UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ATEATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ ATEATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Dvojný integrál princip řešení a sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: gr. Iveta Bebčáková, Ph.D. Rok odevzdání: Vypracovala: artina Šušková E, III. ročník

Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracovala samostatně pod vedením paní gr. Ivety Bebčákové, Ph.D. s použitím uvedené literatury. V Olomouci dne. března

Poděkování Ráda bych poděkovala vedoucí bakalářské práce paní gr. Ivetě Bebčákové, Ph.D. za spolupráci i za čas, který mi věnovala při konzultacích.

Obsah Úvod 4 Seznam použitého značení 5 Integrální počet. Dvojný Riemannův) Integrál...................... otivace.............................. Základní věty a definice................... 7. Integrální počet funkce jedné proměnné............... 9.. Základní věty a definice................... 9.. Přehled základních vzorců.................. Dvojný integrál na obdélníkové oblasti Dvojný integrál na elementárních množinách 4 Transformace do polárních souřadnic 5 5 Geometrická aplikace obsahy ploch 79 Geometrická aplikace objemy těles 9 7 Zadávání dvojných integrálů do programu Wolfram athematica Závěr 8 Literatura 9

Úvod Téma mé bakalářské práce je Dvojný integrál - sbírka příkladů. Tato práce by měla sloužit studentům prvního ročníku oboru atematika - ekonomie se zaměřením na bankovnictví a pojišťovnictví jako učební pomůcka v předmětu atematika. Doufám tedy, že pro ně bude přínosná a dokážou díky ní lépe pochopit počítání dvojných integrálů. Bakalářská práce je psaná s předpokladem, že čtenář má již základní znalost z předmětu atematika. V první kapitole je uvedena motivace dvojného integrálu a základní vzorce, definice a věty, bez jejichž znalostí by počítání integrálů nešlo. Dále je celá práce rozdělena do pěti kapitol řešených příkladů kapitoly - ), kde se postupně čtenář naučí řešit různé typy příkladů týkajících se řešení dvojných integrálů. Začínáme nejjednodušší kapitolou - dvojný integrál na obdélníkové oblasti, pokračujeme trochu složitější částí - dvojný integrál na elementárních množinách, po které následují příklady řešené transformací do polárních souřadnic. Čtenář se také naučí i něco z geometrické aplikace, jako jsou výpočty obsahu ploch a objemu těles pomocí dvojných integrálů. V této kapitole je zahrnuto i odvození vzorců pro výpočty objemů těles. V poslední, sedmé kapitole, si navíc ukážeme, jak používat program Wolfram athematica při řešení dvojných integrálů. Důvod, proč jsem si toto téma vybrala, byl ten, že se mi ze všech vypsaných prací téma Dvojný integrál líbilo nejvíce. Co mě ale zaujalo možná ještě více je fakt, že moje bakalářská práce může v budoucnu někomu posloužit a neskončí jen její obhajobou. 4

Seznam použitého značení R N Z R n a, b A B A B fx, y)dxdy R) množina reálných čísel množina přirozených čísel množina celých čísel kartézský součin R R R }{{} n uzavřený interval od a do b kartézský součin množin A a B sjednocení množin A a B dvojný integrál funkce dvou proměnných na množině množina všech funkcí Riemannovsky integrovatelných na množině 5

. Integrální počet.. Dvojný Riemannův) Integrál V práci se budu zabývat dvojným integrálem, který je definován a podrobně rozebrán v [4], [5], []. Kvůli náročnosti definice a kvůli zaměření této práce zde nebudu tuto definici uvádět, ale zaměřím se pouze na tvrzení, která nám pomáhají s výpočtem dvojného integrálu.... otivace Na začátek si zavedeme geometrickou motivaci dvojného integrálu. Tou je úloha, kdy chceme určit objem tělesa s podstavou v rovině xy) a horní stěnou, která je tvořená částí grafu nezáporné omezené funkce f definované na množině. Integračním oborem u dvojného integrálu může být např. čtverec, obdélník, trojúhelník, kruh, lichoběžník atd. Tím se liší od jednorozměrného integrálu, kde je integračním oborem vždy interval. Nejprve se budeme zabývat dvojným integrálem na obdélníku, tudíž množina bude obdélníkového tvaru. Podobným postupem bychom mohli počítat také n-rozměrný integrál, kde n N. Například pro n bychom integrovali přes kvádr. Budeme uvažovat uzavřený obdélník R, kde je kartézský součin uzavřených intervalů a, b na ose x a c, d na ose y, tj. a, b c, d. Existuje-li dvojný Riemannův integrál funkce f na, říkáme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na obdélníku. nožinu všech funkcí Riemannovsky integrovatelných na značíme jako R). Dvojný integrál funkce dvou proměnných na množině budeme značit fx, y)dxdy.

... Základní věty a definice Věta Fubiniova pro obdélník) Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném obdélníku a, b c, d. Potom platí fx, y) dx dy b a d c ) fx, y) dy dx d c b a ) fx, y) dx dy Definice Elementární množina vzhledem k proměnné x je množina tvaru {x, y) R ; x a, b, gx) y hx)}, kde g a h jsou funkce jedné reálné proměnné spojité na a, b takové, že pro všechna x a, b platí gx) < hx). Definice Elementární množina vzhledem k proměnné y je množina tvaru {x, y) R ; y c, d, ϕy) x ψy)}, kde ϕ a ψ jsou funkce jedné reálné proměnné spojité na c, d takové, že pro všechna y c, d platí ϕy) < ψy). Definice Elementární množina je uzavřená množina, kterou lze vyjádřit jako sjednocení konečně mnoha disjunktních elementárních množin vzhledem k x nebo y. Věta Fubiniova pro elementární množinu) Nechť je funkce f spojitá na uzavřené elementární množině vzhledem k proměnné x, tj. {x, y) R ; a x b, gx) y hx)}. Potom platí fx, y) dx dy b a gx) ) hx) fx, y) dy dx 7

Nechť je funkce f spojitá na uzavřené elementární množině vzhledem k proměnné y, tj. {x, y) R ; c y d, ϕy) x ψy)}. Potom platí fx, y) dx dy d c ϕy) ) ψy) fx, y) dx dy Věta Transformace souřadnic ve dvojném integrálu) Nechť se uzavřená omezená množina N R proměnných u, v) zobrazí pomocí soustavy rovnic x gu, v) a y hu, v) vzájemně jednoznačně na uzavřenou omezenou množinu R proměnných x, y), přičemž funkce g a h jsou v N spojité spolu se svými parciálními derivacemi g, g, h a h u v u v a pro tzv. Jacobiův determinant jakobián) platí J g u h u g v h v ve všech bodech množiny N. Dále nechť funkce f fx, y) je spojitá na. Potom platí fx, y) dx dy fgu, v), hu, v)) J du dv, N kde J je absolutní hodnota jakobiánu. 8

.. Integrální počet funkce jedné proměnné Výše jsme viděli, že dvojný integrál převádíme na integrál dvojnásobný a při výpočtu dvojných integrálů tedy používáme metody známé z integrálního počtu funkce jedné proměnné. Proto si zde nyní nejdůležitější z nich uvedeme. Integrál funkce jedné proměnné je podrobně rozebrán v [], [], [].... Základní věty a definice Věta 4 etoda per partes) Nechť funkce ux) a vx) mají na intervalu I derivace u x) a v x). Existuje-li na I primitivní funkce k jedné z funkcí u x)vx), ux)v x), existuje i k druhé z nich a platí ux)v x) dx ux)vx) u x)vx) dx Věta 5 Substituční metoda) Nechť funkce ft) je spojitá na intervalu a, b), nechť funkce ϕx) má na intervalu α, β) spojitou derivaci a nechť ϕx) a, b) pro každé x α, β). Potom na intervalu α, β) platí ft) dt fϕx)) ϕ x) dx, kde t ϕx). Věta Newton Leibnizův vzorec) Nechť funkce f R a, b ) a F je primitivní funkce k f na a, b. Potom platí b a fx) dx [F x)] b a F b) F a) 9

... Přehled základních vzorců a dx ax + c a R, x R x n dx x α dx xn+ n+ + c n N, x R xα+ α+ + c α R \ { }, x R+ x dx ln x + c x R \ {} e x dx e x + c x R a x dx ax ln a + c a R+ \ {}, x R sin x dx cos x + c x R cos x dx sin x + c x R dx cotg x + c x R \ {k, k Z} sin x dx tg x + c x R \ { + k, k Z} cos x dx arctg x + c x R +x x dx arcsin x + c x, ), kde c R Při výpočtech integrálů používáme následující pravidla: c fx) dx c fx) dx, kde c R je libovolná konstanta fx) ± gx)) dx fx) dx ± gx) dx

. Dvojný integrál na obdélníkové oblasti V následující kapitole se budeme zabývat počítáním integrálů na obdélníkové oblasti. Naučíme se dvojný integrál převádět na dvojnásobný, tj. využívat Fubiniovu větu, a dále počítat podle vět uvedených na začátku práce. Vypočítejte daný integrál pro danou množinu.. x y dxdy, 5, Řešení: Dvojný integrál můžeme přepsat na integrál dvojnásobný, protože je zde splněna podmínka Fubiniho věty pro obdélník. Kartézský součin nám udává, jaké budou integrační meze. 5 x y dy dx Nejprve budeme funkci integrovat podle proměnné y a proto budeme x považovat za konstantu, kterou můžeme vytknout před integrál. Zintegrujeme tedy funkci y. 5 [ y x ] dx V dalším kroku využijeme Newton Leibnizův vzorec. 5 x 7 dx Získáváme tak určitý integrál funkce jedné proměnné x. Nejprve vytkneme konstantu 7 před integrál a nalezneme primitivní funkci k funkci x. 7 [ x ] 5 Potom opět použijeme Newton Leibnizův vzorec, pomocí kterého dojdeme ke konečnému výsledku.

