7 Elementární funkce Koncem 8. století se matematici a přírodovědci shodovali na tom, že většina reálných situací se dá reprezentovat model obsahujícími pouze tzv. elementární funkce. Ze současného pohledu jsou to vlastně funkce, které bl do té dob popsán. Elementární funkce jsou funkce, které lze vtvořit pomocí konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání funkcí pouze ze základních elementárních funkcí. Mezi základní elementární funkce řadíme funkce mocninné, eponenciální a logaritmické, goniometrické a cklometrické, hperbolické a hperbolometrické. Důkaz tvrzení uvedených v této kapitole lze nalézt např. v[3]. Co budete umět po nastudování této kapitol: znát a umět používat základní vlastnosti základních elementárních funkcí, načrtnout graf základních elementárních funkcí, určit definiční obor dané elementární funkce, rozložit polnom na součin kořenových činitelů, dělit polnom polnomem, rozložit racionální funkce na parciální zlomk. 7. Základní elementární funkce S většinou ze základních elementárních funkcí jste se určitě setkali na střední škole. V této kapitole najdete jejich souhrnný přehled včetně grafů a nejdůležitějších vlastností. 7.. Obecná mocninná funkce Definice7.Mocninnáfunkceseponentem a Rjekaždáfunkcetvaru f()= a. Definiční obor, obor hodnot i vlastnosti této funkce závisí na tom, z jaké podmnožin množin Rjeeponent a. Konstantnífunkce Jestliže a=,dostávámekonstantnífunkci f()=.tatofunkcejesudá, D f = R (pro =dodefinujeme f()=), H f = {}. f()= Mocninná funkce s přirozeným eponentem Jestliže je eponent a přirozené číslo, obvkle ho značíme n a dostáváme mocninnou funkcivetvaru f()= n,kde n N. 87
*Je-li nliché,pakplatí D f = R, H f = R,funkcejelichá,neomezenáarostoucí na D f. *Je-li nsudé,pakplatí D f = R, H f = R +,funkcejesudá,omezenázdola, klesajícína(, arostoucína, ). f()= 5 f()= 3 f()= f()= 4 f()= - - - Funkce n-tá odmocnina Jestliže a=,kde n N, n,dostávámemocninnoufunkcivetvaru f()= n n= n, n N. *Je-li nliché(n 3),jefunkce f()= n inverznífunkcíkfunkci n pro R.Navícplatí,že D f = R, H f = R,funkcejelichá,neomezenáarostoucí na D f. *Je-li nsudé(n ),jefunkce f()= n inverznífunkcíkfunkci n pro, ).Navícplatí,že D f =, ), H f =, ),funkcezdolaomezená arostoucína D f. - f()= 5 f()= 3-3 f()= 5 f()= f()= 4 f()= f()= 4 f()= Mocninná funkce se záporným celým eponentem Je-lieponentcelézápornéčíslo,obvklehouvádímevetvaru a= n,kde n N, adostávámemocninnoufunkcivetvaru f()= n = n,kde n N. *Je-li nliché,pakplatí D f = R\{}, H f = R\{},funkcejelichá,neomezená, klesajícína(,)ana(, ). *Je-li nsudé,pakplatí D f = R\{}, H f = R +,funkcejesudá,omezenázdola, rostoucína(,)aklesajícína(, ). 88
- - f()= 3 f()= f()= - 4 f()= Mocninná funkce s racionálním eponentem Nechťjeeponent aracionálníčíslovetvaru a= m,kde m,njsounesoudělná, n m Z, n N, n.mocninnáfunkcejepakvetvaru f()= m n= n m. Definičníoborzávisínačíslech man: *je-li m >anliché,pak D f = R; *je-li m <anliché,pak D f = R\{}; *je-li m >ansudé,pak D f =, ); *je-li m <ansudé,pak D f =(, ). Mocninná funkce s iracionálním eponentem Vpřípadě,že a R \ Q(tj. ajeiracionální),jemocninnáfunkce f() = a definovánapomocílogaritmickéaeponenciálnífunkcejako f()= a = e aln (viz dále).potom D f = R +, H f = R +,pro a >jefunkcerostoucíapro a <je klesající. Tímtomámedefinovanoumocninnoufunkci f()= a provšechnhodnoteponentu a R. Pro libovolnou hodnotu eponentu a je mocninná funkce definována vžd nejméně na intervalu(, ). Tp monotonie této funkce na intervalu(, ) pak závisí na eponentu a, jak je naznačeno na následujícím obrázku: a> a= f() = a <a< a= a< Na intervalu(, ) pak také platí univerzální vztah a = e a ln, R +,a R. Z tohoto vztahu ihned plnou následující pravidla pro nerovnosti. 89
