4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty nějké funkce v jisté podmnožině jejího definičního oboru chceme většinou vypočítt funkční hodnoty v dlších bodech. Již jsme le zjistili, že ne ve všech přípdech lze funkční hodnotu spočítt, problémy nám činí zejmén výrzy jko, tedy výpočet funkční hodnoty funkce y = / v bodě =, nebo ln(), tedy třeb výpočet funkční hodnoty funkce y = ln( ) v bodě =. Jsou to ty přípdy, kdy poždovný bod nelze přímo dosdit do předpisu funkce. Pojem funkční hodnoty se tedy pokusíme vylepšit tk, bychom i v těchto přípdech dostli lespoň nějkou odpověď. Toho dosáhneme tk, že se díváme n funkční hodnoty v blízkosti problémového bodu. Pokud se nám podří dosáhnout toho, že čím více se přibližujeme k bodu, tím více se funkční hodnoty blíží k nějkému číslu R, nzveme toto číslo limitou říkáme, že funkční hodnoty se v bodě limitně blíží k. Proces limitního přibližování nám umožní tké definovt výrzy f ( ) f ( ), tedy zjistit jk se chovjí funkční hodnoty roste-li jejich rgument nde všechny meze, nebo se vyrovnt se situcí, kdy rostou nde všechny meze funkční hodnoty. Pomocí pojmu limit se potom v mtemtice definuje mnoho dlších nepostrdtelných pojmů, jko třeb spojitost, derivce, určitý integrál j. V tomto smyslu je limit zákldním stvebním kmenem moderní mtemtické nlýzy dobré pochopení tohoto pojmu je bezpodmínečně nutné pro zvládnutí dlší látky. Limit funkce Nejdříve je potřeb upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, to zejmén pojem okolí. 9.. Definice Okolím bodu R nzýváme množinu O = ( ε, + ε ), kde ε >. (9.) Redukovným okolím bodu R nzýváme množinu O = ( ε, + ε ) \ = ( ε, ) (, + ε ), (9.) tedy okolí O bez bodu { } smotného. Topologie je věd zbývjící se vlstnostmi prostoru, které se zchovávjí při spojitých zobrzeních. Přitom vůbec nemusíme umět měřit vzdálenosti, stčí nám mít možnost rozhodnout zd jsou body blízko sebe. Při spojitých zobrzeních se blízké body zobrzí opět n blízké body. Podrobněji viz npř. http://en.wikipedi.org/wiki/topology Zde se terminologie hodně liší, čsto se můžeme setkt s pojmem prstencové okolí, který je motivován vzhledem množiny v R, pojmem ryzí okolí pod. V ngličtině se používá většinou pojem punctured neighbourhood, který všk nelze doslovně přeložit.
4 / XI /, 5: Levým okolím bodu R nzýváme množinu bodu R nzýváme množinu O = ( ε, ), podobně prvým okolím O + = (, + ε ). 9.. Definice Mějme dánu množinu M R (Nejčstěji se bude jednt o definiční obor nějké funkce). Bod nzveme (i) vnitřním bodem množiny M eistuje-li okolí O M. O, které leží celé v M, tedy (ii) hromdným bodem množiny M jestliže má kždé jeho okolí neprázdný průnik s množinou M, tedy M pro všechn O Množinu všech hromdných bodů množiny M znčíme M (resp. D jedná-li se o definiční obor). Poznmenejme, že kždý vnitřní bod množiny M je hromdným bodem množiny M. (iii) izolovným bodem množiny M jestliže leží v M není jejím hromdným bodem, tedy O M zároveň M. 9.3. Příkld (i) Buď M (, b) =. = R otevřený intervl. Pk M [, b] (ii) Mějme zdánu funkci f : y =. Nlezněme nejdříve její definiční obor D. Ptří do něj všechn reálná čísl, pro která pltí, že ; pro tto čísl je definován odmocnin ve jmenovteli. Řešením nerovnice jsou všechn reálná čísl, tedy intervl I = (,). Zároveň všk musí být, tedy ve jmenovteli nesmí být nul. Do definičního oboru tedy neptří řešení ircionální rovnice =, tedy bod =. Celkově je tedy D = (, ) (,). Množin D všech hromdných bodů definičního oboru D obshuje krom bodů definičního oboru tké