Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f ( ) je objem otevřené krabice která je vyrobena z obdélníkového kartonu 0 8cm tak že se v rozích vyřízly čtverce o straně a vzniklé obdélníky po stranách se ohnuly nahoru. ) Najděte alespoň jednu funkci s definičním oborem D a oborem hodnot H tak aby platilo: D R a H { } b) D N a H je množina všech kladných celých čísel D R \ a H je libovolný. c) { } ) V následujícím obrázku jsou nakresleny křivky. Ve kterém případě se může jednat o graf nějaké funkce a ve kterém ne? 4) Zjistěte které z následujících funkcí f g resp. h (s přirozeným definičním oborem) se sobě rovnají: f ( ) g( ) b) f ( ) g( ) c) f ( ) g( ) + + f ( ) ln g( ) ln e) f g ( ) h ( ) ( ) ( ). ) Najděte zúžení funkcí z předchozího příkladu tak aby se takto vzniklé funkce sobě rovnaly. ) Najděte (přirozené) definiční obory následujících funkcí f je-li f ( ) rovno: 7 + + b) + + + 4 f) ( ) e) + h) ( )( + ) i)
j) k) + l) 4 4 m) 4 4 p) ln ( ) n) ( ) r) ln ( e e ) + o) s) t) tg u) ln ( cos ) v) ) sin ln + y) sin z) + ln + + sin + 9 + sin 7) Doplňte chybějící sloupce v následující tabulce (znak N znamená že funkce není definovaná): f ( ) g( ) ( f + ( ) ( f ( ) ( f ( ) a b 0 c d N e N 8) Pro zadané funkce f a g najděte f f + g f g fg g / f : f ( ) g( ) b) f ( ) g( ) c) f ( ) + g( ) + 0 pro 0 0 pro 0 f ( ) g( ). pro > 0 pro > 0 9) Pro funkci f platí f ( + ) f ( ) + f () + R. Čemu se rovná f (0)? b) Je-li navíc f () najděte f () f () f ( ). 0) Pro funkci f platí f ( + y) f ( ) + f ( y) y R. Čemu se rovná f (0)? b) Ukažte že platí f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) R. c) Je-li navíc f () najděte f () f () f ( ). ) Nechť funkce f je definovaná předpisem + b) f ( ) ( f ( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) + f ( + ) e) ( ) f ( ). Ověřte zda platí c) f +. f ( ) + g / f ( ) ( f f g + )( ) f ( ) f ( )
) Najděte funkce f g pro které platí f ( ) a + b f () f ( ) 4 b) g a b c g g g ( ) + + (0) ( ) () 8. f f () g g (). Vypočítejte ( ) ( ) ) Najděte alespoň tři příklady funkce f pro kterou platí f ( + y) f ( ) + f ( y) f ( a ) a f ( ). Pokuste se formulovat obecný předpis pro funkce s těmito vlastnostmi. 4) Pomocí grafu funkce y nakreslete grafy funkcí f ( ) g( ) ( + ) h( ) k( ) ( ) +. ) Pomocí grafu funkce f ( ) nakreslete grafy funkcí ( ) ( ) + ( ) + ( ) + f g h ) Nakreslete graf funkce f ( ) +. 7) Pomocí grafu funkce ( ) f nakreslete grafy funkcí g( ) + h( ) k( ). 8) Nakreslete graf funkce + f ( ). 9) Známe-li graf funkce f jak sestrojíme graf funkce g pro kterou platí c a R : ( ) g( ) f ( ) b) g( ) f ( ) c) g( ) f ( + c) g( ) f ( ) + c e) g( ) a f ( ) f) g( ) f ( a ) g( ) f ( ) h) g( ) f ( )? Postup. vysvětlete obecně. demonstrujte na grafu funkce f v obrázku. 0) Pomocí známých grafů funkcí y b) y c) y sin y ln a y funkcí y y + y y + y y + y ; b) e sestrojte grafy y 4 y y y y + y y ( + ) y ( ) 4 ( ) ( ) 4 4 8 ; y y + y + + y + + c) y sin y sin y sin y sin( + ) y sin ; e) y y y y ln( ) ln ln ln ; 0 y e y e y e y + e y e y e. ) Znázorněte graficky řešení rovnic s absolutní hodnotou příklady ) 7) a 9) ) Znázorněte graficky řešení nerovnic s absolutní hodnotou příklady 4) ) a ).
