České vysoké učení technické v Prze Fkult elektrotechnická Neřešené příkldy z nlýzy funkcí více proměnných Miroslv Korbelář Pol Vivi Prh 16 Tento dokument byl vytvořen s podporou grntu RPAPS č. 1311/15/15163C5.
1 Limity funkcí více proměnných 1.1. Určete definiční obor funkcí f(, y) = ln ++y +y, f(, y, z) = rcsin z. +y 1.. Určete definiční obor funkcí f(, y, z) = y+z, g(, y) = 1 y. 1.3. Nčrtněte grf funkcí f(, y) = + y, g(, y) = 4 + 9y, diskutujte tvr vrstevnic. e 1.4. Ukžte, že lim y sin sin y = 1, lim (,y) (1,) +y =, lim 4 yz (,y,z) (,,) yz = 1 4. 1.5. Přibližováním se k počátku různými cestmi ukžte, že následující limity neeistují: lim 4 4 +y, lim y, +y lim 4 y 4 +y, lim 1.6. Pomocí ε-δ- definice ukžte, že lim 3 +y 3 +y =, lim +y 4 +y 4. y =, lim y =. +y +y 1.7. Použijte polární souřdnice = r cos ϑ, y = r sin ϑ k určení limit z předchozích příkldů. 1.8. Určete c R tk, by funkce f(, y) = v počátku dokžte pomocí ε-δ-definice. { y + y (, y) (, ) byl všude spojitá. Eistenci limity c (, y) = (, ) 1.9. Připomeňte si kvdrtické povrchy (kvdriky). Nčrtněte je pro = b = c = 1: 1. + y b + z c = 1 elipsoid. + y b z c = 1 jednodílný hyperboloid 3. y b + z c = 1 dvoudílný hyperboloid 4. z c = + y b z 5. c = + y b z 6. c = y b kužel eliptický prboloid hyperbolický prboloid 7. + y b = 1 eliptický válec 8. y = prbolický válec. Prciální derivce, totální diferenciál.1. Pro funkci f(, y) = sinh 3 + 4y určete D(f), f, f y... Pro funkci f(, y, z) = y z 3 ln( + y + 3z) určete D(f), f, f y, f z..3. Pro funkci f(, y, z) = e y + 4 y 4 z 3 ukžte, že f y = f y, f z = f z, f zy = f yz. Určete f yz..4. Je funkce f(, y) = y řešením Lplceovy rovnice f + f y =?.5. Njděte linerizci funkce f(, y, z) = e + cos(y + z) v bodě (, π 4, π 4 )..6. Pro funkci f(, y) = ln( 3y) nlezněte její linerizci (, y ) = (7, ). Použijte ji k přibližnému určení hodnoty funkce f v bodě (6.9,.)..7. Pro funkci f(, y) = e y nlezněte její linerizci (, y ) = (6, ). Použijte ji k přibližnému určení hodnoty funkce f v bodě (5.9,.1).
.8. Určete tečnou rovinu k ploše z = ln( + y) v bodě ( 1, 3, ). { 3 y y 3.9. Ukžte, že funkce f(, y) = +y (, y) (, ) (, y) = (, ), je spojitá, f f y eistují všude, le přitom druhé prciální derivce se nerovnjí v počátku, tj. f y (, ) f y (, )..1. Pro z = 1 + y, = te t, y = e t určete dz dt..11. Pro z = sin cos y, = (s t), y = s t určete z s z t..1. Pro u = y + yz + z, = st, y = e st, z = t určete u s u t..13. Poloměr R kruhového válce klesá rychlostí 1. cm/s součsně se jeho výšk h zvyšuje rychlostí 3 cm/s. Jkou rychlostí se mění objem válce při R = 8 cm h = 15 cm?.14. Poloměr R prvoúhlého kruhového kuželu se zvětšuje rychlostí 1.8 cm/s součsně jeho výšk h klesá rychlostí.5 cm/s. Jkou rychlostí se mění objem povrch kuželu při R = 1 cm h = 14 cm?.15. Ukžte, že kždá funkce tvru h(, t) = f( + t) + g( t), R, je řešením vlnové rovnice h t = h..16. Dokžte, že rovnice y + 3 y = 3 + 18 definuje y jko funkci v okolí bodu P = (, 4) určete dy P