MATEMATICKÉ MODELY V HYDRODYNAMICE (A AERODYNAMICE)

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS MATEMATICKÉ MODELY V HYDRODYNAMICE (A AERODYNAMICE) MATHEMATICAL MODELS IN HYDRODYNAMICS (AND AERODYNAMICS) BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR JITKA JEŽKOVÁ VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR doc. Ing. LUDĚK NECHVÁTAL, Ph.D. BRNO 2013

Vsoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství Ústav matematik Akademický rok: 2012/2013 ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE student(ka): Jitka Ježková který/která studuje v bakalářském studijním programu obor: Matematické inženýrství (3901R021) Ředitel ústavu Vám v souladu se ákonem č.111/1998 o vsokých školách a se Studijním a kušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma bakalářské práce: v anglickém jace: Matematické model v hdromechanice (a aerodnamice) Mathematical models in hdromechanics (and aerodnamics) Stručná charakteristika problematik úkolu: Matematický popis pohbu částic tv. ideálních kapalin (a plnů) vede na Eulerov pohbové rovnice, které je možné odvodit na ákladě námých fikálních principů. Tto rovnice spolu s rovnicí kontinuit a vhodnými podmínkami umožňují určit složk rchlosti a tlak jako funkce poloh a času. Cíle bakalářské práce: 1) Odvoení Eulerových pohbových rovnic (rovnice kontinuit) 2) Transformace rovnic do jiných souřadnic 3) Speciální případ (nestlačitelné kapalin) 4) Analtické (popř. numerické) řešení vbraných úloh

Senam odborné literatur: [1] A. Kneschke: Používanie diferenciálných rovníc v praxi, Alfa, Bratislava, 1969. [2] M. Potter, D.C. Wiggert: Fluid Mechanics, Schaum s Outline Series, McGraw-Hill, 2008. [3] U.A. Warsi: Fluid Dnamics, Theoretical and Computational Approaches, 2nd ed., CRC Press, 1998. Vedoucí bakalářské práce: doc. Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D. Termín odevdání bakalářské práce je stanoven časovým plánem akademického roku 2012/2013. V Brně, dne 20.11.2012 L.S. prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc. prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c. Ředitel ústavu Děkan fakult

Abstrakt Tato Bakalářská Práce je přehledovým textem, který se abývá stavem a pohbem ideální kapalin a ideálního plnu. Hlavním cílem je odvodit Eulerov pohbové rovnice, které popisují pohb tekutin a nichž le ískat Bernoulliho rovnici, která se přímo vužívá při řešení problémů proudění. Dalším krokem je odvoení rovnice kontinuit, podle které je v sstému achována hmotnost tekutin. V případě ideálních plnů se k těmto rovnicím přidává stavová rovnice ideálního plnu a pomocí uvedených ákonů le ískat řešení vbraných úloh hdrodnamik a aerodnamik. Abstract Bachelor thesis is a summariing text which deals with the state and the motion of ideal liquid and gas. The main goal is to derive Euler equations describing the flow of fluids. From these equations we can obtain Bernoulli equation that is directl used to solve problems of fluid flow. The next step is to derive the continuit equation expressing the fact that the mass is preserved in the sstem. In the case of ideal gas the state equation of ideal gas is added and therefore solutions of various tpes of tasks of hdrodnamics and aerodnamics can be achieved. klíčová slova Eulerov rovnice, rovnice kontinuit, stavová rovnice ideální plnu, proudění ideální kapalin, proudění ideálního plnu ke words Euler equations, continuit equation, state equation of ideal gas, flow of ideal liquid, flow of ideal gas JEŽKOVÁ, J.: Matematické model v hdromechanice (a aerodnamice), Brno: Vsoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 2013, 31 s. Vedoucí bakalářské práce doc. Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D..

Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci Matematické model v hdromechanice (a aerodnamice) vpracovala samostatně pod vedením doc. Ing. Lud ka Nechvátala, Ph.D. s použitím materiálů uvedených v senamu literatur. Jitka Ježková

Děkuji svému školiteli doc. Ing. Lud ku Nechvátalovi, Ph.D. a četné rad a připomínk při vedení mé bakalářské práce. Jitka Ježková

Obsah Přehled smbolů a onačení 7 1 Úvod 9 2 Odvoení Eulerových rovnic 10 2.1 Silová rovnováha................................ 10 2.2 Pascalův ákon................................. 11 2.3 Eulerov pohbové rovnice........................... 13 2.4 Odvoení rovnice kontinuit.......................... 15 2.5 Stavová rovnice ideálních plnů........................ 16 3 Transformace souřadnic 18 3.1 Válcové souřadnice............................... 18 4 Bevířivé proudové pole 23 5 Příklad 25 5.1 Kapalina v rotujícím válci........................... 25 5.2 Kapalina vtékající nádob......................... 28 5.3 Pln vtékající nádob............................ 29 6 Závěr 30 6

Přehled smbolů a onačení smbol jednotka výnam smbolu x,, m kartéské souřadnice r, ϕ, m válcové souřadnice V m 3 objem dv m 3 elementární objem S m 2 obsah ds m 2 elementární obsah ρ kgm 3 hustota m kg hmotnost dm kg elementární hmotnost p Pa tlak dp Pa elementární tlak t s čas v ms 1 vektor rchlosti A ms 2 vektor objemového rchlení F N vektor síl a ms 2 vektor rchlení g ms 2 vektor gravitačního rchlení n - jednotkový normálový vektor U Jkg 1 potenciál objemového rchlení Φ m 2 s 1 rchlostní potenciál T K teplota r Jkg 1 K 1 měrná plnová konstanta κ - Poissonova konstanta n - poltropický koeficient c p Jkg 1 K 1 měrná telená konstanta a konstantního tlaku c v Jkg 1 K 1 měrná telená konstanta a konstantního objemu ω s 1 úhlová rchlost r m poloměr 7

smbol výnam smbolu naménko pro vektorový součin naménko pro skalární součin u obecný vektor ve 3D, u = (u x,u,u ) u T transpoice vektoru u ( nabla operátor, = x,, ) gradf gradient skalární funkce f, gradf = gradu gradient vektorové funkce u, gradu = u rotu rotace vektorové funkce, rotu = u ( f x, f, f ) divu divergence vektorové funkce u, divu = u Laplaceův operátor, = 2 x 2 + 2 2 + 2 2 8