7 5 ) 7 4 7 Poznámka: V tomto případě nezáleží na pořadí proměnných, podle kterých integrujeme. ohli bychom tedy postupovat i tak, že bychom začali v prvním kroku integrovat podle proměnné x, takže bychom proměnnou y považovali za konstantu a vytkli ji před integrál. Dále bychom postupovali úplně stejně, jako v předchozím řešení. Pořadí proměnných, podle kterých integrujeme, volíme vždy tak, aby bylo pro nás snadnější integrál vypočítat. Výsledek příkladu můžeme interpretovat jako objem tělesa s dolní podstavou, 5, v rovině xy) a horní stěnou, která je tvořená částí grafu funkce fx, y) x y definované na množině viz obrázek ). Obrázek : Těleso, jehož objem počítáme pomocí integrálu x y dxdy na množině, 5,

. 4xy e xy dxdy {x, y) R ; x ; y } Řešení: Protože je zde splněna podmínka Fubiniho věty pro obdélník, přepíšeme dvojný integrál na dvojnásobný. Budeme integrovat nejprve podle proměnné x, tudíž y budeme považovat za konstantu. 4xy e xy dx dy 4y xe xy dx dy V dalším kroku zavedeme substituci, kde x y položíme rovno t, abychom mohli snadno zintegrovat funkci xe xy. Důsledkem této substituce dostáváme i nové integrační meze. Novou funkci proměnné t tedy zintegrujeme podle t a dále postupujeme stejně, jako u předchozího příkladu, tj. použijeme Newton Leibnizův vzorec. t x y dt xydx y x t y e t dt dy x t y y e y ) dy ye y dy ydy y [ e t ] y ) dy Dále použijeme Per partes, neboli integrujeme po částech podle známého vzorce z věty 4. Poté použijeme opět Newton Leibnizův vzorec a dopočítáme integrál. u y u v e y v e y [yey ] e y [ y ] [ye y ] [ey ] [ y ] e e + + Další příklady této kapitoly již nebudou tak podrobně komentované. Řeší se obdobně, jako ty vzorové, takže budou okomentovány vždy jen nějaké nové postupy nebo úpravy, které se ještě dříve nevyskytly.

. x dxdy,, y Řešení: x y dy dx + [ x ] [ x ] dx x y + ) dx 4. lnxy )dxdy, e, e Řešení: e e e e e lnxy )dy dx e e [x ln x x] e dy + e [e e) )] dy + dy + e ln xdx dy + e [ y ln y y ] e dx e e ln y dy dx [e e) )] dx dx [y] e + [x]e e + e e e ) Poznámka: Integrál e e druhém kroku, vypočítáme následovně: ln y dy t y dt ydy ) ln y dy dx, který jsme potřebovali spočítat ve ln t t dt ln t t t tdt t ln t y ln y y + c 4 u ln t v t t u v t t t t dt t ln t t

5. x y sin x + y ) dxdy sin, sin, Řešení: Zde si musíme nejprve uvědomit, že hraniční body intervalu, jejichž kartézský součin tvoří množinu, jsou čísla a tudíž jde opět o integraci přes obdélník. sin sin x y sin x + y ) dy dx t x + y dt ydy y t x y t x + x [ cos t] x+ x dx x cos xdx x+ x x y sin x + y ) dy dx x sin tdt dx x cos x cos x + )) dx x cos x + ) dx [ x sin x + x cos x sin x ] [ x sin x + ) + x cos x + ) sin x + ) ] 4 sin + 4 cos sin ) 4 sin + 4 cos sin ) 4 + 4 ) 4 + 4 ) ) 4 4) + 4 Poznámka: Integrály, které potřebujeme spočítat ve čtvrtém řádku výpočtu, si zintegrujeme zvlášť následujícím způsobem s využitím substituce. x cos xdx u x v cos x u x v sin x x sin x x sin xdx 5

u x v sin x u v cos x x sin x + x cos x x sin x + x cos x sin x + c cos xdx x cos x + ) dx u x v cos x + ) u x v sin x + ) x sin x + ) x sin x + ) dx u x v sin x + ) u v cos x + ) x sin x + ) + x cos x + ) cos x + ) dx x sin x + ) + x cos x + ) sin x + ) + c. x + y 4) dxdy cos, 4 cos, 4 log Řešení: Stejně jako u předchozího příkladu je zde nezvykle zadaná množina, a to pomocí známých funkčních hodnot elementárních funkcí. usíme si tudíž uvědomit, jaké hodnoty tyto zápisy vyjadřují. 4log 4 cos 4 4 x + y 4) dx dy x + y 4) dx dy cos t x + y 4 dt dx x t y 4 x 4 t y 4 4 4 y dy+ u du + 8 4 y y 4 y 4 dy t dt dy 4 [ ] y dy t y 4 u y v y 4 du dy y u 4 ; dv dy y v y 4 u y 4 v 8 v dv [ln u ] 4 + [ln v ]8 ln ln 4) + ln 8 ln ) ln 8 + ln 4 ln ln )

) 8 4 ln ) ln ) 8 ln 5 7. y cos x dxdy,, Řešení: y cos x dy dx 9 tg tg ) 9 cos x [ y ) ] dx 9 cos x dx 9 [tg x] 8. e x cos xdxdy sin, sin, sin Řešení: sin sin sin e x cos xdy dx e x cos x dx u ex u e x u ex u e x e x cos xdy dx v cos x v sin x [ex sin x] v sin x v cos x [ex sin x] + [e x cos x] e x cos x [y] dx e x sin xdx e x cos xdx Nyní budeme pokračovat v řešení příkladu pomocí rekurence, protože jsme se dostali do situace, kdy nám vyšlo, že integrál funkce jedné proměnné ex cos xdx, který dostáváme na začátku druhého řádku výpočtu, je roven [e x sin x] + [e x cos x] ex cos xdx. Proto budeme řešit následující rovnici: 7

e x cos xdx [e x sin x] + [e x cos x] e x cos xdx e x cos xdx [e x sin x] + [e x cos x] e x cos xdx [ex sin x] + [ex cos x] e sin e sin ) + e e e ) + e ) e e ) cos e cos ) 9. 9x 5x dxdy, 4, x x 4x + 4 Řešení: Tento příklad budeme řešit rozkladem na parciální zlomky. Nejprve si upravíme jmenovatele na součinový tvar. x x 4x + 4 x x ) 4 x ) x ) x 4) x ) x + ) x ) Nyní již můžeme integrál upravit do tvaru: 4 9x 5x 4 x x 4x + 4 dy dx 9x 5x x ) x + ) x ) dy dx 4 4 x + x + + 4 ) dy dx x x + x + + 4 ) [y] x dx [ ln x + ln x + + 4 ln x ] 4 8

[ ln + ln + 4 ln ) ln + ln 5 + 4 ln )] ) 9 ln 9 + ln + ln ln 4 ln 5 ln 4 5 ln 777 5 Poznámka: Při výpočtu jsme použili rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky, což konkrétně v tomto příkladu vypadá takto: 9x 5x x ) x + ) x ) A x + B x + + C x / x ) x + ) x ) 9x 5x A x + ) x ) + B x ) x ) + C x ) x + ) 9x 5x Ax 4A + Bx Bx + B + Cx + Cx C 9x 5x x A + B + C) + x B + C) + x 4A + B C) Dále jsme řešili soustavu tří rovnic o třech neznámých. A + B + C 9 B + C 5 4A + B C Řešením soustavy jsou A, B a C 4.. x + 7 dxdy, log cos, ln e x 7x + Řešení: Stejně jako v předchozím příkladu použijeme rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky. Také si musíme uvědomit, že množina je opět obdélník, i když to tak na první pohled nevypadá. x 7x + x ) x 5) log ln e x + 7 x ) x 5) dy dx cos A x + B ) dy dx x 5 9 x + 7 x ) x 5) dy dx x + 4 ) dy dx x 5

4 x 5 ) x [y] dx 4 x 5 ) ) dx x 4 x 5 ) dx [4 ln x 5 ln x ] x [4 ln 5 ln ) 4 ln 5 ln )] ln 5 4 + ln ln ln 5 4) ) 54 ln 5 4 ln 8 ) 8 ln ln 4 9. x x + 8 y dxdy,, 4 x x x + Řešení: Příklad opět řešíme rozkladem racionální lomené funkce na parciální zlomky. Platí totiž vztah: x x x + x x ) x ) x ) x ) x ) x 4) x + 4) 4 x x + 8 x x x + ydy dx 8 8 4 x x + 8 x ) x 4) x + 4) ydy dx x x + 8 x ) x 4) x + 4) A x + B x 4 + [ y ] 4 dx C ) dx x + 4 x + x 4 + ) dx x + 4

8 [ ln x + ln x 4 + ln x + 4 ] 8 [ ln + ln + ln 5 + ln 4 ln ln ] 8 ln 9 + ln 5 + ln 4 ln ln ) 8 ln 9 5 4 8 ln 5

. Dvojný integrál na elementárních množinách V této kapitole se naučíme řešit dvojné integrály na elementárních množinách. To znamená, že integrační množina již nebude zadaná kartézským součinem dvou intervalů, jako tomu bylo doposud, ale bude dána funkcemi. Abychom mohli určit integrační meze, budeme si vždy muset v prvé řadě danou množinu nakreslit. Jakmile určíme integrační meze, postup výpočtu je již obdobný, jako u dvojného integrálu na obdélníku.. e y dxdy {x, y) R ; x 5; y ln x} Řešení: Nejprve si namalujeme obrázek - danou množinu, přes kterou budeme integrovat. nožina je dána nerovnicemi x 5 a y ln x. Na základě obrázku určíme integrační meze. Obrázek : {x, y) R ; x 5; y ln x} Dále přepíšeme dvojný integrál na dvojnásobný pomocí věty Fubiniova pro elementární množinu). Daná integrační množina je elementární vzhledem k proměnné x.

5 ln x e y dy dx Protože je integrační množina elementární vzhledem k proměnné x, budeme nejprve integrovat podle proměnné y. 5 [e y ] ln x dx Využitím Newton Leibnizova vzorce a postupným dosazením dostaneme jednoduchý integrál funkce proměnné x. 5 e ln x e ) dx 5 x ) dx Vypočítaný integrál dále řešíme opět Newton-Leibnizovým vzorcem. Po jeho použití dojdeme ke konečnému výsledku. [ ] x 5 x 5 5 + 4 8

. x y dxdy {x, y) R ; x + y 9; y + x } Řešení: Stejně jako v předchozím příkladu si nejprve namalujeme danou množinu, přes kterou budeme integrovat. nožina je dána dvěma nerovnicemi. Nerovnice x + y 9 popisuje kruh se středem v bodě [, ] a poloměrem a y + x popisuje polorovinu. Na základě obrázku určíme integrační meze. Tentokrát je množina elementární vzhledem k proměnné y. Obrázek : {x, y) R ; x + y 9; y + x } Dvojný integrál si přepíšeme na dvojnásobný, opět pomocí věty Fubiniova pro elementární množinu). 9 y x y dx dy y Jak již bylo řečeno, množina je elementární vzhledem k proměnné y a budeme tedy integrovat nejprve podle proměnné x, tzn. y budeme považovat 4

za konstantu. [ ] x y 9 y dy y Dále využijeme Newton Leibnizův vzorec. ] [ 9 y y ) y) dy y 9 y ) dy y y) dy Dostali jsme rozdíl dvou integrálů, které nejsme schopni vypočítat podle vzorce, ale musíme si je vypočítat každý zvlášť. Nejdříve si spočítáme jen primitivní funkci. Integrál y 9 y ) dy budeme počítat pomocí dvou substitucí. Nejprve zavedeme první z nich, kde y nahradíme t. y 9 y ) dy t y dt ydy t9 t) dt V dalším kroku zavedeme substituci s 9 t a upravíme, aby se nám lépe integrovalo. s 9 t ds dt s 5 9s ) ds 9 s) s ds s 9) s ds Nyní již můžeme integrovat podle vzorce x n dx xn+ n+ a postupnými matematickými úpravami integrál dopočítáme. s 7 7 9 s 5 5 7 s 7 9 5 s 5 7 9 t) 7 9 5 9 t) 5 7 9 y ) 7 9 5 9 y ) 5 Ještě si musíme zvlášť vypočítat integrál y y) dy. Nejprve 5

roznásobíme závorku pomocí vzorce a b) a a b+ab b a poté ještě vynásobíme výrazem y. Dále počítáme postupně jednotlivé integrály. y y) dy y 7 7y + 9y y ) dy 7y 7y 4 + 9y 5 y ) dy 7 4 y4 7 5 y5 + 9 y y7 7 Nyní již můžeme pokračovat ve výpočtu samotného integrálu. Využijeme Newton Leibnizův vzorec a postupnými úpravami dojdeme ke konečnému výsledku. 58 7 [ 9 y ) 7 7 [ 9 9) 7 7 [ 7 8 4 9 9 y ) 5 5 9 9 9) 5 5 7 4 5 79 7 79 ] 9 7 7 + 9 9 5 + 9 79 [ 7 4 y4 7 5 y5 + 9 y y7 7 ] 5 87 ] 7 474 5 79 7 ] Další příklady této kapitoly již nebudou tak podrobně komentované. Řeší se obdobně, jako ty vzorové, takže budou okomentovány vždy jen nějaké nové postupy nebo úpravy, které se ještě dříve nevyskytly.

4. ln 9 x ) dxdy je uzavřený trojúhelník s vrcholy v bodech A [, ]; B [, ]; C [, ] Řešení: Obrázek 4: nožina daná body A [, ]; B [, ]; C [, ] V tomto příkladu je množina zadaná jinak, než v dosud komentovaných příkladech. Nemáme zde dány funkce, ale pouze body určující plochu, proto si tyto funkce musíme určit sami. Po nakreslení daného trojúhelníku vidíme, že podle proměnné x budeme integrovat na intervalu, a y máme od do funkce y x. x ln 9 x ) dy dx t 9 x dt xdx x t 9 x t 5 5 9 ln 9 x ) [y] x dx ln tdt 9 ln 9 9 5 ln 5 + 5) 9 5 ln 9 x ) xdx ln tdt [t ln t t]9 5 ) ln 99 5 4 5 ln 99 5 5 7

5. x y dxdy { x, y) R ; x 5; x y x} Řešení: 5 5 x x Obrázek 5: { x, y) R ; x 5; x y x} x y dy dx 5 [ x ] x y ) [ x + x x 4 dx 4 x 54 5 + 5 5 ) x ] 5 dx 5 [ x 4 x 5 4 x ) x + x dx ] 5 8

. x 5y ) dxdy {x, y) R ; y ; y x ; x + y } Řešení: Obrázek : {x, y) R ; y ; y x ; x + y } Tento příklad musíme řešit jako součet dvou integrálů, tj. dělením dané množiny na dvě množiny. Je to tím, že na intervalu, je plocha shora omezená funkcí y x a na intervalu, je omezená funkcí y x. Proto musíme vypočítat každý integrál zvlášť a následně je sečíst. + x x 5y ) dy dx + ] x [x y 5y dx + x x 5y ) dy dx ] x [x y 5y dx x x ) 5 ) x x + ) dx + x x) 5 9 x + ) x ) dx 9

x x 5 x + 5x 5 ) dx+ x x 45 + 5x 5 ) x dx [ x 4 4 x 5x + 5x 5x ] + [x x4 4 45 x + 5 x 5 x [ 4 8 4 ) + 5 4 5 + 5 5 )] + [ + 7 8 4 5 + 5 5 ) 8 )] 4 45 + 5 4 ] 7. x + y) dxdy {x, y) R ; y x ; y x 9 } Řešení: Obrázek 7: {x, y) R ; y x ; y x 9 } x+9 x + y) dy dx x+9 x + y) dy dx x + x +

[ xy + y ] x+9 x + dx [ x x + 9) + x + 9) x x + ) x + ) ] dx x + 8x + x + 54x + 4 x x x 4 8x 7 ) dx x + x x x 4 + x ) dx [ x + x 7 + 9 4 x4 ] 5 x5 + x 8 4 4 5 8 + 4 + 5 ) + ) 99 5 + 4 5 Poznámka: V tomto příkladu jsme si museli integrační meze vypočítat, a to jako průniky dvou křivek. Zavedli jsme tedy rovnici x + x+9 a jejím vyřešením jsme dostali kořeny x, x, což jsou naše integrační meze.

