8 Limita Derivace 81 Okolí bodu Okolím bodu a nazveme otevřený interval (a r, a + r), kde a, r jsou reálná čísla Číslo r je poloměr okolí, a jeho střed Okolí bodu a lze zapsat a <r Dohodneme se, že okolí a <rnazveme r-okolí bodu a Redukovaným okolím bodu a nazveme množinu (a r, a + r) \{a}, tj okolí bez bodu a Redukované okolí bodu a lze zapsat 0 < a <r Lze deinovat i okolí bodu, resp, jako množinu čísel větších, resp menších, než libovolné dané reálné číslo K lze zapsat >K,resp<K 82 Limita unkce Deinice 1 Nechť je unkce () deinovaná na nějakém redukovaném okolí bodu a Říkáme, že unkce () má v bodě a limitu A R, jestliže ke každému ε-okolí bodu A, eistujeδ-okolí bodu a tak, že pro R platí: Jestliže patří do δ-okolí bodu a, pak() patří do ε-okolí bodu A Zapisujeme lim a () =A Zkráceně ted lim () =A ε>0 δ >0 R: 0< a <δ () A <ε a Říkáme, že unkce () je spojitá v bodě a, jestliže lim a () =(a) Je-li unkce spojitá εψ v každém bodě množin M, říkáme, že unkce () je spojitá na M Ω A + ε A A A ε 0 a 0 δ a 1 ε >0 2 δ >0 3
A + ε A + ε A A A ε A ε 0 a δ ()i0 a δ 3 R 0 < a <δ 4 platí () A <ε Obr 1: Graické znázornění limit A R unkce () vboděa R Funkce ()nemusíbýtvboděa vůbec deinována, proto okolí bodu a musíme uvažovat redukované Na rozdíl od toho, okolí bodu A není redukované, protože unkční hodnot () mohou být rovn hodnotě A ε>0 δ>0 znamená, že ε>0 volíme libovolně a k němu hledáme δ, tj δ(ε) Pro unkce jedné reálné proměnné lze deinovat pojem jednostranných limit (Mluví se o limitě zprava či zleva) Říkáme, že unkce () má v bodě a limitu A zprava, resp zleva, jestliže ke každému ε>0, eistuje δ>0, tak, že pro R platí (a, a + δ) () A <ε, resp (a δ, a) () A <ε Zapisujeme lim () =A, resp lim () =A a+ a A + ε () ()» δ () A a B + ε A ε B B () a a a + δ a B ε a) lim () =A b) lim () =B a+ a Obr 2: Graické znázornění vlastních jednostranných limit Věta 1 Limita unkce () v bodě a eistuje, právě kdž eistují limit v tomto bodě zprava i zleva a jsou si rovn Přitom lim () = lim () = lim () a a+ a 4
AΞ a Π A B a lim () = lim () = lim () =A lim a+ a a () =A lim () =B a+ a aφ a lim a () =, lim lim () =+, lim lim a A c+ () =+ lim () = 0 + aμ () =+ lim () =A, lim a+ lim () =, lim () = 0 + a lim () =0, lim () =+ νa () =0 + () =+, lim () = a a+ lim () =, lim () =+ + Obr 3: Gra unkce () s rozmanitými tp limit 5
83 Derivace unkce v bodě Derivace unkce je jedním ze základních pojmů dierenciálního počtu Pojem derivace unkce vznikl ve druhé polovině 17 století při řešení konkrétních úloh matematik a zik Obecnou metodu řešení těchto úloh nalezli nezávisle na sobě Angličan Isaac Newton (1642 1727) a Němec Gottried Wilhelm Leibniz (1646 1716) K zavedení pojmu derivace unkce v bodě vedl především tto dvě úloh: (1) Úloha o tečně grau unkce (Leibniz), (2) Úloha o okamžité rchlosti přímočarého pohbu hmotného bodu (Newton) 1 Úloha o tečně grau unkce (geometrická motivace) Uvažujme o grau spojité unkce = (), majícím v bodě dotku T =[ 0,( 0 )] tečnu t, která není