1 Úvod S hdrodnamikou i aerodnamikou se dnes setkáváme téměř na každém kroku. Řešíme problém proudění plnů v plnovodech, proudění vod v potrubí, s hdrodnamikou se také setkáváme v lékařství při proudění krve v žilách. Při návrích motorů letadel řešíme úloh spojené s prouděním vduchu v turbínách motorů, mnohé tekutin jsou dnes pracovními látkami v obráběcích strojích nebo například v lednicích. Smslem práce je senámit čtenáře s problematikou proudění ideálních tekutin a vtvořit áklad pro poroumění a další studium reálných tekutin. Počátk teorie hdromechanik a aerodnamik spadají až do 4. století před Kristem, kd již Aristoteles ačal přemýšlet o proudění. Poté ve 3. století před Kristem vslovil Archimedes ákon o plavání těles v tekutině. Na přelomu 15. a 16. století objevil da Vinci ákon kontinuit, také se abýval letem ptáků a studoval princip letu, k tomu přidal Torricelli v 17. století ákon pro výtokovou rchlost. Několik let potom vslovil Pascal ákon o tlaku, v 18. století odvodil Euler energetické a pohbové rovnice. Dalším důležitým krokem bla představa o laminárním proudění, kterou světu dal v témže století d Alembert. Tím se dovršil rovoj dnamik ideálních tekutin a dále následovalo několik výnamných objevů, které vlepšil a rošířil dosavadní teorie. Bli to např. Navier a Stokes, kteří se věnovali tomuto tématu, Kelvin, Renolds nebo Prandtl. Práce čerpá uvedených drojů a je členěna následovně. Ve druhé kapitole odvodíme pomocí silové rovnováh a Pascalova ákona Eulerov pohbové rovnice a také rovnici kontinuit. Rovnice rošíříme o případ ideálního plnu a uvedeme stavovou rovnici ideálního plnu. Třetí kapitola obsahuje odvoení Eulerových rovnic a rovnice kontinuit ve válcových souřadnicích, které se hojně v technické praxi používají. Ve čtvrté kapitole upravíme Eulerov pohbové rovnice pro speciální proudění, a to pro nevířivé proudění. Dostaneme Bernoulliho rovnici, kterou kromě předchoích odvoených rovnic vužijeme v páté kapitole pro řešení vbraných tpových úloh o kapalinách a plnech. 9

2 Odvoení Eulerových rovnic V této části odvodíme Eulerov rovnice pro pohb kapalin a plnů. Vbereme libovolný objem kapalin, který uvažujeme v silové rovnováe. Po úvae, které síl na kapalinu působí, sestavíme silovou rovnici rovnováh a následně ní odvodíme diferenciální rovnice pro pohb kapalin. Je nutné dodat, že se budeme abývat výhradně ideálními kapalinami a pln, to namená, že tření na povrchu, vnitřní tření a jiné trát uvažovat nebudeme. Tři Eulerov pohbové rovnice tvoří spolu s rovnicí kontinuit soustavu rovnic, kterou le řešit pro nenámé složk rchlostí a nenámý tlak. U ideálních plnů (ted stlačitelných kapalin) místo rovnic čtř potřebujeme pět rovnic, nenámé jsou složk rchlosti, tlak a navíc hustota. Proto jako pátou rovnici použijeme stavovou rovnici plnu, která nám dá s ostatními čtřmi rovnicemi řešení. 2.1 Silová rovnováha Nejdříve libovolně volíme objem kapalin V a následně malý element v tomto objemu, který naveme element kapalin dv o povrchové ploše ds, a řešíme silové působení na tento element. p S V n ds Obráek 1: Objem kapalin V Na element dv s hustotou ρ působí objemové síl, které jsou určen hmotností tohoto elementu a neávisí na okolních částicích kapalin. Vememe sílu působící na jednotku hmotnosti a onačíme Adm = ρadv, kde A je vektor objemového rchlení se složkami (A x,a,a ) (ponamenejme, že toto rchlení nenamená pohb tělesa; jako objemové rchlení si můžeme představit např. gravitační nebo odstředivé rchlení) a ρ je hustota kapalin. Potom síla působící na celý objem V je ρadv V a jednotlivé složk sil jsou V ρa xdv, V ρa dv, V ρa dv. Kromě těchto sil působí na element také povrchové síl, které vnikají interakcí elementu kapalin s okolními částicemi. Další působící síl jsou vnitřní síl, které si můžeme představit jako reakce okolní kapalin na element, pokud element kapalin vjmeme. Tlak na povrchu ds elementu dv onačíme p. Pak máme sílu, která působí na plochu elementu kapalin, danou výraem 10