8. xydxdy { x, y) R ; y 4; y x; y x} Řešení: x Obrázek 8: { x, y) R ; y 4; y x; y x} xydy x dx+ 4 xydy x x 4x 9 ) x dx + 4x 9 x ) dx + [x 4 + [8 44 ] 9 x4 4 dx + [8x ) 9 4 4 x [ y ] x x dx+ x 9 ) x dx x 9 x ) dx ] 9 x4 [ 4 9 4 )] 9 4 8 ) x [ y ] 4 x dx ] +

9. ln xdxdy {x, y) R ; y x ; y x} Řešení: x x Obrázek 9: {x, y) R ; y x ; y x} ln xdy dx x ln xdx 4 9 + 9 ln x) [y] x x dx x ln x x ln x ) dx [ ] x ln xdx x 4 ln x 9 x x x ln x + 9 ) ) 9 Poznámka: Integrály x ln xdx a x ln xdx, které se vyskytly na začátku druhého řádku výpočtu, jsou zintegrovány zvlášť v této poznámce. Vypočítáme si zde jen primitivní funkce. x u ln x v x ln xdx u v x x x ln x x x dx x xdx ln x x 4 ln x 9 x + c

x ln xdx u ln x v x u v x x x ln x x ln x x x dx x dx x ln x x x x ln x 9 + c. 5x dxdy { x, y) R ; y x + 4x; y 4 x; x } Řešení: Obrázek : { x, y) R ; y x + 4x; y 4 x; x } x +4x 5x dy 4 x dx 5x [y] x +4x 4 dx x 5x x + 4x 4 ) x dx [ 5 x x 5 + 4 x4 5 7 5 8 + 4 x4 ] 8 ) 5x 5x 4 + x ) x dx 5 + 4 ) 8 4

. 4ydxdy {x, y) R ; xy ; x + y 5 } Řešení: Obrázek : {x, y) R ; xy ; x + y 5 } 5 x x 4ydy dx [ 5 x + 4x ) 8x ] dx [ 5x x + 8 x + 8 x [ ] [ y 5 x dx 5 x) 4 ] dx x x ] 5 4x + 8x 8 ) dx x 8 + 4 + 8 5 5 + 8 ) 8 + 4 + 4 9 ) 5

. Řešení: xydxdy { x, y) R ; y x; y x; y 4 x; x } Obrázek : { x, y) R ; y x; y x; y 4 x; x } x 4 x xydy dx+ x xydy x dx [ y x ] x 4 x dx+ [ y x ] x dx x x x + 8x x ) dx + x x + 8x x ) dx + x x 9 ) x dx x 9 x ) dx [ 4 x4 8x + 8 x ] 4 x4 + [ 4 x4 ] x4 [ 8 8 7 7 + 8 ) 4 + 4 4 4 )] + 4 + [ ) )] 4 4 4 4 4 4 + 45 4

. x + y) dxdy je trojúhelník s vrcholy A [, 4], B [, ], C [4, 4] Řešení: Obrázek : nožina dána body A [, 4], B [, ], C [4, 4] 4 x + y) dy dx + 4 4 x + y) dy dx + 4 4 x [ xy + ] 4 4 y dx + 4 x x 4 [ xy + y ] 4 x 4 dx [ x 4 + x 4 x) ] 4 x) dx + [ x 4 + x x 4) ] x 4) dx 8x + 4 8x + 4x )) x + 4x dx + 7

4 + + 4 8x + 4 4x + 8x 4x x + )) dx 4 + 4x 4 + 4x x ) dx + x + 4 4x x + 4x 4 ) dx 4x x ) dx + 4 4x x ) dx [ 4 x ] [ 4 x + x ] 4 x 4 ) 4 + 4 + 8 ) 9 8

4. Řešení: sin x + y ) dxdy { x, y) R ; y x; y ; x } x Obrázek 4: { x, y) R ; y x; y ; x } sin x + y ) x+ sin t) dt 5 x t x + y dy dx dt dy y x t x + x 5x y t x + dx cos x + ) dx + [cos t)] x+ 5 x dx ) 5 cos x dx u x + v 5 du dx x x u ; dv 5 dx x u x v 5 x v 5 9

4 5 5 sin 5 sin 5 cos u) du + 4 5 5 ) 5 sin ) ) cos v) dv 4 5 [sin v)] 5 [sin u)] 5 ) sin ) 5 ) ) sin ) + sin 5 + + 5 4 5 5. x dxdy {x, y) R ; y x ; y x + } Řešení: Obrázek 5: {x, y) R ; y x ; y x + } V tomto příkladu musíme uvažovat dvě situace, a to případ, kdy je výraz v absolutní hodnotě kladný, a případ, kdy je záporný. Proto zde máme dvoubarevný obrázek, modrá polovina znázorňuje případ, kdy x a integrál vypočítáme klasickým způsobem. Zelená plocha znázorňuje případ, 4

kdy x, a proto při výpočtu integrálu musíme otočit znaménko integrované funkce. Oba vypočtené integrály nakonec sečteme, čímž dojdeme k výsledku. a) x x+ x xdy dx x x + x + ) dx x [y] x+ x dx x + 7x x ) dx [ 4x + x x 4] 4 7 + 9 8 89 b) x x+ x xdy dx x + 7x x ) dx [ 4x + x x 4] 4 8) + 4 4 x dxdy 89 + 4 5 4

. xy dxdy {x, y) R ; y x + ; y x } Řešení: Obrázek : {x, y) R ; y x + ; y x } xy x y ) a) x y ) b) xy x y ) c) x y ) d) a) x y x xydy dx x x + x 4) dx [ x 4 x4 + x ] x [ ] y x dx 4 x x + x 5) dx + )

b) x y x xydy dx x [ ] y dx x x x x ) dx [ 4 x4 x ] x x x x ) dx 4 + ) 4 c) x y x xydy dx x x + x + ) dx [ 4 x4 + x + x ] x xydy dx x + x + x ) dx 4 + + ) 7 4 x x 5 4 xydy dx x x xydy dx x [ x + x + ) x + x 4)] dx x x + x x 4) dx [ 4 x4 + x x ] x [ ] y x dx x x + x x 5) dx [ + ) 4 + )] 4

d) x y x xydy dx x [ y ] x dx x x + x 5) dx + ) x xydy dx x x + x 4) dx [ x 4 x4 + ] x xy dxdy + 4 + 7 4 + 5 4 + 9 8 44

7. Řešení: xydxdy { x, y) R ; y x, y x +, y x } 4 Obrázek 7: 4 + x x xydy dx + { x, y) R ; y x, y x +, y x } x [ y ] x dx + x 4 x x+ x xydy dx + x [ y ] x+ dx + x 4 x + ) 4 x4 x + 4x 4 dx + x x + 4x + 4 x + 4x 4 ) dx + x x xydy dx x [ y ] x dx x 45

+ x 4 x + ) 4 x4 x + 4x 4 dx x 4x x + 4 ) x4 dx+ x 8xdx+ x 4x x + 4 ) x4 dx 4 4 4x x + 4 ) x5 dx+ [ 4 x 4 x4 + ] 4 x + [ 8 4 [ + 4 ) 4 4 + + 4 ) + + 4 4 + + 4 x 4 4 8x dx+ 4x x + 4 x5 ) dx ] + [ 4 x 4 x4 + 4 x )] 44 + 4 + 4 4 ) + ] ) + 4 + 4 4

8. x 5 x + dxdy {x, y) R ; y x; x ; x 4} x x Řešení: 4 4 x Obrázek 8: {x, y) R ; y x; x ; x 4} x 5 x + x x dy dx 4 x 5 x + x x 4 [y] x dx x 5 x + 4 ) dx x + dx x x ) x + ) 4 [ x 4 4 x + A x + B ) 4 dx x + x + x ) dx x + ] 4 + ln x ln x + 44 4 ) 7 7 + ln 7 ln 5 + ln 7 + ln 5 x 5 x + x x ) xdx + ln ln 5 4 ln + ln 4 + ln 79 5 47