Věta7.Nechť, R +, a,b R.Potomplatí a >; je-li <, a >,pak a < a ; je-li <, a <,pak a > a ; je-li >, a < b,pak a < b ; je-li <, a < b,pak a > b. Nakonec ještě připomeneme základní pravidla pro počítání s mocninnými funkcemi. Věta7.Nechť, R +, a,b R.Potomplatí a a =() a a a= ( ) a a b = a+b a b= a b a = a ( a ) b = ab. Věta7.3Nechť, R +, m,n N, m,n.potomplatí n = n n n n = n n k = ( n ) k, k Z m n = m n ( n ) n= n n =. 7.. Eponenciální funkce Eponenciální funkce se vužívá pro modelování mnoha(nejen) přírodních jevů, protože vjadřuje tzv. zákon přirozeného růstu. Pomocí ní můžeme popsat například organický růst(např. vývoj populace), vrovnávání rozdílů(např. ochlazování nebo rozpouštění), průběh chemických reakcí aj. Tpickým ekonomickým příkladem je pak spojité úročení. Definice7.Eponenciálnífunkcísezákladema, a R +, a,jekaždáfunkce tvaru f()=a, R. f() = a pro <a< f() = a pro a> 9
Definičnímoboremtétofunkcejetedcelámnožina R,oboremhodnotpak H f = R +. Funkce není ani sudá, ani lichá, ani periodická. Tp monotonie funkce závisí na jejím základu a;pro a >jerostoucíapro<a<jeklesající.graffunkce a vždprochází bodem(, ). Věta7.4Nechť a R +, a ;provšechna, Rplatí a + = a a a = a a (a ) = a. Poznámka 7. Mezi eponenciálními funkcemi zaujímá důležité místo tzv. přirozená eponenciální funkce f()=e,kde ejeeulerovočíslo(vizkapitolu4.4). Eponenciální funkce se základem a = se nazývá dekadická eponenciální funkce. Funkceeponenciálníjenasvém D f prostá,eistujeknítedfunkceinverzní-tase nazývá logaritmická funkce a je popsána v následující části. 7..3 Logaritmická funkce Definice7.3Nechť a R, a >, a.inverznífunkcekeponenciálnífunkci a senazýválogaritmickáfunkceozákladuaaznačíse f()=log a. f() = loga pro a> f() = loga pro <a< Zvýšeuvedenédefinicetedplnenásledujícíekvivalence( R, R + ): = a =log a. DefiničnímoboremlogaritmickéfunkcejeD f =(, ),oborhodnotjeh f = R,funkce nenísudáanilichá,neníperiodická;pro<a<jeklesajícíapro a >jerostoucí. Graffunkcelog a vždprocházíbodem(,). Věta7.5Nechť a,b R +, a, b ;provšechna, R + platí log a ()=log a +log a log a =log a log a log a = log a log b = log a log a b. 9
Poznámka 7. Funkčníhodnotlogaritmickéfunkcesenazývajílogaritm;smbollog a čteme jakologaritmusčíslaozákladuanebologaritmusozákladuačísla. Specielně pro a = e dostáváme tzv. přirozenou logaritmickou funkci a značíme ji f()=ln(tj.ln=log e ).Pro a=dostávámetzv.dekadickoulogaritmickou funkciaznačímeji f()=log(tj.log=log ). Nechť a >, a.podlepravidelproskládánífunkcídostávámeprofunkce f()=a a f ()=log a následujícívztah: (f f )()=a log a = R + (f f)()=log a a = R. Věta7.6Nechť a R, R + ;potomplatí a = e aln. 7..4 Goniometrické funkce Mezi goniometrické funkce řadíme funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Máme více možností, jak tto funkce definovat(jako součet nekonečné řad, použitím funkcionálních rovnic aj.). M použijeme definici vužívající jednotkovou kružnici. Úhlbudememěřitvmířeobloukové,kdplatí,že vmířestupňovéjerovenúhlu π velikosti vmířeobloukové. 8 Uvažujmetedjednotkovoukružnicisestředemvpočátkuabod A=(m,n)ležícína této kružnici. Jako označíme orientovaný úhel(v míře obloukové), který svírá kladný směros sprůvodičembodu A viznásledujícíobrázek: cotg A=(m,n) tg cos sin 9
