Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar. Můž s však stát, ž při zadání funkčního přdpisu udělám chbu, ž zvolím nvhodný intrval pro zobrazní grafu, nbo ž si zvolný softwar s vkrslním grafu dokonal nporadí. pro tto případ j nutné naučit s hldat význačné vlastnosti funkc. V této kapitol budou tto význačné vlastnosti uvdn a v závěru kapitol j shrnm a naučím s graf funkc = f(). = f() načrtnout. 4.. Etrém funkc Přdpokládané znalosti V této a dalších částch budm hovořit o monotónnosti funkcí, viz dfinic.4. a budm používat větu..6. Výklad Dfinic 4... Říkám, ž funkc f ( ) má v bodě 0 D f absolutní maimum Df : f( ) f( 0), absolutní minimum : ( ) ( 0), Df f f lokální maimum O ( 0): O ( 0) f( ) f( 0),, jstliž lokální minimum O ( 0): O ( 0) f( ) f( 0), ostré lokální maimum O( 0): O( 0)\{ 0} f( ) < f( ), 0 ostré lokální minimum O( 0): O( 0)\{ 0} f( ) > f( 0 ). Jstliž nastan něktrá z přdchozích možností říkám, ž funkc f ( ) má v bodě 0 trém (absolutní, lokální, ostrý lokální). 0
Etrém funkc Řšné úloh Příklad Funkc (0) + = = má v bodě + 0 = 0 absolutní maimum. Nrovnic platí pro všchna R. Po úpravě totiž dostanm ( + ), dál pak 0. Přdchozí úvaha platí pro každé O ( 0) a td funkc má v bodě 0 = 0 také lokální maimum, ktré j ostré, protož 0 < pro všchna R { } \ 0. Příklad Funkc = + má v bodě 0 = 0 ostré lokální minimum, protož nrovnic + > (0) = 0 j splněna v okolí (,) bodu 0 s výjimkou bodu 0, nboť po úpravě dostanm ( + ) > 0. ( ) = 4 < (0). Toto lokální minimum nní absolutní, protož například Výklad Věta 4... Nchť j 0 vnitřní bod D a nchť istuj f ( 0) 0. Pak funkc f ( ) nmá f v bodě 0 lokální ani absolutní trém. Bz důkazu. 0
Etrém funkc =f() f( ) f( ) 0 f( ) 0 0 O( ) 0 Obr. 46 Všimněm si na obr. 46, ž tčna k grafu funkc f ( ) v bodě rovnoběžná s osou. Eistuj td pro vhodně zvolné bod, Df O( 0). 0 nní pro f ( 0 ) 0 O ( 0) takové, ž platí f ( ) > f( 0), f( ) < f( 0 ) Poznámka Z vět 4.. vplývá, ž lokální i absolutní trém mohou istovat pouz v bodch 0 D f, v nichž f ( 0 ) = 0, nbo v nichž f ( 0 ) nistuj. Bod 0, v nichž f ( 0 ) = 0 budm nazývat stacionární. Mzi bod, v nichž f ( 0 ) nistuj, patří také krajní bod dfiničního oboru. Výklad Věta 4... Spojitá funkc, jjíž drivac mění v bodě 0 znaménko, má v bodě 0 ostrý lokální trém. 04
Etrém funkc Bz důkazu. Uvědomím si, ž podl vět..6 j pro f ( ) > 0 funkc f ( ) rostoucí a pro f ( ) < 0 j funkc f ( ) klsající. Podl vět 4.. můž drivac spojité funkc f ( ) změnit znaménko pouz v bodch 0 D f, v nichž f ( 0 ) = 0, nbo v nichž f ( 0 ) nistuj. Řšné úloh Příklad Určt lokální trém funkc =. Řšní: Funkc j spojitá na množině rálných čísl R. Zjistím nulové bod a bod nspojitosti funkc + a podl vět 4.. rozhodnm, zda v nich bud lokální trém: ( ) = +. =. Bodm nspojitosti funkc j bod = 0. Jjí nulový bod získám řšním rovnic ( + ) = 0, tj. + = 0 a odtud =. Tto bod rozdělí R na tři intrval, viz obr. 47. : + - 0 + R Obr. 47 05
