Elementární funkce. (Stručný přehled)

Transkript

1 Elementární funkce (Stručný přehled) c Helena Říhová 006

2 Obsah Úvod Mocninné funkce 4. Konstantnífunkce Celočíselnékladnémocnin Mocninskladnýmracionálnímeponentem Mocninsezápornýmeponentem Mocninsiracionálnímeponentem Eponenciální funkce 7 4 Logaritmické funkce 7 5 Goniometrické funkce 8 6 Cklometrické funkce

3 Seznam používaných smbolů D f H f definičníoborfunkce f oborhodnotfunkce f N množina přirozených čísel P P průsečíkgrafufunkcesosou průsečíkgrafufunkcesosou R množina reálných čísel R + množinakladnýchreálnýchčísel,tj.interval(0,+ ) R + o množinanezápornýchreálnýchčísel,tj.interval 0,+ ) Z množina celých čísel velký kvantifikátor znamená: každý, pro všechn... Úvod Název elementární funkce je dán historick. Míní se jím funkce, které bl popsán do konce 8. století. Uvedeme jejich přehled spolu se základními charakteristikami definičním oborem, oborem hodnot, interval monotónnosti, smetrií a doplníme náčrtkem grafu. Než se ale do nich pustíme, zopakujeme si pojm sudá, lichá funkce,(ne)rostoucí,(ne)klesající funkce. Funkce f je sudá, jestliže platí: a)pro D f jetaké D f, b)pro D f je f( )=f(). Grafsudéfunkcejeosověsouměrnýpodleos. Funkce f je lichá, jestliže platí: a)pro D f jetaké D f, b)pro D f je f( )= f(). Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku. Pokud je lichá funkce definovaná pro =0,platí f(0)=0,tj.grafprocházípočátkem. Funkce f je rostoucí neklesající nerostoucí klesající jestližepro, D f, <, je f( ) < f( ), f( ) f( ), f( ) f( ), f( ) > f( ). fce sudá fce lichá neklesající fce lichá nerostoucí fce rostoucí fce klesající

4 Mocninné funkce Mocninné funkce jsou dán analtickým předpisem f: = α, α R.. Konstantní funkce Je-li α = 0 dostáváme konstantní funkci f: =. (Obecnákonstantnífunkcejedánapředpisem f: = k, k R.) D f =R, H f = {}. (ProobecnoukonstantnífunkcijeH f = {k}.) P =[0,] Funkce je sudá. obr. 0. Celočíselné kladné mocnin Nní α N,obvkleznačíme α=napříslušnáfunkcejevjádřenavztahem: f: = n. D f =R, H f =R + o pro nsudé, H f =R pro nliché, P =[0,0]= P. Pro nsudéjefunkcesudá,klesajícína(,0),rostoucína(0,+ ),naobr. modrákřivka. Pro nlichéjefunkcelichá,rostoucínacelémd f,naobr.červenákřivkaapřímka. = obr. 4

5 Graf všech celočíselných mocnin procházejí bod[0,0] a[,], sudé mocnin procházejí navíc bodem[-,], liché mocnin bodem[-,-]. Funkce = se nazývá lineární, jejím grafem je přímka(osaprvníhoatřetíhokvadrantu),funkce = senazývákvadratická,grafemje parabola s vrcholem v počátku.. Mocnin s kladným racionálním eponentem Funkce jsou vjádřen vztahem: f: = m n = n m, kde m N, n Napředpokládáme,že m, njsoučíslanesoudělná. D f =R pro nliché, D f =R + o pro nsudé, mliché, H f =R + o pro nliché, msudé,nebopro nsudé, mliché, H f =R pro n, mobělichá, P =[0,0]= P. ( ) m Pro n, mobělichájefunkcelichá,rostoucínacelémd f,naobr.červená n > nebo ( ) m modrá křivka n <.Pro nliché, msudéjefunkcesudá,klesajícína(,0,rostoucína ( ) m 0,+ ),naobr.zelenákřivka n <. Je-li m liché, n sudé, funkce je definována pouze ( ) m pronezáporná,nenítedanisudá,anilichá.jerostoucí,naobr.fialovákřivka n >. a b c d obr. Označíme-li eponent funkcí postupně a, b, c, d, splňují následující nerovnost: a > b >>c>d..4 Mocnin se záporným eponentem Nejprve budeme uvažovat celočíselný záporný eponent, tj. funkce tvaru: f: = n = n, kde n N. 5