pds a sílu působící na celý povrch kapalin danou výraem S pds. Na element kapalin působí dále setrvačné síl, které le vjádřit ve tvaru V ρ dv dt dv, kde v je vektor rchlosti se složkami (v x,v,v ) T, takže tento integrál vjadřuje pohb tělesa. Tto setrvačné síl podle druhého Newtonova ákona F = m dv (nebo také dt podle d Alembertova principu) jsou v rovnováe s ostatními silami, takže můžeme napsat podmínku rovnováh pro pohb elementu kapalin 2.2 Pascalův ákon V ( ρ A dv ) dv + pds = 0. (2.1) dt S Abchom mohli pracovat se silovou rovnicí rovnováh (2.1) a odvodit ní Eulerov rovnice, musíme nejdříve jistit, da je tlak veličina skalární či vektorová. Zatím jsme ji považovali obecně a vektor, nní ukážeme, že tlak je veličina skalární. Be újm na obecnosti uvažujme pětistěn o hranách dx, d, d podle obráku 2, na který působí několik sil. Síl jsou v rovnováe, takže vtvoříme složkové rovnice rovnováh. g p dl d p x d d x α 1 2 p dx d g dm p dx d Obráek 2: Uvažovaný objem kapalin 11

Uvažujeme, že na těleso působí objemové síl. Pro jednoduchost de máme jen gravitační sílu, která je rovna df g = g dm = g ρ dv = g ρ 1 2 dxdd a působí v áporném směru os. Další síl jsou tlakové síl na jednotlivé stěn tělesa a jsou vjádřen součinem tlaku a ploch, na kterou tlak působí p x dd, p dxd, p dxd. Dál působí na vrchní stěnu tělesa tlak pdld, kde dl je délka nejdelší hran. Těleso nní promítněme do rovin a vtvořme silovou rovnováhu předního trojúhelníka (obráek 3), ted sestavíme silovou rovnováhu v osách x a. x pdld d dl p x dd α dx df g p dxd Obráek 3: Síl působící na přední trojůhelník V ose x působí dvě stejně velké síl, tj. Protože dl sinα = d, dostáváme rovnost p x dd = pddl sinα. p x = p. Stejnou úvahou dojdeme k silové rovnováe v ose, kde navíc působí gravitační síla. Tato síla je v celkovém působení sil malá a ted ji anedbáme. Celkově p dxd = pddl cosα+ 1 2 gρdxdd p dxd = pddx+ 1 2 gρdxdd p = p + 1 2 gρd p = p. Vidíme, že pro os x a jsme ukáali, že tlak není vektorovou veličinou. Analogick bchom to stejné ukáali pro tlak p. 12

2.3 Eulerov pohbové rovnice Protože jsme ukáali, že tlak je skalární veličina, můžeme přepsat silovou rovnici rovnováh (2.1) do tvaru ( ρ A dv ) dv pnds = 0, (2.2) V dt S kde n je normálový vektor k ploše ds. Plošný integrál le přepsat na objemový pomocí Gaussov-Ostrogradského vět [4] pnds = gradpdv. Potom le podmínku rovnováh (2.2) přepsat na tvar [ ( ) ] dv ρ dt A +gradp dv = 0. V S Uvažovaný objem kapalin V le volit libovolně, proto rovnost nastane tehd, kdž se integrand rovná nule ( ) dv ρ dt A +gradp = 0. Tuto vektorovou rovnici upravíme do tvaru 1 ρ V gradp+a = dv dt. Roepsáním do složek dostáváme tři Eulerov pohbové rovnice Derivací složené funkce máme 1 ρ 1 ρ 1 ρ dv x dt = v x t + v x x p x +A x = dv x dt, p +A = dv dt, p +A = dv dt. dx dt + v x d dt + v x Pokud stejný postup použijeme pro a složku rchlosti a vužijeme vtah dx dt = v x (opět také pro další dvě složk), dostáváme finální veri Eulerových rovnice ve složkovém tvaru 1 ρ 1 ρ 1 ρ d dt. p x +A x = v x t +v v x x x +v v x +v v x, p +A = v t +v v x x +v v +v v, p +A = v t +v v x x +v v +v v, 13

přičemž výra vx, v, v představují lokální neboli místní rchlení, které je při stacionárním proudění nulové, výra v x x +v x vx+v vx, v x v +v x v +v v a v x v + x t t t v v v +v v namenají konvektivní rchlení (např. při měně průřeu potrubí), vektor A je objemové rchlení a 1 gradp je rchlení, které uděluje tlakový spád. ρ Pokud bchom uvažovali rovné potrubí a vše v jedné proměnné l, rovnice se jednoduší a bude vpadat následovně 1 ρ p l +A l = v v +v t l. Vrat me se ke 3D případu Eulerových rovnic. Použijeme-li vtah Eulerova rovnice přejde na tvar Použijeme-li dále vtah 1 ρ dv dt = v +v ( v), t gradp+a = v t +v( v). v( v) = 1 2 gradv2 v rotv, (2.3) který le snadno dokáat roepsáním jednotlivých členů. Levá strana rovnosti vpadá následovně v x v x v x v x v x x v = (v x,v,v ) T v v v x +v v x +v v x v v = v ( v) = v x x x +v v +v v. v v v v v x x x +v v +v v Pravá strana rovnosti v v v x rotv = v = v x v x v x 1 2 v2 = 1 2 (v x 2 +v 2 +v 2 ) = 1 2 v2 v rotv = v v x v v x v v x +v v x v v rotv = v v v v v x x +v v x x v x v x v v x x v v +v v v x v x x +v v x +v v x v x v x +v v +v v v x v x +v v +v v v x v x x +v v x +v v x v v x x +v v +v v = v ( v). v v x x +v v +v v 14