rovnoběžná s osou Úkolem je určit směrnici tečn t grau G() vbodět t ( 0 ) T ϕ 0 Obr 4: Gra unkce s tečnou t vbodět Tečna t, která není rovnoběžná s osou, je určena pevným bodem T a směrnicí k t =tgα, kdeα 0, π ) ( π,π), je velikost směrového úhlu tečn 2 2 t neboli úhlu, který b musela proběhnout kladná poloosa při svém otáčení kolem počátku v kladném smslu (proti otáčení hodinových ručiček), ab splnula s tečnou t Směrnicik t zatím neznáme Zvolme na grau G() proměnný bod M =[ 0 +, ( 0 + )], závislý na proměnné, zvanédierence (přírůstek) nezávisle proměnné Přímkas = TM je sečnou grau G() a má směrnici k s =tgβ = = ( 0 + ) ( 0 ) Proměnná = ( 0 + ) ( 0 ), se značí také ( 0 )anazývásedierence (přírůstek) unkce v bodě 0 6
( 0 + ) M s ( 0 ) T β 0 0 + Obr 5: Gra unkce a sečn s = TM Směrnice k s je unkcí proměnné Blíží-li se proměnná k číslu 0, bod M se blíží po grau G() kbodut, sečna s přechází v tečnu t asměrnicek s se blíží k směrnici k t Tečna grau G() vbodět je ted limitní polohou sečen grau G() a směrnice k t je limitou směrnice k s pro 0 čili k t =tgϕ = lim tg β = lim 0 0 = lim 0 ( 0 + ) ( 0 ) ( 0 + ) M s 1 s 2 t ( 0 ) T 0 0 + Obr 6: Sečna s přechází v tečnu t 7
2 Úloha o okamžité rchlosti přímočarého pohbu hmotného bodu (zikální motivace) Předpokládejme, že souřadnice s poloh (zvaná dráha) hmotného bodu, pohbujícícího se po přímce, na které je zavedena kartézská soustava souřadnic, je unkcí času t, tjs = (t), a že hmotný bod je v časovém okamžiku (stručně čase) t 0 v poloze T =[(t 0 )] a v čase t 0 + t v poloze M =[(t 0 + t)], kde t udává časový rozdíl Absolutní hodnota rozdílu s = (t 0 + t) (t 0 ) udává vzdálenost bodů M a T,apodíl s t = (t 0 + t) (t 0 ) t udává průměrnou rchlost pohbu hmotného bodu v časovém intervalu t 0,t 0 + t (t 0 + t) (t 0 ) s 0 T M ΞObr 7 p Průměrná rchlost v pohbu hmotného bodu v časovém intervalu t 0,t 0 + t závisí na proměnné t Blíží-li se proměnná t k číslu 0, průměrná rchlost v se blíží okamžité rchlosti v 0 pohbu hmotného bodu v čase t 0 Okamžitárchlostv 0 pohbu hmotného bodu v čase t 0 je ted limitou podílu s/ t pohbu hmotného bodu pro t 0 čili s v 0 = lim t 0 t = lim t 0 (t 0 + t) (t 0 ) t Jak při výpočtu směrnice tečn grau unkce, tak při výpočtu okamžité rchlosti přímočarého pohbu hmotného bodu, jsme se setkali s ormálně stejnou limitou, totiž limitou lim 0 S touto limitou se setkáváme při řešení mnoha dalších problémů nejen matematických Pro svůj význam a důležitost dostala tato limita zvláštní název, a to vlastní derivace unkce v bodě Představuje vlastně podíl nekonečně malých přírůstků / t, což se obvkle zapisuje d/dt lim 0 = d d Skutečnost lim 0 lze vjádřit i jinak, např: lim 0 = lim ( + h) () () (a) = lim h 0 h a a 8
Deinice 2 Nechť unkce je deinována na jistém okolí bodu 0 a nechť eistuje limita ( 0 + h) ( 0 ) lim ( ) h 0 h Limitu ( ) nazýváme derivace unkce v bodě 0 aznačíme ( 0 ) Eistuje-li derivace unkce vbodě 0 (stručně derivace ( 0 )), říkáme též, že unkce má derivaci v bodě 0 (stručně derivaci ( 0 )) () ( Limitu ( ) lzevjádřittakévetvaru lim 0 ) 0 0 Derivace unkce vbodě 0 je číslo (mluvíme o vlasní derivaci), může to býi i + nebo (mluvíme o nevlastní derivaci) 3 Geometrický význam derivace unkce v bodě Má-li unkce vbodě 0 vlastní derivaci ( 0 ), je to směrnice tečn grau G() vbodě[ 0,( 0 )] Eistence nevlastní derivace unkce vbodě 0 nás inormuje o tom, že směrový úhel tečn grau G() vbodě[ 0,( 0 )] je roven π, tj že tato tečna je rovnoběžná 2 sosou (kolmá na osu ) Funkce nemá v bodě 0 derivaci, právě kdž nelze odpovídajícím bodem grau vést k němu tečnu (např unkce = nemá v bodě = 0 derivaci, k jejímu grau nelze vést bodem [0, 0] tečnu) 4 Fzikální význam vlastní derivace unkce = (t) v bodě Derivace unkce = (t) vbodět 0 udává nejen okamžitou rchlost přímočarého pohbu hmotného bodu v časovém okamžiku t 0, ale též okamžitou rchlost změn jakékoli zikální veličin, závislé na čase t, v časovém okamžiku t 0 Příklad 1 Vpočtěte derivaci unkce () = 3 vbodě1 Řešení: () (1) 3 1 (1) = lim = lim 1 1 1 1 = lim ( 1)( 2 + +1) = 1 1 = lim( 2 + +1)=3 1 Funkce má vlastní derivaci (1) = 3 v bodě 1 Věta 2 (o vztahu mezi spojitostí a derivací) Má-li unkce vlastní derivaci v bodě 0, pak je v tomto bodě spojitá Věta obrácená neplatí Např unkce () = je spojitá v bodě 0, ale nemá derivaci v bodě 0 Ted unkce spojitá v bodě 0 nemusí mít derivaci v bodě 0 Poznámka 1(Hierarchiepojmů) Funkce má vlastní derivaci v bodě 0 unkce je spojitá v bodě 0 unkce má limitu v bodě 0 rovnou hodnotě unkce vbodě 0 unkce je deinována v bodě 0 9
84 Rovnice tečn a normál grau unkce Rovnicí přímk, která není kolmá na osu je předpis = k+ q, kdek, q jsou parametr, k je již zmíněná směrnice Rovnicí přímk, která je kolmá na osu je předpis = c, c je parametr Nechť má unkce = () derivacivbodě 0 1 Pokud je derivace ( 0 ) nevlastní, má tečna rovnici t: = 0 2 Pokud je derivace ( 0 ) vlastní, má tečna rovnici t: = ( 0 ) + q, neboť k =tgϕ = ( 0 ) Parametr q určíme z podmínk, že přímka prochází bodem T =[ 0,( 0 )] Vjde nám t: = ( 0 )( 0 )+( 0 ) Tečna grau G()vboděT =[ 0,( 0 )] neeistuje, kdž unkce není spojitá vbodě 0 nebo neeistuje derivace ( 0 ) 1 Nechť eistuje tečna t grau G() vbodět =[ 0,( 0 )], která není kolmá na některou ze souřadnicových os Máme-li určit rovnici přímk n, která prochází bodem T a je kolmá k tečně t, tjnormál grau G() vbodět, vužijem toho, že odchlka normál je o 90 větší, než odchlka tečn Ted k n =tg(ϕ +90 )= cotg ϕ = 1 tg ϕ = 1 k t Takže n: = 1 + q ( 0 ) n, a parametr q n určíme podobně jako v případě tečn Dostaneme n: = 1 ( ( 0 ) 0)+( 0 ), 2 Pokud je tečna kolmá na některou ze souřadnicových os, pak: n: = 0,je-lit (tj ( 0 )=0)a n: = 0,je-lit (tj ( 0 ) =+ ) n t ( 0 ) T 0 a) ( 0 ) R ( 0 ) 0 10
n Φ ( T t 0 ) 0 Ψt T ( n 0 ) 0 b) ( 0 )=0 c) ( 0 )=+ Obr 8: Tečna a normála Poznámka 2 Normála grau G() v bodě T eistuje, právě kdž eistuje tečna grau G() vbodět 85 Derivace unkce na množině Vedle pojmu derivace unkce v bodě zavádíme pojem derivace unkce Deinice 3 Nechť unkce je deinována na množině D() R Označme D( ) D() množinu všech bodů, ve kterých unkce má vlastní derivaci Jeli tato množina neprázdná, potom unkci, kterou je každému bodu množin D( ) přiřazeno číslo (), nazýváme derivací unkce aznačíme (stručně ji nazýváme derivací ); jejím deiničním oborem je množina D( ) Známe-li derivaci unkce, tj unkci, pak derivaci unkce vbodě 0 obdržíme tak, že vpočteme unkční hodnotu ( 0 ) Uvědomte si! Derivace unkce vbodě 0 je číslo ( 0 ) R, kdežto derivace unkce je unkce, deinovaná na množině D( ), Věta 3 Má-li unkce derivaci na množině M, pak je unkce spojitá na množině M Důležitý je případ, kd unkce má derivaci spojitou na množině M Deinice 4 Říkáme, že unkce je hladká na množině M, má-liderivaci spojitou na množině M Má-li unkce derivaci spojitou na množině M, znamená to (geometrick), že v každém bodě M eistuje tečna grau G(), která není rovnoběžná s osou, přičemž směr tečn se spojitě mění s plnulou změnou proměnné ; gra takové unkce je oblý, bez hrotů 11
86 Derivování elementárních unkcí Při výpočtu derivací (derivování) unkcí užíváme vzorce pro derivaci základních elementárních unkcí a další vzorce a pravidla, která lze odvodit z deinice derivace a z vět o limitách a spojitosti unkce Věta 4 (o derivaci a algebraických operacích) Nechť unkce a g mají vlastní derivaci v bodě 0 Potom unkce + g, g, g a také unkce g, pokud g( 0 ) 0, mají vlastní derivaci v bodě 0 aplatí: ( + g) ( 0 )= ( 0 )+g ( 0 ), [a 1 ] ( g) ( 0 )= ( 0 ) g ( 0 ), [b 1 ] ( g) ( 0 )= ( 0 ) g( 0 )+( 0 ) g ( 0 ), [c 1 ] ( ) ( 0 )= ( 0 ) g( 0 ) ( 0 ) g ( 0 ) g [g( 0 )] 2 [d 1 ] Nahradíme-li smbol a g tradičními smbol u a v, můžeme psát, že na množině M, platí: (u + v) = u + v, [a 2 ] (u v) = u v, [b 2 ] (u v) = u v + uv, [c 2 ] ( u ) u v uv = [d v v 2 2 ] jsou-li tam derivace deinován a má-li výraz [d 2 ]smsl Je-li unkce konstantní, tj = a, a R, pakje = 0 Z deinice derivace ( 0 + ) ( 0 ) ( 0 ) = lim 0 Z[c 2 ]pakplne (au) = au, a R a a = lim 0 = 0 d =0 12
TABULKA VZORCŮ [1] a =0 a R [2] ( n )=n n 1 n N, R ( α )=α α 1 α R, R + [3] (e ) =e R [4] (a ) = a ln a a > 0, a 1, R [5] (ln ) = 1 R + [6] (log a ) = 1 a>0, a 1, R + ln a [7] (sin ) =cos R [8] (cos ) = sin R [9] (tg ) = 1 ( π cos 2 2 2 k Z [10] (cotg ) = 1 sin 2 (kπ, (k +1)π) k Z [11] (arcsin ) 1 = ( 1, 1) 1 2 [12] (arccos ) 1 = ( 1, 1) 1 2 [13] (arctg ) = 1 R 1+ 2 [14] (arccotg ) = 1 R 1+ 2 [15] (sinh ) =cosh R [16] (cosh ) =sinh R [17] (tgh ) 1 = cosh 2 R [18] (cotgh ) = 1 sinh 2 R \{0} [19] (argsinh ) 1 = R 2 +1 [20] (argcosh ) = 1 2 1 (1, + ) [21] (argtgh ) = 1 1 2 ( 1, 1) [22] (argcotgh ) = 1 1 2 (, 1) (1, + ) 13