9. y cos xdxdy {x, y) R ; y x; y ; x } Řešení: x Obrázek 9: {x, y) R ; y x; y ; x } u x u x u x u x u x u + y cos xdy dx sin xdx v cos x v sin x cos x [ y ] x dx [ x sin x ] v sin x v cos x [ x sin x ] v cos x v sin x [ x sin x ] [ x sin x ] + [ x cos x ] +[ x cos x ] + [ x cos x ] x cos xdx x sin xdx [x sin x] x cos xdx [x sin x] + [cos x] 8 sin sin + 4 cos cos 4 sin + sin cos + cos 8 + 4 ) 48

4 + + ) 4 + 5 4. ln x dxdy {x, y) R ; y x; y x; x e} Řešení: e x x Obrázek : {x, y) R ; y x; y x; x e} ln x dy dx u ln x u x x x [ x ln x ] e e e e ln x [y] x x dx [ v x x v x [ x xdx ln x ] e ln x 4 x ln x dx ] e e [ x ] e x x dx e ln e ln 4 e + 4 e 4 e + 4 4 e 4 e + 4 e + ) 4 49

. y ln xdxdy {x, y) R ; y x; y ; x } Řešení: Obrázek : {x, y) R ; y x; y ; x } x y ln xdy dx [ y ln x ] x ) 9 ln x x dx 9 x ln xdx ln xdx 9 ln xdx x ln xdx u ln x v x u v x 9 x [x ln x x] [ ] x ln x + + x x dx 9 [x ln x x] [ x ln x ] + [ ] x 9 ln ln + ) 7 ln ln ) + 7 ) 8 5

9 7 ln 7 ) ln + 8 9 ln 7 ) 9 ln + 9 9 ln 7 9 8 ln 9 9 7 ln 8 9 9 8 ln 9 9 8 ln 9 9 ln 9 8 9 ln 7 8 9 5

4. Transformace do polárních souřadnic V této kapitole budeme integrály počítat transformací do polárních souřadnic. Polární souřadnice používáme u příkladů, které neumíme integrovat v kartézských souřadnicích, ve kterých jsme počítali doposud. V polárních souřadnicích je každý bod popsán svou vzdáleností od počátku souřadnicového systému značíme r) a orientovaným úhlem, který svírá jeho průvodič s kladným směrem osy x značíme α). Na začátek si zavedeme následující transformaci: x r cos α, y r sin α Poté vypočítáme Jakobián podle věty Transformace souřadnic ve dvojném integrálu). J cos α sin α r sin α r cos α r cos α + sin α ) r Dále přepíšeme výraz x + y do polárních souřadnic. x + y r cos α + r sin α r cos α + sin α ) r Poté si určíme integrační meze a dále již můžeme začít s integrováním. Budeme postupovat podle věty Transformace souřadnic ve dvojném integrálu). Ta nám říká, že platí následující vzorec. fx, y) dx dy fgu, v), hu, v)) J du dv, kde J je absolutní hodnota jakobiánu. 5

. x +y dxdy {x, y) R ; x + y 9; x ; y } Řešení: V některých případech je potřeba využít transformaci do polárních souřadnic. Nejprve si opět nakreslíme danou množinu, přes kterou budeme integrovat. Tou je zde čtvrtina kruhu o poloměru. Obrázek : {x, y) R ; x + y 9; x ; y } Zavedeme si následující transformaci: x r cos α, y r sin α, kde r vyjadřuje vzdálenost bodu x, y) od počátku a α je orientovaný úhel, který svírá průvodič bodu s kladným směrem osy x. Z předchozího již víme, že platí x + y r a J r. Než začneme intergál počítat, musíme si ještě určit integrační meze. V tomto případě je určujeme přímo z obrázku. Na něm vidíme, že poloměr je jednotky, tudíž r se bude pohybovat na množině, a sevřený úhel se mění od do 9, takže α,. Nyní již můžeme začít počítat samotný integrál funkce dvou proměnných, kterými jsou r a α. Nejprve si přepíšeme dvojný integrál na dvojnásobný 5

podle věty Fubiniho pro elementární množinu). Integrovat budeme nejprve podle proměnné r a α budeme považovat za konstantu. x +y dxdy r rdr dα Zavedeme substituci t r, čímž se nám změní integrační meze uvnitř integrálu. t r dt rdr r t r t 9 9 t dt dα Zintegrujeme tedy funkci podle proměnné t a dopočítáme podle Newton Leibnizova vzorce. [ t ln ] 9 dα 9 ln ) dα ln Dále zde máme už jen integrál jedné proměnné, kterou je α, který vypočítáme a upravíme opět podle Newton Leibnizova vzorce. 9 ln [α] 4 9 ln Poznámka: U některých příkladů je možné integrovat nejdříve podle proměnné α a až poté podle r. Je to ovšem individuální a závisí to na zadání příkladu. Vždy se rozhodujeme, které proměnné dáme přednost podle toho, co je pro výpočet integrálu jednodušší. 54

. x + y dxdy { x, y) R ; x ) + y 4; x + y ; y x; y } Řešení: V tomto příkladě opět využijeme transformaci do polárních souřadnic. Nejprve si nakreslíme integrační množinu. Tentokrát už má složitější tvar, a proto nebudeme schopni podle obrázku určit integrační meze, ale budeme si je muset vypočítat. Obrázek : { x, y) R ; x ) + y 4; x + y ; y x; y } Zavedeme opět následující transformaci: x r cos α, y r sin α a zároveň víme, že platí x + y r a J r. Nejprve určíme integrační meze pro proměnnou r, a to tak, že ze zadaných nerovnic x ) + y 4 a x + y, které popisují kruhy a určují nám poloměr, uděláme rovnice, u obou dosadíme za x r cos α a za y r sin α a dopočítáme r. 55

x ) + y 4 x + y x 4x + y r r cos α 4r cos α + r sin α r r 4r cos α r r r 4 cos α) r r 4 cos α r 4 cos α V prvním sloupci nám zde vyšly kořeny pro r, ale protože žádný bod, kterému by odpovídal poloměr r, se nevyskytuje v zadané množině, nepočítáme s ním a bereme pouze druhý výsledek. Podle proměnné r budeme tedy integrovat na množině, 4 cos α. Dále musíme určit i integrační meze pro proměnnou α. To uděláme tak, že obě další zadané nerovnosti změníme za rovnosti, budeme tedy mít dvě rovnice: y x a y. Přímky, které jsou těmito rovnicemi popsány, svírají úhel s osou x, a proto udávají úhel α. Budeme počítat arkustangens směrnice, který tyto dvě přímky svírají s osou x. } y x α arctg 4 α y α arctg 4 Na množině, 4 budeme tedy integrovat podle proměnné α. Nyní již můžeme přistoupit k samotnému integrování. Dvojný integrál si nejprve přepíšeme na dvojnásobný podle věty Fubiniho pro elementární množinu). x + y dxdy 4 4cos α r rdr dα Nejprve budeme integrovat podle proměnné r a α budeme považovat za konstantu. 4 [r] 4 cos α dα 5

Dále využijeme Newton Leibnizův vzorec a dosazením dostaneme jednoduchý integrál funkce proměnné α. 4 4 cos α ) dα Integrál vypočítáme a opět použijeme Newton Leibnizův vzorec, pomocí něhož dojdeme ke konečnému výsledku. [4 sin α α] 4 [4 sin 4 ] 4 4 sin + ) 4 4 4 4 Dále již nebudou příklady komentované, protože se počítají pomocí stejných principů, které byly vysvětleny výše. 57

4. Řešení: e x +y ) x + y ) dxdy { x, y) R ; x + y ; x + y ; y } x Obrázek 4: { x, y) R ; x + y ; x + y ; y } x x r cos α y r sin α x + y r cos α + r sin α r cos α + sin α ) r x + y x + y r r r r 4 r ± r ±4 y x, odtud α arctg y x, odtud α arctg r 4 ) 5 } α 5 58

5 5 e x +y ) x + y ) dxdy 4 5 5 4 e r ) r rdr dα t r 4 e r4 r dr dα dt 4r dr r t r 4 t 4 4 5 5 5 e t 4 dt dα [ ] e t 5 dα 4 e 5 e ) dα 4 4 e e 55 ) [α] 5 4 e e 55 ) 4 e e 55 ) e e 55 ) 5 ) 59

