Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností nbud mít nbo ji ndovdm určit. Postup řšní podl zmíněných bodů budm nazývat urční průběhu funkc.. Určím dfiniční obor funkc jjí nulové bod a intrval v nichž j funkc kladná nbo záporná.. Zjistím zda j funkc sudá lichá nbo priodická. (Pro funkc sudé a liché můžm jjí průběh vštřovat jn pro < ) pro funkc priodické v jdnom pásu daném priodou).. Určím intrval spojitosti a v krajních bodch vštřím jdnostranné limit. (Výsldk vužijm v bodě 9 při určování asmptot bz směrnic).. Vpočítám určím D nulové bod a intrval v nichž j kladná nbo záporná. 5. Určím intrval v nichž j funkc rostoucí nbo klsající. 6. Stanovím lokální trém funkc. 7. Vpočítám určím D nulové bod a intrval v nichž j kladná nbo záporná. 8. Určím intrval konvnosti a konkávnosti a najdm inflní bod funkc. 9. Určím asmptot funkc.. V trémch a inflních bodch funkc určím funkční hodnot a tčn. Zakrslím do grafu končné limit v bodch nspojitosti asmptot a nulové bod funkc. Nakrslím clý graf funkc.
Matmatika I část II Graf funkc Řšné úloh Příklad Vštřt průběh funkc 5 = 6 a načrtnět jjí graf. Řšní:. Daná funkc j polnom a td D = R. Položím 6 5 = a odtud =. Nulové bod jsou = = =. Platí ( ) < ( ) > () < a () > viz obr. 6. : : - + - + + - - + : - - + - + Obr. 6. Platí 5 5 f ( ) ( ) ( ) = = =f( ) pro všchna R to 6 6 znamná ž daná funkc j lichá. Jjí graf bud souměrný podl počátku soustav souřadnic. Mohli bchom td vštřovat průběh funkc pouz pro. Dál j f ( p) ( p) ( p) f( ) 6 6 Funkc nní priodická. 5 5 + = + + = pro všchna. Funkc nmá bod nspojitosti. R a p.
Matmatika I část II Graf funkc. D = = R. Položím = a dostanm =. Nulové bod funkc jsou = = 5 =. Platí ( ) > ( ) < () < a () >. Znaménka zapíšm do obr. 6. 5. Funkc j rostoucí pro ( ) a pro ( ). Funkc j klsající pro ( ) a pro ( ) viz obr. 6. 6. Funkc má v bodě = ostré lokální maimum a v bodě 5 = ostré lokální minimum. 7. = D =. R Položím = a dostanm ( ) =. Nulové bod funkc jsou = 6 = a 7 =. Platí ( ) < > < a Znaménka zapíšm do obr. 6. () >. 8. Funkc j konvní pro ( ) ( ) a j konkávní pro ( ) () viz obr. 6. Bod = 6 = 7 = jsou inflní bod dané funkc. 9. Asmptot bz směrnic nistují viz bod. Vpočtm 5 lim 6 k = = lim lim 6 = = ± ± 6 ± asmptot s směrnicí.. Platí: = R. Nistují 7 7 ( ) = ( ) = () = () = a ( ) =. Bod 5 6 6 5 o souřadnicích () a jsou stacionární bod a td tčn 5 5 v nich k grafu funkc jsou rovnoběžné s osou kartézské soustav souřadnic. Pro bod 7 7 a 6 6 platí ( ) = () = a td tčn k grafu funkc procházjící těmito bod mají stjnou směrnici k =. Graf funkc j na obr. 57.
Matmatika I část II Poznámka Graf funkc V násldujících příkladch budm v jdnotlivých bodch určování průběhu funkc uvádět pouz výsldk bz komntář. Řšné úloh Příklad Určt průběh funkc =. Řšní: R = což nplatí pro žádné D = \ =. {} D ( ) = < () = > viz obr.6. f( ). f( ) = funkc nní ani sudá ani lichá. f( ) + p f ( + p) = f( ) což platí D a p funkc nní priodická. + p. Funkc j spojitá pro ( ) ( ). Platí lim = lim =. + ( ). = ( ) = = D = D () = > viz obr. 6. ( ) = < = < 5
Matmatika I část II - + Graf funkc : - - + : - + Obr. 6 5. Pro ( ) a () j funkc klsající pro ( ) j rostoucí. 6. V bodě = má funkc ostré lokální minimum. 7. ( + ) ( ) = D = D = D + = + = ± = nmá rálné kořn 5 ( ) = < () = >. 8. Pro ( ) j funkc konkávní pro ( ) j konvní nmá inflní bod viz obr. 6. 9. Eistuj asmptota bz směrnic = viz bod pro + j a pro j. Asmptot s směrnicí: k = lim = ± lim = lim = R lim = R q = lim. = R. Funkc má asmptotu s směrnicí = pro.. () = () = tčna v stacionárním bodě ( ) j rovnoběžná s osou. Graf j na obr. 6. 6
Matmatika I část II Graf funkc = Obr. 6 Příklad Vštřt průběh funkc =. Řšní:. D = R \{ } průsčík s osou nistují > D.. Nní ani sudá ani lichá ani priodická.. Funkc j spojitá pro ( ) ( ) lim = lim =. +. D D D : ( ) = = = < () = <. 5. Funkc j klsající pro ( ) a pro ( ) viz obr. 6. 6. Lokální trém nistují. 7. + = + = + = + = + = = 7