této funkce. d.17. Pomocí věty o implicitní funkci určete v dném bodě tečnu křivky, která je určená příslušnou rovnicí: y + y 4 = 3, A = (1, 1); cos y + y cos = 1, B = (1, ), y + + 3 y = 3 +, C = (, 4)..18. Vyjádřete Lplceovu rovnici f + f y = pomocí polárních souřdnic..19. Vyřešte prciální diferenciální rovnici f + y f y = 1 jejím převedením do polárních souřdnic... Určete f P pro funkci f(, y) = ln( + y ) v bodě P = (1, 1)..1. Určete f P pro funkci f(, y, z) = e +y cos z + (y + 1) sin v bodě P = (, π/)... Určete D u f P pro funkci f(, y, z) = 3e cos(yz) v bodě P = (,, ) podle vektoru v =<, 1, >..3. Určete D u f P pro funkci f(, y, z) = + y 3z v bodě P = (,, ) podle vektoru v =< 1, 1, 1 >..4. Nlezněte tečnou rovinu normálu k dnému povrchu v dném bodě: 4 + y + z 9 = 3 v P = (, 1, 3), y 3z + yz = 4 v A = (3,, 1), z + 1 = e y cos z v B = (1,, )..5. Ukžte, že elipsoid 3 + y + z = 9 sfér + y + z 8 6y 8z + 4 se dotýkjí v bodě P = (1, 1, )..6. Nlezněte rychlost mimálního minimálního možného přírůstku (úbytku) funkce f(, y) = e y + 3y v bodě P = (1, )..7. Nlezněte rychlost mimálního minimálního možného přírůstku (úbytku) funkce f(, y, z) = v bodě P = (4,, 1). y + y z 3
3 Lokální, bsolutní vázné etrémy 3.1. Připomeňme, že proimce druhého řádu funkce f( ) v bodě je definován jko Q( ) = f( ) + Df( )( ) + 1 ( )T Hf( )( ) pokud prciální derivce funkce f druhého řádu eistují jsou spojité n nějkém okolí bodu. Určete proimci druhého řádu funkce f(, y) = (1 + )e +y v bodě = (, ), funkce g(, y) = e y + 1 v bodě = (1, ). 3.. Určete lokální mim, minim sedlové body funkce f(, y) = 6 3 + 3y + 6y. 3.3. Určete lokální mim, minim sedlové body funkce f(, y) = 4y 4 y 4. 3.4. Určete lokální mim, minim sedlové body funkce f(, y) = y y + 6y. 3.5. Určete lokální mim, minim sedlové body funkce f(, y) = y 8+y y. 3.6. Njděte čísl b tk, by hodnot b (6 ) d byl největší možná. Úlohu interpretujte geometricky. 3.7. Nlezněte bsolutní etrémy funkce f(, y) = +y +y 6+ ve čtverci 5, 3 y. 3.8. Nlezněte bsolutní etrémy funkce f(, y) = 3 + y 4 v množině D = {(, y) R : + y 1}. 3.9. Nlezněte bsolutní etrémy funkce f(, y) = + y 6 4y + 11 v množině D = {(, y) R : + y 4 5}. 3.1. Teplot zhřáté desky je dán jko T (, y) = 4 4y + y. Brouk leze po desce podél kružnice se středem v bodě (, ) s poloměrem 5. Určete nejteplejší nejstudenější body n broukově cestě. 3.11. Metodou Lgrngeových multiplikátorů nlezněte mimum minimum funkce f(, y, z) = + 3y +5z n množině +y +z = 1. Pk použijte geometrický význm grdientu fktu, že f je lineární funkce, byste nlezli řešení úlohy geometricky. 3.1. Nlezněte bod n křivce y = 54, který je nejblíže k počátku. 4 Dvojný integrál 4.1. Spočítejte integrál z funkce f(, y) = e (y) n čtverci 1, y 1. 4.. Spočítejte integrál z funkce f(, y) = 1 +y n čtverci 1, y 1. 4.3. Nčrtněte oblst integrce vyčíslete integrál 1 y 3y 3 e y d dy. 4.4. Spočítejte ln 8 ln y e +y ddy. 1 4.5. Spočítejte D sin ddy, kde D je trojúhelník s vrcholy (, ), (1, ), (1, 1). 4.6. Změňte pořdí integrce u následujících integrálů 1 f(, y) ddy, π sin f(, y) dyd, 1 f(, y) dyd + 4.7. Změnou pořdí integrce spočítejte 1 1 e y ddy. 4.8. Změnou pořdí integrce spočítejte ln 3 ln 3 e ddy. y/ 1 f(, y) dyd. 4
