Matematika I Reálná funkce jedné promìnné

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky

Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme reálnou funkcí, jestli¾e obor hodnot H(f) = R. nejèastìji: D(f) R f : x y x... nezávisle promìnná velièina y... závisle promìnná velièina

Operace s funkcemi Def. Jsou dány funkce f, f 2 s denièními obory A, A 2. Nech» pro neprázdnou mno¾inu A platí: A A A 2. Potom lze denovat následující funkèní operace: rovnost funkcí f, f 2 - funkce f, f 2 jsou si rovny na mno¾inì A, jestli¾e x A : f (x) = f 2 (x) souèet (rozdíl) funkcí f, f 2 - x A : (f ± f 2 )(x) = f (x) ± f 2 (x) souèin funkcí f, f 2 - x A : (f f 2 )(x) = f (x) f 2 (x) podíl funkcí f, f 2 - x A : ( f f 2 ) (x) = f (x) f 2 (x), f 2(x) 0 c-násobek funkce f - x A : (c f )(x) = c f (x), c R absolutní hodnota funkce f - x A : ( f )(x) = f (x) Dal¹í operace: restrikce, inverze, skládání.

Graf funkce Def. Grafem funkce f s denièním oborem D(f) = A R nazveme mno¾inu v¹ech bodù v rovinì s kartézskou soustavou souøadnic (O, x, y), které mají tvar [x, f(x)], kde x A. y y x x

Denièní obor Urèete denièní obor funkce g : y = 2x 3 4 + 3x 2x 2

Vlastnosti funkcí - sudá a lichá funkce Funkce f se nazývá sudá funkce, jestli¾e pro ka¾dé a D(f) je f( a) = f(a). Funkce f se nazývá lichá funkce, jestli¾e pro ka¾dé a D(f) je f( a) = f(a). y y f( a) f(a) f( a) a a x f(a) a a x sudá funkce lichá funkce

Vlastnosti funkcí - periodická funkce Funkce f se nazývá periodická funkce, jestli¾e existuje takové reálné èíslo p, ¾e pro ka¾dé x D(f) je také x + p D(f) a platí f(x + p) = f(x) Èíslo p oznaèujeme jako periodu funkce. Nejmen¹í kladné èíslo p, které splòuje tuto podmínku nazýváme základní perioda funkce. ukázka periodických funkcí y = sin x a y = sin 2x y p sin 2x x sin x

Vlastnosti funkcí - monotonie Mìjme funkci f a podmno¾inu M jejího denièního oboru Funkce f se nazývá rostoucí na mno¾inì M, jestli¾e pro ka¾dé dva prvky x, x 2 M platí: je-li x < x 2, pak f(x ) < f(x 2 ). Funkce f se nazývá klesající na mno¾inì M, jestli¾e pro ka¾dé dva prvky x, x 2 M platí: je-li x < x 2, pak f(x ) > f(x 2 ).

Vlastnosti funkcí - monotonie Funkce f se nazývá neklesající na mno¾inì M, jestli¾e pro ka¾dé dva prvky x, x 2 M platí: je-li x < x 2, pak f(x ) f(x 2 ). Funkce f se nazývá nerostoucí na mno¾inì M, jestli¾e pro ka¾dé dva prvky x, x 2 M platí: je-li x < x 2, pak f(x ) f(x 2 ). Rostoucí a klesající funkce oznaèujeme souhrnnì jako funkce ryze monotónní. V¹echny tyto ètyøi typy funkcí pak souhrnnì oznaèujeme za monotónní funkce.

Vlastnosti funkcí - monotonie y y 3 2 3 2 2 3 x 2 3 x rostoucí y klesající y 2 2 4 3 2 2 3 4 x 4 3 2 2 3 4 x 2 2 nerostoucí neklesající

Prostá funkce Funkce f s denièním oborem D(f) se nazývá prostá funkce, jestli¾e pro ka¾dou dvojici x, x 2 D(f), x x 2 platí, ¾e f(x ) f(x 2 ). Ryze monotónní funkce jsou prosté. Jak poznáme z grafu, zda se jedná o prostou funkci? Aby funkce byla prostá, ¾ádná dvojice navzájem rùzných x x 2 z denièního oboru nesmí mít stejnou funkèní hodnotu, tzn. nesmí se nám stát, ¾e by libovolná rovnobì¾ka s osou x protla graf funkce ve dvou a více bodech.

Prostá funkce y 2 y = x + y 3 y = x 2 2 2 2 x 2 2 2 x prostá neprostá

Prostá funkce K prosté funkci existuje tzv. funkce inverzní, která je opìt prostá a zobrazuje mno¾inu H(f) na mno¾inu D(f). Znaèíme f. Platí pro ni f : x = f (y), D(f ) = H(f), H(f ) = D(f), pøièem¾ x = f (y) y = f(x), x D(f) = H(f ), y H(f) = D(f )

Inverze funkce Urèete inverzní funkci k funkci f : y = 2x x 2.

Skládání funkcí Slo¾ená funkce existuje v pøípadì, kdy je nezávisle promìnná jedné funkce funkcí hodnot jiné. Ilustrujme si to jednoduchém pøípadu: pøedpokládejme, ¾e funkce y = f(u) = 2u + 50 vyjadøuje závislost týdenní mzdy dodavatele ultrazvukù na poètu prodaných pøístrojù. Pøedpokládejme dále, ¾e týdenní mno¾ství prodaných pøístrojù závisí na jejich cenì, co¾ lze popsat pomocí funkce kde x je cena pøístroje v tis. Kè. u = g(x) = 50 2, 5x, Chceme-li vypoèítat týdenní mzdu dodavatele, musíme tyto dvì funkce navzájem slo¾it, nebo» mzda je závislá na poètu prodaných výrobkù a ten závisí na jejich cenì: y = f(u) = 2u + 50 = 2(50 2, 5x) + 50 = 300 5x + 50 = 350 5x Mzda dodavatele je tedy funkcí ceny pøístrojù, tj. y = f(x) = 350 5x.

Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí Je dána libovolná mno¾ina X. Konstantní funkce. Pro r R je konstanta k r : X R dána pøedpisem x X : k r (x) = r. Charakteristická funkce. Pro ka¾dou podmno¾inu M X denujeme její charakteristickou funkci ch M : X R pøedpisem: ch M (x) = { pro x M 0 pro x / M

Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí Absolutní hodnota. Funkce udávající vzdálenost daného èísla na èíselné ose od poèátku, denovaná: y = x = { x pro x 0 x pro x < 0 Signum. Funkce signum je denována: y = pro x < 0 pro x > 0 0 pro x = 0

Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí ukázky:

Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí Lineární funkce. Pro ka¾dá dvì reálná èísla a, b denujeme lineární funkci y = ax + b. a.... smìrnice pøímky, která je grafem funkce: a = tgα, kde α je orientovaný úhel, jeho¾ prvním ramenem je kladnì orientovaná osa x a druhým graf dané lineární funkce.

Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí Vlastnosti lineárních funkcí y = ax + b a = 0 a > 0 a < 0 y = ax + b (a =0) y = ax + b (a >0) y = ax + b (a <0) D(f) = R H(f) = omezená {b} nerostoucí a neklesající není prostá x R má max a min D(f) = R H(f) = R neomezená rostoucí prostá nemá ani max, ani min D(f) = R H(f) = R neomezená klesající prostá nemá ani max, ani min

Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí Algebraickou funkcí rozumíme ka¾dou funkci f : y = f(x), kterou lze vytvoøit pomocí (koneèného poètu) operací sèítání, odèítání, násobení, dìlení, umocòování a odmocòování. Rozdìlujeme je funkce racionální a iracionální.. Racionálními funkcemi oznaèujeme souhrnnì polynomické funkce (celé racionální funkce) a lomené racionální funkce (a) Polynomická funkce je ka¾dá funkce daná pøedpisem f : y = P n (x) = a n x n +a n x n +...+a x+a 0, x R, a i R tj. ka¾dá funkce její¾ funkèní hodnoty pøedstavují polynom (n-tého stupnì) promìnné x. Denièním oborem D(f) racionální celistvé funkce f je mno¾ina R.

Pøehled nejèastìji pou¾ívaných funkcí (b) Lomená racionální funkce je ka¾dá funkce daná pøedpisem ve tvaru f : y = P n(x) Q m (x) = a nx n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +... + b x + b 0, Q m (x) 0, kde P n, Q m jsou nesoudìlné polynomy. Dùle¾itým pøípadem racionálních lomených funkcí jsou lineární lomené funkce, speciálnì nepøímá úmìrnost. 2. Iracionální funkce je ka¾dá funkce, která není racionální.

Elementární funkce Základními elementárními funkcemi se nazývají funkce mocninné, exponenciální, goniometrické a cyklometrické. Elementární funkcí nazýváme ka¾dou funkci, která buï patøí mezi základní elementární funkce nebo je z nich vytvoøena pomocí koneèného poètu základních algebraických operací (sèítáním, odèítáním, násobení, dìlením) nebo skládáním funkcí. elementární funkce algebraické transcendentní (nealgebraické) racionální iracionální polynomické racionální lomené

Obecná mocnina Vlastnosti mocninných funkcí f : y = x n, n N n liché n sudé 3 y = x 9 y = x 5 y = x 3 2 y = x 2 2 4 3 y = x 8 y = x 4 y = x 2 2 2 3 2 2 D(f) = R, H(f) = R D(f) = R, H(f) = 0, + ) lichá sudá neomezená zdola omezená rostoucí rostoucí v 0, + ), klesající v (, 0 nemá extrémy ostré min v bodì 0, nemá max

