Transformace integrálů

9 Kapitola 3 Transformace integrálů V předchozí kapitole jsme se seznámili se základní metodou výpočtu vícerozměrných integrálů převodem na násobné integrál. Z teorie jednorozměrného Riemannova integrálu na intervalu víme, že významnou metodou výpočtu určitého Riemannova integrálu je substituční metoda, kterou lze formulovat v následující podobě: Je-li funkce f spojitá na intervalu a, b a funkce ϕ na intervalu α, β, přičemž ϕ(t) a, b pro každé t α, β, pak za předpokladu spojitosti funkce ϕ na intervalu (α, β) platí ϕ(β) β f () d f (ϕ(t))ϕ (t) dt. (3.) ϕ(α) Při užití této metod nás zajímá především změna integrandu, který chceme zjednodušit, abchom dokázali najít primitivní funkci a mohli ji použít pro výpočet určitého integrálu (Newtonova-Leibnizova formule). Rovněž v případě vícerozměrných integrálů má substituční metoda značný význam pro jejich výpočet. Motivace je zde však poněkud jiná. Často nám totiž jde zejména o změnu integračního oboru do podob, která umožní snadnější převod na násobné integrál, a to mnohd i za cenu případného zkomplikování integrandu. Místo o substituční metodě se u vícerozměrných integrálů často mluví o záměně proměnných v integrálu nebo o transformaci integrálu. Než vslovíme příslušná tvrzení, uveďme poněkud pozměněnou formulaci vět o substituci v jednorozměrném integrálu, která bude více připomínat formulace vět o transformaci ve vícerozměrných integrálech. Věta 3.. Nechť ϕ je funkce definovaná na kompaktním intervalu I a má derivaci ϕ spojitou a různou od nul v každém bodě z I. Nechť f je funkce spojitá na α

Transformace integrálů intervalu ϕ(i). Pak platí ϕ(i) f () d I f (ϕ(t)) ϕ (t) dt. (3.) Důkaz. Protože I je kompaktní interval, eistují reálná čísla α, β taková, že I α, β. Funkce ϕ má derivaci na intervalu I, je ted na tomto intervalu spojitá. dtud vplývá, že ϕ(i) je skutečně (kompaktní) interval. Protože ϕ je spojitá a od nul různá na I, platí buď ϕ (t) > pro každé t I, nebo ϕ (t) < pro každé t I. V prvním případě je funkce ϕ rostoucí, takže platí ϕ(i) a, b, kde a ϕ(α), b ϕ(β) a ϕ(t) a, b pro každé t α, β. Pak dostáváme b β f () d f () d f (ϕ(t))ϕ (t) dt f (ϕ(t)) ϕ (t) dt. ϕ(i) a α Ve druhém případě je funkce ϕ klesající, takže platí ϕ(i) a, b, kde a ϕ(β), b ϕ(α) a ϕ(t) a, b pro každé t α, β. V tomto případě dostáváme b a β f () d f () d f () d f (ϕ(t))ϕ (t) dt ϕ(i) a b α β f (ϕ(t))[ ϕ (t)] dt f (ϕ(t)) ϕ (t) dt. α I I Poznámka 3.. Všimněte si, že v integrálu na levé straně vzorce (3.) může být ϕ(α) ϕ(β). Integrál ve vzorci (3.), můžeme ted chápat jako integrál přes orientované interval. Naproti tomu na levé straně rovnosti (3.) vstupuje integrál s integračním oborem ϕ(i), což je interval neorientovaný, jehož levý krajní bod nemůže být větší než jeho pravý krajní bod. Vět o transformaci integrálu v této kapitole nejprve uvedeme bez důkazů a na konkrétních příkladech ukážeme způsob jejich užití. Důkazům bude věnován závěrečný oddíl celé kapitol. 3.. Transformace dvojného integrálu Ve formulaci vět o transformaci dvojného integrálu budeme potřebovat, ab funkce g a h, které realizují záměnu obou proměnných, měl spojité parciální derivace. To má smsl jen ve vnitřních bodech množin, na které funkce g, h uvažujeme. Proto zavedeme následující pojem.

3. Transformace dvojného integrálu Definice 3.3. Nechť g, h jsou funkce definované na dané množině R. uď F : R zobrazení přiřazující každému bodu [u, v] bod F(u, v) [g(u, v),h(u, v)]. Řekneme, že zobrazení F je spojitě diferencovatelné v, jestliže eistuje otevřená množina Ω taková, že funkce g, h lze rozšířit na Ω takovým způsobem, že funkce g, h mají v Ω spojité parciální derivace prvního řádu podle obou proměnných u, v. Je-li F : R spojitě diferencovatelné zobrazení v, nazývá se při označení použitém v definici 3.3 determinant J g u g v jakobián zobrazení F. Jakobián J : R je funkcí proměnných u a v. h u Definice 3.4. Spojitě diferencovatelné zobrazení F : R na otevřené množině se nazývá regulární, je-li jeho jakobián J různý od nul v každém bodě množin. Nní již můžeme zformulovat základní větu o transformaci dvojného integrálu. Věta 3.5. Nechť R je uzavřená měřitelná množina a Ω R je otevřená množina, Ω. Nechť F : Ω R je prosté regulární zobrazení takové, že F(u, v) [g(u, v),h(u, v)] pro každé [u, v]. Nechť funkce f proměnných a je spojitá v množině F(). Pak platí vztah f (, ) dd f (g(u, v),h(u, v)) J(u, v) dudv. (3.3) h v Poznámka 3.6.. Všimněme si, že vzorec (3.3) je analogický vzorci (3.).. Vsvětlíme si význam jakobiánu ve vzorci (3.3). Zvolíme-li f (, ) pro každé (, ) a předpokládáme-li pro jednoduchost, že jakobián zobrazení F má konstantní hodnotu J, dostáváme z (3.3) rovnost dd J dudv J dudv. Podle definice.3 a.45 to znamená, že m (F()) m () J dudv J m (). Lze ted očekávat, že

Transformace integrálů malá souvislá množina zobrazením F přejde v množinu F() o míře m () rovné m () J(u, v) m () pro vhodné [u, v] i v případě, že jakobián není konstantní. Ilustrujme tuto skutečnost na příkladě: Nechť je obdélník, α, β, kde α >, β >. Zřejmě m () αβ. Uvažujme lineární zobrazení F takové, že F(u, v) [au + bv, cu + dv], kde a, b,c, d R jsou takové konstant, že ad bc. Pro jakobián J zobrazení F v každém bodě [u, v] platí J a b c d ad bc a množina F() je rovnoběžník s vrchol [, ], [aα, cα], [bβ, dβ], [aα +bβ, cα +dβ]. Z elementární geometrie plne m () det ( aα cα ) bβ dβ ad bc αβ J m (). Vzhledem k linearitě zobrazení F všla rovnost m () J(u, v) m () přesně pro každý bod [u, v]. Srovnejte též cvičení 4 k této kapitole. Příklad 3.7. Vpočtěte dd, kde množina leží v prvním kvadrantu a je omezena křivkami, 3, / a. Řešení. První dvě křivk jsou hperbol, druhé dvě přímk. Integrační obor je znázorněn na obr. 3. a). Množinu lze popsat jako elementární množinu, popřípadě sjednocení elementárních množin, vzhledem k ose nebo vzhledem k ose. Najít tento popis b však blo poměrně pracné. Ukážeme, že volbou vhodné transformace se výpočet značně zjednoduší. Každým vnitřním bodem v u u 3 / 3 v v / u a) b) br. 3.