Věta 5 (o derivaci složené unkce) Nechť unkce g má vlastní derivaci v bodě 0 a unkce má vlastní derivaci v bodě g( 0 ) Potom složená unkce g má vlastní derivaci v bodě 0 aplatí (g) ( 0 )= (g( 0 )) g ( 0 ) [e 1 ] Je-li M neprázdná množina všech čísel D(g ), pro která je g() D( ), pak složená unkce g má derivaci (g) na množině M aprokaždé M je (g) () = (g()) g () [e 2 ] Jinými slov: dg d = d dg dg d Ukazuje se, že je často třeba říci, jaká proměnná je ve jmenovateli vzorce pro výpočet derivace Mluvíme pak o derivaci podle proměnné Takže derivace složené unkce g je součinem derivace podle g aderivaceg podle Příklad 2 Vpočtěte derivaci unkce F () =(3 4 5 2 +3) 6 Řešení: Pro lepší představu popíšeme složenou unkci F = g schématem g (3 4 5 2 +3) (3 4 5 2 +3) 6, kde g() =3 4 5 2 +3 a (g) =g 6 Podle vzorců z vět o derivaci a algebraických operacích a z tabulk je d dg =6g5 a dg d =123 10 Takže F () =g() = d dg dg d =6(34 5 2 +3) 5 (12 3 10), R Při výpočtu derivace složené unkce zpravidla píšeme výsledek přímo, bez vpisování jednotlivých složek Poznámka 3 Derivace polnomické unkce je opět polnomická unkce, ale její stupeň je o jeden nižší Platí to obecně pro polnomickou unkci nejméně 1 stupně Příklad 3 Vpočtěme derivaci unkce cos 3 Řešení: (cos 3 ) =3cos 2 ( sin ) = 3cos 2 sin, R 14
Věta 6 (o derivaci inverzní unkce) Nechť je dána unkce a 1 je unkce k ní inverzní Nechť unkce má v bodě 0 vlastní derivaci ( 0 ) 0 Potom unkce 1 má derivaci v bodě 0 = ( 0 ) aplatí Jinými slov: Je-ji = (), je = 1 () Takže ( 1 ) (0 )= 1 ( 0 ) [ 1] ( 1 ) () = d d = 1 d d = 1 () Příklad 4 Odvoďme vzorec pro derivaci unkce arcsin Řešení: Funkce arcsin je spojitá a prostá na intervalu 1, 1, který zobrazuje na interval π, π d Položíme-li =arcsin, je =sin a =cos Je ted 2 2 d (arcsin ) = d d = 1 d d = 1 cos Vzhledem k tomu, že cos π =cos( ) π 2 2 = 0, musíme krajní bod obou intervalů z dalších úvah vloučit (zlomek b neměl smsl) Ze vztahu sin 2 +cos 2 = 1 plne, že cos 2 =1 sin 2, odkud cos = 1 sin 2 Protože ( π 2, π 2 ),jecos>0atedcos = 1 2 Dosazením dostaneme (arcsin ) = 1, ( 1, 1) 1 2 87 Logaritmická derivace unkce Při výpočtu derivace unkce () =, R +, se při našich dosavadních znalostech dostáváme do obtíží Nemůžeme použít ani vzorec pro derivaci mocninné unkce α, protože mocnitel není konstantní, ani vzorec pro derivaci eponenciální unkce a, protože základ není konstantní Můžeme však použít rovnost a vzorec pro derivaci složené unkce: ( ) = ( e ln ) =e ln =e ln ( ln + 1 ) = (ln +1) 15
Můžeme také vjít od derivace logaritmu unkce a postupovat takto: (ln ) = 1 ( ), takže ( ) = (ln ) = ( ln ) = (ln +1) Tento postup se nazývá logaritmická derivace unkce Oba postup užíváme při výpočtu derivace unkcí tvaru () g(), { R; () > 0} Podle prvního postupu ( ) () g() ( ) = e g()ln() = ( =e g()ln() g ()ln()+g() () () = () g() ( g ()ln()+g() () () ) = Podle druhého postupu ( ) ln () g() 1 ( ) = () g(), () g() odkud ( ) () g() ( = () g() ln () g()) = () g() (g()ln()) = ( = () g() g ()ln()+g() ) () () Oba postup vedou ke vzorci ( ) ( () g() = () g() g ()ln()+g() ) () () Příklad 5 Vpočtěme derivaci unkce () = ( 1 2 +1) 2, R Řešení: ) ( ) () = (e 2 ln 1 2 1 2 ln 1 +1 =e 2 +1 2 ln = 2 +1 ( ) 2 [ ( 1 1 = 2ln 2 +1 2 +1 +2(2 +1) 2 )] = ( 2 +1) 2 ( ) 2 ( ) 1 1 =2 ln 2 +1 2 +1 22, R 2 +1 ) 16