Funkcesinus Definice7.4Funkce f,jejížhodnotajevkaždémbodě Rrovnasouřadnici nbodu A,senazývásinus.Hodnotafunkcesinusvbodě seznačísin. f() = sin - - Definičnímoboremje D f = R,oboremhodnot H f =, ;funkce jelichá, tj.platísin( ) = sin R;funkcejeperiodická sprimitivní periodou π,tj.platísin(+π) = sin R;funkce jerostoucína všech intervalech π+kπ, π+kπ aklesajícínavšechintervalech π +kπ,3π+kπ,kde k Z. Funkcekosinus Definice7.5Funkce f,jejížhodnotajevkaždémbodě Rrovnasouřadnici mbodu Asenazývákosinus.Hodnotafunkcekosinusvbodě seznačícos. f() = cos - - Definičnímoboremje D f = R,oboremhodnot H f =, ;funkcejesudá,tj. platícos( )=cos R;funkcejeperiodickásprimitivníperiodouπ,tj.platí cos(+π)=cos R;funkcejerostoucínavšechintervalech (k )π,kπ aklesajícínavšechintervalech kπ,(k+)π,kde k Z. Funkcetangens Definice7.6Funkce f()= sin cos senazývátangens.hodnotafunkcetangens vbodě seznačítg,tj. tg= sin cos. 93
f() = tg - - Definičnímoboremje D f = R\{ π +kπ;k Z},oboremhodnot H f= R;funkce jelichá,tj.tg( )= tg D f,funkcejeperiodickásprimitivníperiodou π, tj.tg(+π)=tg D f ;funkcejerostoucínaintervalech( π +kπ, π +kπ), k Z. Funkcekotangens Definice7.7Funkce f()= cos sin senazývákotangens.hodnotafunkcekotangensvbodě seznačícotg,tj. cotg= cos sin = tg. f() = cotg - - Definičnímoboremje D f = R \ {kπ;k Z},oboremhodnot H f = R;funkceje lichá,tj.cotg( )= cotg D f,funkcejeperiodickásprimitivníperiodou π,tj.cotg(+π)=cotg D f ;funkcejeklesajícínaintervalech(kπ,(k+)π), k Z. Vlastnosti goniometrických funkcí V této části uvedeme nejpoužívanější vztah a vzorce platné pro goniometrické funkce. Všechn uvedené rovnosti platí všude, kde je současně definovaná levá i 94
pravástranarovnosti.připomeňme,ženapř.zápissin znamená(sin),tj.rozlišujtesin asin (viztaképříklad6.nastr.8). sin +cos = sin()=sincos cos()=cos sin sin(±)=sincos ±cossin ( π ) sin=cos sin = cos() sin+sin=sin + cos+cos=cos + cos cos cos(±)=coscos sinsin ( π ) cos=sin cos = +cos() sin sin=cos + cos cos= sin + sin sin 7..5 Cklometrické funkce Cklometrickými funkcemi rozumíme funkce arkussinus, arkuskosinus, arkustangens a arkuskotangens. Definujeme je jako inverzní funkce k funkcím goniometrickým. Protože goniometrické funkce nejsou na svých definičních oborech prosté, musíme jejich definiční obor nejdříve vhodně zúžit. Funkcearkussinus Definice 7.8 Funkcí arkussinus nazveme funkci, která je inverzní k funkci sin, π, π.hodnotafunkcearkussinusvbodě seznačíarcsin. arcsin sin - - - - DefiničnímoboremfunkcearkussinusjeD f =,,oboremhodnoth f = π, π ; funkce je lichá, rostoucí, omezená a není periodická. 95
Funkcearkuskosinus Definice 7.9 Funkcí arkuskosinus nazveme funkci, která je inverzní k funkci cos,,π.hodnotafunkcearkuskosinusvbodě seznačíarccos. arccos - - cos Definičnímoboremfunkcearkuskosinusje D f =,,oboremhodnot H f =, π ; funkce je klesající, omezená a není ani lichá ani sudá, není periodická. Funkcearkustangens Definice 7. Funkcí arkustangens nazveme funkci, která je inverzní k funkci tg, ( π, π ).Hodnotafunkcearkustangensvbodě seznačíarctg. tg arctg - - Definičnímoboremfunkcearkustangensje D f = R,oboremhodnot H f =( π, π ); funkce je lichá, rostoucí, omezená a není periodická. 96