3. Transformace dvojného integrálu 3 prvního kvadrantu s kartézskými souřadnicemi [, ] prochází právě jedna z hperbol u a právě jedna z přímek v, kde u >, v > jsou parametr. Čísla u a v jsou jednoznačně určena: u a v /. Dvojici [u, v ] lze ted zvolit za nové souřadnice daného bodu. Vztah mezi původními a novými souřadnicemi je tudíž dán rovnicemi (vnecháme pro jednoduchost inde nula) u a / v. Z nich snadno vpočítáme u/v, uv. Dostáváme ted prosté zobrazení se souřadnicovými funkcemi g(u, v) u/v a h(u, v) uv. Tto funkce mají uvnitř prvního kvadrantu spojité první parciální derivace podle obou proměnných. Vpočteme jakobián: u uv v 3 J(u, v) g u h u g v h v v u u v 4v + 4v v. Jakobián je ted uvnitř prvního kvadrantu nenulový, takže zobrazení je regulární. od ležící na hperbole mají všechn novou první souřadnici u. nalogick bod ležící na hperbole 3 mají všechn novou první souřadnici u 3. Podobně bod ležící na přímce / mají všechn novou druhou souřadnici v / a bod ležící na přímce mají všechn novou druhou souřadnici v. dtud je vidět, že množina je v transformaci F dané funkcemi g a h obrazem dvojrozměrného intervalu, 3 /, viz obr. 3. b). S použitím vztahů (3.3) a (.8) dostaneme: dd v dudv 3 du / v dv [ u ] 3 [ln v ] / (3 ) (ln ln ) ln. Poznamenejme, že výsledné číslo ln je rovno míře množin. V dalším uvedeme některé speciální transformace vhodné pro výpočet dvojných integrálů. Než se jimi začneme zabývat jednotlivě, všimneme si podmínek použití vět 3.5. Ukazuje se, že její univerzálnost má určité nedostatk. Předně, integrand musí být spojitá funkce a integrační obor uzavřená množina. Závažnější však je, že i u velmi jednoduchých transformací, se kterými se budeme dále seznamovat, protože jsou důležité v aplikacích, často nelze splnit předpoklad o transformačním zobrazení. Požadavek, ab je blo možné prostě rozšířit na otevřenou nadmnožinu integračního oboru při zachování regularit, je

4 Transformace integrálů často nesplnitelný. Proto nní uvedeme větu o transformaci dvojného integrálu za obecnějších předpokladů. Formulace je sice komplikovanější, ale uplatnění je mnohem širší, což uvidíme níže při řešení příkladů. Stručně řečeno, obecnější věta 3.8 postihuje případ, kd předpoklad vět 3.5 nejsou splněn na množinách mír nula. V konkrétních úlohách je ověření předpokladů obvkle snadné. Věta 3.8. Nechť R, kde je otevřená množina, je měřitelná množina a platí m ( ). uď F : R spojitě diferencovatelné zobrazení s jakobiánem J, které je regulární a prosté v. značme F(), F( ). Předpokládejme, že množina je měřitelná a platí m ( ). uď funkce f ohraničená na množině a spojitá na množině. Nechť funkce s hodnotou f (g(u, v),h(u, v)) J(u, v) v každém bodě [u, v] je ohraničená. Pak platí vztah (3.3), tj. f (, ) dd f (g(u, v),h(u, v)) J(u, v) dudv. 3... Některé běžné tp transformací dvojného integrálu Všimněme si nní podrobněji několika běžných často užívaných transformací g(u, v), h(u, v) dvojného integrálu. Posunutí Posunutí (translace) je dáno rovnicemi u + a, v + b, (3.4) kde a, b jsou konstant. Jakobián tohoto zobrazení je roven J(u, v) g u h u g v h v.

3. Transformace dvojného integrálu 5 Dilatace Dilatace (ve speciálním případě a >, b > změna měřítek na souřadnicových osách) je dána rovnicemi au, (3.5) bv, kde a, b jsou konstant. Jakobián tohoto zobrazení je roven J(u, v) g u g v a b ab. h u Transformace do polárních souřadnic Transformace do polárních souřadnic je dána rovnicemi h v cos ϕ, sin ϕ, (3.6) přičemž nové proměnné (tzv. polární souřadnice bodu [, ]) značíme, ϕ namísto u, v. Jakobián zobrazení (3.6) je roven J(, ϕ) g g ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ (cos ϕ + sin ϕ). h h ϕ Připomeňme význam polárních souřadnic v rovině: Je-li T bod s kartézskými souřadnicemi [, ], značí vzdálenost bodu T od počátku kartézské souřadnicové soustav a ϕ úhel, který svírá vektor T s kladnou poloosou (viz obr. 3.). Proměnná nabývá nezáporných hodnot, proměnná ϕ obvkle hodnot z vhodného intervalu délk π. Zobrazení do polárních souřadnic je regulární na množinách neobsahujících počátek. Transformace do polárních souřadnic se používá zvláště v případech, kd popis množin v polárních souřadnicích je tvaru α ϕ β, : r(ϕ) R(ϕ), ϕ br. 3. přičemž α < β jsou konstant a r, R jsou spojité funkce na intervalu α, β, viz obr. 3.3. značíme-li F zobrazení dané rovnicemi (3.6), platí F(). T

6 Transformace integrálů R(ϕ) R(ϕ) β r(ϕ) ϕ α α ϕ r(ϕ) ϕ β a) b) br. 3.3: Transformace do polárních souřadnic Poznámka 3.9. V předchozím tetu blo uvedeno, že polární souřadnice ϕ nabývá obvkle hodnot z vhodného intervalu délk π. Slovo obvkle blo použito záměrně, neboť eistují i množin, pro které toto tvrzení neplatí viz obr. 3.4, kde ϕ, 3π. Transformace do eliptických (zobecněných polárních) souřadnic Transformace do eliptických souřadnic, ϕ je dána rovnicemi a cos ϕ, b sin ϕ, (3.7) kde a, b jsou konstant. Jakobián tohoto zobrazení je roven J(, ϕ) g h g ϕ h ϕ a cos ϕ b sin ϕ a sin ϕ b cos ϕ ab (cos ϕ + sin ϕ) ab. Transformace do zobecněných eliptických souřadnic Transformace do zobecněných eliptických souřadnic, ϕ je dána rovnicemi a cos n ϕ, b sin n ϕ, (3.8)

3. Transformace dvojného integrálu 7 ϕ 3π + (3/) eϕ/5 a) Kartézské souřadnice [, ] ϕ 3π + e ϕ/5 b) Polární souřadnice [ϕ, ] 3π ϕ br. 3.4: Množina, jejíž polární souřadnice ϕ nenabývá hodnot z intervalu délk π. kde a, b a n N jsou konstant. Pro jakobián zobrazení (3.8) v tomto případě platí J(, ϕ) g g ϕ a cos n ϕ na cos n ϕ sin ϕ b sin n ϕ nb sin n ϕ cos ϕ h h ϕ nab cos n ϕ sin n ϕ(cos ϕ + sin ϕ) nab cos n ϕ sin n ϕ. Poznámka 3.. Kromě uvedených obvklých transformací připadají v úvahu i jiné transformace vhodné pro danou oblast integrace nebo daný integrand. Při výpočtu některých složitějších integrálů je mnohd účelné provádět několik transformací postupně za sebou. Příklad 3.. Vpočtěte ( + ) dd, kde množina je určena podmínkami + 4,. Řešení. Rovnice + a + 4 určují kružnice k a k se střed v počátku a poloměr a. První podmínka ted zadává mezikruží. Dále graf funkce je tvořen dvěma polopřímkami (osami prvního a druhého kvadrantu) o rovnicích a. od splňující nerovnost leží nad tímto grafem. Dohromad tudíž obě podmínk zadávají výseč mezikruží z obr. 3.5 a). Určíme, jak bude tato výseč popsána v polárních souřadnicích. Polopřímk vcházející z počátku, které protínají množinu, svírají s kladnou částí os

8 Transformace integrálů k k π/4 3π/4 ϕ a) b) br. 3.5 úhel v rozmezí π/4 ( je osa prvního kvadrantu) až 3π/4 ( je osa druhého kvadrantu). Ted π/4 ϕ 3π/4. Libovolná taková polopřímka protíná množinu v úsečce, jejíž koncové bod mají od počátku stále stejné vzdálenosti, a to r a R. Ted. To znamená, že množina uspořádaných dvojic [ϕ, ] bude dvojrozměrný interval v rovině s kartézskými souřadnicemi ϕ, viz obr. 3.5 b). Snadno se ověří, že jsou splněn předpoklad vět 3.5. Za množinu Ω z této vět lze zvolit libovolný otevřený dvojrozměrný interval, který bude obsahovat uzavřený interval, bude ležet v prvním kvadrantu a jehož horizontální rozměr bude menší než π. Zobrazení F dané rovnicemi (3.6) pak bude na Ω prosté a regulární. Protože integrand f (, ) + je funkce spojitá na, lze zmíněnou větu skutečně použít. Podle (3.3) platí: I ( + ) dd ( ( cos ϕ) + ( sin ϕ) ) d dϕ [ ϕ ] 3π/4 π/4 3(cos ϕ + sin ϕ) d dϕ [ 4 4 ] ( 3π 4 π ) 4 3 d dϕ ( 6 4 4 ) 3π/4 π/4 5π 8. dϕ 3 d Při výpočtu transformovaného integrálu jsme použili kromě Fubiniov vět rovněž vztah (.8).