Pomocí (2.3) dostaneme ekvivalentní tvar Eulerov rovnice 1 ρ gradp+a = v t + 1 2 gradv2 v rotv. (2.4) Tento speciální tvar le ještě dále upravit. Vememe-li v úvahu, že objemové rchlení má potenciál U, potom A = gradu a Eulerovu rovnici le podle [1] přepsat do tvaru 1 ρ gradp gradu = v t + 1 2 gradv2 v rotv. (2.5) Eulerova rovnice ve vektorovém tvaru pro pohb ideální kapalin popisuje proudění kapalin. Kromě těchto rovnic musí platit při proudění ákon achování hmotnosti kapalin. Proto si de tento ákon odvodíme a upravíme na vhodný tvar. 2.4 Odvoení rovnice kontinuit Pro kapalinu vžadujeme, ab vplňovala celý uvažovaný prostor a bla v prostoru achována její hmotnost. Abchom tuto podmínku mohli matematick apsat, uvažujeme kapalinu o objemu V, který si libovolně volíme. Hmotnost kapalin v tomto objemu popisuje integrál ρdv. Potom le měnu hmotnosti kapalin v objemu V vjádřit jako V V ρ t dv, a navíc platí, že je tento výra větší než nula. Tato měna hmotnosti kapalin je působena tokem kapalin přes povrch S. Tok obecně ávisí na rchlosti proudění kapalin, směru (ted na ploše S) a dá se apsat výraem ρ(v n)ds, S kde n je jednotkový vektor, který má směr vnější normál ploch ds. Pak platí rovnost mei měnou hmotnosti kapalin a tokem kapalin ρ t dv = ρ(v n)ds. (2.6) ρ V Protože uvažujeme, že dv > 0 a n je vektor vnější normál, dostaneme na pravé V t straně rovnice naménko minus. Použijeme Gaussovu-Ostrogradského větu a přepíšeme plošný integrál na objemový ρvnds = div(ρv)dv a rovnici (2.6) můžeme přepsat na ( ) ρ t +div(ρv) dv = 0. S V Protože objem V jsme vbrali libovolně, platí uvedená rovnost, je-li ρ t S V +div(ρv) = 0. (2.7) 15

Rovnice (2.7) se naývá rovnice kontinuit a tvoří spolu s Eulerovými rovnicemi soustavu čtř rovnic pro určení řešení úloh hdrodnamik s nenámými v x, v, v, p. Rovnice kontinuit le dále přepsat na jiný tvar roepsáním druhého členu ρ t + ρv x x + ρv + ρv = 0. (2.8) Pro případ ideálních plnů a stlačitelných kapalin obsahuje rovnice (2.8) hustotu, která se de mění. Pokud uvažujeme ideální (nestlačitelné) kapalin, přejde tato rovnice podle [3] do tvaru v x x + v + v = divv = 0. (2.9) Jak už blo míněno, rovnice kontinuit (2.7) a Eulerov rovnice (2.4) spolu s okrajovými podmínkami stačí pro určení rchlosti a tlaku v případě nestlačitelných kapalin. Pokud chceme řešit ideální pln, musíme hustotu považovat také a nenámou a proto potřebujeme další, pátou, rovnici. 2.5 Stavová rovnice ideálních plnů Pro ideální pln platí obecně stavová rovnice pv = m rt, kde p je tlak, V je objem plnu, m je jeho hmotnost, r je měrná plnová konstanta a T je teplota v kelvinech. Tato rovnice má několik ekvivalentních tvarů. Pro naše úvah je vhodnější tvar, kde se hustota vsktuje přímo p = ρ rt. Měrná plnová konstanta je pro růné pln růná, avšak pro jeden konkrétní pln je konstantní, např. pro oxid uhličitý je r = 188,9Jkg 1 K 1. Příklad měrné plnové konstant jiných plnů nalenete v [2]. Další nenámá, která přibude k rchlosti a tlaku, je hustota. Roenáváme růné druh dějů, které popisují chování plnů. Jeden e ákladních termomechanických dějů je iotermická měna stavu. Při tomto ději nedocháí ke měně teplot, ta je ted konstantní. Ze stavové rovnice nám vplne, že pro iotermický děj platí rovnost p ρ = konst, která tvoří pátou rovnici k Eulerovým rovnicím a rovnici kontinuit a řeší úloh o ideálních plnech. Ačkoli je iotermická měna stavu jedním e ákladních dějů, není moc častá. Málokd sestane,žedokážemeplnpřevéstjednohostavunajinýtakpomalu,žeudržímeteplotu konstantní. Daleko častější je děj adiabatický, který probíhá rchle a teplota se při něm mění. Při tomto ději nedocháí k výměně tepla s okolím. Pro adiabatický děj le psát rovnost p = konst. (2.10) ρκ 16

Smbol κ de představuje Poissonovu konstantu (neboli adiabatický exponent). Je to beroměrné číslo a vjadřuje podíl mei měrnými tepelnými kapacitami κ = c p c v, c p je měrná tepelná kapacita při konstantním tlaku a c v je měrná tepelná kapacit při konstantním objemu. Obě kapacit jsou pro růné pln růné, ale pro jeden konkrétní existuje jedna hodnota c p a jedna hodnota c v. Dále platí, že c p = c v + r c p > c v, takže Poissonova konstanta je vžd větší než jedna, např. pro vduch κ = 1, 4. Další příklad konstant κ a konstant c p,c v nalenete v [2]. Pro adiabatický děj tvoří rovnice (2.10) pátou rovnici a le ted opět řešit úloh pro ideální pln. Adiabatický děj je spíše teoretickým dějem, který ve skutečnosti neprobíhá. Je vhodné definovat jiný děj, který probíhá téměř jako adiabatický, ale je více podobný skutečnosti. Takový děj se naývá poltropický. Rovnost, která tento děj vstihuje, vpadá následovně p = konst. (2.11) ρn V rovnosti vstupuje místo exponentu κ poltropický exponent n, který se většinou pohbuje mei 1 až 1,41, áleží na použitém plnu. Opět ted vidíme, že rovnice (2.11) tvoří pátou rovnici pro řešení ideálních plnů. 17