4.9. Přepište integrály nejdříve pomocí změny pořdí integrce pk trnsformcí do polárních souřdnic: 1 y f(, y) ddy, f(, y) dyd, >. 4.1. Pomocí polárních souřdnic spočítejte D e +y ddy, kde D je polovin kruhu se středem v (, ) poloměrem 1, který leží nd -ovou osou. 4.11. Pomocí dvojného integrálu spočítejte obsh kruhu o poloměru 1. 4.1. Nčrtněte dnou křivku určete velikost plochy, kterou křivk (zdná pomocí polárních souřdnic) ohrničuje: ρ = sin ϑ, ϑ [, π], ρ = 1 + sin ϑ, ϑ [, π], ρ = cos(ϑ), ϑ [, π], ρ = ϑ + 1, ϑ [ π, π]. 4.13. Určete velikost plochy, která je ohrničená křivkmi zdnými pomocí polárních souřdnic: ρ = 3 + sin ϑ, ρ =. 4.14. Použitím polárních souřdnic spočítejte: 1 4 1 + y ddy, y 1 + y ddy, 4 y y 1 1 1 + + y ddy. + y dyd, rctn y dyd, 4.15. Určete objem těles ohrničeného rovinou z = prboloidem z = 1 y. 4.16. Určete objem těles ohrničeného rovinou z = 9 prboloidem z = + y. 4.17. Určete objem těles ohrničeného prboloidy z = 4 y z = 3 + + 3y. 4.18. Pomocí polárních souřdnic určete objem prvoúhlého kruhového kuželu s výškou h kruhovou zákldnou s poloměrem R. 4.19. Definujme střední hodnotu funkce f vzhledem k oblsti D jko 1 E(f) = f(, y) ddy. Obsh(D) Určete střední hodnotu funkce f(, y) = cos(y) vzhledem k oblsti D = [, π] [, 1]. 4.. Hmotnost m těžiště C = (, y ) plošného útvru D s hustotou ρ(, y) je definován jko m = ρ(, y) da, = 1 ρ(, y) da, y = 1 yρ(, y) da. m D m D Určete hmotnost těžiště pro ) trojúhelník s vrcholy (, ), (1, 1), (4, ) hustotou ρ(, y) =, b) plochy omezené prbolou y = 9 osou, kde hustot je ρ(, y) = y. D 4.1. S použitím substituce určete R ( + y) 3 y da, kde R je omezená oblst určená křivkmi y =, y = 1, + y =, + y =. D 5
4.. S použitím substituce spočítejte 1 1 + y(y ) dyd. 4.3. S použitím substituce spočítejte ( + y) cos(π( y)) da, kde R R = {(, y) R : + y, 1, 1 + y + y}. 4.4. S použitím substituce spočítejte y R ey da, kde R je omezená oblst určená křivkmi y =, y = 4, y =, y =. 4.5. Spočítejte integrál T e y da, kde T = {(, y) R : y} je neomezená oblst. 4.6. Spočítejte integrál y 1 ln y 3 da. 5 Trojný integrál 5.1. Spočítejte integrál 1 π π y sin z ddydz. 5.. Spočítejte integrál 3 9 5.3. Nčrtněte oblst integrce yz dydzd. 1 z y π 4 z fddydz, fddzdy, 5.4. Nčrtněte oblst integrce spočítejte integrál: 1 +y 3 9 fdzdyd, fdydzd. 1 3 3 3 3 y dz dy d, π ln(sin y) z e d dz dy. 5.5. Vyjádřete integrál fdv pomocí všech možných pořdí integrce, kde E je omezené oblst E určená pomocí: ) + z = 4,, y =, y = 6, b) z =, z = y, = 1 y, 9 + 4y + z = 1. 5.6. Spočítejte E e dv kde E = {(, y, z), y 1, y, z + y}. 5.7. Spočítejte y dv kde E je shor omezená rovinou z = + y leží nd oblstí v rovině y E určené křivkmi y =, y =, = 1. 