Matmatika I část II Graf funkc ( ) = < = 8 > () = > viz obr. 6. : + + : - - : - + + Obr. 6 8. Funkc j pro konkávní a pro ( ) j konvní bod = j inflním bodm funkc. + 9. Z bodu vplývá ž přímka = j asmptotou pro. Asmptot s směrnicí: Funkc má asmptotu k = lim = R q= lim = R. ± ± = pro a pro.. = = tj. v inflním bodě má tčna k grafu směrnici k =. Graf funkc j na obr. 6. 8
Matmatika I část II Graf funkc = = Obr. 6 Úloh k samostatnému řšní V násldujících cvičních vštřt průběh funkc a načrtnět graf funkc.. = +. = 6 ( ). = 6. 7.. + = 5. = 8. =.. = ln. 6. = ln 7. = 6. = + 9. =. = = = + = ln 5. = ln ln = 8. = sin + cos 9. = arccos. = arctg. = arctg +. = + arctg. = + arccotg. = arctg arccotg 9
Matmatika I část II Graf funkc Výsldk úloh k samostatnému řšní. D = R ; lichá funkc; rostoucí: ( ) ; nmá trém; konvní: ( ) konkávní: ( ) inflní bod: = ; nmá asmptot.. D = R ; nní ani sudá ani lichá; rostoucí: klsající: ; konkávní: ( ) inflní bod: 7 min = pro = ; konvní: 6 ( )a ( ) = = ; nmá asmptot.. D = R ; sudá funkc; rostoucí: ( )a ( ) klsající: ( ) a () = = ; min pro min = pro = ma = 6 pro = ; konvní: ( )a( ) konkávní: ( ) inflní bod nmá; nmá asmptot.. D \{ } ( ) klsající: ( ) ; = R ; lichá funkc; rostoucí: ( )a a () min = pro = ma = pro = ; konvní: ( ) konkávní: ( ) inflní bod nmá; asmptot: = =. 5. R { } ; lichá funkc; rostoucí: ( ) a ( ) a ( D = \ ) klsající: 9 9 a ( ) ; min = pro = ma = pro = ; konvní: ( ) ( ) a ( ) konkávní: ( ) a ( ) inflní bod = ; asmptot: = = =. 6. D = R \{ } ; nní ani sudá ani lichá; rostoucí: ( ) klsající: ( ) () ( ) ; min = pro = ma = pro = ; konvní: a + konkávní: ( )a + inflní bod: = = + ; asmptot: rostoucí: ( ) a ( ); nmá trém; konvní: = =. 7. D \{ } = R ; nní sudá ani lichá; ( )a konkávní: inflní bod: = ; asmptot: = =. 8. D = R ; nní ani sudá ani lichá; rostoucí: ( ) klsající: ( ); min = pro = ; konvní: ( ) inflní bod nmá;
Matmatika I část II asmptota: pro. 9. D ( ) = Graf funkc + = R ; nní ani sudá ani lichá; rostoucí: ( ) klsající: ; ma = pro = ; konvní: ( ) konkávní: = ; asmptota: = pro +.. klsající: ( ) a ( ); inflní bod nmá; nmá asmptot.. ; min = pro = klsající: ( ) a ( ) ( ) inflní bod: D = R ; nní ani sudá ani lichá; rostoucí: min = pro = ; konvní: ( )a( ) D = R ; nní ani sudá ani lichá; rostoucí: ( ) ma pro = = ; konvní: ( ) a( + ) konkávní: ( + ) inflní bod: = = + ; asmptota: = pro +.. D = R ; lichá funkc; rostoucí: klsající: a ; min = pro = ma = pro = ; konvní: a konkávní: a inflní bod: = = = ; asmptota: =.. D = ( ); nní sudá ani lichá; rostoucí: klsající: ( ) ; pro min = = konvní: ( ) inflní bod nmá; nmá asmptot.. D = ( ) ; lichá funkc; rostoucí: ( ) ; nmá trém; konvní: () konkávní: ( ) inflní bod: = ; asmptot: = =. 5. D = ( ); nní ani sudá ani lichá; rostoucí: klsající: ( ) ; min = pro = ; konvní: konkávní: inflní bod: = ; nmá asmptot. 6. D \{ } klsající: = R ; lichá funkc; rostoucí: a a ; min pro = = ma = pro = ; konvní: ( ) konkávní: ( ) inflní bod nmá; nmá asmptot. 7. D = ( ) ; nní ani
Matmatika I část II sudá ani lichá; rostoucí: ( ) klsající: ( ) ; ma = pro = konvní: Graf funkc konkávní: lichá; min konkávní: inflní bod: rostoucí: = ; asmptota: =. 8. D = R ; nní sudá ani + k + k klsající: = pro = ma = pro = + k ; konvní: 5 + k + k k Z ; 7 + k + k + k + k k Z inflní bod: = + k k Z ; nmá asmptot. 9. D = R ; sudá funkc; rostoucí: ( ) klsající: ( ); min = pro = ; konkávní: ( ) inflní bod nmá; asmptota: =.. D = R \{ } ; lichá funkc; klsající: ( ) a ( ); nmá trém; konvní: ( ) konkávní: ( ) inflní bod nmá; asmptota: = ; lim f( ) trém; konvní: = ; =.. D \{ } lim f( ) = + ( ) lim f( ) = + = R ; nní ani sudá ani lichá; klsající: a ( ) ; nmá ( ) konkávní: lim f( ) inflní bod: = ; asmptota: =.. D = R ; lichá funkc; rostoucí: ( ) nmá trém; konvní: ( ) konkávní: ( ) inflní bod: = ; = ; asmptot: = +.. D = R ; nní ani sudá ani lichá; rostoucí: ( ) a ( ) klsající: ( ) ; min = + pro = ma = pro = ; konvní: ( ) konkávní: ( ) inflní bod: = ; asmptot: = = +.. D = R ; nní ani sudá ani lichá; rostoucí: ( ) ; nmá trém; konvní: ( ) konkávní: ( ) inflní bod: = ; asmptot: = =.