Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16
1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz. Při samotném vyplňování testu - pozor na nechtěné odhlášení. Příkladová skripta. Testování na webu katedry matematiky. Přednášky web atd. Skriptum Bubeník Zindulka Matematika 1: 1. přednáška - strany 67-76 a dodatky na stranách 136-148 2. přednáška - strany 77-99 3. přednáška - strany 100-106. Učebnice Budínský Charvát Matematika 1. 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 2 / 16
Připomenutí pojmu limity funkce v bodě. 1.2 1 0.8 y f k ) Bod a je hromadný bod množiny M jestliže δ > 0 M : a < δ 0.6 0.4 0.2 f05) Ekvivalentní definice limity funkce v bodě: Heineova definice limity funkce v bodě 0 k 0.2 0 0.5 1 1.5 2 Nechť 0 je hromadný bod Df ). Funkce f má v bodě 0 limitu L jestliže pro každou posloupnost { k } k=1 takovou že { k } k=1 Df ) a lim k = 0 platí lim f k ) = L. k 1 Příklad. Neeistence lim 0 sin 1. Zvolíme posloupnosti k = 1 2kπ 1 k = 2kπ+π/4. Pak f k ) = sin 2kπ = 0 f k ) = sin2kπ + π/4) = 2/2. 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 3 / 16
y Derivace funkce v bodě Nechť je funkce f definována na nějakém okolí bodu 0 Df ). Jestliže eistuje vlastní) limita lim h 0 f 0 + h) f 0 ) h řekneme že funkce f má první) vlastní) derivaci v bodě 0. Derivace je rovna hodnotě uvedené limity. Derivaci funkce f v bodě 0 značíme f 0 ) d f d 0) nebo d d f 0). Příklad. f ) = 2 0 = 3 lim h 0 3+h) 2 3 2 h = = lim h 0 9+6h+h 2 9 h = = lim h 0 6h+h 2 h = = lim h 0 6 + h) = 6 tedy f 3) = 6 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 f +h) 0 f f ) 0 +h) f 0 ) 0 α h 0 0 +h 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 4 / 16
y 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 f 0 ) α h f 0 +h) f 0 +h) f 0 ) y 2 1.5 1 0.5 f 0 ) teèna seèna f 0 +h) 0 0.2 0 0 +h 0 0 0 +h 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Směrnicová rovnice přímky v rovině y = k + q kde k = tg α. Derivace je směrnice tečny grafu funkce f v bodě 0. Rovnice tečny grafu funkce f v bodě 0 je tedy y = f 0 ) + q y = f 0 ) + f 0 ) 0 ). 1.2 Úhel dvou křivek tedy úhel pod kterým se protínají dvě křivky) γ - ze 2 směrnic k 1 k 2 tečen 2 1 y křivek v bodě průniku γ = arctg k 1 k 2 1 + k 1 k 2 jestliže k 1 k 2 1. Jestliže k 1 k 2 = 1 je úhel α = π/2.) Důkaz: tgγ) = tgβ α) = 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 γ α 0 0.5 1 1.5 2 sinβ α) sin β cos α sin α cos β tgβ tgα = = cosβ α) cos β cos α + sin β sin α 1 + tgαtgβ. β 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 5 / 16
Jednostranná derivace. Derivace funkce f v bodě 0 zleva je f 0) = lim h 0 f 0 +h) f 0 ) h derivace funkce f v bodě 0 zprava je f + 0) = lim h 0+ f 0 +h) f 0 ) h. 1.5 0.8 1 Df) = R f) = 1 f 0) + = f) = sin) 1/2 0.6 0.4 0.2 0 0.2 f 0) = 1 f 0) + =1 0 1 0.5 0 0.5 1 0.5 0 0 Df) = <0π> 0.5 1 0 1 2 3 4 π ) Příklad. sin) sinh) sinh) =0 = lim h 0+ = lim + h h 0+ 1 = 1 =. h h Funkce f má derivaci v bodě 0 právě když eistují obě jednostranné derivace v bodě 0 a jsou si rovny. Potom f 0 ) = f 0) = f + 0). 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 6 / 16
Zapamatujme si následující důležité tvrzení. Věta Má-li funkce vlastní konečnou) derivaci v bodě 0 Df ) je v tomto bodě spojitá. Opačná implikace neplatí. Důkaz. Nechť 0 Df ) a nechť f 0 ) eistuje. Pak funkce f je definována na nějakém okolí bodu 0 a platí f f ) f 0 ) 0 ) = lim 0 0 tedy lim f ) = lim f 0 ) + f ) f ) 0) 0 ) = lim f 0 )+ lim 0 0 0 0 Tím je spojitost dokázána. = f 0 ) + f 0 ) 0 = f 0 ). f ) f 0 ) 0 0 lim 0 0 ) = Naopak např. funkce g) = je spojitá ale v bodě 0 = 0 nemá derivaci resp. derivace zleva je 1 a derivace zprava je 1 tedy derivace v bodě 0 = 0 neeistuje. 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 7 / 16
Derivace na intervalu. Řekneme že funkce f má derivaci na intervalu a b) jestliže má derivaci v každém bodě intervalu a b). Derivaci na intervalu značíme f nebo d f d. Jak derivaci spočítat? Pro elementární funkce lze odvodit vzorce. Příklad. 2 ) 0 + h) 2 0 2 =0 = lim h 0 h 2 0 h + h 2 = lim = h 0 h = lim 2 0 + lim h = h 0 h 0 = 2 0 = sin)) sin 0 + h) sin 0 ) =0 = lim = h 0 h sin h 2 = lim cos h 0 h 2 = cos 0 ) 2 0 +h 2 = 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 8 / 16
Tabulka derivací. je proměnná z definičního oboru dané funkce a je reálná konstanta n je celočíselná konstanta a) = 0 = 1 2 ) = 2... n ) = n n 1 pro R n ) = n n 1 pro 0 n < 0 a ) = a a 1 pro > 0 arcsin) = sin ) = cos cos ) = sin tg ) = 1 cos 2 cotg ) = 1 sin 2 1 1 1 2 arccos) = 1 2 arctg) = 1 1 + 2 arccotg) = 1 1 + 2 e ) = e a ) = a ln a ln ) = 1 loga ) = 1 ln a. 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 9 / 16
Pro výpočet derivací platí následující obecná pravidla zde f g jsou funkce c je reálná konstanta) cf ) = cf f + g) = f + g fg) = f g + fg ) f = f g fg g g 2. Příklad. 7 3 ) = 21 2 sin) ) = cos) 1 1 2 5 ln ) = 5 4 ln + 5 1 = 5 4 ln + 4 e 3 ) = 3e3 + 1) e 3 + 1 + 1) 2 = e3 3 + 2) + 1) 2. 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 10 / 16
Věta a) Jestliže eistují derivace g ) a f g)) je derivace složené funkce f o g)) f o g) ) = f g)) = f g))g ). b) Jestliže eistuje derivace f f 1 )) je derivace inverzní funkce f 1 ) ) f 1) ) = 1 f f 1 )). Příklad. a) sin 3 )) = cos 3 )3 2 b) ln ) = 1 e ln Důkaz. Pouze naznačení důkazu. Počítejme limitu f g + h)) f g)) lim = lim h 0 h Počítejme f g + h)) f g)) h 0 g + h) g) = 1 g + h) g) h = = f g))g ). f 1 + h) f 1 ) y + s y lim = lim h 0 + h s 0 f y + s) f y) = 1 f y) = 1 f f 1 )). 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 11 / 16
Cvičení. 2 + cos ) 2 cos ) e tg ) e sin ) ) sin ln sin 4) sine + 2)) 4 ) arctg 1 ). 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvičení. 2 + cos ) = derivace součtu) = 2 sin 2 cos ) e tg ) e sin ) ) sin ln sin 4) sine + 2)) 4 ) arctg 1 ). 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvičení. 2 + cos ) = 2 sin 2 cos ) = derivace součinu) = 2 cos 2 sin e tg ) e sin ) ) sin ln sin 4) sine + 2)) 4 ) arctg 1 ). 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvičení. 2 + cos ) = 2 sin 2 cos ) = 2 cos 2 sin e tg ) = derivace součinu) = e tg + e 1 cos 2 e sin ) ) sin ln sin 4) sine + 2)) 4 ) arctg 1 ). 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvičení. 2 + cos ) = 2 sin 2 cos ) = 2 cos 2 sin e tg ) = e tg + e 1 cos 2 e sin ) = součin 3 = e sin + e sin + e cos ) = e sin + e sin + e cos ) sin ln sin 4) sine + 2)) 4 ) arctg 1 ). 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvičení. 2 + cos ) = 2 sin 2 cos ) = 2 cos 2 sin e tg ) = e tg + e 1 cos 2 e sin ) = e sin + e sin + e cos ) = e sin + e sin + e cos ) sin = derivace podílu) = cos ln sin 1 ln ln 2 sin 4) sine + 2)) 4 ) arctg 1 ). 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvičení. 2 + cos ) = 2 sin 2 cos ) = 2 cos 2 sin e tg ) = e tg + e 1 cos 2 e sin ) = e sin + e sin + e cos ) = e sin + e sin + e cos ) sin = cos ln sin 1 ln ln 2 sin 4) = derivace složené funkce) = 4 cos 4 sine + 2)) 4 ) arctg 1 ). 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvičení. 