3. Transformace dvojného integrálu 9 Příklad 3.. Vpočtěte ( 3) dd, kde množina je určena podmínkou + 9. Řešení. Integračním oborem je kruh se středem v počátku souřadnic a poloměrem 3 (obr. 3.6 a)). Použijeme opět transformaci do polárních souřadnic. Tentokrát integrační obor protíná libovolná polopřímka vcházející z počátku. Ted ϕ π. Průnikem každé takové polopřímk s integračním oborem je úsečka délk 3 vcházející z počátku, ted 3. Množinou uspořádaných dvojic [ϕ, ] je dvojrozměrný interval (obr. 3.6 b)). Předpoklad vět 3.5 tentokrát nelze splnit. Zobrazení F : není prosté na množině. Všechn bod dolní hraniční úsečk obdélníku se zobrazí na počátek. Dále pro každé c, 3 se bod [, c] a [π, c] ležící na levé resp. pravé hraniční úsečce obdélníku zobrazí na tentýž bod [c, ]. Pokud bchom za zvolili např. obdélník popsaný nerovnostmi ϕ < π, < 3 doplněný o bod [, ], blo b sice zobrazení F prosté, ale b nebla uzavřená množina. Lze však použít větu 3.8. Za množinu z této vět lze zvolit vnitřek intervalu. Pak množina je tvořena čtřmi hraničními úsečkami intervalu a množina F() F( ) je tvořena hraniční kružnicí kruhu a úsečkou spojující jeho střed s bodem [3, ]. Na množině je zobrazení F regulární i prosté a rovněž všechn další předpoklad vět 3.8 jsou splněn. Platí proto: I ( 3) dd ( cos ϕ 3 sin ϕ) d dϕ + 9 3 3 π ϕ a) b) br. 3.6

3 Transformace integrálů ( cosϕ 3 sinϕ) d dϕ [ sinϕ + 3 cosϕ ] π [ 3 3 ] 3 π ( cosϕ 3 sinϕ) dϕ ( + 3 3)(9 ). 3 d Při výpočtu transformovaného integrálu jsme opět použili kromě Fubiniov vět i vztah (.8). Příklad 3.3. Vpočtěte + dd, kde množina je určena podmínkou + a, kde a > je daná konstanta. Řešení. Rovnice + a zadává nějakou kuželosečku. Doplněním na čtverec určíme jakou: + a ( a) a +, takže ( a) + a. Jde o kružnici se středem v bodě [a, ] a poloměrem a. Integračním oborem je ted kruh viz obr. 3.7 a). S ohledem na tvar integrované funkce použijeme transformaci do polárních souřadnic. Kdbchom se místo o zjednodušení integrandu pokusili zjednodušit integrační obor posunutím středu kruhu do počátku s následným zavedením polárních souřadnic, integrovaná funkce b se nepříjemně zkomplikovala. Vzhledem k poloze množin (leží v prvním a čtvrtém kvadrantu) bude výhodnější volit rozmezí úhlů z intervalu ( π, π. Polopřímk vcházející z počátku, které protínají množinu i v jiných bodech než ( a) + a ϕ a a) T a π/ π/ b) a cos ϕ ϕ br. 3.7

3. Transformace dvojného integrálu 3 v počátku, svírají totiž s kladnou částí os úhl z intervalu ( π/, π/). udeme ted mít π/ ϕ π/. Nní určíme omezení pro. Z obrázku je zřejmé, že délk úseček T, které jsou průnikem uvažovaných polopřímek s množinou, se budou měnit a budou záviset na úhlu ϕ. Dosazením polárních souřadnic do rovnice kružnice obdržíme: ( cos ϕ) + ( sin ϕ) a cos ϕ, odkud ( a cos ϕ). Hodnotě odpovídá počátek, pro druhý průsečík polopřímk s kružnicí platí a cos ϕ. (Tento výsledek lze snadno zdůvodnit i geometrick. V trojúhelníku s vrchol, [a, ] a T (obr. 3.7 a)) je podle Thaletov vět u vrcholu T pravý úhel. Z definice kosinu vplývá, že T a cos ϕ.) Celkově ted dostáváme, že : π ϕ π, a cos ϕ. Množina je tudíž elementární vzhledem k ϕ (obr. 3.7 b)). Použitím vět 3.8 dostaneme (zdůvodněte sami obdobně jako v předchozím příkladu, že všechn její předpoklad jsou splněn): I + dd ( cos ϕ) + ( sin ϕ) d dϕ π/ π/ d dϕ π/ ( a cos ϕ π/ 8 3 a3 cos 3 ϕ dϕ 8 3 a3 8 3 a3 sin ϕ t cos ϕ dϕ dt π, π π/ π/ ) d dϕ π/ π/ [ 3 3 ( sin ϕ) cos ϕ dϕ ( t ) dt 8 3 a3 [ t t 3 3 ] a cos ϕ ] dϕ 3 9 a3. Na výpočet transformovaného integrálu jsme použili Fubiniovu větu.55, vzniklý jednoduchý integrál jsme pak počítali substituční metodou. Příklad 3.4. Vpočtěte (+ ) dd, kde množina je dána nerovnostmi ( ) 9 + ( ) 4, 3 + 3 4 a + 3 7.

3 Transformace integrálů p p p v p u 3 a) b) π/3 3π/4 c) C ϕ br. 3.8: Eliptická výseč a eliptické souřadnice Řešení. První nerovnost vjadřuje elipsu (vnitřek včetně hranice) se středem v bodě [, ], která má poloos o velikostech 3 a a jejíž os jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami. Další dvě nerovnosti určují polorovin. značme p : 3 + 3 4 a p : + 3 7 jejich hraniční přímk. Dosazením se můžeme přesvědčit, že obě tto přímk procházejí středem elips. Přímka p má kladnou směrnici / 3, přímka p má zápornou směrnici /3. Integrační obor je znázorněn na obr. 3.8 a). Jde o výseč elips. K výpočtu integrálu použijeme nejdříve posunutí u +, v +, J, po kterém přejde střed původní elips do počátku. Dosazením do nerovnosti určující původní elipsu a do rovnic hraničních přímek dostaneme u 9 + v 4, u 3v, u + 3v. Po posunutí ted množina přešla v množinu { [u, v] R : u 9 + v 4, u 3v, u + 3v }, což je shodná výseč shodné elips

3. Transformace dvojného integrálu 33 se středem v počátku souřadnicové soustav proměnných u, v; přímk p, p přitom přešl v přímk p, p procházející počátkem (obr. 3.8 b)). Nní provedeme transformaci množin do eliptických souřadnic u 3 cos ϕ, v sin ϕ, J 6. Dosazením do nerovnosti určující elipsu dostaneme (3 cos ϕ) 9 + ( sin ϕ) 4, takže. Ted. Dále dosadíme do rovnic posunutých přímek. Vjde nám p : 3 cos ϕ 3 sin ϕ, p : 3 cos ϕ + 3 sin ϕ, odkud tg ϕ 3, tg ϕ. Přímce p tudíž odpovídá hodnota ϕ π/3 a přímce p hodnota ϕ 3π/4, takže π/3 ϕ 3π/4. Množina ted přešla v množinu C, která je obdélníkem (obr. 3.8 c)): π/3 ϕ 3π/4, C :. Použijeme větu 3.8 (ověřte sami, že všechn její předpoklad jsou splněn): ( I ( + ) dd ) u + + (v + ) dudv ( u + v + v + 3 ) dudv ( ) 3 cos ϕ + ( sin ϕ) + 4 sin ϕ + 3 6 d dϕ C 6 (3 cos ϕ + 4 3 sin ϕ + 4 sin ϕ + 3 ) d dϕ C 4 3 sin ϕ d dϕ + 6 (3 cosϕ + 4 sinϕ) d dϕ + C + 8 d dϕ I + I + I 3. C C