Funkcearkuskotangens Definice 7. Funkcí arkuskotangens nazveme funkci, která je inverzní k funkci cotg, (,π).hodnotafunkcearkuskotangensvbodě seznačíarccotg. arccotg cotg Definičnímoboremfunkcearkuskotangensje D f = R,oboremhodnot H f =(,π); funkce je klesající, omezená a není ani lichá ani sudá, není periodická. Poznámka 7.3 Z výše uvedených definic ihned plne následující: =arcsin =sin,kde,, π, π =arccos =cos,kde,,,π =arctg =tg,kde R, ( π, π ) =arccotg =cotg,kde R, (,π) arcsin(sin)=,pro π, π sin(arcsin)=,pro, arctg(tg)=,pro ( π, ) π tg(arctg)=,pro R 7..6 Hperbolické funkce S hperbolickými funkcemi jste se asi na střední škole nesetkali, ale protože se často vsktují zejména v technické prai, uvedeme zde aspoň jejich základní přehled. Mezi hperbolické funkce patří funkce hperbolický sinus, hperbolický kosinus, hperbolický tangens a hperbolický kotangens. 97
Hperbolickýsinus Definice 7.Funkci f()= e e, R, nazýváme hperbolický sinus. Hodnotafunkcehperbolickýsinusvbodě seznačísinh,tj. sinh= e e. sinh Definičním oborem i oborem hodnot funkce hperbolický sinus je R, funkce je lichá, není periodická a je rostoucí. Hperbolickýkosinus Definice7.3Funkci f()= e +e, R,nazývámehperbolickýkosinus. Hodnotafunkcehperbolickýkosinusvbodě seznačícosh,tj. cosh= e +e. cosh Definičním oborem funkce hperbolický kosinus je R, oborem hodnot pak, ); funkce je sudá, není periodická, je rostoucí v intervalu, ) a klesající v intervalu (,. 98
Hperbolickýtangens Definice7.4Funkci f()= sinh cosh, R,nazývámehperbolickýtangens. Hodnotafunkcehperbolickýtangensvbodě seznačítgh,tj. tgh= sinh cosh = e e e +e. tgh - Definičním oborem funkce hperbolický tangens je R, oborem hodnot(, ), funkce je lichá, omezená, není periodická a je rostoucí. Hperbolickýkotangens Definice7.5Funkci f()= cosh, R \ {},nazývámehperbolickýkotangens. Hodnota funkce hperbolický kotangens v bodě se značí cotgh, sinh tj. cotgh= cosh sinh = e +e e e. cotgh - Definičním oborem funkce hperbolický kotangens je R\{}, oborem hodnot množina(, ) (, ),funkcejelichá,neníperiodickáajeklesajícínaintervalech (,)a(, ). 99
7..7 Hperbolometrické funkce Hperbolometrické funkce definujeme jako funkce inverzní k funkcím hperbolickým. Pozor musíme dát u hperbolického kosinu, neboť tato funkce není prostá(musíme proto nejdříve vhodně zúžit její definiční obor). Mezi hperbolometrické funkce řadíme funkce argument hperbolického sinu, argument hperbolického kosinu, argument hperbolického tangens a argument hperbolického kotangens. Argument hperbolického sinu Definice 7.6 Funkcí argument hperbolického sinu nazveme funkci, která je inverzní k funkci hperbolický sinus. Hodnota funkce argument hperbolického sinuvbodě seznačíargsinh. argsinh Definičnímoboremioboremhodnotfunkceargsinhje R,funkcejelichá,není periodická a je rostoucí. Argument hperbolického kosinu Definice 7.7 Funkcí argument hperbolického kosinu nazveme funkci, která jeinverzníkfunkcihperbolickýkosinuspro, ).Hodnotafunkceargument hperbolického kosinu v bodě se značí argcosh. argcosh Definičnímoboremfunkceargcoshje, ),oboremhodnot, ),funkcenení lichá ani sudá, není periodická a je rostoucí. Argument hperbolického tangens Definice 7.8 Funkcí argument hperbolického tangens nazveme funkci, která je inverzní k funkci hperbolický tangens. Hodnota funkce argument hperbolickéhotangensvbodě seznačíargtgh.