body = =. Kždé okolí bodu = je totiž množin O = ( ε,) (, ε ) pro libovolně mlé ε > leží npř. bod = ε / v průniku O D. Podobně to pltí i pro bod =. Pltí tedy D = (,]. Zkusme nejprve pojem limity popst neformálně. Limitou funkce f pro jdoucí k rozumíme tkové číslo, ke kterému se blíží funkční hodnoty funkce f, když se rgument blíží k bodu. Situce pro funkci f z předchozího příkldu bod = je znázorněn v následující nimci. Z tbulky funkčních hodnot je vidět, že s postupným přibližováním k bodu = (z kterékoliv strny) dostáváme funkční hodnoty stále blíže k bodu y =. N první pohled přesvědčivěji zní tento rgument když jej přeformulujeme pomocí vzdálenosti: kdykoliv dostneme předepsánu libovolně mlou vzdálenost, npř. ε =,, musíme být schopni njít číslo δ tkové, by funkční hodnoty všech bodů, které jsou od = vzdáleny o méně než δ, byly k y = blíže než jsme dostli předepsáno. V nšem přípdě je tkovou
4 / XI /, 5: hodnotou třeb δ =,, jelikož funkční hodnoty leží v intervlu (, 9949874;,49876). Pro ε =, bychom zvolili δ =, td., vždy bychom všk nějké δ nšli. Proto je dvojk limitou funkce f pro jdoucí k nule. Zpisujeme to lim =. y,5,7768,4,7745967,3,83666,,89447,,9486833,,9949874,,9994999,,99995,,999995,,9999995,,5,,5,,5,,4999,,49876,,48888,,95445,3,4754,4,836,5,47449 Animce 9.: Proces přibližování Tbulk 9.: Funkční hodnoty funkce y = f ( ) v blízkosti bodu =. 9.4. Topologická definice limity Říkáme, že funkce f má v hromdném bodě D limitu R jestliže pro kždé okolí O eistuje redukovné okolí O tkové, že je-li ( O D), pk je f ( ) O. Zpisujeme to lim f ( ) = (9.3) Všimněme si, že hodnot limity nemá vůbec nic společného s chováním funkce f přímo v bodě. Tm může mít libovolnou funkční hodnotu nebo dokonce vůbec nemusí být definován! Chceme-li tvrdit, že číslo je limitou funkce f v bodě, musíme být schopni O = ( ε, + ε ) \ n ose y njít tkové redukovné okolí k sebemenšímu okolí { } O = ( δ, + δ ) \{ } f n ose, že ( ) O pro všechn O. 3
4 / XI /, 5: Ekvivlentně lze pojem limity definovt s využitím vzdálenosti, 3 která se jk známo popisuje bsolutní hodnotou. Pomocí bsolutní hodnoty lze popst redukovné okolí bodu jko množinu O = { < < ε} R, kde ε >. 9.5. Anlytická definice limity Říkáme, že funkce f má v hromdném bodě D limitu R jestliže pro kždé ε > eistuje tkové δ >, že je-li < < δ, pk je f ( ) < ε. Pomocí této definice můžeme spoň trochu počítt, používá tké jen známé pojmy, ovšem n druhou strnu je mnohem těžší se o limitách bvit prostřednictví bsolutních hodnot, zejmén pokud chceme být při vyjdřování přesní struční. Chceme-li tvrdit, že číslo je limitou funkce f v bodě, musíme být schopni ke kždému bodu f ( ) libovolně blízkému k (vzdálenost bodu f ( ) od je ε > ) njít tkové δ >, že obrzy všech bodů (kromě ) vzdálených od bodu o méně než δ jsou od bodu vzdáleny o méně než ε. 9.6. Příkldy (i) Spočítejme lim. Pltí, že D =R \{ } D =R. Jelikož n libovolném okolí O pltí, že můžeme funkci uprvit do tvru ( + ) ( ) y = = +, tedy y pro. Dokžme to přímo podle definice 9.5.: buď ε >. Pk f ( ) = + = < ε hledáme δ > tk, by < = < δ. Ale to je velmi jednoduché, stčí zvolit δ = ε. Tím je důkz ukončen. (ii) Dokžme, že lim sin neeistuje. Jelikož \{ } D =R, tedy D =R, je bod = hromdným bodem úloh tedy má smysl. Dále můžeme kndidáty n limitu hledt jen z množiny H = [,]. Ovšem pro je obrzem i velmi mlých intervlů celé H, npříkld již pro I = (,;,) probíhá f ( ) od sin sin(3,83π) celkem více než 4-krát periodu funkce sinus ž po sin sin(3,83π). Nkonec, pro velmi mlá δ > njdu vždy v intervlu J = (, δ ) dvě čísl, tvořící intervl J = (, ) tk, že 3 N rozdíl od předchozí definice, která nevyžduje pojem metriky, lze následující definici použít jen n tzv. metrických prostorech, kde je dobře definován vzdálenost kždých dvou bodů, viz http://en.wikipedi.org/wiki/metric_spce. N množině reálných čísel, kde máme metriku zdánu jsou obě definice ekvivlentní. 4