34 Transformace integrálů Další výpočet provedeme odděleně pro každý ze tří integrálů I, I, I 3. Na každý z nich použijeme Fubiniovu větu a vztah (.8). V prvním integrálu použijeme identitu sin ϕ ( cos ϕ)/. 3π/4 I 3 d ( cos ϕ) dϕ 3 [ 4] [ϕ ] 3π/4 sin ϕ π/3 ( 3π 3 4 ( ) π 3 + ) 3 I 6 d 3π/4 π/3 (3 cosϕ + 4 sinϕ) dϕ 5π 4 + 3 + 3 3 4, [ 3] [3 sinϕ 4 cosϕ ] 3π/4 π/3 ( ( ) 3 3 4 3 + 4 ) 7 3 3 + 4, 3π/4 I 3 8 d dϕ 9 [ ] [ϕ ] ( 3π/4 3π π/3 9 4 π ) 5π 3 4. π/3 Sečtením dostaneme celkový výsledek: I 5π + 9 3 + 7. 4 Příklad 3.5. Transformací u +, v vpočtěte ( ) dd, kde M { [, ] R : }. Řešení. Množinu M lze zapsat ve tvaru { [, ] R :, }. Geometrick se jedná o trojúhelník s vrchol [, ], [, ], [, ] (obr. 3.9 a)). Inverzní transformace k transformaci u +, v je transformace F : (u + v)/, (u v)/. Snadno se ověří, že pro její jakobián platí J /. Dosazením vztahů (u + v)/, (u v)/ do nerovností, dostáváme dtud plnou nerovnosti (u + v), (u v) (u + v). v, u v, v, u v. Naopak se snadno ověří, že z posledních nerovností plnou původní nerovnosti,. Množina M ted transformací F přejde v množinu M π/3

3. Transformace dvojného integrálu 35 u M M v a) b) br. 3.9: finní transformace M { [u, v] R : v, v u v } (obr. 3.9 b)). Užitím vět.55 nní dostáváme ( ) dd u v dudv ( v ) u v du dv M M v [ u 3 v ] v dv 8v v 3 + 6v 4 v 5 v 5 dv 3 3 6 3 v ( 8v v 3 + 6v 4 v 5) dv 4 3[ 3 v3 6 4 v4 + 3 5 v5 6 v6 ( 4 3 3 + 3 5 ) 4 45 + 8 5 4 6 3 3 45. ] Příklad 3.6. Vpočtěte integrál ( + ) dd, kde M M { [, ] R : ( ) /3 + ( 3) /3 }. Řešení. Množina M je omezena uzavřenou křivkou γ, která je dána rovností ( ) /3 ( ) /3 +, (3.9) 3

36 Transformace integrálů g 3 33 M g g 3 g 4 prochází bod [,], [,3], [,], [, 3] a je tvořena graf čtř funkcí g j () (j,, 3, 4) viz obr. 3.. Ze vztahu (3.9) lze snadno získat funkční předpis pro funkce g j () a výpočtem jejich první a druhé derivace ověřit, že graf těchto funkcí mají skutečně tvar nakreslený v obr. 3.. K výpočtu zadaného integrálu použijeme transformace do zobecněných eliptických souřadnic cos 3 ϕ, 3 sin 3 ϕ viz 3.8. Pro příslušný jakobián platí J 8 cos ϕ sin ϕ. Dosazením transformačních vztahů do nerovnosti ( ) /3 ( ) /3 + 3 br. 3.: Množina M omezená křivkou γ : ( ) /3 + ( 3) /3 dostáváme /3 (cos ϕ + sin ϕ), což je splněno právě tehd, kdž. Množině M v polárních souřadnicích odpovídá obdélník M { [ϕ, ] R : ϕ π, }. věřte si sami, že na jeho vnitřku je transformace prostá. Nní ( + ) ( cos 3 ϕ + )8 cos ϕ sin ϕ d dϕ M M π 36 cos 5 ϕ sin ϕ dϕ d + 8 cos ϕ sin ϕ d dϕ M π 36 ( sin ϕ) sin ϕ cos ϕ dϕ d + 9 sin ϕ dϕ M 36 π [ sin 7 ϕ 36 7 (sin 6 ϕ sin 4 ϕ + sin ϕ) cos ϕ dϕ sin5 ϕ 5 dr + 9 8 [ ϕ π d + + 9 sin ϕ dϕ ] π + sin3 ϕ d + 3 + 9 π cos 4ϕ d dϕ ] sin 4ϕ π 9 4 8 π 9 4 π.

3. Transformace trojného integrálu 37 3.. Transformace trojného integrálu Problematika transformace trojného integrálu je zcela analogická jako u transformace dvojného integrálu. Definice spojitě diferencovatelného zobrazení, jeho jakobiánu a regulárního zobrazení mají v trojrozměrném případě následující podobu: Definice 3.7. Nechť R 3 a nechť g, h, k jsou funkce definované na množině. uď F : R 3 zobrazení přiřazující každému bodu [u, v,w] bod F(u, v,w) [g(u, v,w), h(u, v,w), k(u, v,w)]. Řekneme, že zobrazení F je spojitě diferencovatelné v, jestliže eistuje otevřená množina Ω taková, že funkce g, h, k lze rozšířit na Ω takovým způsobem, ab měl v Ω spojité parciální derivace prvního řádu podle všech tří proměnných u, v, w. Je-li F : R 3 spojitě diferencovatelné zobrazení v, determinant g u g v g w J h u h v h w k u k v k w se při označení použitém v definici 3.7 nazývá jakobián zobrazení F. Jakobián J : R je funkcí proměnných u, v a w. Definice 3.8. Spojitě diferencovatelné zobrazení F : R 3 na otevřené množině se nazývá regulární, je-li jeho jakobián J různý od nul v každém bodě množin. Větu o transformaci trojného integrálu analogickou větě 3.5 lze zformulovat takto: Věta 3.9. Nechť R 3 je uzavřená měřitelná množina a Ω R 3 je otevřená množina, Ω. Nechť F : Ω R 3 je prosté regulární zobrazení s jakobiánem J takové, že F(u, v,w) [g(u, v,w), h(u, v,w), k(u, v,w)] pro každé [u, v,w]. Nechť funkce f proměnných, a z je spojitá v množině F().

38 Transformace integrálů Pak platí vztah f (,,z) dddz f (g(u, v,w), h(u, v,w), k(u, v,w)) J(u, v,w) dudvdw. (3.) Podobně jako u dvojného integrálu je někd užitečná následující obecnější, avšak poněkud komplikovanější věta, analogická větě 3.8: Věta 3.. Nechť R 3, kde je otevřená množina, je měřitelná množina a platí m 3 ( ). uď F : R 3 spojitě diferencovatelné zobrazení s jakobiánem J, které je regulární a prosté v. značme F(), F( ). Předpokládejme, že množina je měřitelná a platí m 3 ( ). uď funkce f ohraničená na množině a spojitá na množině. Nechť funkce s hodnotou f (g(u, v,w), h(u, v,w), k(u, v,w)) J(u, v,w) v každém bodě [u, v,w] je ohraničená. Pak platí vztah (3.), tj. f (,,z) dddz f (g(u, v,w), h(u, v,w), k(u, v,w)) J(u, v,w) dudvdw. 3... Některé běžné tp transformací trojného integrálu Uveďme nní podrobněji několik běžných, často užívaných transformací g(u, v,w), h(u, v,w), z k(u, v,w) trojného integrálu. Posunutí Posunutí (translace) je dáno rovnicemi u + a, v + b, z w + c, (3.)

3. Transformace trojného integrálu 39 kde a, b, c jsou konstant. Jakobián tohoto zobrazení je roven g u g v g w J(u, v,w) h u h v h w k u k v k w. Dilatace Dilatace (ve speciálním případě a >, b >, c > změna měřítek na souřadnicových osách) je dána rovnicemi au, bv, z cw, (3.) kde a, b, c jsou nenulové konstant. Jakobián tohoto zobrazení je roven g u g v g w J(u, v,w) h u h v h w k u k v k w a b c abc. Transformace do válcových souřadnic Transformace do válcových (clindrických) souřadnic, ϕ, z je dána vztah cos ϕ, sin ϕ, z z. (3.3) Jakobián zobrazení (3.3) je roven g g ϕ g z J(, ϕ,z) h h ϕ h z k k ϕ k z cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ + sin ϕ. Všimněme si nní geometrického významu clindrických souřadnic bodu T majícího kartézské souřadnice [,,z]. značme T kolmý průmět bodu T do souřadnicové rovin, ted T má souřadnice [,, ]. od T vjádříme v polárních souřadnicích [, ϕ] v rovině. Polohu bodu T v prostoru lze nní určit trojicí čísel [, ϕ,z], což jsou clindrické souřadnice bodu T viz obr. 3.. Podotkněme ještě, že vzdálenost je nezáporná, úhel ϕ obvkle volíme

4 Transformace integrálů z z T ϕ T z br. 3.: Clindrické souřadnice z vhodného intervalu délk π a souřadnice z se nemění. Všimněme si, že při konstantním > je rovnicí určena nekonečná rotační válcová plocha s osou v souřadnicové ose z, zatímco při ϕ R je rovnicí ϕ ϕ v R 3 dána polorovina, jejíž hranicí je souřadnicová osa z. Transformace do válcových je výhodné užívat zejména v případech, kd integrační obor je rotační těleso s osou rotace v ose z, nebo jeho vhodná část. V případě, že integrand je těleso mající osu rotace v ose nebo v ose, je možné použít patřičně modifikované transformace do válcových souřadnic. Transformace do sférických souřadnic Transformace do sférických (kulových) souřadnic, ϕ, ϑ je dána vztah cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, z cos ϑ. (3.4) Jakobián zobrazení (3.4) je roven g g ϕ g ϑ J(, ϕ,ϑ) h h ϕ h ϑ k k ϕ k ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ cos ϑ sin ϑ cos ϕ sin 3 ϑ sin ϕ cos ϑ sin ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϑ sin ϕ sin 3 ϑ (sin ϕ + cos ϕ) cos ϑ sin ϑ + (sin ϕ + cos ϕ) sin 3 ϑ sin ϑ(cos ϑ + sin ϑ) sin ϑ.