5.8. Spočítejte y dv kde E je čtyřstěn s vrcholy (,, ), (, 1, ), (1, 1, ), (, 1, 1). E 5.9. Spočítejte E dv kde E je určená prboloidem = 4y + 4z rovinou = 4. 5.1. Pomocí cylindrických souřdnic spočítejte D +y dv, kde D je těleso zdol omezené kuželem z = + y shor rovinou z =. 5.11. Pomocí sférických souřdnic spočítejte B ( + y + z ) dv, kde B je jednotková koule + y + z 1. 5.1. Určete objem těles omezeného shor sférou z = + y + z zdol kuželem z = + y. 5.13. Určete objem těles omezeného eliptickým válcem 4 + z = 4 rovinmi y =, y = z +. 5.14. Nčrtněte oblst integrce spočítejte integrály: π 4 r r dzdrdϑ, π π 1 ρ sin ϕ dρdϑdϕ. 5.15. Spočítejte E + y dv, kde E = {(, y, z), + y 4, 1 z }. 6
5.16. Spočítejte E dv, kde E je oblst uvnitř válce + y = 1, shor omezená kuželem z = 4 + 4y zdol rovinou z =. 5.17. Spočítejte E e( +y +z ) dv, kde E je oblst mezi sférmi se středy v počátku poloměry 1. 5.18. Zpište integrál pomocí cylindrických souřdnic pk ho spočítejte: 1 1 y 1 1 1 1 +y ( + y ) 3 dzdydz, 1 y +y yz dzddy. +y 5.19. Zpište integrál pomocí cylindrických souřdnic pk ho spočítejte: 3 9 3 9 9 y z + y + z dzdydz, 3 6 Křivkový integrál 9 y 18 y ( + y + z ) dzddy. +y 6.1. Určete délku spirály s prmetrizcí ϕ (t) =< cos t, sin t, t π >, pro t [, π]. 6.. Určete délku cykloidy s prmetrizcí ϕ (t) =< t sin t, 1 cos t >, pro t [, π]. 6.3. Určete délku křivky ρ = 1 + cos t, pro t [, π]. 6.4. Spočítejte ( + y) ds, kde C je kružnice se středem v (1/, ) poloměrem 1/. C 6.5. Integrujte funkci f(, y) = + y podél křivky z bodu A(, ) do B(1, 1). 6.6. Určete y sin z ds, kde C je šroubovice s prmetrizcí = cos t, y = sin t, z = t, t π. C 6.7. Určete F d r, kde F =<, y > C je horní polovin (tj. y ) elipsy C orientcí. 4 + y 9 = 1 s kldnou 6.8. Určete práci síly F = i + y j + (z y) k, která je vykonná n částici pohybující se podél křivky s prmetrizcí r(t) =< t, t, 4t 3 >, t 1 z bodu A = (,, ) do bodu B = (1,, 4). 6.9. Určete práci síly F =<, ye >, která je vykonná n částici pohybující se podél křivky = y +1 z bodu A = (1, ) do bodu B = (, 1). 6.1. Ukžte, že pole F =< e cos y +yz, z e sin y, y +z > je konzervtivní njděte jeho potenciál. Pomocí něj spočítejte integrál C F d r kde C je cest z bodu A(1,, ) do bodu B(, π, 1). 6.11. Zjistěte, zd jsou následující pole konzervtivní pokud no, njděte jeho potenciál: F (, y, z) =< e yz, ze yz, ye yz >, G(, y, z) =< 1, sin z, y cos z >. 6.1. Ukžte, že integrál nezávisí n cestě spočítejte ho: tn y d + sec y dy, C z bodu (1, ) do bodu (, π 4 ). C 6.13. Pro pole F (, y) =<, y > určete C F d r, kde C je cest y = z bodu (1, ) do bodu (, 8). (Integrál spočítejte jk přímým výpočtem podél dné křivky, tk s použitím potenciálu pole F ). 7