Etrém funkc = 0 Obr. 48 Vužijm poznatků o řšní nrovnic z kapitol.4 a dostanm: ( ) > 0, ( ) < 0, () > 0. Drivac funkc mění v bodch = 0 a = znaménko, tj. v těchto bodch istují lokální trém. Bod = j stacionárním bodm. Monotónnost funkc na obr. 48. s v bodch = 0 a = mění, viz obr. 47. Graf funkc j Výklad Věta 4... Přdpokládjm, ž f ( 0) = 0 a f ( 0) < 0, rsp. f ( 0) > 0. Pak má funkc f ( ) v bodě 0 ostré lokální maimum, rsp. ostré lokální minimum. Bz důkazu. Pro maimum v bodě 0 platí, ž f ( ) > 0, pro ( 0 δ, 0) a f ( ) < 0 pro ( 0, 0+ δ ) a vhodné δ > 0, viz obr. 49, 50. Funkc f ( ) j zřjmě v intrvalu ( 0 δ, 0+ δ ) klsající a td f ( 0) < 0. 06
Etrém funkc =f() 0 + δ 0 0 δ 0 0 0 δ 0 0 + δ = f () Obr. 49 Obr. 50 Podobnou úvahu můžm provést pro minimum v bodě 0 a dostanm f ( 0) > 0. Řšné úloh Příklad Určt trém funkc =, jjíž dfiniční obor j D f =<, >. Řšní: Z řšní přdchozího příkladu vím, ž daná funkc má v bodě = ostré lokální maimum a v bodě = 0 má ostré lokální minimum. Z poznámk za větou 4.. vplývá, ž zbývá určit funkční hodnot funkc v krajních bodch dfiničního oboru, tj. v bodch Dostanm: 0 ( ) = 0,6788, 4 ( ) =. 0,98, 9 (0) =.0 = 0, ( ) =.,086. 4 = a =. 4 07
Etrém funkc Z přdchozích vztahů vplývá, ž funkc má v lokálním minimu = 0 absolutní minimum a v krajním bodě dfiničního oboru 4 = má absolutní maimum. Výklad Bz důkazu přdchozí větu zobcním. Věta 4..4. Nchť má funkc f ( ) v bodě spojitou n-tou drivaci pro n a nchť ( n ) ( n) f ( 0) = f ( 0) = = f ( 0) = 0 a f ( 0) 0. ( n) ( n) f ( 0) 0, rsp. f ( 0) > 0, 0 J-li n číslo sudé a < pak má funkc f ( ) v bodě 0 ostré lokální maimum, rsp. ostré lokální minimum. J-li n liché číslo, pak v 0 trém nistuj. Řšné úloh Příklad Určt lokální trém funkc 4 5 6 = +. 4 5 6 Řšní: Funkc j polnom, tj. jjí dfiniční obor a dfiniční obor jjích drivací j R. 4 5. = + = ( ) stacionární bod jsou = 0, =. 4. = 8 + 5, (0) = 0, () = 0 budm dál drivovat.. = 6 4 + 0, (0) = 0, () = 0 v = nistuj trém. (4) (4) 4. = 6 48+ 60, (0) = 6> 0 v = 0 j ostré lokální minimum. 08
Poznámka Etrém funkc Většina praktických úloh vd na hldání absolutního maima nbo minima funkc, ktrá úlohu popisuj. Tnto trém můž, al nmusí být lokální. Řšné úloh Příklad Z bodu O do bodu A vd přímá žlznic, viz obr. 5. Navrhnět umístění přkladového nádraží v bodu B na této trati tak, ab při silniční dopravě z bodu C do bodu B po přímé silnici a násldné dopravě z bodu B do bodu A po žlznici bla cna za přpravu jdnotk zboží njnižší. Cna za dopravu jdnotk zboží po žlznici j 0, Kč/km a po silnici 0,5 Kč/km. Cna přkládk za jdnotku j Kč. Vzdálnost OA j 00 km, vzdálnost OC j 0 km. C=(0,0) 0 B=(,0) A=(00,0) Obr. 5 Řšní: Označm souřadnic bodu B= (,0), kd j hldaná vzdálnost bodu B od bodu O. Délka cst po žlznici pak bud (00 ) km a délka přprav po silnici +0 km. Cna přprav jdnotk zboží j pak dána funkcí = (00 ).0, + + 00.0,5 +, D =< 0,00 >. Určím absolutní minimum této funkc: 09