4 / XI /, 5: > π, tedy f ( J) = H. Říkáme, že funkční hodnoty nekonvergují. (iii) Dokžme, že ni pro funkci signum limsign( ) neeistuje. Víme, že D D = =R H = {,,} O obshuje jk kldná tk záporná čísl ( ) {,}, což velmi omezuje možné kndidáty n limitu. Nkonec kždé okolí f O =, tedy žádný z kndidátu nemůže být limitou: v okolí nuly vždy eistuje bod jehož obrz má vzdálenost od tohoto kndidát rovnu, pro ε < tedy nemohu nlézt δ splňující poždvky definice. Pojem funkční hodnoty se nám tedy podřilo vylepšit, leč ni limit neeistuje vždy. Poslední příkld nám le nznčuje jk pojem dále uprvit. Kdybychom uvžovli jen levou část okolí O, tedy intervl I ( δ,) f ( I ) = limit by eistovl. Podobně =, dostli bychom { } =, dostáváme ( ) { } + pro prvou část okolí O, tedy intervl I (, δ ) eistuje. Tyto pojmy vyprecizujeme v následující definici. f I + = limit tké 9.7. Jednostrnné limity Funkce f má v bodě D limitu zprv, píšeme lim f ( ) =, + právě tehdy když má funkce f limitu n množině M = D (, ). Funkce f má v bodě D limitu zlev, píšeme lim f ( ) =, právě tehdy když má funkce f limitu n množině M D (, ) =. 9.8. Vět Funkce f má v bodě D limitu právě tehdy eistují-li v obě jednostrnné limity ty se rovnjí. 9.9. Příkld Funkce signum z příkldu 9.6(iii) má v bodě = jednostrnné limity lim sign( ) =, lim sign( ) =, + ovšem jelikož se tyto limity nerovnjí, limit pro neeistuje. 5
4 / XI /, 5: Prvidl pro počítání s limitmi 9.. Vět Funkce f má v bodě D nejvýše jednu limitu. 9.. Vět Nechť je ( D D ), lim f ( ) =, lim g( ) = b. Potom pltí, že f g Je-li dále b, pk pltí tké lim f ( ) =, ( ) lim f ( ) ± g( ) = ± b ( ) lim f ( ) g( ) = b (9.4) f ( ) lim =, (9.5) g( ) b 9.. Vět o limitě složené funkce Nechť je funkce h( ) = ( f g)( ) = f ( g( )) definován n množině M R, nechť je M, lim g( ) = b, lim f ( y) =. Jestliže eistuje O, pk pltí y b lim f ( g( )) =. O tkové, že g( ) b pro všechn 9.3. Příkldy y 5 ln lim lim( ln ) (i) lim = = = + lim( + ) + (ii) lim 9. Jelikož D D [ 3,3] = =, je = D. Pltí, že lim y = 5. Jelikož 9 5 npř. n (,) = O, jest (iii) Ukžme, že poždvek, by g( ) g( ) =, D g =R, b n nějkém lim(9 ) 5 lim 9 5 =. = O je podsttný. Mějme funkce pro y =, f ( y) = 3 jink. Pk je pro libovolné c lim g( ) = lim f ( y) = 3. Ovšem f ( g( )) =, tedy i c lim f ( g( )) = 3. Je-li tedy g( ) c y = b, pk nelze o hodnotě f ( g( )) nic říci. 6
4 / XI /, 5: Nevlstní limity limity v nevlstních bodech. Nejdříve si množinu reálných čísel rozšíříme o tzv. nevlstní body ± tk, že definujeme * rozšířenou reálnou osu R = R {, }. Pro kždé R pltí, že < < redukovná okolí nevlstních bodů mjí tvr O = (, ), O = (, ). 9.4. Nevlstní limit Říkáme, že funkce f definovná n O má v bodě nevlstní limitu lim f ( ) = jestliže pro kždé h R eistuje redukovné okolí pk je f ( ) > k, tedy f ( ). O Funkční hodnoty funkce f tedy n * R, píšeme O tkové, že je-li O rostou nde všechny meze. Nevlstní limit O, * R. se definuje nlogicky, přesnou formulci přenecháváme lskvému čtenáři jko velmi dobré cvičení. 9.5. Příkld Spočítejme lim 9.6. Limit v nevlstním bodě * Říkáme, že funkce f má v nevlstním bodě D limitu R, jestliže pro kždé okolí O eistuje redukovné okolí O tkové, že je-li ( O D), pk je f ( ) O. Zpisujeme to lim f ( ) = Všimněte si, že jde o obecnou definici zhrnující vlstní i nevlstní limitu. Anlogicky se definuje limit v nevlstním bodě. Limit v nevlstním bodě se používá k nlýze chování funkčních hodnot roste-li rgument funkce nde všechny meze. 9.7. Příkldy Spočítejme (i) lim rctn( ) (ii) lim 9.8. Věty o počítání s nevlstními body Buď 7