2 + cos ) = 2 sin 2 cos ) = 2 cos 2 sin e tg ) = e tg + e 1 cos 2 e sin ) = e sin + e sin + e cos ) = e sin + e sin + e cos ) sin = cos ln sin 1 ln ln 2 sin 4) = 4 cos 4 sine + 2)) = derivace složené funkce) = cose + 2)) e + 2) 4 ) arctg 1 ). 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvičení. 2 + cos ) = 2 sin 2 cos ) = 2 cos 2 sin e tg ) = e tg + e 1 cos 2 e sin ) = e sin + e sin + e cos ) = e sin + e sin + e cos ) sin = cos ln sin 1 ln ln 2 sin 4) = 4 cos 4 sine + 2)) = cose + 2)) e + 2) 4 ) = derivace složené funkce) = e ln 4 ) = e ln 4 ln 4 2 = 4 ln 4 2 arctg 1 ). 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvičení. 2 + cos ) = 2 sin 2 cos ) = 2 cos 2 sin e tg ) = e tg + e 1 cos 2 e sin ) = e sin + e sin + e cos ) = e sin + e sin + e cos ) sin = cos ln sin 1 ln ln 2 sin 4) = 4 cos 4 sine + 2)) = cose + 2)) e + 2) 4 ) = e ln 4 ln 4 2 = 4 ln 4 2 arctg 1 ) 1 = derivace složené funkce) = 1 + 1 2 1 2 = 1 2 + 1. 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Cvičení. 2 + cos ) = 2 sin 2 cos ) = 2 cos 2 sin e tg ) = e tg + e 1 cos 2 e sin ) = e sin + e sin + e cos ) = e sin + e sin + e cos ) sin = cos ln sin 1 ln ln 2 sin 4) = 4 cos 4 sine + 2)) = cose + 2)) e + 2) 4 ) e ) ln 4 = e ln 4 ln 4 2 = 4 ln 4 arctg 1 ) = 1 1 + 1 2 1 2 = 1 2 + 1. 2 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 12 / 16
Užitečným trikem pro výpočet derivace výrazu typu f ) g) je převedení výrazu podle vztahu a b = e b ln a a f ) g)) = e g) ln f )) = e g) ln f ) g ) ln f ) + g)f ) f ) = f ) g) g ) ln f ) + g)f ) ). f ) ) = Příklad. ) sin ) = e sin ln = e sin ln cos ln + sin 1 ) = cos sin ln + 1 ) sin. 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 13 / 16
Dva důležité příklady. Funkce f ) = je spojitá na Df ) = R ale derivace f ) je definována pouze na Df ) = R \ {0}. Funkce g) = 2 sin 1 je definována na R \ {0} ale lze spojitě dodefinovat v bodě = 0 a to hodnotou 0. Tedy Dg) = R. Pro derivaci platí pro 0. V bodě = 0 je derivace g ) = 2 sin 1 cos 1 g g) 0 2 sin 1 0) = lim = lim 0 0 0 Tedy Dg ) = R ale g není spojitá v bodě = 0 protože lim 2 sin 1 0 cos 1 ) neeistuje. = lim 0 sin 1 = 0. 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 14 / 16
Příklad. Pozice bodu pohybujícího se po přímce st) v čase t. Změna pozice ku délce časového intervalu udává průměrnou rychlost bodu Limita tohoto podílu pro t 2 t 1 st 2 ) st 1 ) lim t 2 t 1 t 2 t 1 v p = st 2) st 1 ) t 2 t 1. ) st 1 + h) st 1 ) = lim h 0 h je hodnotou okamžité rychlosti v čase t 1 s t 1 ). Okamžité zrychlení v čase t 1 je s t 1 ).) Příklad. Poloměr kruhu se rovnoměrně zvětšuje stálou rychlostí v [ ] m s. Jakou rychlostí v [ ] jednotkách m 2 ) se zvětšuje obsah tohoto kruhu? s Označme rt) poloměr kruhu v čase t. Obsah kruhu v čase t je pak St) = πrt) 2. Přírůstek obsahu od času t 1 do času t 2 je St 2 ) St 1 ).) Okamžitá rychlost změny obsahu v čase t 1 je S t) = πrt) 2 ) = pravidla... = 2πrt)r t) = 2πrt)v. 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 15 / 16
Příklad. Dostředivé zrychlení. Nechť pozice bodu v čase t má souřadnice t) yt)) t) = r cosct) yt) = r sinct) kde c r jsou reálné konstanty. Pak vektor okamžité rychlosti je vt) = c r sinct) c r cosct)) 1 0.5 0 S a v a vektor okamžitého dostředivého) zrychlení je at) = c 2 r cosct) c 2 r sinct)). 0.5 1 1 0.5 0 0.5 1 Příklad. Rychlost a zrychlení bodu bohybujícího se po šroubovici t) = r cosct) yt) = r sinct) zt) = bt kde b c r jsou reálné konstanty. 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 16 / 16