5. x + y + dxdy {x, y) R ; x + y ; x + y 4} Řešení: Obrázek 5: {x, y) R ; x + y ; x + y 4} x r cos α y r sin α x + y r cos α + r sin α r cos α + sin α ) r x + y x + y 4 r r 4 r r r ± r ± r α x + y + dxdy t r + r + rdr dα dt rdr r t r t

tdt dα ) [α] [ t ] dα ) ) dα

. xy x + y dxdy {x, y) R ; x + y 4x; x + y x; y x; y x} Řešení: Obrázek : {x, y) R ; x + y 4x; x + y x; y x; y x} x r cos α y r sin α x + y r cos α + r sin α r cos α + sin α ) r 4x x + y x y x α arctg 4 4r cos α r r cos α y x α arctg ) 4 α 4 4 4 cos α r cos α 4 4 xy x + y dxdy cos α 4 cos α 4 4 cos α 4 cos α sin α cos α rdr dα r sin α cos α r 4 4 rdr dα sin α cos α [ r ] cos α 4 cos α dα

4 sin α cos α cos α cos α ) d 4 sin α cos αdα 4 t cos α 4 dt sin α sin α cos αdα α 4 4 t α t 4 [ ] ) t 4 5 4 ) 4 4 4 t dt

7. Řešení: ln x + y ) ln [ x + y ) ]dxdy {x, y) R ; x + y y; x + y 4y} Obrázek 7: {x, y) R ; x + y y; x + y 4y} x r cos α y r sin α x + y r cos α + r sin α r cos α + sin α ) r y x + y 4y r sin α r 4r sin α sin α r 4 sin α α ln x + y ) ln [ x + y ) ]dxdy 4 sin α sin α 4 sin α sin α ln r 4 ln r rdr dα ln r ln r rdr dα 4 [ r ] 4 sin α sin α dα 4

4 sin α 4 sin α ) dα sin αdα [α sin α cos α] sin cos + sin cos ) ) + ) Poznámka: Integrál, který potřebujeme vypočítat na konci třetího řádku výpočtu, si zintegrujeme zvlášť v této poznámce. Využijeme zde rekurenci, která již byla vysvětlena dříve. sin αdα cos α ) dα dα cos αdα dα u cos α v cos α u sin α v sin α ) dα sin α cos α sin αdα α sin α cos α sin αdα sin αdα α sin α cos α sin αdα α sin α cos α) 5

8. Řešení: x y dxdy { x, y) R ; x + y ; x + y 4; y x ; y x } Obrázek 8: { x, y) R ; x + y ; x + y 4; y x ; y x } x r cos α y r sin α x + y r cos α + r sin α r cos α + sin α ) r r y x α arctg y x α arctg } α x y dxdy t r dt rdr x t 5 x t 5 r rdr dα tdt dα [ t ] 5 dα

5 ) dα 5 5 4 ) [α] 5 5 8 ) ) 5 5 8 ) 7

9. Řešení: x + y dxdy {x, y) R ; x + y y; x + y 4; y x} Obrázek 9: {x, y) R ; x + y y; x + y 4; y x} x r cos α y r sin α x + y r cos α + r sin α r cos α + sin α ) r Tento příklad musíme vypočítat ve dvou krocích. V prvním z nich budeme uvažovat pouze plochu, která je popsaná úhlem α, 4, a vypočítáme si poloměr pro tento úhel. V dalším kroku vypočítáme integrál pro plochu popsanou úhlem α, a opět musíme vypočítat i poloměr platný 4 pro tento úhel. Oba vypočtené integrály nakonec sečteme. 8

a) α 4 x + y y x + y 4 r r sin α r 4 sin α r r sin α r 4 rdr dα r 4 dr dα 4 sin α) dα sin α sin α [α + cos α] 4 4 + cos 4 cos + + b) α r 4 rdr dα r 4 4 4 dr dα 4 4 dα [α] x + y dxdy + + + 9

4. Řešení: x + y dxdy {x, y) R ; 4 x + y 9; x } Obrázek : {x, y) R ; 4 x + y 9; x } x r cos α y r sin α x + y r cos α + r sin α r cos α + sin α ) r r α x + y dxdy r rdr dα r dr dα [ln r ] dα ln ln ) dα ln dα ln [α] ln + ) ln 7

4. ln x + y ) dxdy {x, y) R ; x + y ; y } Řešení: Obrázek : {x, y) R ; x + y ; y } x r cos α, y r sin α x + y r cos α + r sin α r cos α + sin α ) r r 4 α ln x + y ) dxdy [ r 4 ln r rdr dα ] 4 r ln r dα 8 ln 4 4 4 ln + ) dα 4 ) 8 ln 4 5 ) dα ln 4 5 4 4 ln 4 5) 4 7 4 ln r rdr dα [α] ln 4 5 ) 4

Poznámka: Integrál ln r rdr, který máme na konci prvního řádku výpočtu, vypočítáme takto. r ln rdr u ln r v r u v r r r ln r r r dr r ln r r 4 + c 4. ln x + y ) x + y dxdy {x, y) R ; x + y 4; y x; y ; x } Řešení: Obrázek : {x, y) R ; x + y 4; y x; y ; x } x r cos α, y r sin α, x + y r r α 5 4 4 5 ln x + y ) x + y dxdy ln r rdr dα r 7 5 4 ln rdr dα

5 4 5 4 [r ln r r] dα 5 4 ln ln + ) dα ln ) dα ln ) [α] 5 4 ln ) 4 ln ) ln ) ) 5 4 4. x + y x + y dxdy {x, y) R ; x x + y 4x; x } Řešení: Obrázek : {x, y) R ; x x + y 4x; x } x r cos α y r sin α x + y r a) x x + y 4x r cos α r 4r cos α cos α r 4 cos α α 7

4cos α cos α [sin α] r rdr dα r sin sin 4 cos α cos α ) dr dα ) cos αdα b) cos α r α cos α cos α cos α r rdr dα r cos α cos α dr dα [ ln sin α + cos α ) ln cos α sin α )] ) ) ) cos α cos α dα [sin α] ln sin + cos ln cos sin [ ln sin ) + cos )] [ + ln cos ) sin )] sin + sin ) ) + ln + 4 4 ) + + ) + ln ln + + 4 4 4 4 ) + + ln 4 + 4 + ) ln ln ln + ln 4 4 4 4 ln ln ln + ln ) ln ln ln ln ) ln ln ) ln ln 7 74

c) x x + y 4x α r cos α r 4r cos α cos α r 4 cos α 4cos α r rdr dα cos α r [sin α] sin ) sin 4 cos α cos α dr dα cos αdα )) ) ) x + y dxdy + ln 7 + ln 7 x + y 75

44. Řešení: x ln ydxdy { x, y) R ; x + y ; y x; x } Obrázek 4: { x, y) R ; x + y ; y x; x } x r cos α y r sin α x + y r r α x ln ydxdy r cos α ln r sin α) rdr dα r cos α ln r + ln sin α) dr dα 7

cos α r cos α ln rdr dα + r ln rdr dα + 7 ln 5 ) cos αdα + 9 7 ln 5 ) [sin α] 9 7 ln 5 9 7 ln 5 9 5 ) r cos α ln sin α) dr dα cos α ln sin α) + 5 sin sin ) [ r cos α ln sin α) r dr dα ] cos α ln sin α) dα + 5 ) ) 5 ln 5 5 ln ln 4 9 ln )5 dα ln ) ln 5 8 5 ln 4 9 Poznámka: Integrály r ln rdr a r ln rdr u ln r v r u v r [ln r r r cos α ln sin α) dα vypočítáme takto. ] r r dr [ ] [ ] ln r r r ln ln + 9 9 9 7 ln 5 9 t sin α cos α ln sin α) dα dt cos αdα α t α t ln tdt [t ln t t] ln ln + ln 77

45. Řešení: x y dxdy { x, y) R ; x + y 4; y x; y x } Obrázek 5: { x, y) R ; x + y 4; y x; y x } x r cos α y r sin α x + y r r y x α arctg ) } y x α arctg ) 4 α 4 4 x y dxdy [ln t ] ) 4 cos α sin α dα ln ln ln r cos α r sin α rdr dα 4 cos α sin α t sin α dt cos α α t α t 4 ) ln ln ln 78 [ r ] t dt ln dα )

5. Geometrická aplikace obsahy ploch Dvojný integrál má různá využití a jedním z nich je i to, že s jeho použitím umíme spočítat obsahy různých ploch. Obsah plochy R ohraničené několika křivkami budeme počítat pomocí vztahu S dxdy, kde označuje plochu. 4. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy ohraničené křivkami: y x ; y x ; y 4 Řešení: Nejprve si nakreslíme dané křivky do grafu a pomocí nich určíme integrační meze. Obrázek : Plocha ohraničená křivkami y x ; y x ; y 4 Vidíme, že obrázek je symetrický podle osy y, proto můžeme vypočítat integrál jen pro např. pravou půlku plochy a vynásobit dvěma. nožina, přes kterou integrujeme, je elementární vzhledem k proměnné x i vzhledem k proměnné y. Nezáleží zde tedy na pořadí proměnných, podle kterých budeme integrovat, ukážeme si to oběma způsoby. 79

