ieárí zbrzeí V prstru je dá krtézský systém suřdic Oyz Ozčme symblem f tčeí klem sy 9 ve směru d y k z symblem g tčeí klem sy y 9 ve směru d z k symblem h tčeí klem sy z ) Určete suřdice bdů f ( M ) ( h g)( M ) ( g h)( M ) 9 ve směru d k y Nechť M je bd se suřdicemi ( ) b) Dkžte že f = g = h = je zčeí pr idetické zbrzeí c) Dkžte že f g g f f g = g f Nechť S : P P D : P P jsu edmrfismy přiřzující plymům jejich eurčitý itegrál resp derivci C je výsledkem slžeí D k S k S k D k pr k = K? Nechť D : P P je edmrfismus přiřzující plymům stupě ejvýše jejich derivci Určete: ) hdst defekt edmrfismu D b) mtici edmrfismu D vzhledem k bázi { K } c) D Dkžte že zbrzeí f : P P defivé předpisem p( ) p( ) je edmrfismus určete mtici tht edmrfismu vzhledem k bázi { K } Nechť π je permutce čísel K Dkžte že zbrzeí f ( K ) = ( π() π() K π( ) ) f : R R defivé předpisem je edmrfismus určete mtici tht edmrfismu vzhledem ke kické bázi 6 Dkžte že všechy čtvercvé mtice řádu které mjí ulvu stpu jsu pdprstrem vektrvéh prstru všech čtvercvých mtic řádu určete dimezi tht pdprstru 7 Dkžte že vektry = ( ) b = ( ) c = ( ) tvří bázi prstru R uvžte edmrfismus f : R R který přiřdí vektru vektr vektru b vektr vektr c Njděte mtici tht edmrfismu vzhledem ke kické bázi 8 Dkžte že vektry = ( ) b = ( ) c = ( ) tvří bázi prstru R uvžte edmrfismus f : R R který přiřdí vektru vektr vektru b vektr vektr Njděte mtici tht edmrfismu vzhledem ke kické bázi 9 Nechť f : R R je edmrfismus defivý předpisem f ( ) = A Určete jeh mtici vzhledem k bázi ) M = {( ) ( ) } b) N = {( ) () } b vektru c b vektru c
Nechť f : R R je edmrfismus defivý předpisem f ( ) = A Určete jeh mtici vzhledem k bázi M = {( ) ( ) ( ) } Nechť f : R R je edmrfismus defivý předpisem f ( ) = A Určete jeh mtici vzhledem k bázi M = {( ) ( ) ( ) () } Nechť f : R R je edmrfismus defivý předpisem f ( ) = A Určete jeh mtici vzhledem k bázi M = {( ) ( ) ( ) ( ) } Určete jádr brz hmmrfismu Určete jádr brz edmrfismu f : R R defivéh předpisem f ( ) = A f : R R defivéh předpisem f ( ) = A 7 Defiujme zbrzeí f : M M předpisem f ( A) = PA P je pevě dá čtvercvá mtice řádu Ozčme r ( P) = r ) Dkžte že f je edmrfismus zjistěte kdy se jedá utmrfismus b) Určete defekt hdst edmrfismu f 6 Nechť f : M M je edmrfismus defivý předpisem f ( A) = PA
P = Určete mtici edmrfismu f vzhledem k bázi sestávjící z mtic Řešte tut úlhu též pr libvlu čtvercvu mtici P řádu dv 7 Kždá mtice A typu m reprezetuje hmmrfismus f : R R defivý předpisem f ( ) = A Tet přechd d mtic k hmmrfismům ( pk) lze využít k elegtím důkzům rzličých tvrzeí hdsti mtice (Nmíst tvrzeí mticích dkážeme dpvídjící tvrzeí hmmrfismech) Pkuste se tímt způsbem dkázt ásledující tvrzeí () Nechť A je mtice typu m B C jsu čtvercvé regulárí mtice řádů m Pk hdst mtice BAC se rvá hdsti mtice A Speciálě pltí že suči čtvercvých regulárích mtic téhž řádu je regulárí mtice (b) Jsu-li A B tkvé mtice že eistuje suči AB pk r( AB) mi( r( A) r( B)) (c) Frbeiv ervst Je-li A mtice typu m B je mtice typu p pk r( AB) r( A) r( B) (d) Jsu-li A B mtice téhž typu pk r ( A B) r( A) r( B) Pr ilustrci uveďme důkz Frbeivy ervsti Uvžme hmmrfismus s mticí A hmmrfismus f Im g zčme hmmrfismus který má defiičí br f g Přitm dkud plye že f Im g mjí stejý brz tudíž cž byl dkázt