argtgh - Definičnímoboremfunkceargtghje(,),oboremhodnot R,funkcejelichá, není periodická a je rostoucí. Argument hperbolického kotangens Definice 7.9 Funkcí argument hperbolického kotangens nazveme funkci, která je inverzní k funkci hperbolický kotangens. Hodnota funkce argument hperbolického kotangens v bodě se značí argcotgh. argcotgh - Definičnímoboremfunkceargcotghje(, ) (, ),oboremhodnot R\{}, funkcejelichá,neníperiodickáajeklesajícínaintervalech(, )a(, ). 7. Elementární funkce Definice 7. Funkce se nazývá elementární funkce, jestliže ji lze vtvořit ze základních elementárních funkcí pouze pomocí konečného počtu algebraických operací nebo skládání. Poznámka 7.4 Ne všechn funkce jsou elementární, například funkce sgn nebo Dirichletova funkce nejsou elementárními funkcemi.
Rozdělení elementárních funkcí: transcendentní iracionální elementární algebraické racionální celé racionální lomené racionální rze lomené racionální nerze lomené racionální Definice 7. Elementární funkce se nazývá algebraická, jestliže je vtvořena pomocí algebraickýchoperacípouzezkonstantnífunkceamocninnéfunkce α, α Q\{}. Elementární funkce, která není algebraická, se nazývá transcendentní. Příklad 7. příkladalgebraickýchfunkcí: 3+5, 3, +3 5 7 příkladtranscendentníchfunkcí:sin( ),ln e,arcsin(+) Definice 7. Algebraické funkce, které jsou vtvořené pouze pomocí algebraických operací(tj. bez skládání), se nazývají racionální. Ostatní algebraické funkce se nazývají iracionální. Příklad 7. příkladracionálníchfunkcí: +4 7, 3 5 příklad iracionálních funkcí:, 3+ + 3, +3 3, +3 + 5 4 Definice7.3Nechť n N a a,a,...,a n R, a n.celouracionálnífunkcí (polnomem stupně n, algebraickým mnohočlenem stupně n) nazýváme funkci tvaru P()=a n n + a n n + +a + a +a, R.Číslo nsenazývástupeň polnomu Pakonstant a,a,...,a n senazývajíkoeficientpolnomu P.Polnom stupně n a stupňů nižších nazýváme polnom stupně nejvýše n. Definice 7.4 Kořenem polnomu P se nazývá reálné nebo komplení číslo α takové, že P(α)=. Věta7.7(Základnívětaalgebr)Každýpolnomstupně n mávcalepoňjeden kořen. Věta7.8Má-lipolnom Pstupně n kořen α,potomeistujepolnom Qstupně n takový,že P()=( α) Q()prokaždé R. Příklad7.3Uvažujmepolnom P()= 3 4 ++6;tentopolnomstupně n=3 mákořen α=.podlepředchozívěteistujepolnom Q()tak,že P()=Q()( ).