3 Transformace souřadnic Pro řešení problémů s ideálními kapalinami či pln máme k dispoici potřebné rovnice. V mnoha případech je vhodné řešit úloh ve sférických nebo válcových souřadnicích, namísto v kartéských. Proto odvodíme Eulerov rovnice i rovnici kontinuit v těchto souřadnicích. 3.1 Válcové souřadnice Pro řešení problémů v praxi je často apotřebí použít válcové, neboli clindrické souřadnice. Vužití těchto souřadnic le vidět například u válcového potrubí, kterým protéká kapalina nebo pln. Parametrické rovnice válcových souřadnic jsou x = r cosϕ, = r sinϕ, =, kde x, a jsou původní kartéské souřadnice a r, ϕ a jsou nové válcové souřadnice, které vjádříme uvedených parametrických rovnic r = x 2 + 2, ϕ = arctan x, (3.12) =. Nejprve roepíšeme derivace složené funkce f = f(x(r,ϕ,), (r,ϕ,), (r,ϕ,)) f x = f r r x + f ϕ ϕ x + f x, f = f r r + f ϕ ϕ + f, (3.13) f = f r r + f ϕ ϕ + f. Je potřeba spočítat jednotlivé parciální derivace r, ϕ a podle x,, e vtahů (3.12) r x = 1 2 r = 1 2 r = 0, 2x x2 + 2 = 2 x2 + 2 = x x2 + 2 = cosϕ, x2 + 2 = sinϕ, 18

ϕ x = 1 1+ 2 ϕ = 1 ϕ = 0, x = 2 x 2 + = sinϕ, (3.14) 2 r x 2 x = x x 2 + = cosϕ, 2 r 1 1+ 2 x 2 x = 0, = 0, = 1. Dosadíme derivace (3.14) do rovnic pro složenou funkci (3.13) a dostaneme f x = f r f = f r f = f. cosϕ+ f ϕ sinϕ+ f ϕ sinϕ, r cosϕ, (3.15) r Nníjepotřebauvědomitsi,žesepohbujemejednébáedojiné.Necht vkartéském sstémumámebái(e x,e,e )aveválcovémsstémubái(e r,e ϕ,e ).Vtahmeibáemi vstihují rovnice e x = e r cosϕ e ϕ sinϕ, (3.16) e = e r sinϕ+e ϕ cosϕ, vi obráek 4. e e ϕ e r ϕ ϕ Obráek 4: Grafické náornění vtahů mei báovými vektor Gradient funkce f v bái (e x,e,e ) je f = f x e x + f e + f e. (3.17) Pro vjádření gradientu v bái (e r,e ϕ,e ) dosadíme vtah (3.15) a (3.16) do rovnice (3.17) a upravíme na konečný tvar 19 e x

( f f = + r cosϕ 1 r ( f r sinϕ+ 1 r ) f ϕ sinϕ (e r cosϕ e ϕ sinϕ) + ) f ϕ cosϕ (e r sinϕ+e ϕ cosϕ)+ f e = f ϕ e r cosϕ sinϕ+ = f r e r cos 2 ϕ f r e ϕ cosϕ sinϕ 1 r + 1 f r ϕ sin2 ϕ+ f r e r sin 2 ϕ+ f r e ϕ cosϕ sinϕ+ 1 r + 1 f r ϕ e ϕ cos 2 ϕ+ f e = f r e r + 1 f r ϕ e ϕ + f e. Ted gradient vjádřený v bái válcového sstému je ( f f = r, 1 f r ϕ, f ). f ϕ e r cosϕ sinϕ+ Kromě gradientu vstupuje v Eulerových rovnicích také rotace, proto si nní obdobně odvodíme rotaci ve válcových souřadnicích. Budeme pracovat s obecnou vektorovou funkcí g. Protože rotaci funkce le vjádřit jako vektorový součin gradientu a vektorové funkce, můžeme psát g = ( e r r +e 1 ϕ r ϕ +e ) (g r e r +g ϕ e ϕ +g e ) = =e r r (g re r +g ϕ e ϕ +g e )+e ϕ 1 r ϕ (g re r +g ϕ e ϕ +g e )+ +e (g re r +g ϕ e ϕ +g e ) = (3.18) ( gr =e r r e r + e r r g r + g ϕ r e ϕ + e ϕ r g ϕ + g r e + e ) r g + + 1 ( r e gr ϕ ϕ e r + e r ϕ g r + g ϕ ϕ e ϕ + e ϕ ϕ g ϕ + g ϕ e + e ) ϕ g + ( gr +e e r + e r g r + g ϕ e ϕ + e ϕ g ϕ + g e + e ) g. Protože platí vtah (inverní transformace (3.16)) můžeme psát e r = e x cosϕ+e sinϕ, e ϕ = e x sinϕ+e cosϕ, e r r = 0, e ϕ r = 0, e r = 0, e r ϕ = e xsinϕ+e cosϕ = e ϕ, e ϕ ϕ = e x cosϕ e sinϕ = e r, e ϕ = 0, e r = 0, e ϕ = 0, (3.19) e = 0. 20