6 D f =R \ {0}, H f =R + pro nsudé, H f =R \ {0} pro nliché. Průsečík s osami nejsou. Podobně jako u celočíselných kladných mocnin je funkce sudá pro n sudé, ale tentokrát rostoucína(,0),aklesajícína(0,+ ),naobr.4modrákřivka. Pro nlichéjefunkcelichá(naobr.4červenákřivka),klesajícína(,0)ana(0,+ ),ale nikoliklesajícínacelémd f! obr.4 Mocninné funkce se záporným racionálním eponentem mají podobný průběh jako mocninné funkce s celočíselným záporným eponentem s tím rozdílem, že v některých případech(pilný čtenářsisámdoplnívkterých)jedefiničníoboratímioborhodnotzúžennar +.Graf všech záporných mocnin prochází bodem[;] a osa, resp. tvoří vodorovnou, resp. svislou asmptotu grafu..5 Mocnin s iracionálním eponentem jsou funkce tvaru: f: = α, kde α je iracionální číslo. Jsou definován pomocí eponenciální a logaritmické funkce (viz dále) vztahem α β = α =e αln. D f =R +, H f =R +. Pro α >0funkceroste,pro α <0funkceklesá, graf vžd prochází bodem[; ]. obr.5 γ α >>β >0>γ 6

7 Eponenciální funkce je každá funkce vjádřená vztahem f: = a, kde a >0, a.narozdílodmocninjenníproměnnánikolivzákladu,aleveponentu. D f =R, H f =R +. Pro a >funkceroste,pro0<a<funkceklesá,grafvždprocházíbodem[0;]=p a osa je vodorovná asmptota grafu. e a e b a c obr.6 e > a > b >>c>0 Mezi všemi eponenciálními funkcemi má výsadní postavení tzv. přirozená eponenciální funkce,tj.ta,kterámázákladrovnýeulerovučíslue. = (jdeoiracionální číslo, proto ta tečka nad rovnítkem). Pomocí této funkce se popisuje řada jevů; např. radioaktivní rozpad prvků, pohlcování elektromagnetického záření a další. Má-li eponenciální funkce o základu e složitější argument, používá se pro ni označení ep(). 4 Logaritmické funkce jsoufunkceinverzníkeponenciálním.logaritmickoufunkciozákladu a, a >0, a zapisujeme vztahem: f: =log a, přičemžplatí: =log a =a,tzn.želogaritmusaeponenciálaostejnémzákladujsou vzájemně inverzní funkce. D f =R +, H f =R. Pro a >funkceroste,pro0 < a <funkceklesá,grafvždprocházíbodem P [;0],osa je svislá asmptota grafu. 7

8 log c log b log a ln a e obr.7 e > a > b >>c>0 Logaritmus o základu e se nazývá přirozený logaritmus a značí se ln. Logaritmus resp. eponenciálu o libovolném základu je možno vjádřit pomocí přirozeného logaritmu resp. eponenciál vztah: log a = ln ln a, a =e lna. 5 Goniometrické funkce Ke goniometrickým funkcím řadíme funkce: sinus, kosinus, tangens a kotangens. Nadefinujeme si je pomocí jednotkové kružnice. V kartézské soustavě souřadnic Ouv je dána v jednotková kružnice (tj. poloměr je ) se středemvbodě O.Zvolímesinějakéreálnéčíslo. V M Pakeistujeprávějedenorientovanýúhel UOV, v M který má počáteční rameno OU v kladné poloose uajednazjehovelikostí je (rad).koncové rameno OV protne kružnici v jediném bodě U M[u M ;v M ].Tímjelibovolnémureálnémučíslu u M O u jednoznačněpřiřazenočíslo u M ačíslo v M.Označíme: v M =sin, u M =cos a příslušné funkce nazveme sinus a kosinus. obr.8 Funkce tangens je definována jako podíl sinu a kosinu, funkce kotangens je převrácená hodnota funkce tangens, tj. podíl kosinu a sinu. tg= sin cos, cotg=cos sin. 8

9 Funkce sinus f: =sin, má D f =R, H f = ;. Jelicháaperiodická snejmenšíperiodou.průsečíksosoujsouvceločíselnýchnásobcích,tj. P =[k;0], k Z,průsečíksosou jepočátek. sin obr.9 Všimnětesi,žepřímka = protínágrafsinupouzevpočátku,nikolivetřechbodech,jakse někdkreslí;jetečnougrafuvpočátku.kromjinéhotoznamená,žeproargumentblízké nule platí: sin ( v rad!), čehož se úspěšně vužívá při různých výpočtech. Funkce kosinus f: =cos, mástejnějakosinus D f =R, H f = ; ajeperiodickásperiodou.narozdílodsinutojefunkcesudá.grafkosinuprotínáosu vlichýchnásobcích /, P = [(k+) ] ;0, P =[0;]. cos obr. 0 Funkcef jeperiodická,jestližeeistujekladnéčíslop,kterésplňuje: a)pro D f a k Zjetaké +kp D f, b)pro D f a k Zje f(+kp)=f().číslopsenazýváperiodafunkcef. 9