Polnom Q() najdeme jednoduše vdělením polnomu P() členem( ), kd dostáváme Q()=P():( )= 3. Lze ted psát P()=( )( 3)=( )(+)( 3). Definice 7.5 Výraz( α) z předchozí vět se nazývá kořenový činitel polnomu P. Kořen αpolnomu Pstupně nsenazývá k-násobnýkořenpolnomu P(kde k n), jestližeeistujepolnomqstupněn ktak,žep()=( α) k Q()prokaždé R apřitom αneníkořenempolnomu Q.Pro k=sekořennazývájednoduchý. Příklad 7.4 a)kořen α=jejednoduchýmkořenempolnomu P()= 3 4 + +6,protože P()=( ) Q()=( )( 3)aα=neníkořenem Q(). b)kořen α=3jedvojnásobnýmkořenempolnomu P()=( 3) ( ). Věta 7.9(O rozkladu polnomu) Každý polnom P stupně n lze jednoznačně rozložit na součin lineárních a kvadratických členů s reálnými koeficient tvaru kde P()=a n ( α ) k ( α j ) kj ( +p +q ) s ( +p i +q i ) s i, k +k + +k j +s +s + +s i = n; α,...,α j jsouvšechnnavzájemrůznéreálnékořenpolnomu Pa k,...,k j jsoujejichnásobnosti; kvadratické člen nemají reálné kořen, ale každý z nich má dvojici kompleně sdruženýchkořenůsnásobnostmi s,...,s i. Příklad 7.5 a)polnom =(+)( )mádvajednoduchéreálnékořena. b)polnom 6 5 + 4 3 3 3 3 6=(+)( )( +)( +)= =(+)( )(+i)( i)(+i )( i )mádvajednoduchéreálnékořen a advědvojicekompleněsdruženýchjednoduchýchkořenů ±ia±i. c)polnom 3 4 3+8=( 3) (+)máreálnékořen3a ;kořen3je dvojnásobný a kořen je jednoduchý. Popsané rozklad polnomů budeme potřebovat při integrování racionálních funkcí, konkrétně při rozkladu racionálních funkcí na parciální zlomk(viz dále). Definice 7.6 Lomenou racionální funkcí nazýváme algebraickou funkci tpu R()= P() Q() prokaždé R\{ R; Q()=}, kdepaqjsoupolnom,přičemžqjestupněalespoň.jestližestp < stq,nazýváse R rze lomená racionální funkce; jinak se R nazývá nerze lomená racionální funkce. 3
Příklad 7.6Funkce lomené racionální funkce. +3 a 3 jsourzelomené,funkce 3 3+8 Poznámka 7.5 Některé racionální funkce mají speciální názv: lineárnífunkce:=a+b, a, R přímáúměra:= k, k, R kvadratickáfunkce:= a +b+c, a, R lineárnílomenáfunkce:= a+b c+d, ad bc, c, R\{ d c } nepřímáúměra:= k, k, R\{} a + jsounerze Některé funkce na první pohled vpadají jako racionální lomené, ale po úpravě jsou rovnpolnomu,např. + =.Vtakovémpřípadějepovažujemezapolnom. Následující věta říká, jak složitou racionální funkci převést na součet jednodušších racionálních funkcí přesně daného tvaru na tzv. parciální zlomk prvního a druhého druhu. Tento rozklad se dá vužít v mnoha situacích, m ho použijeme zejména při integraci racionálních funkcí. Věta7.(Rozkladnaparciálnízlomk) Nechť R()= P() Q() jerzelomenáracionální funkce, jejíž čitatel a jmenovatel nemají žádné společné kořen. Nechť Q()=a n ( α ) k ( α j ) kj ( +p +q ) s ( +p i +q i ) s i. Potomeistují(jednoznačněurčená)reálnáčísla A,...A k,...,a j,...a jkj, B,...B s,..., B i,...b isi,c,...c s,...,c i,...c isi taková,že A R()= A + α ( α ) + + A k + + A j + + + ( α ) k α }{{} j ( α j ) k j }{{} + B +C + B +C +p +q ( +p +q ) + + B s +C s + + ( +p +q ) s }{{} + B i+c i + + B is i +C isi. +p i +q i ( +p i +q i ) s i }{{} A jkj Příklad 7.7 Rozklad následující rze lomené racionální funkce(tj. kde P() je polnom stupně nejvýše 5) hledáme ve tvaru P() ( )(+) 3 ( +) = A + A + + A (+) + A 3 (+) 3+ + B +C + + B +C ( +), kde v čitatelích jsou zatím neznámé konstant. 4