) Pro která platí 7 b) 8 + 49 e) + 4 c) 4 8 f) + 4 4 8? 4) Řešte eponenciální rovnice 9 + 0 b) 4 + c) + 4 90 0 +. ) Pro která platí log b) log ( ) <? ) Řešte logaritmické rovnice ln( ) ln(4 ) b) log( + ) + log( ) log + log( + ) c) log(4 + ) log( ) log( + ) log + e) ln( ) + ln( + ) ln f) log. log 7 77 49 7) Určete sin( π ) b) tg( π ) c) cos( π ) sin( π ) e) tg( π ) f) cotg( π ). 8) Pro která R platí sin > 0 cos > 0 b) sin 0 cos 0 c) sin 0 cos < 0? π 9) Pro ( π ) platí sin. Vypočítejte cos tg a cotg. 8 0) Najděte všechna Rpro která platí: sin b) cos c) cos cotg e) tg. ) Najděte všechna R pro která platí: sin b) sin. ) Zjednodušte následující výrazy: 4 4 cos sin cos b) cos sin cotg tg c) sin cos e) ( + tg ) + tg f) sin cotg + + cos cotg + cotg y. tg + tg y ) Je-li funkce f rostoucí je nutně funkce f rostoucí b) funkce f klesající c) funkce f rostoucí funkce f klesající (pro všude nenulovou funkci f)? 4) Nechť funkce f a g jsou definovány na stejném intervalu. Jsou-li funkce f i g rostoucí je i funkce f + g rostoucí? b) Najděte rostoucí funkci f a klesající funkci g tak aby funkce f + g byla rostoucí. ) Nechť f je lichá funkce která je definovaná pro 0. Jakou zde má funkční hodnotu? ) Najděte konstantu k tak aby f ( ) + k + byla sudá b) f ( ) k + byla lichá.
7) Ukažte že pro libovolnou funkci f definovanou na intervalu ( a f ( ) + f ( ) je sudá a f ( ) f ( ) je lichá funkce. a > 0 platí že 8) Zjistěte které z uvedených funkcí jsou sudé resp. liché: f ( ) b) f ( ) c) f ( ) f ( ) e) f ( ) f) f ( ) + f ( ) h) f ( ) i) f ( ) 4 + 4 j) 4 f ( ) + k) f ( ) + sin l) f ( ) cos ( π ) m) sin f ( ) n) f ( ) 4 + cotg o) f ( ) sin cos p) f ( ) cos r) + tg + sin f ( ) s) f ( ) + cos cos e + e a + t) f ( ) u) f ( ) v) f ( ) a ) f ( ) ln y) f ( ) ln + f ( ) ln ( ). 9) Nechť jsou funkce f a g periodické se stejnou periodou. Ukažte že funkce f + g f g f / g jsou také periodické. 40) Nechť funkce f je periodická s periodou p. Je-li a 0 jakou periodu má funkce f ( a )? 4) Zjistěte které z následujících funkcí jsou periodické a najděte jejich periodu. f ( ) b) f ( ) sin c) f ( ) + cos + cos f ( ) sin e) π f) f ( ) sin ( ) f ( ) cos + f ( ) sin h) f ( ) cos π i) f ( ) cos sin j) f ( ) ln(cos + sin ) k) f ( ) sin + tg l) + sin f ( ). 4) Ukažte že platí: Všechny konstantní funkce jsou ohraničené. b) Je-li funkce f ohraničená na intervalu I je také - f ohraničená na tomto intervalu. c) Jsou-li funkce f a g ohraničené na intervalu I je také funkce f + g ohraničená na I. 4) Ukažte že inverzní funkce k prosté liché funkci je opět lichá. Co můžeme říci o inverzní funkci k prosté sudé funkci? 44) Zjistěte které z následujících funkcí jsou prosté a najděte k nim inverzní funkce: f ( ) b) f ( ) ( )( + ) c) f ( ) + f ( ) e) f ( ) + f) f ( ) + sin f ( ) 4 h) f ( ) i) f ( ) + + e
j) f ( ) + ln k) f ( ) log ( ) + + l) f ( ). > 4) Ve druhém sloupci najděte funkce inverzní k funkcím v prvním sloupci. f( ) g + ( ) f ( ) g ( ) f( ) + g( ) f4 ( ) g4 ( ) f ( ) g + ( ) + 4 4) Může být funkce sama k sobě inverzní? 47) Ukažte že každá z následujících funkcí je sama k sobě inverzní a nakreslete jejich grafy (v př. pro a b ). f ( ) b) f ( ) c) f ( ) + f ( ) e) f ( ) + f) ( ) f + a + b f ( ) h) f ( ) pro 0. a 48) Následující složené funkce rozložte na jednotlivé složky. Určete (přirozené) definiční obory daných funkcí pomocí definičních oborů jednotlivých složek. f ( ) b) + f ( ) cotg ( ) e f ( ) + + e) f ( ) sin ( sin(sin ) ) h) f ( ) ln ( sin ) c) f ( ) 4 ( 4 ) + f) f ( ) sin ( cos ) i) ( ) 49) Ověřte zda následující funkce splňují vztah ( ( )) f f f : f ( ) b) f ( ) c) f ( ) a + b kde a + b. 0) Najděte funkce f ( t ) pro které platí: f ( ) b) f ( + ) c) f ( ) f) f ( ) 4 f ( ) 4 f ( ) i) f ( ) + h) f ( ) 4 sin f ( ) ln. + sin f ( ) + e) f ( ) 4 j) ( ) 4 f.