6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí f( ) f( 0) df( 0) lim = 0 0 0 Věta 6 Nechť 0 je vnitřním bodem D f funkce f ( ) a nechť eistuje f ( ) R, 0 pak eistuje diferenciál funkce f ( ) v bodě 0 Důkaz viz [] str 0 Poznámky Označme d = 0, dy = y f ( 0) Po dosazení do rovnice diferenciálu dostaneme y f f ( 0) = ( 0)( 0), což je rovnice tečny v bodě 0 k funkci f ( ) Je zřejmé, že pro dostatečně malá d můžeme přírůstek funkce y = f( ) f( 0 ) nahradit diferenciálem, tj y =& dy, viz obr 45 y f() y=f() T dy y d 0 0 Obr 45 9
Jestliže rovnici diferenciálu zapíšeme ve tvaru df ( ) = f ( ) d = dy pro D f, v nichž dy f ( ) eistuje, pak můžeme derivaci f ( ) vyjádřit ve tvaru f ( ) = d Diferenciál df ( ) můžeme nazvat diferenciálem řádu Diferenciál k-tého řádu pak k budeme definovat vztahem d f( ) = d( d f( )), k N Dostaneme d y = k f ( ) d, d y = f ( ) d, obecně k ( k) ( ) k d y = f d 4 Můžeme psát ( k) d k y f ( ) =, pro k N k d Výklad Definice 6 Nechť má funkce f ( ) v bodě 0 D f derivaci n-tého řádu ( 0) f Polynom stupně n 0 0 n 0 0 n 0 ( 0 ) nejvýše n, pro který platí t ( ) = f( ), t ( ) = f ( ), K, t ( ) = f se nazývá Taylorův polynom stupně n funkce f ( ) v bodě 0 Poznámka Funkční hodnoty polynomu t ( ) se v okolí bodu přibližují k funkčním hodnotám funkce f ( ) n 0 Řešené úlohy Příklad: Ukažte, že polynom f ( ) = sin v bodě 0 = 0 4 tn( ) = je Taylorův polynom stupně 4 funkce 6 94
Řešení: f( ) = sin, f(0) = 0; 4 t4( ) =, t4(0) = 0, 6 f ( ) = sin+ cos, f (0) = 0; t4 ( ) =, t4 (0) = 0, f ( ) = cos sin, f (0) = ; t4 ( ) =, t4 (0) =, f ( ) = sin cos, f (0) = 0; t ( ) = 4, t (0) = 0, (4) (4) 4 4 (4) (4) 4 4 f ( ) = 4cos + sin, f (0) = 4; t ( ) = 4, t (0) = 4 Výklad Věta 6 Nechť eistuje 0 má tvar ( 0) f pak Taylorův polynom stupně n funkce f ( ) v bodě n ( k) f ( 0) k tn( ) = ( 0) = f( 0) + k! k = 0 + 0 0 0 0 0 f ( ) f ( ) f ( ) n ( ) + ( ) + K+ ( 0 )!! n! () Důkaz naznačíme Dosadíme-li do vztahu () = 0, dostaneme tn ( 0 ) = f ( 0 ) Nyní budeme vztah () derivovat: f 0 f 0 0 0 ( ) ( ) n tn ( ) = f ( ) + ( ) + K+ n( 0 ) =! n! f ( 0) f ( 0) n = f ( 0) + ( 0) + K + ( 0 ),! ( n )! f 0 f 0 0 0 ( ) ( ) n tn ( ) = f ( ) + ( ) + K+ n( n )( 0 ) =! n! f ( 0) f ( 0) n = f ( 0) + ( 0) + K + ( 0 )! ( n )! 95
Zřejmě dostaneme ( i+ ) () i () i f ( 0) f ( 0) n i t ( ) = f ( 0) + ( 0) + K+ ( 0) pro i=, K, n! ( n )! () i () i Po dosazení = 0 do předchozího vztahu dostáváme t ( 0) = f ( 0) pro i=, K, n Poznámky Taylorovým polynomem se budete zabývat v předmětu Numerické metody Taylorův polynom můžeme napsat pomocí diferenciálů ve tvaru n t k n n( ) = ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) k! d f = f +! df +! d f + K + n! d f k = 0 Kontrolní otázky Pro body blízké bodu 0 se diferenciál funkce df ( ) rovná přírůstku funkce y= f( ) f( 0) ano, b) ne, c) někdy Eistuje-li f ( ), pak ji můžeme vyjádřit ve tvaru: f ( ) = d, dy b) f ( ) = dy d, c) f ( ) = dy d Diferenciál řádu funkce y= f( ) má tvar: d y = f ( ) d, b) d y = f ( ) d, c) d y = [ f ( ) d] 96
4 Nechť v bodě 0 má funkce f ( ) derivaci n-tého řádu Taylorův polynom stupně n tn ( ) funkce f ( ) platí: ( 0) f Pro funkci f ( ) f ( ) = tn( ), ( ) ( ) f ( ) = tn ( ), K, f n ( ) = tn n ( ), b) f ( 0) = tn( 0), ( ) = ( n( ), K, n ) ( ( ) = n n ) f 0 t 0 f 0 t ( 0), c) f ( 0) = tn( 0), ( ) ( n( ), K, n ) ( ( ) n n ) f 0 t 0 f 0 t ( 0) Odpovědi na kontrolní otázky b); c); ; 4 b) Úlohy k samostatnému řešení Vypočtěte přírůstek funkce y a diferenciál dy v bodě 0 pro přírůstek, je-li y =, 0 =, = 0, 0, b) y =, 0 = 4, = 0, 4, c) y = arctg, 0 =, = 0,, d) y =, 0 =, = 0, 4 Vypočtěte diferenciál funkce y= f( ) v bodě pro přírůstek d: d) y =, b) y =, e) t + y =, c) y= tg, y= arctg e, f) y = ln( + + ) Vypočtěte diferenciály uvedených řádů funkce y= f( ) v bodě pro přírůstek d: y d y =, =?, b) y = ( + ) ( ), d y =?, c) y = sin, d y =?, d) 4 y = ln, d y =?, e) y d y = ln( + + ), =?, f) y = cos( ), d y =? 4 Polynom p( ) = + + 5 + ) rozložte na mocniny dvojčlenu ( 97
4 5 Polynom p ( ) = 5 + + 4 rozložte na mocniny dvojčlenu ( 4) 6 Pro danou funkci sestavte Taylorův polynom n-tého stupně v okolí bodu 0 : y =, 0 =, n=, b) y =, 0 =, n=, c) y= ln, 0 = 4, n= 4, d) y =, 0 = 4, n= 7 Pomocí Taylorova polynomu sestaveného ve cvičení 6d) vypočtěte přibližnou hodnotu 5, b) 4,5, c),9 Srovnáním s přesnou hodnotou vypočtenou na kalkulátoru určete chybu aproimace ε 8 Pro danou funkci sestavte Taylorův polynom n-tého stupně v okolí bodu (Maclaurinův polynom): 0 = 0 y= tg, n= 5, b) y= arcsin, n=, c) y= ln cos, n= 6 9 Pomocí Taylorova polynomu sestaveného ve cvičení 8b) vypočtěte přibližnou hodnotu arcsin, b) arcsin 0,5, c) arcsin 0, Srovnáním s přesnou hodnotou vypočtenou na kalkulátoru určete chybu aproimace ε 0 Pro danou funkci sestavte Taylorův polynom n-tého stupně v okolí bodu (Maclaurinův polynom): 0 = 0 y = e, b) y= sin, c) y = cos, d) y= ln( + ), e) y = ( + ) k, f) y = arctg Ukažte, že pro výpočet hodnoty funkce e pro 0 < lze použít přibližný vzorec + + + Pomocí tohoto vzorce vypočtěte e a srovnáním s přesnou e 6 hodnotou vypočtenou na kalkulátoru určete chybu výpočtu Ukažte, že pro výpočet hodnoty funkce si n pro úhly menší než 8 lze použít přibližný vzorec sin 5 + Pomocí tohoto vzorce vypočtěte sin 8 o a srovnáním s přesnou! 5! 98
hodnotou vypočtenou na kalkulátoru určete chybu výpočtu (Pozor - hodnotu je nutno dosadit v obloukové míře!) Výsledky úloh k samostatnému řešení y= 0, 040, dy= 0, 04 ; b) y= 0, 0976, dy= 0,; c) y= 0,0907, dy= 0,; d) y=, 8, dy=, d b) 4 6 d ( ) ; c) tgd cos ; d) tdt ( t ) ; e e) + e d) d 4 6 d 4 ; e) ; f) d + d ( ) + ; f) d ; b) 9 (8 sin cos ) d 4 p ( ) = 5 ( + ) + ( + ) ( + ) ; 4 5 p ( ) = ( 4) + ( 4) + 7( 4) + ( 4) 56 ; 4( + )(5 ) d ; c) 4sind ; 6 t ( ) = ( ) ( ) ( 5 ) ; b) t( ) = ( ) + ( ) ( ) ; 8 48 c) t4( ) = ln 4 + ( 4) ( 4) + ( 4) ( 4) 4 ; 4 9 04 ( 4) ( 4) ( 4) d) t( ) = + + 7 t (5) =,6; ε = 0, ; 4 64 5 5 b) t (4,5) =,0; ε = 0,08 ; c) t (,9) =,0; ε = 0,05 8 t5( ) = + + ; 5 4 6 b) t( ) = + ; c) t6( ) = 9 t () =, ; ε = 0, 4 ; 6 45 b) t (0,5) = 0,5; ε = 0,00; c) t (0,) = 0,0; ε = 0,0000 0 n tn( ) = + + + + ; b)!! n! n n tn( ) = + + ( )!! (n )! ; c) n n tn( ) ( )!! = + + ; d) n n tn( ) = + + ( ) ; n 99
k k n e) tn( ) = + + + ; f) n n n tn( ) = + + ( ) n o e, 646; ε = 0, 00 sin 8 0, 46947; ε = 0, 00000 Kontrolní test Vypočtěte přírůstek funkce y a diferenciál dy v bodě 0 = pro přírůstek = 0, u funkce y = + y=, 4, dy=, 46, b) y=, 46, dy =, 4, c) y=,, dy =, Vypočtěte diferenciál funkce d, ( ) b) y = + ( ) d d, c) + ( ) v bodě pro přírůstek d Vypočtěte diferenciál řádu funkce y = cos v bodě pro přírůstek d 8sin d, b) 4cos d, c) 8cos4 d 4 Pro funkci f( ) = e sestavte Taylorův polynom stupně v okolí bodu (Maclaurinův polynom) + +, b) + +, c) + 4 + 4 5 Polynom p( ) = 0 + rozložte na mocniny dvojčlenu ( ) 4 5 + 0( ) + ( ) + 8( ) + ( ), 4 b) 5 + 0( ) + 4( ) + 48( ) + 4( ), 4 c) 5 + 0( ) 4( ) 8( ) ( ) 6 Pro funkci b) f( )= sestavte Taylorův polynom stupně v okolí bodu 0 = ( ) ( ) + ( ), 4 4 8 ( ) + ( ) ( ), 4 8 6 00 0 = 0
c) ( ) + ( ) ( ) 4 4 8 7 Pro funkci f ( ) = e sestavte Maclaurinův polynom ( tj 0 = 0) stupně +, b) Výsledky testu 4 +, c) 6 + b); ; c); 4 b); 5 ; 6 b); 7 c) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 5 případech, pokračujte další kapitolou V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu 6 znovu 0