4 / XI /, 5: h h( ) = f ( ) g( ) D. Nechť je lim f ( ) =, kde >, lim g( ) = eistuje tkové ( D O ) je g( ) >. Pk pltí, že g f ( ) lim =. g( ) O, že pro O limitě z předchozí věty hovoříme jko o limitě typu /. Podle znménk limity funkce g( ) rozlišujeme čtyři přípdy: Limity typu / g( ) > g( ) < > lim h( ) = lim h( ) = < lim h( ) = Symbolicky to zpisujeme zjednodušeně jko lim h( ) = Tbulk??: Limity typu / Podobně rozumíme výrzům = ± (9.6) = (9.7) ± = + = ( ) = = (9.8) ( ) ( ) = + = = 9.9. Příkld Spočítejme (i) lim e (ii) lim ln 9.. Neurčité výrzy Neurčitým výrzem rozumíme symbolický zápis limity ve tvru,,,, (9.9),,,. Výpočet těchto limit činí největší obtíže, vhodný nástroj pro jejich řešení nám poskytne ž pojem derivce, n němž je postven nejúčinnější způsob výpočtu limit, tzv. l Hôpitlovo prvidlo. 8
4 / XI /, 5: 9.. Postup výpočtu limit. Ve většině přípdů stčí dosdit poždovný bod do předpisu funkce využít prvidl pro počítání s limitmi.. Pokud výrz nelze vypočítt, pokusíme se použít věty o počítání s nevlstními body. Výrz je čsto třeb uprvit n jednodušší tvr. 3. Pro speciální typy limit používáme následujících vzorců sin lim = (9.) ± lim ± = e 4. Pokud vychází neurčitý výrz, kterého se nelze zbvit vhodnou úprvou (npř. rozšířením), použijeme l Hôpitlovo prvidlo. Výrzy,,,, je potřeb předem uprvit n tvr / nebo /. 9.. Příkld Spočítejme + 3 (i) lim + 7 tn (ii) lim (iii) + 6 lim + Spojitost 9.3. Definice Buď Df D f. Říkáme, že funkce f je spojitá v bodě pokud pltí, že lim f ( ) = f ( ). (9.) Využíváme zde topologické definice limity funkci povžujeme z spojitou v bodě je-li v tomto bodě limit rovn funkční hodnotě. Všimněte si, že funkce spojité podle nivní definice spojitosti (grf je souvislá čár) jsou spojité i podle nší definice. Ovšem ukážeme, že některé funkce povžovné nivně z nespojité, jsou podle nší definice spojité. 9.4. Příkldy nespojitých funkcí. Elementární funkce jsou zprvidl spojité Nespojité funkce se vyskytují npř. v teorii čísel, kde je většin funkcí nopk nespojitých. Jko příkld uvádím nmátkou funkci π ( ) popisující počet prvočísel menších než je. 9
4 / XI /, 5: Vlstnosti spojitých funkcí n uzvřeném intervlu 9.5. Vět Je-li f spojitá funkce n intervlu [ ] (i) (ii) I = b D, pk pltí, f f je n I ohrničená, f nbývá n I svého mim minim, (iii) je-li f ( ) f ( b), pk nbývá f všech hodnot z intervlu [ ( ), ( )] f f b, (iv) je-li f ( ) f ( b) <, tedy mjí-li čísl f ( ), f ( b ) různá znménk, pk eistuje (, b) c tkové, že f ( c ) =. Část (ii) se v litertuře oznčuje jko Weierstrssov nebo Bolzno Weierstrssov vět. Je zákldním eistenčním nástrojem pro řešení etremálních optimlizčních úloh. Část (iv) se zse podsttně využívá k numerickému hledání kořenů rovnic f ( ) =. Kontrolní otázky. Jký je rozdíl mezi definicí limity spojitosti?. Uveďte příkld nespojité funkce. Doplňující zdroje: Online zdroje Litertur [] P. Burd P. Kreml, Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Mtemtik II. (Skriptum VŠB-TU Ostrv, Ostrv, 4). [] V. Jrník, Diferenciální počet I. (Prh, 974). http://dml.cz/hndle/338.dmlcz/498 [3]