3. Transformace trojného integrálu 4 z z T ϑ ϕ T br. 3.: Sférické souřadnice Věnujme nní pozornost geometrickému významu sférických souřadnic bodu T majícího kartézské souřadnice [,,z]. značme T kolmý průmět bodu T do souřadnicové rovin, který má souřadnice [,, ]. značme vzdálenost bodu T od počátku kartézské souřadnicové soustav. Dále označme ϕ úhel, který svírá polopřímka T s kladnou částí os (analogick jako v polárních souřadnicích). Konečně označme ϑ úhel, který svírá polopřímka T s kladnou částí os z. Polohu bodu T v prostoru pak určíme trojicí čísel [, ϕ,ϑ], což jsou sférické souřadnice bodu T viz obr. 3.. Protože T T je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu T, platí T sin ϑ a z cos ϑ. Přitom vzdálenost je nezáporná, úhel ϕ volíme obvkle z intervalu délk π a úhel ϑ je obvkle z intervalu, π. Všimněme si, že při konstantním > je rovnicí určena kulová plocha se středem v počátku o poloměru, při konstantním ϑ (, π/) (π/, π) je rovnicí ϑ ϑ v R 3 dána část rotační kuželové ploch s vrcholem v počátku a osou v souřadnicové ose z, zatímco při konstantním ϕ R rovnice ϕ ϕ v R 3 popisuje polorovinu, jejíž hranicí je souřadnicová osa z. Transformace do sférických souřadnic se používá hlavně v případě, kd integrační obor je koule nebo její vhodná část. Transformace do zobecněných válcových souřadnic Transformace do zobecněných válcových (clindrických) souřadnic, ϕ, z je dána vztah a cos ϕ, b sin ϕ, z z, (3.5)

4 Transformace integrálů kde a, b jsou konstant. Jakobián zobrazení (3.5) je roven g g ϕ g z J(, ϕ,z) h h ϕ h z k k ϕ k z a cos ϕ a sin ϕ b sin ϕ b cos ϕ ab (cos ϕ + sin ϕ) ab. Používá se nejčastěji, je-li integrační obor eliptický válec nebo jeho vhodná část. Transformace do zobecněných sférických souřadnic Transformace do zobecněných sférických (kulových) souřadnic, ϕ, ϑ je dána vztah a cos ϕ sin ϑ, b sin ϕ sin ϑ, z c cos ϑ, kde a, b, c jsou konstant. Jakobián zobrazení (3.6) je roven g g ϕ g ϑ a cos ϕ sin ϑ a sin ϕ sin ϑ a cos ϕ cos ϑ J(, ϕ,ϑ) h h ϕ h ϑ k k ϕ k ϑ b sin ϕ sin ϑ b cos ϕ sin ϑ b sin ϕ cos ϑ c cos ϑ c sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϕ cos ϑ abc sin ϕ sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ cos ϑ sin ϑ abc sin ϑ. (3.6) Používá se nejčastěji, je-li integrační obor elipsoid nebo jeho vhodná část. Příklad 3.. Vpočtěte z + dddz, kde množina je množina omezená plochami +, + 4, z, z 3 a ležící v průniku poloprostorů,. Řešení. Rovnice + a + 4 zadávají rotační válcové ploch s osou v souřadnicové ose z o poloměrech a. T určují dutý válec, z něhož je rovinami z a z 3 odříznuta část o výšce 3. Z ní pak nerovnosti a určí jednu čtvrtinu viz obr. 3.3 a). Průmětem tohoto tělesa do rovin je množina M, představující jednu čtvrtinu mezikruží ve druhém kvadrantu viz obr. 3.3 b).

3. Transformace trojného integrálu 43 3 z M a) b) br. 3.3 Vjádření množin M v polárních souřadnicích je snadné zřejmě π/ ϕ π a. brazem množin v transformaci do clindrických souřadnic je ted množina π ϕ π, :, z 3, což je trojrozměrný interval. Použijeme větu 3.9. Za množinu Ω v ní lze zvolit trojrozměrný otevřený interval Ω, který bude mít jen nepatrně větší rozměr než. Na něm bude zobrazení F dané rovnicemi (3.3) regulární a prosté. Vzniklý trojný integrál vpočteme pomocí Fubiniov vět. Výpočet proběhne takto: I z + dddz cos ϕ z cos ϕ + sin ϕ d dϕdz [ sin ϕ ] π π/ 3z cos ϕ d dϕdz [ ] 4 4 π π/ cos ϕ dϕ 3 d 3 [ ] 3 z ( ) 6 9 4 z dz 35 8.

44 Transformace integrálů Příklad 3.. Vpočtěte 4z dddz, kde množina je určena podmínkami z / + /, + + z 3, a. Řešení. Rovnice z /+ / určuje rotační paraboloid s osou v souřadnicové ose z a vrcholem v počátku. Rovnice + +z 3 určuje kulovou plochu se středem v počátku o poloměru 3. Půjde ted o rotační těleso, které je zdola omezené paraboloidem a shora kulovou plochou. Nerovnosti a pak říkají, že z tohoto tělesa máme uvažovat jen čtvrtinu viz obr. 3.4 a). bchom množinu popsali v clindrických souřadnicích, uvažujme její řez souřadnicovou rovinou. Výsledek je znázorněn na obr. 3.4 b). Určíme souřadnice průsečíku parabol z / a kružnice + z 3. Dosazením první rovnice do druhé obdržíme kvadratickou rovnici z + z 3, která má kořen a 3. Pro nás má smsl pouze kladný kořen. K němu pak určíme, že ±. Průsečík ted mají souřadnice [ ±, ]. Z toho je vidět, že 3 + + z 3 + z 3 z 3 z z z + a) b) M + c) br. 3.4

3. Transformace trojného integrálu 45 kolmým průmětem M množin do rovin je čtvrtkruh se středem v počátku a poloměrem, ležící v prvním kvadrantu viz obr. 3.4 c). Vjádření množin M v polárních souřadnicích je snadné: ϕ π/ a. Dále dosazením z rovnic (3.3) do rovnice paraboloidu dostaneme z + ( cos ϕ + sin ϕ) a do rovnice kulové ploch (její horní polovin) dostaneme z 3 3 cos ϕ sin ϕ 3. Množina se ted při přechodu k clindrickým souřadnicím transformuje na množinu, jejíž popis je: : ϕ π,, z 3. Větu 3.9 tentokrát není možné použít. Všechn bod z tvaru [, ϕ,z], kde ϕ π/, se transformací F danou rovnicemi (3.3) zobrazí na bod [,, z], tj. F není prosté ani na množině. Jsou však splněn předpoklad vět 3., kdž za množinu zvolíme vnitřek množin. Na vzniklý integrál použijeme Fubiniovu větu. Vzhledem k popisu množin je přitom nutné, ab integrace vzhledem k proměnné z proběhla dříve než integrace vzhledem k proměnné. Pořadí integrace vzhledem k proměnné ϕ je libovolné. Při výpočtu použijeme mimo jiné vzorec sinϕ cos ϕ sin ϕ. Vjde nám: I 4z dddz 4 cos ϕ sin ϕ z d dϕdz 3z sin ϕ d dϕdz π/ { π/ { π/ { ( 3 / ) } 3z sin ϕ dz d dϕ 3 sin ϕ [ z ] 3 / d ( 3 sin ϕ 3 4 4 } dϕ ) } d dϕ