Nejprve budeme integrovat podle proměnné y a x budeme považovat za konstantu. S 4 dy dx x Zintegrujeme tedy podle y a upravíme za použití Newton Leibnizova vzorce. [y] 4 x dx 4 x ) dx Dále integrujeme podle x a opět upravíme podle Newton Leibnizova vzorce a dopočítáme. [4x x ln ] 8 4 ln + ) 8 ) ln ln ln Druhý způsob bude velmi obdobný, rozdíl bude jen v tom, že budeme integrovat nejprve podle proměnné x a y budeme považovat za konstantu. Vypočteme vnitřní integrál podle proměnné x a upravíme podle Newton Leibnizova vzorce. 4 log y S dx dy 4 [x] log y dy Dále počítáme jednoduchý integrál proměnné y. usíme použít metodu Per partes z věty 4 a potom opět upravit podle Newton Leibnizova vzorce. u log y v 4 u v y [y log y] 4 y ln 4 log 4 log ) ln dy ln [y]4 ln Obsah plochy na obrázku je ln jednotek čtverečních. 8

47. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy ohraničené křivkami: y x x; y 4x x Řešení: Nejprve si nakreslíme dané křivky do grafu, abychom mohli určit integrační meze. Plocha, jejíž obsah počítáme, je ohraničena dvěma parabolami. Obrázek 7: Plocha ohraničená křivkami y x x; y 4x x Budeme integrovat nejprve podle proměnné y a x budeme považovat za konstantu. S 4x x x x dy dx [y] 4x x x x dx Nyní integrál upravíme podle Newton Leibnizova vzorce. 4x x x + x ) dx x x ) dx Na závěr vypočteme integrál jedné proměnné x a pomocí Newton Leibnizova vzorce opět upravíme. 8

[ x ] x 7 7 9 Obsah plochy na obrázku 7 je 9 jednotek čtverečních. 48. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy dané množinou. { } x, y) R ; y sin x; y cos x; y ; x Řešení: Obrázek 8: { x, y) R ; y sin x; y cos x; y ; x } Tento příklad jde vypočítat čtyřmi způsoby. Plocha je souměrná podle osy x, tudíž si ji můžeme rozdělit na dvě poloviny a vypočítat integrál 4 pouze jedné poloviny plochy a výsledek vynásobit dvěma. ůžeme také počítat dva integrály a ty potom sečíst. Další možností je udělat z plochy plochu elementární vzhledem k y a vypočítat takto. Ukážeme si zde pro názornost všechny čtyři způsoby.. způsob: S 4 sin x dy dx 4 sin xdx [ cos x] 4 cos ) ) 4 + cos + 8

. způsob: S cos x dy dx cos xdx [sin x] 4 sin sin ) 4 4 ) 4. způsob: S 4 sin x dy dx + 4 cos x dy dx 4 sin xdx + 4 cos xdx [ cos x] 4 + [sin x] cos ) 4 4 + cos + sin sin ) ) ) 4 + + 4. způsob: S arccos y arcsin y dx dy arccos y arcsin y) dy [ y arccos y y y arcsin y ] y 4 ) 4 ) Poznámka: Integrály arcsin ydy a arccos ydy vypočítáme takto. u arcsin y v arcsin ydy u y v y y arcsin y y dy y t y dt ydy y arcsin y + y + c 8

u arccos y v arccos ydy u y v y y arccos y + t y dt ydy y arccos y y + c y y dy Obsah plochy na obrázku 8 je jednotek čtverečních. 49. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy. { x, y) R ; y x ; y sin x; x } Řešení: S Obrázek 9: { x, y) R ; y x ; y sin x; x } x sin x dy dx 4 4 cos + cos + x ) [ ] + sin x dx 4 x cos x Obsah plochy na obrázku 9 je jednotek čtverečních. 84

5. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy. { x, y) R ; y 4 x ; y 5 x} Řešení: S 4 Obrázek 4: { x, y) R ; y 4 x ; y 5 x} 5 x 4 x dy dx 4 8 4 ln 4 5 + 5 x 4 ) ] 4 dx [5x x 4 ln x x + 4 ln 5 5 4 ln 4 ln 44 5 ln 5 Obsah plochy na obrázku 4 je 5 ln 5 jednotek čtverečních. 85

5. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy. { } x, y) R ; y x; y x ; x 4 Řešení: S 4 Obrázek 4: x x 4 4 dy dx 8 4 + 9 4 { x, y) R ; y x; y x 4 ; x } ) [ ] x x x 4 dx 4 x Obsah plochy na obrázku 4 je 9 4 jednotek čtverečních. 8

5. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy. { } x, y) R ; y x ; y x; x Řešení: { x, y) R ; y x ; y x; x, } Obrázek 4: nožina z příkladu č. 5 Tento obsah vypočítáme jako součet dvou integrálů, protože v počátku souřadnic se nám mění integrační meze. x S dy dx + x dy dx x ) x x dx + [ x 4 8 x ] + x ) x x dx ] [x x4 8 8 + + 4 8 Obsah plochy na obrázku 4 je 8 jednotek čtverečních. 87

5. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy. {x, y) R ; y x ; y 4 x ; y } Řešení: Obrázek 4: {x, y) R ; y x ; y 4 x ; y } S 4 x dy dx + 4 x dy dx x ) 4 x dx + 4 x + x ) dx ] ) [4x x + [x] 8 8 4 + + ) + 4 + 8 Obsah plochy na obrázku 4 je 8 jednotek čtverečních. 88

54. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy. {x, y) R ; y x; x 4; y } Řešení: Obrázek 44: {x, y) R ; y x; x 4; y } S 4 x dy dx 4 + x ) dx [ x + x ] 4 4 + 4 + 5 Obsah plochy na obrázku 44 je 5 jednotek čtverečních. 89

55. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy. { } x, y) R ; x 4 Řešení: S 4 tg x Obrázek 45: { x, y) R ; x 4 dy dx 4 tg xdx 4 sin x cos x dx t dt [ln t ] ln + ln ln } t cos x dt sin xdx x t x t 4 Obsah plochy na obrázku 45 je ln jednotek čtverečních. 9

5. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy. {x, y) R ; x + y ; y ; x } Řešení: S Obrázek 4: {x, y) R ; x + y ; y ; x } x dy dx sin t cos tdt [t + sin t cos t] x sin t x dx dx cos tdt x t x t cos t cos tdt ) + 4 cos tdt Obsah plochy na obrázku 4 je 4 jednotek čtverečních. Poznámka: Integrál cos tdt, který se vyskytuje na konci druhého řádku ve výpočtu obsahu plochy, počítáme takto. cos tdt sin t ) dt dt sin tdt dt u sin t v sin t u cos t v cos t t + sin t cos t cos tdt 9

cos tdt t + sin t cos t + c cos tdt t + sin t cos t) + c 57. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy. {x, y) R ; y sin x; y sin x; x } {x, y) R ; y sin x; y sin x; x } Řešení: Obrázek 47: nožina z příkladu č. 57 S sin x dy dx sin x sin x) dx sin xdx sin x [cos x] ) 4 Obsah plochy na obrázku 47 jsou 4 jednotky čtverečné. 9

58. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy. { } x, y) R ; y cos x; y cos x; x { x, y) R ; y cos x; y cos x; x } { x, y) R ; y cos x; y cos x; x } Řešení: Obrázek 48: nožina z příkladu č. 58 S cos x dy dx + cos x dy dx + cos x dy dx cos x cos x cos x cos xdx cos xdx + cos xdx [sin x] [sin x] + [sin x] ) ) + )) 4 Obsah plochy na obrázku 48 je 4 jednotek čtverečních. 9

59. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy. { } x, y) R ; y x ; y x ; y Řešení: S Obrázek 49: x x { x, y) R ; y x ; y x ; y } dy dx + ) x x dx + [ ] x x + 9 [ ) + 9 [x x 9 x dy dx ) x ] ) 9 7 9 + 9 )] 8 dx Obsah plochy na obrázku 49 je 8 jednotek čtverečních. 94

. Pomocí dvojného integrálu určete obsah plochy. {x, y) R ; y x; y x ; x } Řešení: Obrázek 5: {x, y) R ; y x; y x ; x } S x x dy dx ) [ x + x x dx + x ] + 8 4 Obsah plochy na obrázku 5 je 4 jednotek čtverečních. 95