Obecná mocnina V rámci státu se ¹íøí epidemická nákaza. Podle odhadù Ministerstva zdravotnictví lze poèet osob posti¾ených nákazou vyjádøit pøibli¾nì pomocí funkce èasu, od kdy byla nákaza poprvé zji¹tìna: n(t) = 0, 05t 3 +, 4 kde n(t) je poèet osob posti¾ených nákazou (ve stovkách) a t èas v mìsících od okam¾iku, kdy byl diagnostikován první pøípad nákazy. Pøedpokládá se, ¾e tato aproximaèní funkce má dostateènou pøesnost pro 0 t 30. Po 30 dnech mìla nemoc pøirozený prùbìh. Kolik osob dostane nemoc po 0 dnech od prvního diagnostikování nákazy? øe¹ení: Poèet naka¾ených osob po 0 dnech od vypuknutí epidemie je

Exponenciální funkce Exponenciální funkce o základu a je funkce f : y = a x, a > 0, a, D(f) = R Exponenciální funkce o základu 0 se nazývá dekadická exponenciální funkce. V praxi má velký význam exponenciální funkce se základem e. = 2, 7, tzv. Eulerovým èíslem, kterou nazýváme pøirozená exponenciální funkce. y = e x Grafem exponenciálních funkcí je køivka, zvaná exponenciála.

Exponenciální funkce Vliv základu exponenciální funkce na její prùbìh: y = ( ) x 0 9 y =0 x 8 7 y = ( ) x 6 6 5 y =6 x 4 3 y = ( ) x 3 2 y =3 x 2 2

Exponenciální funkce Exponenciální funkce hrají významnou roli v rùzných procesech rùstu nebo poklesu - napø. populaèní rùst, oceòování majetku a nemovitostí, inace, rùst HDP, pokles míry incidence urèité nemoci a dal¹í.

Exponenciální funkce Vlastnosti exponenciálních funkcí y = a x a > 0 < a < y = a x a> y = a x 0 <a< 0 0 D(f) = R, H(f) = (0, + ) zdola omezená rostoucí prostá nemá extrémy D(f) = R, H(f) = (0, + ) zdola omezená klesající prostá nemá extrémy

Logaritmická funkce Logaritmická funkce o základu a f : y = log a x, a > 0, a, D(f) = (0, + ) je funkce inverzní k exponenciální funkci o tém¾e základua. Podle její denice tedy platí velmi dùle¾itý vztah:

Logaritmická funkce Vlastnosti logaritmických funkcí f : y = log a x a > 0 < a < 3 3 y = a x 2 y = x y =log a x y = a x 2 y = x 2 2 3 2 D(f) = (0, + ), H(f) = R neomezená rostoucí prostá nemá extrémy 2 2 3 y =log a x 2 D(f) = (0, + ), H(f) = R neomezená klesající prostá nemá extrémy

Pøíklad - pamì» Cílem øízeného experimentu je popsat úèinky èasu na lidskou pamì». Úèastníci experimentu byli po¾ádáni, aby si prohlédli obrázek, který obsahoval velký poèet rùzných objektù. Pak byli ¾ádáni v rùzných èasových intervalech, aby si vzpomnìli na pokud mo¾no co nejvíce objektù. Na základì získaných výsledkù byla vytvoøena funkce R(t) = 84 25 ln t, t, kde R(t) pøedstavuje prùmìrnou procentuální pamì» (vybavených objektù) a t dobu uplynulou od prohlí¾ení obrázku (v hodinách). (a) Jaké je prùmìrné procentuální vybavení si objektù hodinu po prohlédnutí obrázku? (b) Jak veliká bude tato hodnota po 0 hodinách? (c) Naèrtnìte funkci R(t).

Pøíklad - pamì» øe¹ení: (a) f() = 84 25 ln = 84 25 0 = 84 Hodinu po prohlédnutí obrázku si úèastníci experimentu pamatovali prùmìrnì 84% zobrazených objektù. (b) f(0) = 84 25 ln 0 = 84 25 2, 3026 = 26, 435 Deset hodin po prohlédnutí obrázku si úèastníci experimentu pamatovali v prùmìru ji¾ jen 26, 4% zobrazených objektù. (c) R(t) 00 80 60 40 R(t) = 84 25 ln t 20 2 4 6 8 0 2 4 6 8 20 t

Goniometrické a cyklometrické funkce goniometrické: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x cyklometrické: Restrikcí goniometrických funkcí na vhodné intervaly dosáhneme toho, ¾e je mo¾no k nim najít funkce inverzní. D(f) H(f) y = arcsin x, π 2, π 2 y = arccos x, 0, π y = arctg x (, ) ( π 2, π 2 ) y = arccotg x (, ) (0, π)

Hyperbolické funkce Hyperbolický sinus Hyperbolický kosinus sinh x = ex e x 2, x (, ) = ex +e cosh x 2, x (, ) Hyperbolický tangens Hyperbolický kotangens tanh x = cosh sinh x x = ex e x e x +e x, x (, ) coth x = cosh sinh x x = ex +e x e x e x, x 0