6.14. Pro pole F (, y) =< y 1+, y rctn > určete C F d r, kde C je křivk s prmetrizcí r(t) =< t, t > pro t 1. (Použijte potenciál pole F ). 6.15. Pomocí Greenovy věty spočítejte C 4 d+y dy, kde C je kldně orientovná hrnice trojúhelníku s vrcholy A = (, 1), O = (, ), B = (1, ). 6.16. Pomocí Greenovy věty spočítejte C F d r, kde F =< y cos, +y cos > C je cest podél celé hrnice trojúhelník postupně procházející vrcholy O = (, ), A = (, 6), B = (, ) (v tomto pořdí). 6.17. Mějme cestu C, která jde z bodu A = (, ) podél osy ž do bodu B = (, ) pk se vrátí zpět do bodu A = (, ) podél grfu funkce y = 4. Určete práci síly F =<, + y > která je vykonná n částici pohybující se podél této křivky C. 6.18. Spočítejte ( y) ds, kde C je jednotková kružnice v rovině y se středem v počátku. C 6.19. Pomocí Greenovy věty určete C (3y esin ) d + (7 + y 4 + 1) dy, kde C je kldně orientovná kružnice + y = 9. 6.. Pomocí Greenovy věty určete C < (y + 1 + 5 ), (5 e y ) > d r, kde C je kldně orientovná kružnice + y = 4. 6.1. Ověřte Greenovu větu pro F =< 3 y, + 5y >, jestliže C je kldně orientovná kružnice + y = 1. 6.. Pomocí Greenovy věty spočítejte C y d+3y dy kde C = C 1 C je hrnice mezikruží určeného záporně orientovnou kružnicí C 1 s poloměrem středem v počátku kldně orientovnou kružnicí C s poloměrem 1 středem tké v počátku. 6.3. Mějme uzvřenou křivku C, která se skládá z části jdoucí z bodu O = (, ) do bodu A = (π, ) podél křivky s prmetrizcí (t) = t cos t, y(t) = t sin t, t π, části vedoucí podél osy z bodu A = (π, ) zpátky do bodu O = (, ). Pomocí Greenovy věty určete obsh oblsti D ohrničené křivkou C. 6.4. Pomocí Greenovy věty určete obsh oblsti D ohrničené cestou C, která má prmetrizci ϕ (t) =< sin t, sin t >, t π. 7 Plošný integrál 7.1. Určete povrch oblsti v rovině + y + z = 4, která leží uvnitř válce + y = 4. 7.. Určete povrch oblsti v rovině + 3y z = 1, která leží nd čtvercem [1, 4] [, 4]. 7.3. Určete povrch části prboloidu z = + y, která leží n rovinou z = 9. 7.4. Určete povrch plochy n plášti válce + y = 1, která je vymezená rovinmi z = + y + z =. 7.5. Spočítejte S ds, kde S je jednotková sfér + y + z = 1. 7.6. Spočítejte z ds, kde S je částí válce + y = 1 mezi rovinmi z = z = + 1. S 7.7. Spočítejte yz ds, kde S je ploch s prmetrizcí = uv, y = u + v, z = u v, u + v 1. S 7.8. Spočítejte ( z + y z) ds, kde S je polosfér + y + z = 4, z. S 7.9. Určete hmotnost plochy S, která je leží n plášti kuželu z = + y je vymezená pomocí 1 z 4, jestliže její hustot je dán jko ρ(, y, z) = 1 z. (hmotnost(s) = S ρ ds). 7.1. Určete y ds, kde S je ploch n povrchu válce + z = 1 mezi rovinmi y = + y =. S 8
7.11. Určete S 1 + + y ds, kde S je šroubová ploch s prmetrizcí r (u, v) =< u cos v, u sin v, v >, u 1, v π. 7.1. Spočítejte S F d S, kde F =< y,, z >, S je část prboloidu z = 1 y pro z. 7.13. Spočítejte S F d S, kde F = e y i + ye j + y k S je část prboloidu z = + y, která leží nd čtvercem 1, y 1 je orientovná směrem vzhůru. 7.14. Spočítejte S F d S, kde F = i + y j + z k, S je část roviny 3 + y + z = 6, která leží v prvním oktntu je orientovná směrem vzhůru. 7.15. Spočítejte S F d S, kde F =<, y, z > S je uzvřená ploch s vnější orientcí, která vznikne sjednocením části prboloidu y = + z pro y 1 kruhu, který je průnikem válce + z 1 roviny y = 1. 