Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace ve fyzice Isaac Newton 643 727 Průměrná rychlost v s t Okamžitá rychlost ds v dt 0 dt ds
Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 3 / 9 Derivace v geometrii Gottfried Wilhelm Leibniz 646 76 Směrnice tečny k Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 4 / 9 Derivace funkce Definice Bud f reálná funkce spojitá v bodě a. Derivace funkce f v bodě a, značená f a), je definována jako Definice lim f a + ) f a). Bud f reálná funkce. Derivace funkce f ) je reálná funkce f ), neboli funkce, která každému bodu přiřadí derivaci v příslušném bodě.
Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 5 / 9 Nejjednodušší derivace + ) K K K 0 Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 6 / 9 Derivace mocnin 2 ) + ) 2 2 2 + 2 + 2 2 2 + 2 2 + ) 2 3 ) + ) 3 3 3 + 3 2 + 3 2 + 3 3 3 2 + 3 2 + 3 3 2 + 3 + 2 ) 3 2 Fakt Pro každé α R platí α ) α α.
Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 7 / 9 Derivace goniometrických funkcí sin sin + ) sin sin cos + cos sin sin sin + cos sin cos cos cos + ) cos cos cos cos sin sin cos cos sin cos sin sin Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 8 / 9 Derivace přirozeného logaritmu ln ln + ) ln ) ln + ln t ± ln + + t ln + ln ) t ± ln ) t ln lim t ± ) + + ) t t + ) t ln e t Substituce t, neboli. Pro 0 je t ±. t
Derivace funkcí jedné proměnné Pravidla pro derivování 9 / 9 Derivování součtu a rozdílu Věta Bud te f, g dvě spojité funkce a k konstanta. Pak platí f ) + g) ) f ) + g ) f ) g) ) f ) g ) k f ) ) k f ) Důkaz. ) f ± g)) f ± g) + ) f ± g) f + ) f ) ± [g + ) g)] f ) ± g ). ) kf ) kf +) kf ) f +) f ) k lim kf ) Derivace funkcí jedné proměnné Pravidla pro derivování 0 / 9 Derivace obecného logaritmu log a ) ln ln a ln a ln ) ln a ln ln a ln a
Derivace funkcí jedné proměnné Pravidla pro derivování / 9 Derivace součinu a podílu Věta Bud te f a g dvě spojité funkce. Pak platí ) f ) g) f ) g) + f ) g ) ) f ) f ) g) f ) g ) g) g) 2 Důkaz. Součin: f g))) f + ) g + ) f ) g) f + ) g + ) f ) g + ) + f ) g + ) f ) g) ) f + ) f ) g + ) g) g + ) + f ) g + ) lim f + ) f ) + f ) lim g + ) g) g) f ) + f ) g ) Derivace funkcí jedné proměnné Pravidla pro derivování 2 / 9 Derivace goniometrických funkcí 2 tg ) sin sin cos sin cos cos cos 2 cos cos sin sin ) cos 2 cos2 + sin 2 cos 2 cos 2 cotg cos ) cos sin cos sin sin sin 2 sin sin cos cos sin 2 sin2 cos 2 sin 2 sin 2
Derivace funkcí jedné proměnné Derivace inverzní funkce 3 / 9 Derivace inverzní funkce Věta Bud f spojitá prostá funkce a ϕ její funkce inverzní. Bud Df ). Označíme-li y f ), pak platí Důkaz. f ) ϕ y). Označme f + ) y +, a tedy + ϕy + ). lim f + ) f ) y + y + 0 0 ϕy+) ϕy) lim 0 ϕy+) ϕy) ϕy + ) ϕy) ϕ y) Derivace funkcí jedné proměnné Derivace inverzní funkce 4 / 9 Vzorce pro derivaci element. inverzních funkcí y e ) ln y) y y e ) y 2 ) 2y 2 y arcsin ) arccos ) sin y) cos y sin 2 y 2 cos y) sin y cos 2 y 2
Derivace funkcí jedné proměnné Derivace inverzní funkce 5 / 9 Vzorce pro derivaci element. inverzních funkcí 2 y arctg ) tg y) cos 2 y cos 2 y cos 2 y + sin2 y cos 2 y cos 2 y+sin 2 y cos 2 y + tg 2 y + 2 arccotg ) cotg y) sin 2 y sin 2 y + cos2 y sin 2 y sin 2 y sin 2 y+cos 2 y sin 2 y + cotg 2 y + 2 Derivace funkcí jedné proměnné Derivace složené funkce 6 / 9 Derivace složené funkce Věta Bud g funkce spojitá v bodě a f funkce spojitá v bodě g). Pak Důkaz. f g) ) f g)) g ) Označme y g) a g + ) g). f g) f g + )) f g)) ) f y + ) f y) 0 f y) lim g + ) g) f y + ) f y) f y + ) f y) lim f g)) g )
Derivace funkcí jedné proměnné Derivace složené funkce 7 / 9 Derivace mocninných funkcí a ) e ln a ) e ln a ) e ln a ln a) e ln a ln a a ln a Důkaz věty o derivaci podílu. ) f ) f ) g) ) f ) g) + f ) g) ) g) f ) g) + f ) g) 2) g ) f ) g) f ) g ) g) 2 f ) g) f ) g ) g) 2 Derivace funkcí jedné proměnné Derivace vyšších řádů 8 / 9 Derivace vyšších řádů Definice Druhou derivaci funkce f, značení f ), dostaneme, když zderivujeme derivaci funkce f ještě jednou, neboli f ) f )). n-tá derivace funkce f, značení f n) ), se dostane n postupnými derivacemi funkce, neboli f n) ) f n ) )). f ) e f ) e + e ) e + e + )e f ) + ) e + + )e ) e + + )e 2 + )e f 3) ) 2 + ) e + 2 + )e ) e + 2 + )e 3 + )e. f n) ) n + ) e
Derivace funkcí jedné proměnné Derivace vyšších řádů 9 / 9 na derivace vyšších řádů Úloha Najděte druhou derivaci funkce f ) ln +. Řešení: Dvakrát zderivujeme f ) + 2 + 2 + 2 +) 2 + 2 ) ) +) ) +) 2 f ) 0 2 ) ) 2) 2 ) 2 2 + 2 2 +) 2 2 ) +) 2 2 2 + 4 ) 2 + +) 2 2