p g : R R s mticí B Symblem m f : R R Im g je defivá stejým předpisem jk f Hmmrfismy r( f g) = r( f Im g) = r( g) d( f Im g) d( f Im g) d( f ) = r( f ) r( f g) r( f ) r( g) 8 Dkžte že eistují-li sučiy AB BC pk pr mtice [Jde zbecěí Frbeivy ervsti] A B C pltí: r ( AB) r( BC) r( B) r( ABC) 9 ) N příkldu ukžte že suči dvu idemptetích mtic (téhž řádu) emusí být idemptetí mtice Nápvěd Prtipříkld eistuje již pr mtice řádu dv b) Dkžte že suči dvu kmutujících idemptetích mtic je idemptetí mtice ) N příkldu ukžte že suči dvu ivlučích mtic (téhž řádu) emusí být ivlučí mtice Nápvěd Prtipříkld eistuje již pr mtice řádu dv b) Dkžte že suči dvu kmutujících ivlučích mtic je ivlučí mtice m
Dkžte přím z defiice pdbsti že pdbé mtice mjí ) steju hdst b) stejý determit c) steju stpu Dkžte že jsu-li čtvercvé mtice A B pdbé pk jsu pdbé též mtice ) A B b) A B c) A B (z předpkldu že mtice A B jsu regulárí) Určete vlstí čísl vlstí vektry digálí mtice Kdy jsu digálí mtice pdbé? Kdy jsu blkvě digálí mtice pdbé? Kdy jsu permutčí mtice pdbé? Určete vlstí čísl vlstí vektry symetrické permutčí mtice Njděte vlstí čísl vlstí vektry ásledujících mtic: 6 6 Uvžte všechy reálé čtvercvé symetrické mtice řádu dv tj mtice tvru = b c c A s pevě zdými reálými vlstími čísly λ λ Njděte ejmeší ejvětší hdtu které může bývt prvek c 7 Ukžte že edmrfismus : R R f dý předpisem ) ( ) ( f = je jedduchý 8 Njděte chrkteristický plym mtice M α 9 Njděte chrkteristický plym mtice M
Z výsledku úlhy vyvďte závěr že kždý plym s jedtkvým keficietem u veducíh čleu je chrkteristickým plymem ějké mtice Nechť je eulvé reálé čísl Njděte vlstí čísl vlstí vektry mtice A Njděte vlstí čísl vlstí vektry mtice 6 N zákldě získéh výsledku lezěte mtici A Čtvercvá mtice A řádu šest má trjásbé vlstí čísl dvjásbé vlstí čísl stpu rvu deseti ) Nlezěte chrkteristický plym mtice A b) Určete determit mtice A Ve čtvercvé mtici A vyberme k řádků s přdvými čísly i i K ik k slupců s týmiž přdvými čísly Prvky ležící průsečících vybrých řádků slupců tvří čtvercvu mtici řádu k jejíž determit se zývá hlví mir (řádu k ) determitu mtice A Dkžte že keficiet u mciy k λ v chrkteristickém plymu λ E A mtice A je rve sučtu hlvích mirů řádu k determitu mtice A umcěých ( ) ) Nechť A B jsu čtvercvé mtice téhž řádu Dkžte že mtice AB BA mjí stejý chrkteristický plym Pltí že mtice AB BA jsu pdbé? b) Dkžte že jsu-li A B čtvercvé mtice téhž řádu lespň jed z ich je regulárí pk mtice AB BA jsu pdbé Nechť A je čtvercvá mtice Dkžte že mtice A A mjí stejý chrkteristický plym Pltí že mtice A A jsu pdbé? A rv- 6 ) Dkžte že je-li mtice A jedduchá pk pr libvlé přirzeé čísl je mtice ěž jedduchá b) Dkžte že je-li regulárí mtice A jedduchá pk mtice A je rvěž jedduchá 7 Nechť k ) Ppište gemetricku strukturu edmrfismu f : R R déh předpisem f ( ) = A N zákldě získéh výsledku dkžte že mtice A je regulárí jděte iverzí mtici k mtici A ppište gemetricku strukturu edmrfismu f : R R déh předpisem f ( ) = A b) Cyleyv-Hmiltv vět říká že kždá čtvercvá mtice je křeem svéh chrkteristickéh plymu N zákldě tét věty jděte iverzí mtici k mtici A
6 8 Miimálí mhčle čtvercvé mtice A je defivá jk mhčle ejmešíh mžéh stupě (s keficietem u veducíh čleu rvým jedé) jehž křeem je mtice A Njděte miimálí mhčley ásledujících mtic: