + + q n 1 +... (1.79) geometrická řd nzýváme geometrickou řdou s kvocientem q. Její částečný součet s n je s n = + q + q 2 + q 3 + + q n 1 = 1 qn 1 q pro q 1. Pro q < 1 je řd (1.79) konvergentní má součet s = 1 q. Pro > 0 ( < 0), q 1, řd (1.79) diverguje k + ( ) pro 0, q 1, řd (1.79) osciluje. Ukžme to. Dostáváme Uvážíme-li, že dostáváme pro q 1 s n = (1 + q + q 2 + q 3 + + q n 1 ), 1 q n = (1 q)(1 + q + q 2 + + q n 1 ), s n = 1 qn 1 q. (1.80) Je-li q < 1, je lim q n = 0, tkže n lim s n = n 1 q. Zbývjící část důkzu přenechávám čtenáři. Vyšetřete konvergenci geometrické řdy pro přípd q = 1. 39
1. Posloupnosti řdy Vět 1.7. (Hrmonická řd) Řd 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 n +... diverguje. Tuto řdu nzýváme obyčejnou hrmonickou řdou, krátce hrmonickou řdou. Důkz: Posloupnost částečných součtů {s k } k=1 je rostoucí. Zřejmě s 2 = 3 2, s 2 k+1 = s 2 k + 1 2 k + 1 + 1 2 k + 2 + + 1, k = 1,2,... }{{ 2 k+1 } 2 k Je tedy s 2 k+1 > s 2 k + 2 k 1 2 k+1, s 2 k+1 > s 2 k + 1 2. Tkže posloupnost {s 2 k} k=1 je shor neomezená. Tedy posloupnost {s 2 k} k=1 je divergentní tedy i posloupnost {s k } k=1 je divergentní. Příkld 1.21. Řd 1+( 1)+1+( 1)+ +( 1) n 1 + = 1 1+1 1+ +( 1) n 1 +... (1.81) osciluje, nebot posloupnost jejích částečných součtů je 1, 0, 1, 0,.... Příkld 1.22. Řd [1 + ( 1)] + [1 + ( 1)] + + [1 + ( 1)] +... (1.82) věty o konvergenci řd konverguje má součet roven 0, protože posloupnost jejich částečných součtů je 0,0,...,0,.... Všimněme si, že řd (1.81) vzniká z řdy (1.82) pouhým vynecháním hrntých závorek mění se tím chrkter řdy. U konečných součtů se s ničím podobným nesetkáváme. Přesto všk zde pltí: Vět 1.8. Necht 1 + 2 + + n + = s, kde s může být též +, nebo. Necht k 1, k 2,... je vybrná posloupnost přirozených čísel; potom pltí ( 1 + 2 + + k1 ) + ( k1 +1 + k1 +2 + + k2 ) + +( k2 +1 + k2 +2 + + k3 ) + = s.(1.83) 40
Důkz: Je-li s n = 1 + 2 + + n, pltí lim n s n = s; posloupnost částečných součtů řdy (1.83) je zřejmě posloupnost s k1,s k2,s k3,... vybrná z posloupnosti částečných součtů řdy (1.76) má tedy tutéž limitu. Hlvní význm věty 1.8 je v její pltnosti pro konvergentní řdy. Příkld 1.23. Jká částk D, vložená n zčátku roku, poskytne stálé pobírání důchodu ve výši Kč, vyplácené n konci kždého roku při neměnné nominální úrokové míře j? Řešení. Uvžujme roční úrokovu míru j = p, kde p je procentní úroková 100 mír. Potom kpitál K n zčátku roku se z jeden rok zúročí n částku S = K + Kj, tj. n částku S = K(1 + j). Tedy kpitál n konci roku je 1 ekvivlentem částku K = S. Zvedeme oznčení 1+j v = 1 1 + j. Je tedy K = Sv. Počítejme hodnotu vypláceného důchodu k zčátku prvního roku, kdy byl uložen částk D. Zřejmě k zčátku prvního roku je hodnot první splátky v, hodnot druhé splátky je v 2, td.. Je tedy D = v + v 2 + v 3 +... (1.84) Jde o součet geometrické řdy s kvocientem q = v. Poněvdž 0 < q < 1, je D = v 1 v = j. Rovnice (1.84) vyjdřuje vzth mezi vloženou částkou D ekvivlentních hodnot všech částek přepočítných k zčátku 1. roku. Vět 1.9. (Nutná podmínk konvergence řdy) Je-li řd konvergentní, je 1 + 2 + 3 +... (1.85) lim n = 0. n Důkz: Pltí lim n s n = s, znčí-li s n n tý částečný součet řdy (1.85). Pltí všk tké lim n s n 1 = s. Dále dostáváme podle věty 1.5. lim n = lim (s n s n 1 ) = s s = 0 n n Je tedy podmínk lim n n = 0 nutná pro konvergenci řdy (1.85), není všk postčující, jk vidíme n příkldě hrmonické řdy. 41
1. Posloupnosti řdy Vět 1.10. Necht n, n=1 b n jsou dvě řdy reálných čísel, které se liší jen n=1 v konečném počtu členů. Potom obě tyto řdy součsně konvergují nebo divergují. Důkz: Důkz přenechávám čtenáři. Vět 1.11. (Součet nekonečných řd) Necht n=1 n = s, n=1 b n = t jsou konvergentní řdy. Necht c, A, B R jsou libovolná čísl. Potom je: c n = cs, n=1 Důkz: Znčíme-li (A n + Bb n ) = As + Bt. n=1 1 + 2 + + n = s n, b 1 + b 2 + + b n = t n, mjí vyšetřovné dvě řdy n tý částečný součet cs n resp. As n + Bt n. Podle věty 1.5 je pk lim (cs n) = cs, n lim (As n + Bt n ) = As + Bt. n Nlezení součtu nekonečné řdy je obtížná úloh. Proto se čsto musíme spokojit s vyšetřením, zd dná řd konverguje nebo diverguje. Jestliže se zjistí, že řd je konvergentní, lze proximovt její součet jejím n tým částečným součtem s n. Ale i pk je třeb vyšetřit, jk velké musí být n, by s n proximovlo součet řdy s dosttečnou přesností. kriteri konvergence řd s nezápornými členy V dlším textu budeme problemtiku konvergence vyšetřovt pro řdy určitých tříd (to jest řd s jistými vlstnostmi). Poznmenejme, že bez vyšetření, zd řd je konvergentní, by bylo chybné proximovt součet řdy číslem s n. Řd by mohl být divergentní. Pro jednotlivé třídy řd si uvedeme podmínky kritéri, při jejichž splnění řd je konvergentní nebo divergentní. Řdy s nezápornými členy Jestliže pro kždý člen řdy (1.76) pltí n 0, nzýváme řdu (1.76) řdou s nezápornými členy. Pro částečné součty s n řdy s nezápornými členy je 42
zřejmě s n s n+1. Posloupnost částečných součtů tkové řdy je tedy neklesjící. Řd s nezápornými čísly proto bud to diverguje k +, nebo konverguje k číslu z R. V prvním přípdě není posloupnost částečných součtů shor omezená, ve druhém přípdě je shor omezená. Vět 1.12. (Srovnávcí kriterium I.) Necht 1 + 2 + 3 +..., (1.86) b 1 + b 2 + b 3 +..., (1.87) jsou řdy s nezápornými členy. Necht pltí n b n pro všechn n. Potom pltí: ) Je-li řd (1.87) konvergentní, je i řd (1.86) konvergentní. b) Je-li řd (1.86) divergentní, je i řd (1.87) divergentní. Důkz: Oznčíme-li s n částečné součty řdy (1.86) σ n částečné součty řdy (1.87), pltí s n σ n. Je-li (1.87) konvergentní, je posloupnost σ 1,σ 2,σ 3,... shor ohrničená, tkže i posloupnost s 1,s 2,s 3,... je shor ohrničená tedy řd (1.86) je konvergentní. Tím je dokázáno tvrzení ). Necht řd (1.86) je divergentní. Kdyby řd (1.87) byl konvergentní, musel by i řd (1.86) být konvergentní podle ), což je spor s předpokldem. Tím je dokázáno tvrzení b). Poznámk. Jestliže n b n pro n = 1,2,..., potom řdu n n=1 nzýváme minorntní vzhledem k řdě b n řdu b n nzýváme mjorntní vzhledem k řdě n. n=1 n=1 n=1 Příkld 1.24. Určeme konvergenci řdy 1 + 1 2 + 1 2 3 + 1 2 4 + + 1 +... (1.88) 2 n2 Necht řdou (1.86) je vyšetřovná řd řdou (1.87) necht je řd 1 + 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + + 1 +... (1.89) (n 1) n Zřejmě pltí 1 n 2 < 1 (n 1) n pro n > 1. 43