46 Transformace integrálů π/ { π/ π/ 7 Příklad 3.3. Vpočtěte ( sin ϕ 3 3 5 ) } 7 d dϕ 4 [ 3 sin ϕ 4 6 8 4 6 3 ( sin ϕ 3 4 3 ) dϕ 7 6 [ cos ϕ ] π/ 7 dddz, kde množina je omezená plo- + z + chami + z a. ] π/ dϕ sin ϕ dϕ ( ) 7 6. Řešení. Rovnice první ploch je rovnicí části rotační kuželové ploch v poloprostoru s osou rotace v souřadnicové ose a vrcholem v bodě [,, ]. Toto je vidět ze skutečnosti, že řez ploch rovinami c, kde c <, jsou kružnice, zatímco průmět ploch do rovin, resp. z, mají rovnice z, resp.. Množina je ted kuželem na obr. 3.5 a). Můžeme ji snadno popsat v clindrických souřadnicích, jen musíme oproti rovnicím (3.3) zaměnit role souřadnicových os, což nemá vliv na vjádření jakobiánu v polárních souřadnicích příslušné souřadnicové rovin. Zvolíme cos ϕ, z sin ϕ,, J. Průmětem M množin do souřadnicové rovin z je kruh. Jeho rovnici dostaneme dosazením vztahu do rovnice kuželové ploch. Vjde + z, takže poloměr kruhu je jedna (obr. 3.5 b)). ude ted ϕ π a. Dále dosadíme vjádření a z pomocí ϕ a do rovnice polovin kuželové ploch. Vjde + z cos ϕ + sin ϕ. Množina se ted transformuje na množinu, jejíž popis je: : ϕ π,,.

3. Transformace trojného integrálu 47 + z z + z z M a) b) br. 3.5 Použijeme větu 3.. Za množinu se v ní zvolí vnitřek množin. Výsledný integrál upravíme pomocí Fubiniov vět. Vzhledem k popisu množin musí integrace podle předcházet integraci podle. Integrace podle ϕ může proběhnout kdkoli. Dostaneme: I dddz + z + { ( π π + dϕ + [ ] d π d dϕd + ) } d d + + π d π + [ π + ln( + ) + arctg Příklad 3.4. Vpočtěte { + d ] ( + ( π nerovnostmi + + z 4,, z. + + + + ln + π 4 [ ϕ ] π d } d + ). ) d ( + + z) dddz, kde množina je určena Řešení. Rovnice + +z 4 je rovnicí kulové ploch se středem v počátku souřadnicového sstému a poloměrem. První podmínka ted určuje kouli. Další

48 Transformace integrálů z z M a) b) c) br. 3.6 dvě podmínk určují poloprostor, vmezené rovinami z a. Celkově dostáváme, že množina je čtvrtina koule, která je znázorněná na obr. 3.6 a). Pro výpočet integrálu použijeme transformaci do sférických souřadnic. Libovolná rovina, která prochází osou z a svírá s kladnou částí os úhel z intervalu (, π), protne množinu ve čtvrtkruhu viz obr. 3.6 b), kde je znázorněn řez rovinou z. Z toho vidíme, že ϑ π/. Dále průmětem M množin do rovin je půlkruh z obr. 3.6 c). To znamená, že ϕ π. Konečně je zřejmě. brazem množin v transformaci do sférických souřadnic tudíž bude množina :, ϕ π, ϑ π, což je trojrozměrný interval. Zobrazení Φ dané rovnicemi (3.4) není na této množině prosté. Např. Φ(, ϕ,ϑ) (,, ) pro libovolná ϕ a ϑ, tj. celá jedna stěna kvádru se zobrazí na počátek. Proto použijeme větu 3.. Za množinu z této vět lze zvolit vnitřek intervalu. Transformovaný integrál rozdělíme na dva a na každý z nich pak použijeme Fubiniovu větu. S použitím vztahů (3.4) a J sin ϑ pro sférické souřadnice a jejich jakobián dostaneme: I ( + + z) dddz

3. Transformace trojného integrálu 49 ( cos ϕ sin ϑ + sin ϕ sin ϑ + cos ϑ) sin ϑ d dϕdϑ 3(cos ϕ + sin ϕ) sin ϑ d dϕdϑ + 3 cos ϑ sin ϑ d dϕdϑ + [ 4 4 3 d ] π (cos ϕ + sin ϕ) dϕ π π/ π/ ( cos ϑ) dϑ + 3 d dϕ sin ϑ dϑ [sin ϕ cos ϕ ] π [ ] sin ϑ π/ [ 4 ϑ + 4 [ ] π/ cos ϑ Příklad 3.5. Vpočtěte ] [ϕ ] π 4 π + 4 π 4π. + + z dddz, kde množina je určená nerovnostmi z +, + + z 4. Řešení. Rovnice z + určuje rotační kuželovou plochu v poloprostoru z s osou v souřadnicové ose z a vrcholem v počátku. První nerovnost ted zadává množinu bodů ležících na a nad horní polovinou zmíněné rotační kuželové ploch. Dále rovnice + +z r je pro každé r > rovnicí kulové ploch se středem v počátku a poloměrem r. Podmínka + +z 4 tudíž říká, že množina je rovněž omezena dvěma soustřednými kulovými plochami o poloměrech a. Výsledek je znázorněn na obr. 3.7 a). Pro výpočet integrálu použijeme transformaci do sférických souřadnic. Protože zadané těleso je rotační, bude řez libovolnou rovinou procházející rotační souřadnicovou osou z stejný. Na obr. 3.7 b) je znázorněn takový řez rovinou z. Z něho určíme rozmezí pro úhel ϑ. Protože přímka z je osou prvního kvadrantu, svírá s osou z úhel 45, což znamená, že ϑ π/4. Průmětem M množin do rovin je zřejmě kruh se středem v počátku, jehož hraniční kružnice je průmětem kružnice, kterou dostaneme jako průnik kuželové ploch a větší kulové ploch srovnejte obr. 3.7 a). Vloučením proměnné z z rovnic z + a + + z 4 dostaneme, že +, tj. poloměr kruhu M je viz obr. 3.7 c). Tento údaj však není důležitý, určili jsme jej jen pro úplnost; podstatné je, že pro úhel ϕ platí ϕ π.

5 Transformace integrálů z + + z 4 z z z + + + z a) b) M c) br. 3.7 Konečně pro sférickou souřadnici zřejmě platí. brazem množin při transformaci do sférických souřadnic ted je množina :, ϕ π, ϑ π 4, což je trojrozměrný interval. Zobrazení F dané rovnicemi (3.4) není na prosté. Platí totiž např. F(,, ϑ) F(, π, ϑ) pro libovolná a ϑ π/4 nebo F(, ϕ, ) F(,, ) pro libovolná a ϕ π. Proto použijeme větu 3.. Za množinu z této vět lze zvolit vnitřek

3. Transformace trojného integrálu 5 intervalu. Na transformovaný integrál použijeme Fubiniovu větu. S použitím vztahů (3.4) pro sférické souřadnice a jejich jakobián a rovnosti + +z dostaneme: I + + z dddz sin ϑ d dϕdϑ π π/4 [ 4 3 d dϕ sin ϑ dϑ [ϕ ] π [ cos ϑ ] π/4 4 5 ( ) 4 π + 5π( ). 4 Příklad 3.6. Vpočtěte z dddz, kde množina je určena nerovnostmi 9 + 4 a z. Řešení. Rovnice 9 + určuje eliptický válec s osou v souřadnicové ose z. 4 Dále z a z jsou rovnice dvou rovin, které ze zmíněného válce vtnou klín znázorněný na obr. 3.8 a). Kolmým průmětem množin do rovin je polovina elips znázorněná na obr. 3.8 b). Použijeme transformaci do zobecněných clindrických souřadnic. V (3.5) zvolíme a 3, b : 3 cos ϕ, sin ϕ, z z, ] J 6. 3 z 3 3 M 3 a) b) br. 3.8