10 Funkce tangens f: =tg jedefinovánavztahem: =tg= sin cos. To znamená, že z definičního oboru musíme vloučit bod, ve kterých je kosinus roven nule, tj. liché násobk ( /. Definičním oborem je ted sjednocení nekonečně mnoha otevřených intervalů tvaru (k ) ) ;(k+) = ( + k; ) + k, což zapisujeme následovně. D f = ( + k; ) + k, k Z H f =R. Tangens je funkce lichá, periodická s periodou. Na každém z intervalů ( + k; ) + k jerostoucí.průsečíkgrafufunkcesosoujsouvbodech P =[k;0], k Z,osuprotíná graf v počátku. Bod, kde funkce tangens není definována, prochází svislé asmptot grafu. tg obr. Podobnějakotomublousinu,iutangentproargumentblízkénulejetg ;přímka = jeopěttečnougrafuvbodě[0,0]. 0

11 Funkce kotangens f: =cotg jedefinovánavztahem: =cotg= cos sin. Z definičního oboru jsou ted vloučen všechn celočíselné násobk, neboť sin k = 0. D f = (0+k;+ k), k Z H f =R. cotg obr. Kotangensjefunkcelicháaperiodickásperiodou.Nakaždémzintervalů(0+k;+ k) je klesající. Graf funkce má v celočíselných násobcích svislé asmptot, průsečík s osou jsou P = [(k+) ] ;0, průsečík s osou neeistuje. Poznámka: Funkce tangens se též značí tan (např. na kalkulačkách), funkce kotangens bývá též značena ctan. Kotangens na kalkulačkách většinou nenajdete, vjadřuje se pomocí tangent, nebo pomocí sinu a kosinu.

12 Nakonec tabulka hodnot, které není špatné si pamatovat sin 0 cos tg cotg Cklometrické funkce jsou funkce inverzní ke goniometrickým, jejichž definiční obor je zúžen na interval, kde jsou monotónní, ted prosté(jinak b inverzní funkce neeistovala). Uvažujmefunkci = sin sdefiničnímoboremd f = ;.Natomto intervalu je funkce sinus rostoucí(viz obr. 9), takže eistuje inverzní funkce nazývá se arkussinus a značí arcsin. Funkce arkussinus f: =arcsin, má D f = ;, H f = ; aplatí =arcsin =sin.jetofunkcelicháarostoucí.grafprocházípočátkemaje osověsouměrnýsgrafemsinupodleosprvníhoatřetíhokvadrantu(přímk = ). arcsin arcsin obr. obr. 4

13 Funkce arkuskosinus f: =arccos jeinverznífunkcekfunkcicos definovanéna 0;.Platí: =arccos =cos. D f = ;, H f = 0;, Funkceneníanisudáanilicháajeklesající.Grafjeosověsouměrnýsgrafemkosinupodle přímk =,osu protínávbodě P [ 0; ]. arccos arccos obr. 5 obr. 6 Funkce arkustangens f: =arctg je inverzní funkce k funkci tg definované na ( ; ).Platí: =arctg =tg. D f =R ( H f = ; ). Funkce je lichá a rostoucí. Graf(obr. 7) je osově souměrný s grafem tangent podle přímk =,osu iosu protínávpočátku.mávodorovnéasmptot = pro +, = pro. Funkce arkuskotangens f: =arccotg jeinverznífunkcekfunkcicotg definovanéna(0;).platí: =arccotg =cotg. D f =R H f =(0;).

14 arctg obr. 7 arccotg obr. 8 Funkce arkuskotangens je klesající, není[ ani sudá ani lichá. Graf je osově souměrný s grafem funkcecotg podlepřímk =, P = 0, ],vodorovnáasmptotapro + jeosa, pro jetopřímka =. 4

15 Tím je uzavřen přehled základních elementárních funkcí. Ostatní elementární funkce se z těchto základních dostanou aritmetickými operacemi a skládáním funkcí. A ještě malý přídavek. Následující funkce se mezi elementární neřadí, ale často se s nimi můžetesetkat.jetotzv.znaménkováfunkcenebolifunkcesignumafunkce celáčást. Funkce signum je definována předpisem: f: =sgn =, pro >0 0, pro =0, pro <0 D f =R, H f = {,0,}. Signumjefunkcelicháaneklesající,grafjenaobrázku9. 4 [] obr. 9 sgn obr. 0 Funkce celá část se obvkle značí hranatými závorkami kolem proměnné a je definována takto: f: =[]=npro n,n+),kde n Z. D f =R, H f =Z. Funkce[]jeneklesající.Grafemjsou schod,levýkrajníbodpříslušnéúsečkdografu patří(plné kolečko), pravý krajní bod nikoli(prázdné kolečko). Na závěr bch ráda poprosila laskavého čtenáře, ab mne upozornil na případné chb(zpráva autorovi) jakéhokoli druhu, které v tetu nalezne. 5