1. Posloupnosti řdy Mezi prvními členy obou řd pltí rovnost. Dokážeme-li, že řd (1.89) je konvergentní, je podle věty 1.12 řd (1.88) konvergentní. Vyšetřeme tedy řdu (1.89). Zřejmě 1 = 1, n = 1 (n 1)n pro n = 2,3,.... Lehce se přesvědčíme, že Je tedy s n = 1 + 2 + + n = 1 + Úprvou dostáváme Je tedy tkže řd (1.87) je konvergentní. n = 1 n 1 1 n, n = 2,3,... ( 1 1 ) ( 1 + 2 2 1 ) ( 1 + + 3 n 1 1 ). n s n = 2 1 n lim s n = 2, n Poněvdž řd (1.88) je řd s kldnými členy je minorntní ke konvergentní řdě (1.89), je řd (1.88) konvergentní. Vět 1.13. (Konvergence řdy (1.90)) Řd 1 1 + 1 s 2 + 1 s 3 + + 1 s n +... (1.90) s je pro s 1 divergentní pro s > 1 je konvergentní. Důkz: Důkz provedeme jen pro s 1. Pro s = 1 je řd (1.90) hrmonická tedy divergentní. Necht tedy s < 1. Potom 1 n 1 ns, n = 1,2,.... Poněvdž hrmonická řd diverguje, podle věty 1.12 diverguje i řd (1.90). Z věty 1.12, v níž řd b n je geometrickou, plyne tto vět. n=1 44
Vět 1.14. (Cuchyovo kritérium) Necht 1 + 2 + 3 +... (1.91) je řd s nezápornými členy. I. Jestliže existuje q, 0 < q < 1, tk, že pltí n n < q pro všechn n k, je řd (1.91) konvergentní. II. Jestliže n n 1 pro nekonečně mnoho n, je řd (1.91) divergentní. Důkz: S ohledem n větu 1.10 se omezíme n přípd k = 1. I. Necht existuje tkové q, že 0 < q < 1 n n < q pro všechn n. Potom řd q + q 2 + q 3 +... (1.92) je pro toto q konvergentní. Z podmínky n n < q plyne, že n < q n. Je tedy řd (1.91) minorntní k řdě (1.92) tedy podle věty 1.12 je konvergentní. II. Zkonstruujme řdu b n tkto: Pro kždé n, pro nějž je n n 1 n=1 n=1 položme b n = 1 pro kždé n, pro nějž je n n < 1, položme b n = 0. Tkto vytvořená řd b n je zřejmě divergentní. Řd n je m- jorntní k řdě b n. Podle věty 1.12 je tedy řd n divergentní. n=1 n=1 n=1 Příkld 1.25. Dokžme, že řd n=1 ( ) n 1 (1.93) 2 je konvergentní řd je divergentní. n=1 ( ) n 5 (1.94) 2 (1 n Řešení. Dokžme, že řd (1.93) je konvergentní. Zřejmě 2) n = 1 < 1, 2 tkže podle věty 1.14 je řd (1.93) konvergentní. (5 ) n Dokžme, že řd (1.94) je divergentní. Zřejmě n 2 = 5 > 1, tkže podle 2 věty 1.14 je řd (1.94) divergentní. Při plikování věty 1.14 bývá čsto obtížné určit q, pro nějž je n n < q pro všechn n. Uved me si následující větu 1.15, kterou se lze v některých přípdech vyhnout hledání q, které splňuje podmínky věty 1.14. 45