7.16. Spočítejte S F d S, kde F =< y,, z > S je šroubová ploch s prmetrizcí r (u, v) =< u cos v, u sin v, v >, u 1, v π orientcí indukovnou touto prmetrizcí. 7.17. Kplin s hustotou 1 protéká s rychlostí dnou polem v =< y, 1, z >. Určete průtok kpliny směrem vzhůru plochou S, která je částí prboloidu z = 9 ( +y ) 4 pro +y 36. (Určete S v d S) 7.18. Teplot látky v bodě (, y, z) s vodivostí k = 6, 5 je určen funkcí u(, y, z) = y + z. Určete tepelný tok, který vteče dovnitř oblsti uvnitř válce y + z = 6 s rozmezím 4. (Určete S k u d S, kde S je povrch oblsti orientovný vnitřně.) 8 Integrální věty 8.1. Pomocí Stokesovy věty spočítejte C F d r pro F =< yz, z, y > libovolnou uzvřenou křivku C v R 3. 8.. Pomocí Stokesovy věty spočítejte S rot F d S, kde F =< yz,, e y cos z > S je polosfér + y + z = 1, z orientovná vzhůru. 8.3. Pomocí Stokesovy věty spočítejte C F d r, kde F =< z, 4, 5y > C je průnik roviny z = + 4 s válcem + y = 4. 8.4. Pomocí Stokesovy věty spočítejte S rot F d S, kde F =< y z, z, y > C je částí prboloidu z = + y, která leží uvnitř válce + y = 1 je orientovná vzhůru. 8.5. Pomocí Stokesovy věty spočítejte C F d r, kde F =< z, y, 3y > C je hrnice části roviny 3 + y + z = 3, která je v prvním oktntu. Ploch je orientovná v záporném smyslu při pohledu seshor. 8.6. Spočítejte práci síly F = ( + z ) i + (y y + ) j + (z z + y ) k vykonné n částici, která se pohybuje podél okrje části sféry + y + z = 4 ležící v prvním oktntu. Ploch je orientovná v záporném smyslu při pohledu seshor. 8.7. Pomocí Gussovy věty určete tok F plochou S (tj., plošný integrál S F d S), kde ) F = 3y z 3 i + 9 yz j 4y k S je povrch krychle s vrcholy (±1, ±1, ±1) s vnější orientcí; b) F = 3 i + y 3 j + z 3 k S je sfér + y + z = 1 s vnější orientcí. 8.8. Ověřte Gussovu větu pro vektorové pole F (, y, z) =< 3, y, z > oblst E, která je krychle vymezená rovinmi =, = 1, y =, y = 1, z = z = 1. 8.9. Pomocí Gussovy věty spočítejte S F d S, kde F =< y, z, z y > S je povrch kvádru vymezeného rovinmi =, = 3, y =, y =, z = z = 1. 8.1. Pomocí Gussovy věty spočítejte S F d S, kde F =< y, y +e z, sin(y) >, S je povrch oblsti vymezené prbolickým válcem z = 1 rovinmi z =, y = y + z =. 9
9 Fourierovy řdy { 1, t [, 1), 9.1. Nlezněte Fourierovu řdu periodického rozšíření funkce f(t) = 1, t [1, ). 9.. Pro funkci f(t) = t, t [ 1, 1], nlezněte její Fourierovu řdu. Pomocí Jordnov kritéri doszení t = 1 do nlezené řdy ukžte, že 1 k = π 6. k=1 { t + 1, t [, 1) 9.3. Pro vhodné periodické rozšíření funkce f(t) = njděte její Fourierovu řdu,, t [1, ) sinovou Fourierovu řdu kosinovou Fourierovu řdu. Určete součet kždé z řd. { t, t [, 1) 9.4. Pro vhodné periodické rozšíření funkce f(t) = njděte její Fourierovu řdu, sinovou 1, t [1, ) Fourierovu řdu kosinovou Fourierovu řdu. Určete součet kždé z řd. 9.5. Nlezněte Fourierovu řdu pro funkci f(t) = sin t. 9.6. Nlezněte Fourierovu řdu pro periodické rozšíření funkce f(t) = { sin t, t [, π),, t [π, π). 1