5 Transformace integrálů Změna měřítek na souřadnicových osách a způsobí, že polovina elips přejde v polovinu jednotkového kruhu, který musíme vjádřit v polárních souřadnicích. Pro ně bude tudíž platit π ϕ π a. Dosazením transformačních rovnic do omezení pro z dostaneme z sin ϕ. Množina se ted transformuje na množinu : π ϕ π,, z sin ϕ. Použijeme větu 3. (můžete se přesvědčit, že transformace není na prostá). Vzniklý integrál vpočítáme pomocí Fubiniov vět. Množina je elementární vzhledem k ϕ. Nejprve ted musíme integrovat podle proměnné z (v mezích pro tuto proměnnou figuruje ϕ i ), další pořadí je libovolné. Dostaneme: I z dddz sin ϕ z 6 d dϕdz z sin ϕ d dϕdz π π π π π π { { ( sin ϕ ) } z sin ϕ dz d dϕ 6 sin ϕ [ z ] } sin ϕ d 4 5 sin3 ϕ [ 5] cos ϕ t sin ϕ dϕ dt sin ϕ dϕ dt π, π dϕ 4 5 4 5 π π dϕ π π { ( cos ϕ) sin ϕ dϕ ( t ) dt 4 5 } 4 4 sin 3 ϕ d dϕ [ t t 3 ] 3 3 5. Příklad 3.7. Vpočtěte dddz, kde : a + b + z, a, b,c >. c Řešení. Integračním oborem je elipsoid z obrázku 3.9 a). Vzhledem k definicím měřitelné množin a trojného integrálu přes měřitelnou množinu bude

3. Transformace trojného integrálu 53 c z a c b b a a) a b b b) a br. 3.9 výsledkem vzorec pro míru elipsoidu s poloosami a, b, c. Použijeme zobecněné sférické souřadnice. Zvolíme a cos ϕ sin ϑ, b sin ϕ sin ϑ, z c cos ϑ, J abc sin ϑ. Změna měřítek na souřadnicových osách způsobí, že elipsoid přejde v jednotkovou kouli. Tu musíme vjádřit ve sférických souřadnicích. Množina se přitom transformuje v množinu ϕ π, :, ϑ π. To je trojrozměrný interval, takže na integrál vzniklý po použití vět 3. můžeme snadno aplikovat Fubiniovu větu. Dostaneme: dddz abc sin ϑ d dϕdϑ abc π abc [ ϕ ] π dϕ [ 3 3 ] d π [ cos ϑ ] π sin ϑ dϑ abc π 3 4 3 πabc.

54 Transformace integrálů 3.3. Transformace n-rozměrného integrálu Pokud jde o transformaci n-rozměrného integrálu, je situace naprosto analogická jako u transformace dvojného či trojného integrálu. Uvedeme proto přímo definice spojitě diferencovatelného zobrazení, jakobiánu a regulárního zobrazení. Definice 3.8. Předpokládejme, že R n a nechť g j, j,,...,n, jsou funkce definované na množině. uď F : R n zobrazení, které přiřazuje libovolnému bodu [u, u,...,u n ] bod F(u, u,...,u n ) [g (u, u,...,u n ), g (u, u,...,u n ),...,g n (u, u,...,u n )]. Řekneme, že zobrazení F je spojitě diferencovatelné v, jestliže eistuje otevřená množina Ω taková, že funkce g j (j,...,n) lze rozšířit na Ω takovým způsobem, ab měl v Ω spojité parciální derivace prvního řádu podle všech svých proměnných. Je-li F : R n spojitě diferencovatelné zobrazení v, determinant g u g u... g un J g u g u... g un.................., g n u g n u... g n un kde g i uj u j g i, se při označení použitém v definici 3.8 nazývá jakobián zobrazení F. Jakobián J : R je funkcí proměnných u, u,...,u n. Definice 3.9. Spojitě diferencovatelné zobrazení F : R n na otevřené množině se nazývá regulární, je-li jeho jakobián J různý od nul v každém bodě množin. Vět o transformaci n-rozměrného integrálu lze zformulovat takto: Věta 3.3. Nechť R n je uzavřená měřitelná množina a Ω R n je otevřená množina, Ω. Nechť F : Ω R n je prosté regulární zobrazení s jakobiánem J takové, že F(u, u,...,u n ) [g (u), g (u),...,g n (u)] pro každé u [u, u,...,u n ]. značme F() a předpokládejme,že funkce f : R je spojitá. Pak platí vztah f () d d d n f (g (u), g (u),, g n (u)) J(u) du du...du n. (3.7)

3.3 Transformace n-rozměrného integrálu 55 Věta 3.3. Nechť R n, kde je otevřená množina, je měřitelná množina a platí m n ( ). uď F spojitě diferencovatelné zobrazení do R n, které je regulární a prosté v. značme F(), F( ). Předpokládejme, že množina je měřitelná a platí m n ( ). uď funkce f ohraničená na množině a spojitá na množině. Nechť funkce, která každému u přiřazuje hodnotu f (g (u), g (u),...,g n (u)) J(u), je ohraničená. Pak platí vztah (3.7), tj. f () d d d n f (g (u), g (u),...,g n (u)) J(u) du du du n. 3.3.. Některé běžné tp transformací n-rozměrného integrálu Uveďme, podobně jako u dvojného a trojného integrálu, některé běžně užívané transformace g (u, u,...,u n ), g (u, u,...,u n ),..., n g n (u, u,...,u n ) n-rozměrného integrálu. Posunutí Posunutí (translace) je dáno rovnicemi u + a, u + a,..., n u n + a n, (3.8) kde a, a,...,a n jsou konstant. Jakobián této transformace je J. Dilatace Dilatace (ve speciálním případě a >, a >,...,a n > změna měřítek na souřadnicových osách) je dána rovnicemi a u, a u,..., n a n u n (3.9) kde a, a,...,a n jsou nenulové konstant. Pro jakobián tohoto zobrazení platí J(u, u,...,u n ) a a a n.

56 Transformace integrálů Transformace do sférických souřadnic Transformace do sférických souřadnic, ϕ,ϑ, ϑ,...,ϑ n (používá se též název hpersférické souřadnice), kde n (pro n jde o polární souřadnice), je dána vztah cos ϕ sin ϑ sin ϑ sin ϑ n 4 sin ϑ n 3 sin ϑ n, sin ϕ sin ϑ sin ϑ sin ϑ n 4 sin ϑ n 3 sin ϑ n, 3 cos ϑ sin ϑ sin ϑ n 4 sin ϑ n 3 sin ϑ n, 4 cos ϑ sin ϑ n 4 sin ϑ n 3 sin ϑ n,. n cos ϑ n 4 sin ϑ n 3 sin ϑ n, n cos ϑ n 3 sin ϑ n, n cos ϑ n. (3.) značme J n J n (, ϕ,ϑ, ϑ,...,ϑ n ) jakobián transformace (3.). Pak, značí-li g n, gn,...,gn n pravé stran ve vztazích (3.) (horní inde n znamená, že jde o transformaci v R n ), máme g n g ϕ n g ϑ n... g ϑ n n 3 g n ϑ n g n g ϕ n g ϑ n... g ϑ n n 3 g n ϑ n J n......... (3.) gn n gn ϕ n gn ϑ n... gn ϑ n n 3 gn ϑ n n gn n gn ϕ n gn ϑ n... gn ϑ n n 3 gn ϑ n n Platí gk n gk n sin ϑ n, k,..., n. značme ještě h n, hn,...,hn n pravé stran ve vztazích (3.) bez proměnné, tj. gk n hn k, k,..., n. Vpočteme-li všechn parciální derivace vstupující v determinantu (3.), vidíme, že z druhého až (n )-ního sloupce lze vtknout sin ϑ n a z n-tého sloupce lze vtknout. Dále vnásobíme první sloupec determinantu J n funkcí sin ϑ n a přičteme k němu poslední sloupec vnásobený cos ϑ n. Postupně dostaneme J n g n sin ϑ n g ϕ n sin ϑ n g ϑ n sin ϑ n... g ϑ n n 3 sin ϑ n g n cos ϑ n g n sin ϑ n g ϕ n sin ϑ n g ϑ n sin ϑ n... g ϑ n n 3 sin ϑ n g n cos ϑ n............ n sin ϑ n gn ϕ n sin ϑ n gn ϑ n sin ϑ n... gn ϑ n n 3 sin ϑ n gn n cos ϑ n cos ϑ n... sin ϑ n g n