. Geometrická aplikace objemy těles Dvojné integrály můžeme využít například i k odvození nám známých vzorečků pro objem některých těles. Také pomocí nich můžeme přímo objem těles vypočítat. Výpočet objemů těles i postup pro odvození vzorečků si ukážeme v této kapitole. Objemy těles s podstavou, která je dána množinou v rovině xy) ohraničené shora částí grafu funkce f, budeme počítat pomocí vzorce V fx, y)dxdy. Pomocí dvojného integrálu spočítejte objem kvádru s podstavou o rozměrech 4 cm a výškou 5 cm. Řešení: Nejdříve si nakreslíme obrázek zadaného kvádru. Podle něho určíme integrační meze pro x a y. Obrázek 5: Zadaný kvádr 9

Nyní začneme počítat objem kvádru podle vzorce V fx, y)dxdy. Dvojný integrál si přepíšeme na dvojnásobný podle věty Fubiniova pro obdélník) a fx, y) je v tomto případě konstantní funkce, jejíž graf leží ve výšce pěti jednotek nad rovinou xy), tj. fx, y) 5. V tomto případě záleží na nás, podle které proměnné začneme integrovat, zvolíme tedy např. vnitřní integrál podle y a vnější podle x. V 4 5dy dx Funkci tedy zintegrujeme podle proměnné y a následně použijeme Newton Leibnizův vzorec. 5 [y] 4 dx dx Poté vypočítáme jednoduchý integrál podle proměnné x a za pomocí Newton Leibnizova vzorce dopočteme námi požadovaný objem kvádru. [x] cm Objem kvádru na obrázku 5 je cm. Pro ověření výsledku si objem kvádru můžeme vypočítat i pomocí známého vzorce V a b c, kde a, b, c R jsou délky jeho hran. V a b c 4 5 cm. 97

. Pomocí dvojného integrálu spočítejte objem válce s podstavou o poloměru cm a výškou 4 cm. Řešení: Než začneme počítat, nakreslíme si dva obrázky, a to válec i jeho podstavu, pomocí nichž určíme integrační meze. Podstavou bude kruh o poloměru. Obrázek 5: Vlevo: zadaný válec, vpravo: podstava válce Podle obrázku 5 vlevo určíme, že funkce fx, y) 4, protože je to výška válce. Z obrázku 5 vpravo vidíme, že integrační množina bude následující: { x, y) R ; x ; x y x }. Nyní již známe integrační meze a můžeme začít počítat objem válce pomocí dvojného integrálu. Námi určená množina je elementární vzhledem k proměnné x a z toho důvodu budeme nejprve integrovat podle proměnné y a x 98

budeme považovat za konstantu. Nejprve si však dvojný integrál přepíšeme na dvojnásobný. V x x 4dy dx Zintegrujeme podle y a upravíme pomocí Newton Leibnizova vzorce. 4 [y] x x 4 x dx Dále zavedeme substituci x sin t, čímž se nám následně změní integrační meze. x sin t dx cos tdt x t 8 x t sin t cos tdt 8 cos tdt Vypočteme jednoduchý integrál proměnné t a pomocí Newton Leibnizova vzorce dojdeme ke konečnému výsledku. 8 [t + sin t cos t] 4 + ) ) ) 4 cm Objem válce na obrázku 5 je 4 cm. Pro ověření výsledku si objem válce můžeme vypočítat i pomocí známého vzorce V r v, kde r R je poloměr podstavy válce a v R je výška válce. V r v 4 4 cm. 99

. Pomocí dvojného integrálu spočítejte objem krychle o délce hrany a cm. Řešení: Výpočet objemu krychle pomocí dvojného integrálu bude velmi obdobný, jako výpočet objemu kvádru. Pro znázornění si nejprve nakreslíme obrázek. Obrázek 5: Zadaná krychle Budeme integrovat na množině {x, y) R ; x ; ; y }. Za funkci fx, y) budeme považovat výšku krychle, neboli délku hrany a, tedy cm. Opět nezáleží na pořadí proměnných, podle kterých budeme integrovat, zkusíme to tedy naopak, než jak jsme počítali objem kvádru. Budeme nejprve integrovat podle x a následně podle y. Dvojný integrál si přepíšeme na dvojnásobný podle věty Fubiniova pro obdélník). V dx dy Zintegrujeme podle x a použijeme Newton Leibnizův vzorec pro úpravu.

[x] dy 9dy Na závěr vypočteme jednoduchý integrál proměnné y a upravíme podle Newton Leibnizova vzorce. Tím dojdeme ke konečnému výsledku. 9 [y] 7 cm Objem krychle na obrázku 5 je 7 cm. Pro ověření výsledku si objem krychle můžeme vypočítat i pomocí známého vzorce V a, kde a R je délka hrany krychle. V a 7 cm. Poznámka: Pomocí dvojného integrálu můžeme také odvodit objem krychle o jakékoli délce hrany a: V a a ady dx a a [y] a dx a a dx a [x] a a

7. Zadávání dvojných integrálů do programu Wolfram athematica V této kapitole si ukážeme, jak používat program athematica od společnosti Wolfram Research na výpočet dvojných integrálů. To nám velmi usnadní jejich počítání. Navážeme na příklady, které jsme si již vypočítali v předchozích kapitolách, čímž si také ověříme, že jsme počítali správně. Abychom mohli program athematica používat, musíme vlastnit licenci, kterou je možno zakoupit na stránkách výrobce [8] a pro studenty je dostupná na některých školách zdarma. Také je možné využít zkušební verzi programu zdarma, která je opět dostupná ke stažení na stránkách výrobce [8]. Po zapnutí programu se nám objeví následující okno - obrázek 54. Obrázek 54: Úvodní okno při zapnutí programu Zde klikneme na tlačítko Create New Notebook a tím otevřeme naši pracovní plochu obrázek 55), do které budeme zadávat příkazy.

Obrázek 55: Pracovní plocha programu Jednoduché i dvojné integrály zadáváme do programu příkazem Integrate. Dále píšeme do hranatých závorek funkci, kterou chceme vypočítat, a zadané integrační meze. Ty zapisujeme do složených závorek. Vždy napíšeme do složené závorky proměnnou, podle které integrujeme a meze, pak i druhou proměnnou a opět její integrační meze. Vše od sebe oddělujeme čárkami. Nakonec zmáčkneme kombinaci kláves Shift+Enter a zobrazí se nám výsledek jako výstup Out. Nejprve si zadáme do programu athematica příklad 5 z kapitoly, a to následujícím způsobem:

Na zadání příkladu si ukážeme, že athematica zvládá vypočítat i dvojné integrály na elementárních množinách. Integrační meze si ovšem musíme určit sami, nestačí zadat integrační množinu, kterou dostaneme v zadání příkladu. Nejdřív si tedy vypočítáme integrační meze a poté zadáme integrál do programu takto: Vidíme, že výsledky jsou v obou příkladech stejné, jako ty, které jsme vypočítali výše, tudíž máme ověřenu jejich správnost. Dále je nutno říci, že goniometrické funkce zadáváme do programu athematica příkazy Sin, Cos, Tan, Cot a jejich argumenty píšeme do hranatých závorek přímo za ně. Symbol píšeme příkazem Pi, přirozený logaritmus příkazem Log, dekadický logaritmus Log a odmocninu zapíšeme jako Sqrt. Jejich argumenty budou také vždy v hranatých závorkách. Absolutní hodnotu píšeme příkazem Abs a její argument zadáváme opět do hranaté závorky. Všechny grafy, které jsou obsaženy v této bakalářské práci, byly vykresleny také pomocí programu athematica. Proto si zde ukážeme i návod na jejich vytvoření, a to na příkladu 44. Integrační množinu tohoto příkladu nám athematica vykreslí, když do ní zadáme tento příkaz: 4

Začínáme nadefinováním funkcí, které potřebujeme vykreslit. Potom si vykreslíme grafy těchto funkcí příkazem Plot. Do hranaté závorky píšeme vlastnosti grafu, například příkaz PlotRange určuje, v jakém intervalu se bude pohybovat graf na ose y. Do příkazu PlotStyle vepisujeme do hranaté závorky parametry, jako například barvu nebo tloušťku grafu funkce. Protože si zde definujeme grafy funkcí, a to g, g a g, vykreslí se nám všechny, každý do zvláštního obrázku - Out[], Out[4], Out[5]. Příkazem Show potom vykreslíme všechny grafy do jednoho obrázku a máme celou naši integrační množinu. Tu nám znázorňuje poslední, čtvrtý obrázek - Out[]. Za příkaz Show píšeme do hranaté závorky parametry, které nám určují vlastnosti posledního grafu - Out[]. Těmi jsou například tloušťka os, velikost popisků os a další. 5