1. Posloupnosti řdy Vět 1.15. (Limitní Cuchyovo kritérium) Necht 1 + 2 + 3 +... (1.95) je řd s nezápornými členy. Je-li lim n n < 1, je řd n (1.95) konvergentní, je-li lim n n > 1 (nebo rovn + ), n je řd (1.95) divergentní. Důkz: Necht lim n n n = α < 1, potom lze zvolit q tk, že α < q < 1. Zvolíme-li q α = ε, existuje přirozené číslo n 0 tk, že α ε < n n < α + ε = q pro všechn n > n 0. Položme k = n 0 + 1. Potom n < q pro všechn n k. Vyšetřovná řd je konvergentní podle věty 1.12. Necht lim n n n = α > 1. Zvolme ε = α 1. Potom existuje přirozené n 0 tk, že 1 = α ε < n n < α + ε pro všechn n > n 0. Zvolíme-li k = n 0 + 1, pltí n n > 1 pro všechn n k, tedy řd je divergentní podle věty 1.12. Zřejmě vět 1.15 nic neříká o přípdu, kdy lim n n n = 1. kritéri konvergence řd s kldnými členy Uved me si ještě následující kritérium. Vět 1.16. (Srovnávcí kritérium II.) Necht 1 + 2 + 3 +..., (1.96) b 1 + b 2 + b 3 +... (1.97) jsou řdy s kldnými členy (tj. n > 0, b n > 0 pro všechn n). Necht pltí n+1 n b n+1 b n pro všechn n. (1.98) Potom pltí: I. Je-li b n konvergentní, je i n konvergentní. n=1 n=1 II. Je-li n divergentní, je i b n divergentní. n=1 n=1 46
Důkz: Z (1.98) pro n 1 dostáváme n 1 = n n 1 n 1 n 2... 2 1 b n b n 1 b n 1 b n 2... b 2 b 1 = b n b 1, tj. n 1 b 1 b n pro všechn n. I. Konverguje-li řd (1.97), konverguje i řd 1 b 1 b 1 + 1 b 1 b 2 + + 1 b 1 b n +... (podle věty 1.11 pro c = 1 b 1 ). Podle věty 1.12 konverguje tedy i řd (1.96). II. Diverguje-li řd (1.96), nemůže řd (1.97) konvergovt, nebot by podle I. musel konvergovt i řd (1.96) proti předpokldu. Vět 1.17. (d Alembertovo kriterium) Necht c n je řd s kldnými členy. n=1 I. Existuje-li číslo 0 < q < 1 tk, že c n+1 c n < q pro všechn n, je řd c n konvergentní. II. Jestliže n=1 c n+1 c n 1 pro nekonečně mnoho n, je řd c n divergentní. n=1 Důkz: Tvrzení I. vyplývá z věty 1.16, zvolíme-li z řdu n řdu z řdu b n řdu q n pro 0 < q < 1. n=1 n=1 n=1 c n n=1 Tvrzení II. vyplývá z věty 1.16, zvolíme-li řdu n tk, že n = 1 pro n = 1,2,..., z řdu b n řdu c n. n=1 Z této věty bezprostředně plyne tzv. limitní d Alembertovo kritérium: n=1 n=1 47
1. Posloupnosti řdy Vět 1.18. (Limitní d Alembertovo kritérium) Necht n je řd s kldnými členy. Je-li n=1 n+1 lim < 1, n n je řd n konvergentní, je-li n=1 je řd n divergentní. n=1 n+1 lim > 1, n n Důkz: Důkz je veden podobně jko důkz věty 1.15. Přenechávám jej čtenáři. Tto vět nic neříká o přípdu lim n n+1 n = 1. Příkld 1.26. Dokžme, že řd n=1 x n n! (1.99) je konvergentní pro kždé x 0. Skutečně. Pro x = 0 je řd evidentně konvergentní. Necht tedy x je libovolné kldné číslo. Potom řd (1.99) je číselná řd s kldnými členy. Poněvdž lim n x n+1 x n+1 (n+1)! x n n! = x n + 1 = 0, je podle limitního d Alembertov kriteri řd (1.99) pro toto x konvergentní. Poněvdž x je libovolné kldné číslo, je řd (1.99) konvergentní pro kždé x 0. bsolutní konvergence řd Řdy s obecnými členy. Absolutní konvergence Předpokld o nezápornosti členů dné řdy není vždy splněn. V některých přípdech k vyšetření těchto řd použijeme řdu, jejíž členy jsou rovny bsolutním hodnotám členů původní řdy. Pltí pk tto vět. 48