= 0, +.0,5. + 00 Funkc j spojitá, určím td jjí stacionární bod: Etrém funkc 0, +.0,5 = 0 = 5= + 00 + 00 + 00 5 0 5 = 4 + 400 = 400, =±. Do patří pouz D 0 =. Přsvědčím s, ž v bodě s jdná o minimum funkc: + 00. + 00 ( + 00) 50 = = = = 00 5 + 4( + 00) 4 ( + 00) ( + 00) 0 J vidět, ž > 0 pro všchna D a td i pro, tj. v bodě = jd o minimum funkc. Nní zjistím funkční hodnot v krajních bodch D a porovnám j s funkční. hodnotou v bodě : 0 (0) = 6, (00) 5, 5, 5,58. Njvýhodnější j postavit nádraží v bodě B, ktrý j od bodu O vzdáln 0 km. Kontrolní otázk. Při vštřování lokálního trému funkc f ( ) v bodě 0 sldujm funkční hodnot této funkc a) v clém jjím dfiničním oboru, b) v okolí bodu 0, c) pouz v bodě 0.. Stacionárním bodm funkc f ( ) nazývám bod 0, v ktrém a) f ( 0) = 0, 0
Etrém funkc b) f ( 0) 0, c) f ( 0) nistuj.. Spojitá funkc f ( ) má v bodě v okolí bodu 0 a) nmění znaménko, b) rovná s nul, c) mění znaménko. 4. Pro funkci f ( ) v bodě a) j ostré lokální minimum, b) j ostré lokální maimum, c) nní tam lokální trém. 0 ostrý lokální trém. Pak drivac této funkc f ( ) 0 platí, ž f ( 0) = 0 a f ( 0) > 0. Pak v bodě 0 5. Má-li funkc f ( ) v bodě 0 stacionární bod, pak v bodě 0 lokální trém a) určitě nastan, b) nnastan, c) můž nastat. Odpovědi na kontrolní otázk. b);. a);. c); 4. a), 5. c). Úloh k samostatnému řšní. Najdět intrval, na ktrých j daná funkc rostoucí a na ktrých j klsající: a) 5 =, b) = 5 +, c) =, + 4 d) = + +, ) = +, f) = +.. Najdět intrval, na ktrých j daná funkc rostoucí a na ktrých j klsající: a) =, b) =, c) =,
Etrém funkc d) = ln +, ) = ln, f) g) = + cos, h) = sin + cos, i). Ukažt, ž funkc = arctg j pro každé rálné klsající. 4. Nalznět lokální trém daných funkcí: a) = ( 6 ), b) = 6, c) d) = 4 +, ) = 5. Nalznět lokální trém daných funkcí: a) d) = +, b) =, ) = ln( + + ), = arccos + = 4 8 + 7 7, +, f) = +. =, c) =, f) =, =. 6. Nalznět lokální trém daných funkcí: + a) = ln, b) = ln, c) = ln, ln d) = ln, ) =, f) = ln + arctg. 7. Nalznět lokální trém daných funkcí: a) = + arctg, b) = 6, c) =, d) = 4 tg, ) = sin, f) = + arccotg( ). 8. Určt absolutní trém funkcí na daném intrvalu: a) = 6+ 0,, 5, b) = ln,,, π c) = tg tg, 0,, d) =, ( 0, ). 9. Číslo 8 rozložt na dva sčítanc tak, ab jjich součin bl njvětší. 0. Najdět takové kladné číslo, ab součt tohoto čísla a jho přvrácné hodnot bl njmnší.. Jaké rozměr musí mít pravoúhlý rovnoběžník daného obvodu s, ab jho úhlopříčka bla njmnší?. Dokažt, ž z všch pravoúhlých rovnoběžníků daného a) obsahu má čtvrc njmnší obvod, b) obvodu má čtvrc njvětší obsah..