Derivace báových vektorů potupně dosadíme do (3.18) a vužijeme vtah e r e ϕ = (e ϕ e r ) = e, který platí pro všechn tři báové vektor ( gr g =e r r e r + g ϕ r e ϕ + g ) r e + ( 1 g r +e ϕ r ϕ e r + 1 r e ϕg r + 1 g ϕ r ϕ e ϕ 1 r e rg ϕ + 1 r ( gr +e e r + g ϕ e ϕ + g ) e = ( 1 g =e r r ϕ g ) ( ϕ gr +e ϕ g ) r Finální tvar rotace funkce g ve válcových souřadnicích rotg = ( 1 r ) g ϕ e + +e ( gϕ r + g ϕ r 1 r g ϕ g ϕ, g r g r, g ϕ r + g ϕ r 1 r ) g r. ϕ ) g r. ϕ Odvoený gradient a rotaci pro válcové souřadnice aplikujeme na veličin v Eulerově rovnici (2.5) ( p p = r, 1 p r ϕ, p ) T ( U U = r, 1 U r ϕ, U ) T v r v r r +v v ϕ ϕ r +v v r v 2 = v r v r ϕ +v v ϕ ϕ ϕ +v v ϕ v r v r +v v ϕ ϕ +v v v ϕ v ϕ r + v2 ϕ r v ϕ v r r v rotv = v r v ϕ v v r v r v r ϕ v v r +v v r, v ϕ v v ϕ r r v rv ϕ + v r v r r r ϕ v r v ϕ r v ϕ +v ϕ v ϕ. (3.20) Dosaením jednotlivých členů (3.20) do Eulerov rovnice (2.5) a roepsáním do složek r, ϕ a dostáváme Eulerov rovnice ve válcových souřadnicích U r 1 p ρ r = v r t +v v r r r + v ϕ v r r ϕ +v v r 1 r v2 ϕ, 1 U r ϕ 1 p ρr ϕ = v ϕ t +v v ϕ r r + v ϕ v ϕ r ϕ +v v ϕ + v rv ϕ, r U 1 p ρ = v t +v v r r + v ϕ v r ϕ +v v. 21

Zbývá převést rovnici kontinuit do tvaru ve válcových souřadnicích. Pro případ nestlačitelné kapalin, kd je ρ konstantní upravujeme rovnici (2.9). Je nutno spočítat divv = v, kde smbol náorňuje skalární součin. Vužijeme vtah (3.19) a vtah pro skalární součin báových vektorů e r e r = 1, e r e ϕ = 0. Potom divergence vektorové funkce ( ) g = e r r +e 1 ϕ r ϕ +e (g r e r +g ϕ e ϕ +g e ) = ( ) g r = e r e r r +e g ϕ ϕ r +e g + 1 r r e ϕ ( ) g r + e e r +e g ϕ ϕ +e g = g r r + 1 r ( g r e r ϕ +e g ϕg r e r g ϕ +e ϕ g ϕ ϕ + 1 r g r + g. Aplikací tohoto vtahu dostáváme rovnici kontinuit ve válcových souřadnicích divv = v r r + 1 r v ϕ ϕ + 1 r v r + v = 0. Analogick bchom postupovali při odvoení Eulerových rovnic a rovnice kontinuit ve sférických souřadnicích. Jiný postup ískání těchto rovnic le nalét např. v [1]. ) + 22

4 Bevířivé proudové pole Jedním tpů proudění ideální kapalin je bevířivé, též potenciální proudění. Vnačuje se tím, že částice kapalin se pohbují po přímých či křivočarých drahách tak, že nerotují kolem své os. Částice mohou vkonávat i deformační pohb, nikoli však otáčivý. V případě potenciálního proudění le v každém místě psát rotv = 0, (4.21) vi [1], jak odvodíme dále. Předchoí vtah le také vjádřit ve složkách rot x v = v v, Složk rchlosti přepíšeme na tvar vektorově v x = Φ x, rot v = v x v x, v = Φ, v = gradφ, rot v = v x x v. (4.22) v = Φ, (4.23) kde funkce Φ se naývá rchlostní potenciál. V případě nestacionárního proudění ávisí funkce Φ na poloe částice kapalin a také na čase. Při řešení stacionárního problému bereme Φ poue jako funkce poloh Φ = Φ(x,,). Nní si odvodíme již míněný vtah (4.21) rot v = 0, platící pro potenciální proudění. Vjdeme rovnic (4.23), které popisují složk rchlosti pomocí potenciálu rchlosti Φ(x,,) a dosadíme do (4.22) rot x v = 2 Φ 2 Φ = 0, rot v = 2 Φ x 2 Φ x = 0, rot v = 2 Φ x 2 Φ x = 0. Z důvodu rovnosti smíšených derivací vplývá, že rotv = 0. Pro potenciální proudění le upravit rovnici kontinuit (2.8) pomocí vtahů (4.23) na tvar 1 dρ + Φ = 0, ρ dt kde a dρ dt = ρ t + ρ x x t + ρ t + ρ t Φ = 2 Φ x + 2 Φ 2 + 2 Φ 2 2 je Laplaceův operátor. V případě nestlačitelné kapalin má rovnice kontinuit jednodušší tvar Φ = 0. V tomto případě můžeme snadno řešit úlohu, protože rchlostní potenciál je řešením Laplaceov rovnice. Přejdeme k Eulerově pohbové rovnici a upravíme ji pro potenciální pole. Vjdeme rovnice (2.4) a přepíšeme rchlost pomocí potenciálu rchlostí, čímž obdržíme rovnici t gradφ+ 1 2 gradv2 = gradu 1 gradp. (4.24) ρ 23