3.3 Transformace n-rozměrného integrálu 57 h n sin ϑ n g ϕ n g ϑ n... g ϑ n n 3 h n cos ϑ n h n sin ϑ n g ϕ n g ϑ n... g ϑ n n 3 h n cos ϑ n sin n ϑ n............ h n n sin ϑ n gn ϕ n gn ϑ n... gn ϑ n n 3 h n n cos ϑ n cos ϑ n... sin ϑ n h n (sin ϑ n + cos ϑ n ) g ϕ n g ϑ n... g ϑ n n 3 h n cos ϑ n h n (sin ϑ n + cos ϑ n ) g ϕ n g ϑ n... g ϑ n n 3 h n cos ϑ n sin n 3 ϑ n............ h n n (sin ϑ n + cos ϑ n ) gn ϕ n gn ϑ n... gn ϑ n n 3 h n n cos ϑ n... sin ϑ n sin n 3 ϑ n g n g ϕ n g ϑ n... g ϑ n n 3 h n cos ϑ n g n g ϕ n g ϑ n... g ϑ n n 3 g n cos ϑ n............ sin n ϑ n J n. n gn ϕ n hn ϑ n... gn ϑ n n 3 h n n cos ϑ n... sin ϑ n g n pakovaným užitím tohoto výsledku postupně plne J n sin n ϑ n J n sin n 3 ϑ n 3 sin n ϑ n J n ( ) n n sin ϑ sin ϑ sin n ϑ n J. Protože J cos ϕ sin ϕ a ( ) n ( ) n, dostáváme sin ϕ cos ϕ, Snadno lze ověřit, že J n ( ) n n sin ϑ sin ϑ sin n ϑ n. (3.) + + + n. Přitom souřadnice je nezáporná, úhel ϕ obvkle volíme z intervalu délk π a úhl ϑ j (j,,...,n ) jsou obvkle z intervalu, π. Zobrazení dané vztah (3.) zobrazí takovou množinu na celý prostor R n a je prosté a regulární na jejím vnitřku viz cvičení k této kapitole. Geometrick lze vzorce (3.) interpretovat následujícím způsobem: Hodnota je vzdálenost bodu [,,..., n ] od počátku, tj. + + + n. Pro kolmý průmět bodu na souřadnicovou osu n platí n cos ϑ n, kde ϑ n je úhel,

58 Transformace integrálů který svírá průvodič bodu, tj. vektor určený počátkem a bodem, s kladným směrem os n. značme [] kolmý průmět bodu do prostoru n, tj. do podprostoru R n určeného souřadnicemi,,..., n. Pro délku průvodiče bodu [] platí sin ϑ n. Kolmý průmět bodu [] do souřadnicové os n je ted n cos ϑ n 3 cos ϑ n 3 sin ϑ n, kde ϑ n 3 je úhel, který svírá průvodič bodu [] s kladným směrem souřadnicové os n. Nní bod [] kolmo promítneme do podprostoru proměnných,,..., n a jeho průmět označíme []. Tímto způsobem postupujeme dále, až po konečném počtu kroků získáme všechn rovnosti v (3.). Transformace do sférických souřadnic se u n-rozměrného integrálu používá hlavně v případě, kd integrační obor je n-rozměrná koule nebo její vhodná část. Příklad 3.3. Vpočtěte V ( + + + ) α n d d... d n, kde V { [,,..., n ] R n : + + + n R}, přičemž R >, α jsou konstant a n je dané celé číslo. Řešení. Předpokládejme, že n 3 a použijme transformaci do sférických souřadnic (3.). Množina V touto transformací přejde v množinu V, která je vmezena následujícími nerovnostmi: V : R, ϕ π, ϑ π,. ϑ n π. Pro absolutní hodnotu jakobiánu zvolené transformace platí J n sin ϑ sin ϑ sin n ϑ n. plikací vět 3.3 a Fubiniov vět dostáváme ( + + + ) α n d d... d n V R α+n sin ϑ sin ϑ sin n ϑ n d dϕ dϑ dϑ n V { π [ π ( π α+n sin ϑ sin ϑ sin n ϑ n

3.3 Transformace n-rozměrného integrálu 59 R α+n d π Užitím rekurentního vzorce π dϕ π sin k ϑ dϑ k k ) ] } dϑ dϑ n dϕ d π sin ϑ dϑ sin n dϑ n. (3.3) π sin k ϑ dϑ, který platí (viz pozn. 3.33) pro každé k N, k, snadno zjistíme, že a π π sin k ϑ dϑ k k sin k ϑ dϑ k k k 3 k π 3 sin ϑ dϑ (k )!! [ cos ϑ] π k!! (k )!! k!! k 3 k π (k )!! dϑ π k!! pro k liché pro k sudé. Přitom k!! definujeme vztahem k!! k (k ) (k 4) 3, je-li k 3 liché, a vztahem k!! k (k ) (k 4) 4, je-li k sudé; dále klademe!!,!!. Položíme-li γ n π pro n sudé a γ n pro n liché, dostáváme dosazením do (3.3) V [ ] R α+n α + n ( + + + ) α n d d... d n [ϕ] π π 3 π 3 4 4 5 3 γ (n 3)!! n (n )!! Rα+n α + n π n n π 3 3 4 4 (n 4)!! (n 3)!! 5 3 (n 3)!! (n )!! R α+n (α + n)(n )!! n+ n π. Přitom značí celou část čísla. Snadno se ověří, že výsledek platí i pro n. Podrobněji viz příklad 4.7 v kapitole 4.

6 Transformace integrálů Poznámka 3.33. Při výpočtu integrálu v předcházejícím příkladu bl užit rekurentní vzorec pro integrál z k-té mocnin funkce sinus. Tento vzorec se snadno odvodí metodou per partes. značme I k π sink ϑ dϑ, kde k N, k. Pak π I k sin k ϑ dϑ u sink ϑ u (k ) sin k ϑ cos ϑ v sin ϑ v cos ϑ [ sin k ϑ cos ϑ ] π π + (k ) sin k ϑ cos ϑ dϑ π (k ) sin k ϑ( sin ϑ) dϑ ( π π ) (k ) sin k ϑ dϑ sin k ϑ dϑ (k )(I k I k ). dtud dostáváme ki k (k )I k, takže I k k k I k, což je dokazovaný rekurentní vzorec. Všimněte si, že stejný vzorec zůstává v platnosti, kdž funkci sinus nahradíme funkcí kosinus, nebo kdž horní mez nahradíme libovolným z čísel π/, 3π/, π. Příklad 3.34. Vpočtěte integrál dddzdu, je-li V { [,,z, u] R 4 : + z + u }. V Řešení. S ohledem na oblast integrace použijeme transformace do nových proměnných, ϕ, r, ϑ, které jsou s původními proměnnými vázán vztah cos ϕ, z r cos ϑ, sin ϕ, u r sin ϑ. Jde vlastně o pár polárních souřadnic v rovinách a zu. Jakobián této transformace je cos ϕ sin ϕ J sin ϕ cos ϕ cosϑ r sin ϑ r. sinϑ r cos ϑ Podmínk vmezující množinu V se v nových souřadnicích vjádří nerovnostmi r. Napíšeme-li odpovídající množinu V ve tvaru elementární mno-

3.4 Důkaz vět o transformaci n-rozměrného integrálu 6 žin, máme M V : ϕ π, ϑ π, r, r, přičemž transformace je na vnitřku množin V prostá a regulární. značme M { [, r] R : r, r }. Užitím vět 3.3 a Fubiniov vět dostáváme dddzdu r d dϕ dr dϑ V V π { π ( ) } π π r d dr dϑ dϕ dϕ dϑ r d dr π π 4π r 3 ( r dr π r d )dr 4π [ r 4 4 ] [ r ] r dr π 4 π. 3.4. Důkaz vět o transformaci n-rozměrného integrálu Cílem tohoto oddílu je dokázat vět 3.3 a 3.3. Důkaz těchto tvrzení jsou technick poměrné náročné a rozsáhlé. Rozčleníme je proto do několika pomocných tvrzení. Hlavní krok důkazu budou tto: Najdeme vzorec pro jakobián složeného zobrazení (lemma 3.35). dvodíme některé vlastnosti prostých regulárních zobrazení. Zejména ukážeme, jak zobrazují vnitřní a hraniční bod (lemma 3.39), že obrazem množin nulové mír je opět množina nulové mír a že obrazem kompaktní měřitelné množin je měřitelná množina (lemma 3.43). Ukážeme, že regulární zobrazení je možné lokálně vjádřit jako složení dvou regulárních zobrazení s jistými speciálními vlastnostmi (lemma 3.44). Dokážeme, že jestliže vzorec (3.7) platí pro mnohorozměrné interval, platí pro libovolné kompaktní měřitelné množin v prostoru téže dimenze (lemma 3.46). Indukcí vzhledem k dimenzi dokážeme (s vužitím předchozích dvou bodů a Fubiniov vět) platnost vzorce (3.7) pro interval libovolné dimenze (lemma 3.49). Z předchozích dvou bodů dostaneme důkaz vět 3.3. M