Etrém funkc. Z válcového kmn o průměru d s má vtsat trám obdélníkového průřzu tak, ab měl maimální nosnost. Z nauk o pvnosti j známo, ž nosnost trámu j dána vztahm = kab, kd k>0 j součinitl matriálu, a j šířka a b výška trámu. 4. Z čtvrcového plchu o straně a s má vrobit otvřná krabic tak, ž v rozích s odstřihnou čtvrc a zbtk s zahn do krabic. Jak vlká musí být strana odstřižných čtvrců, ab bl objm krabic maimální? 5. Cstovní kanclář pořádá zájzd. J-li počt účastníků zájzdu 00 a méně, j cna pro jdnoho účastníka 600 Kč. Při větším počtu nž 00 s cna sníží za každého účastníka navíc o,50 Kč. Při kolika účastnících bud obrat cstovní kanclář njvětší? Výsldk úloh k samostatnému řšní. a) rostoucí:, a,, klsající:, ; b) rostoucí: (, ) a (, ) ) (,), klsající: (, ; c) rostoucí: d) rostoucí:, a (, (, ), klsající: (, ) ), klsající: ( ) ( klsající: (, ) a (,) a (, ), klsající: (, ) a (, ) ;, v, j konstantní, = ; ) rostoucí:,0 a 0, a,.. a) rostoucí: (,0) b) rostoucí:, klsající: (0, ) (,0) a (, ) ; c) rostoucí: ( ) (,0) a ( 0,) ; d) rostoucí: ( 0, ), klsající: (,0) 0, ; f) rostoucí: (, ) ; g) rostoucí: (, ) ); f) rostoucí: (, ) a (, ), ( ), klsající: 0, ;,, klsající: ; ) rostoucí: ; h) rostoucí: π π 5 π + kπ, + kπ, klsající: + kπ, π + kπ, k Z 4 4 4 4,, klsající: 0,, ; i) rostoucí: ( ) klsající: (,0). 4. a) ma = 0 pro = 0, min = pro = 4 ; b) ma = 0 pro =, min = pro = ; c) nmá lokální trém; d) ma = pro = 0 ; ) nmá lokální trém; f) min = pro =,
Etrém funkc min = pro =. 5. a) min = pro = 0 ; b) min = pro =, ma = pro = ; c) ma = pro =, ma = pro =, min = 0 pro = 0 ; d) ma = pro = ; ) ma = pro = ; f) ma pro = =, min = 0 pro = 0. 6. a) min = pro = ; b) nmá lokální trém; c) min = pro = ; d) ma pro = =, min = pro = ; ) ma = pro = ; f) min = ln- pro =. 4 7. a) nmá lokální trém; b) ma = 6 pro = 0, min = 0 pro = 4, min = 0 pro = 4 ; c) ma = pro =, min = 0 pro = ; 4π π d) ma = + 4kπ pro = + kπ, k Z, 4π π min = + 4kπ + pro = + kπ, k Z ; ) ( π + kπ ) 4 π ma = pro = + kπ, 4 5π ( + kπ ) 4 5π min pro k 4 π = = + π, k Z ; f) ma = pro =, 4 π min = + pro =. 8. a) ma = 7 pro =, min = pro = ; 4 b) π ma = pro =, min = pro = ; c) ma = pro =, nmá 4 absolutní minimum; d) min 0.69 pro =, nmá absolutní maimum. π 9. [ 4 4] s s +. 0. =.. a=, b=.. 4 4 d d a =, b=. 4. a a =, Vma = 6. 5. n = 70. 4
Etrém funkc Kontrolní tst. Najdět intrval, na ktrých j funkc = + rostoucí a na ktrých j klsající. a) rostoucí (, ) a (, ), klsající (,), b) rostoucí (,), klsající (, ) a (, ), c) rostoucí (, ), klsající (, ).. Najdět intrval, na ktrých j funkc a) rostoucí (, ), klsající (,), b) rostoucí (,), klsající (, ), c) rostoucí (, ), klsající (, ). = rz monotónní:. Najdět intrval, na ktrých j funkc = + arccotg rz monotónní. a) rostoucí (,), klsající (, ) a (, ), b) rostoucí (,), klsající (, ), c) rostoucí (, ) a (, ), klsající (,). 4. Najdět všchn lokální trém funkc a) pro =, = 0 pro = 0, ma = 4 min b) = pro = 0, min = 4 pro =, ma 0 9 = =, min = 0 = 0. c) ma pro pro =. 5. Najdět všchn lokální trém funkc = sin + cos. a) ma = pro 5 π = π, min = pro =, 4 4 b) ma = pro = 0, min = pro = π, π c) ma = pro = + kπ, k clé č., min = pro 4 6. Určt absolutní trém funkc = ln na intrvalu <, >. a) ma = pro =, min = ln pro =, b) ma = pro =, min = pro =, 5 = π + kπ, k clé č. 4 5
Etrém funkc c) ma = ln pro =, min = pro =. 7. Vpočtět rozměr obdélníku o ploš 5 cm tak, ab měl njkratší úhllopříčku. a) a = 5 cm, b = 5 cm; b) a = 4,75 cm, b = 5,5 cm, c) a = 4,5 cm, b = 5,9 cm. Výsldk tstu. a);. b);. c); 4. b); 5. c); 6. a); 7. a). Průvodc studim Pokud jst správně odpověděli njméně v 5 případch, pokračujt další kapitolou. V opačném případě j třba prostudovat kapitolu 4.. znovu. 6