Za předpokladu, že ρ je námá funkce tlaku, tj. ρ = ρ(p), můžeme Eulerovu rovnici (4.24) přepsat na tvar [ ] Φ grad t + v2 dp 2 + ρ(p) +U = 0, (4.25) protože platí rovnosti t Integrací rovnice (4.25) dostaneme gradφ = grad Φ t. Φ t + v2 dp 2 + +U = f(t), (4.26) ρ(p) kde f(t) je funkce času t a v 2 = v x 2 +v 2 +v 2. Rovnici (4.26), platnou pro nestacionární bevířivé proudění, naýváme Bernoulliho rovnice. Pro nestlačitelné kapalin le psát Φ t + v2 2 + p +U = f(t). ρ Z Bernoulliho rovnice le hdrodnamický tlak vjádřit, pokud náme rchlostí potenciál Φ. V případě stacionárního proudění stlačitelné kapalin vpadá Bernoulliho rovnice následovně v 2 dp 2 + +U = c, (4.27) ρ(p) přičemž c je libovolná konstanta. Rchlostní potenciál neávisí na čase a jeho derivace je ted nulová. Pro případ stacionárního proudění nestlačitelné kapalin píšeme v 2 2 + p +U = c. (4.28) ρ 24

5 Příklad Aplikujme nní odvoené rovnice na několik tpových situací. 5.1 Kapalina v rotujícím válci Uvažujme ideální kapalinu, kterou vlijeme do válcové nádob be horního víka. Celá soustava se nacháí v gravitačním poli. Předpokládejme, že pokud je kapalina v klidu, její hladina dosahuje výšk = h. Pokud ačneme nádobu otáčet kolem její svislé os konstantní úhlovou rchlostí ω = dϕ, hladina kapalin ve středu nádob poklesne a při okraji dt nádob stoupne nad výšku h. Úkolem je stanovit tlak ve všech místech kapalin a jistit, jaký tvar hladina kapalin při otáčení nádob aujímá. h H h 0 R r Obráek 5: Kapalina v rotující nádobě V tomto případě dobře poslouží válcové souřadnice x = r cosϕ, = r sinϕ, =. Víme, že k pohbu docháí ve směru souřadnice ϕ, proto v r = 0, v = 0, v = v ϕ = r dϕ dt = rω. Potenciál gravitační síl U = g, kde g je tíhové rchlení. Potom Eulerov rovnice mají tvar ω 2 r 1 p ρ r p ϕ g + 1 p ρ 25 = 0, (5.29) = 0, (5.30) = 0. (5.31)

Z rovnice (5.30) vplývá, že p neávisí na ϕ. Z rovnice (5.29) integrací dostaneme p(r,) = ρ 2 ω2 r 2 +f(), kde f() je funkce výšk. Vjádřený tlak dosadíme do rovnice (5.31) a upravíme f () = ρg f() = ρg +c. Dostáváme tlak p = ρω2 r 2 ρg +c. (5.32) 2 Víme, že tlak na povrchu kapalin je roven atmosferickému tlaku p 0. Odtud dostaneme rovnici povrchu kapalin = ω2 r 2 2g p 0 ρg + c ρg = ω2 r 2 2g +h 0, (5.33) kde h 0 = 1 ρg (c p 0) (5.34) je výška nejnižšího bodu povrchu kapalin ve středu válcové nádob. Síla působící na dno válce v klidu o poloměru R je podle vtahu pro hdrostatický tlak p = πr 2 (p 0 +ρgh). Odtud dosaením a vpočtením dostaneme 2π R πr 2 (p 0 +ρgh) = prdrdϕ = 0 0 ( ) ρω = πr 2 2 R 2 +c. 4 Z předešlé rovnosti vjádříme konstantu c 2π R c = p 0 +ρgh ρω2 R 2, 4 0 0 ( ρω 2 r 2 2 ) ρg +c drdϕ = dosadíme do rovnice (5.34) a ískáme hodnotu nejnižšího bodu hladin kapalin při rotaci válce h 0 = h ω2 R 2 4g. Vpočtené hodnot c a h 0 dosadíme do rovnice hladin (5.33) a rovnice tlaku (5.32) ) = (r) = h+ (r ω2 2 R2, (5.35) 2g 2 (r 2 R2 p = p(r, ) = p 0 +ρg(h )+ρ ω2 2 Z rovnice (5.35) ponáme, že hladina má tvar rotačního paraboloidu, jehož osa je osa válcové nádob. Znáornění hladin kapalin a průběh tlaku je vidět na obrácích 6 a 7. Dále rovnice (5.35) je vidět, že pokles hladin v r = 0 je roven jejímu výšení v r = R H h = h h 0 = ω2 R 2 4g. 2 ). 26

250 200 150 100 50 0 50 100 5 0 5 5 0 5 Obráek 6: Plocha hladin vod v rotující nádobě při hodnotách R = 5, H = 30, h = 10, ω = 10 a g = 9.81. 1 x 10 6 0.5 0 0.5 1 5 30 0 20 5 0 10 Obráek 7: Znáornění průběhu tlaku při hodnotách R = 5, H = 30, h = 10, ω = 10, g = 9.81 a ρ = 1000. 27

5.2 Kapalina vtékající nádob Uvažujme velkou nádobu v gravitačním poli, která je naplněna ideální kapalinou. Hladina kapalin necht se nemění. Toho le dosáhnout tak, že budeme kapalinu do nádob průběžně dolévat. Na boku spodní části nádob ve vdálenosti h od hladin je otvor, kterým kapalina vtéká do okolního tlaku. Okolní tlak prostředí je p 0, rchlost na hladině kapalin je v 0 a plocha hladin S 0. Průře otvoru onačme S a nenámou výtokovou rchlost v. Onačme bod 0 na hladině a bod 1 u výtoku kapalin nádob podle obráku 8. g 0 - p 0, v 0, S 0 h 1 - p 0, v, S Obráek 8: Nádoba naplněná kapalinou, která vtéká malým otvorem Mei bod 0, 1 le sestavit Bernoulliho rovnici (4.26), která přejde dík nestlačitelnosti kapalin a stacionárnímu proudění na rovnici (4.28). Můžeme psát Pro bod 0 a 1 můžeme vtvořit rovnici kontinuit a ted v 2 2 + p 0 ρ gh = v2 0 2 + p 0 ρ. (5.36) v 0 S 0 = vs, v 0 = v S S 0. (5.37) Dosaením (5.37) do Bernoulliho rovnice (5.36) a po úpravě dostáváme vjádření pro výtokovou rchlost v = 2gh ( ) 2. (5.38) S 1 S 0 V případě, kd se jedná o velkou nádobu s rosáhlou plochou hladin S 0 a malým otvorem je výra S S 0 blíký nule. Jeho anedbáním přejde výpočet výtokové rchlosti (5.38) na v = 2gh, což je námý Torricelliho vorec pro výpočet výtokové rchlosti. 28

5.3 Pln vtékající nádob Uvažujeme velkou nádobu, ve které se nacháí ideální pln o tlaku p 0 a hustotě ρ 0. Pln adiabatick vcháí nádob do okolního tlaku p 1 přes malý otvor, přičemž rchlost úniku je konstantní. Protože nádoba je dostatečně velká, je v ní možné anedbat rchlost pohbu plnu v 0 = 0. Onačme si bod 0 ve velké nádobě a bod 1 na výtoku plnu nádob. Pro jednoduchost anedbejme gravitaci. 0 - p 0, v 0, ρ 0 1 - p 1, v 1, ρ 1 Obráek 9: Nádoba naplněná ideálním plnem, který vtéká malým otvorem do vnějšího prostředí Dík konstantní výtokové rchlosti se jedná o stacionární proudění. Protože jde o pln, nele hustotu ρ považovat a konstantní a mei bod 0 a 1 le napsat Bernoulliho rovnice (4.27) ve tvaru v1 2 p0 2 = dp p 1 ρ. (5.39) Jelikož se jedná o adiabatický děj, můžeme hustotu vjádřit e stavové rovnice pro adiabatický děj (2.10) p 0 ρ κ 0 = p ρ κ, ρ = ρ 0 ( p p 0 ) 1 κ. (5.40) Dosaením (5.40) do Bernoulliho rovnice (5.39) dostáváme v1 2 p0 2 = dp p 1 ρ = 1 [ p 1 p0 κ 0 p 1 κ p 0 κ dp = 1 ρ 0 p 1 1 κ ρ 0 ( p1 p 0 ] )κ 1 κ. (5.41) Z upravené rovnice (5.41) dostáváme výpočtový vorec pro výtokovou rchlost [ v 1 = 2κ ( ] )κ 1 p 0 p1 κ 1. κ 1 ρ 0 p 0 29

6 Závěr Cílem práce blo shrnout problematiku proudění ideálních kapalin a ideálních plnů a řešit několik tpových příkladů. Proudění kapalin se jednodušuje jejich nestlačitelností, ideální pln jsou stlačitelné a ted je potřeba sestavit více rovnic pro řešení problémů tekoucích plnů. Uvedli jsme čtři ákladní rovnice pro popis proudění ideálních kapalin a pět ákladních rovnic pro popis proudění ideálních plnů. Tto rovnice jsou nebtné k určení nenámých parametrů při proudění jak ideální kapalin, tak ideálního plnu. V praxi se ve většině případů hledá rchlost proudění, např. při vtékání nádob, potrubí apod. Nenámé jsou ve trojroměrném proudění tři složk rchlosti. Dále je někd třeba určit tlak v určitém místě proudění nebo pokles tlaku při proudění užujícím se potrubím. Odvodili jsme také válcové souřadnice, které se vužívají při řešení problémů v praxi, kde kapalina i pln proudí většinou válcovými těles. Válcové souřadnice umožňují lépe uchopit a řešit úloh, načně se jednoduší a krátí výpočt úloh. Analogick bchom postupovali při odvoení a aplikaci sférických souřadnic. Při řešení konkrétních příkladů jsme vužili Eulerov rovnice, Bernoulliho rovnici, rovnici kontinuit i stavovou rovnici ideálního plnu. Zákon, které jsou popsán těmito rovnicemi, jsou ákladem pro pochopení proudění a pro řešení mnoha úloh, které se vsktují v běžném životě. Pokud bchom řešili situaci s reálnými kapalinami či pln, uvedené rovnice poslouží jako áklad, ale je potřeba je upravit. Při proudění reálných tekutin docháí vlivem tření mei tekutinou a okolím (např. potrubím) a vlivem vnitřního tření tekutin ke trátám. Veličina, která popisuje reálné tekutin a vstupuje ve výpočtu trát je tv. viskoita. Vlivem tření se také mění rchlostní profil proudění, tj. na stěnách potrubí je rchlost nulová, uprostřed potrubí je rchlost maximální. Potom je potřeba řešit úloh s tv. střední rchlostí. Celkově, při řešení úloh o reálných kapalinách a plnech je nutné uvažovat trát, které se v případě ideálních tekutin nevsktují. 30

Reference [1] Kneschke, A.: Používanie diferenciálných rovníc v praxi, 1. slov. vd., Alfa, 1969. [2] Potter, M., Wiggert, D.C.: Fluid Mechanics, Schaum s Outline Series, McGraw-Hill, 2008. [3] Warsi, U.A.: Fluid Dnamics, Theoretical and Computational Approaches, 2nd ed., CRC Press, 1998. [4] Škrášek, J., Tichý Z.: Základ aplikované matematik II., 1. vd., SNTL, 1986. 31