Pro danou rze lomenou racionální funkci ted hledáme neznámé koeficient v čitatelích jednotlivých parciálních zlomků. Obdobně jako v předchozím příkladu si smbolick naznačíme rozklad a pak příslušné koeficient dopočítáme. Můžeme si zvolit ze dvou možností(které samozřejmě vedou ke stejnému výsledku): a) Převedeme všechn zlomk na pravé straně na společného jmenovatele(tj. Q()) a porovnáme polnom v čitatelích na levé a pravé straně. b) Vnásobíme celou rovnost polnomem Q() a porovnáme výsledné polnom na levé a pravé straně. Připomeňme, že dva polnom se rovnají právě tehd, kdž se rovnají koeficient u stejných mocnin proměnné daných polnomů. Tímto porovnáním získáme soustavu lineárních rovnic pro neznámé koeficient. Řešení této soustav nakonec dosadíme do naznačeného rozkladu. V případě, že rozkládaná racionální funkce R() není rze racionální, musíme nejdříve provést ještě jednu úpravu, protože na parciální zlomk lze rozložit jen funkci rze racionální.mějmeted R()= P(),kde stp stq.potom R()převedeme(vdělením Q() polnomu P polnomem Q) na tvar R()=M()+ P () Q(), kde M()jepolnomastP < stq.naparciálnízlomkpakrozkládámepouze P () Q(). Celý postup si ukážeme na následujících příkladech. Příklad 7.8 Rozložte na parciální zlomk racionální funkci Řešení: R()= P() Q() = 3 3+. Funkce R() je rze racionální, takže můžeme přímo rozkládat.. Rozložíme polnom Q() ve jmenovateli na součin kořenových činitelů: Q()=( ) (+). 3. Polnom Q má pouze reálné kořen, takže rozklad bude obsahovat pouze parciální zlomk prvního druhu. Budou celkem tři, dva příslušící dvojnásobnému kořenu a jeden jednoduchému kořenu. Rozklad proto hledáme ve tvaru (R() =) 3 3+ = A + B C ( ) + +. 4. Pro určení neznámých koeficientů A, B a C vnásobíme výše uvedenou rovnost polnomem Q: =A( )(+)+B(+)+C( ) =A( + )+B+B+C( +) + = (A+C)+(A+B C)+( A+B+C). 5
Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin proměnné na levé a pravé straně dostaneme soustavu rovnic pro neznámé konstant A, B a C: : =A+C : =A+B C : = A+B+C. Vřešenímtétosoustavzískáme A= 7 9, B= 3, C= 9. 5. Dosazením vpočtených konstant do jednotlivých parciálních zlomků dostaneme požadovaný rozklad ve tvaru 7 3 3+ = 9 + 3 ( ) + 9 + = 7 9( ) 3( ) + 9(+). Příklad 7.9 Rozložte na parciální zlomk racionální funkci Řešení: R()= P() Q() = 3 + 4 3 +. Funkce R() je rze racionální, takže můžeme přímo rozkládat.. Rozložíme polnom Q() ve jmenovateli na součin kořenových činitelů: Q()=( +). 3.PolnomQmáreálnýkořen,dvojčlen +nemáreálnékořen.rozkladbude obsahovat jeden parciální zlomek prvního druhu a jeden zlomek druhého druhu. Rozklad proto hledáme ve tvaru (R()=) 3 + 4 3 + = A + B+C +. 4. Pro určení neznámých koeficientů A, B a C vnásobíme výše uvedenou rovnost polnomem Q: 3 + 4=A( +)+(B+C) 3 + 4= (A+B)+( A+C)+A. Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin proměnné na levé a pravé straně dostaneme soustavu rovnic pro neznámé konstant A, B a C: : 3=A+B : = A+C : 4=A. Vřešenímtétosoustavzískáme A=, B=5, C=3. 6
5. Dosazením vpočtených konstant do jednotlivých parciálních zlomků dostaneme požadovaný rozklad ve tvaru 3 3+ = + 5+3 +. Příklad 7. Vjádřete racionální nerze lomenou funkci R()= 3 +7 +9+7 +3+ jako součet polnomu a racionální rze lomené funkce, a tu rozložte na parciální zlomk. Řešení: Nerze lomenou funkci R() nejdříve upravíme vdělením: ( 3 +7 +9+7):( +3+)=++ +5 +3+. Nníbudemerozkládatpouzerzelomenouracionálnífunkci R ()= +5 +3+.Jmenovatelrozložímenasoučinkořenovýchčinitelů +3+=(+)(+).Polnomve jmenovateli má pouze dva jednoduché reálné kořen, takže rozklad bude obsahovat dva parciálnízlomkprvníhodruhu.rozkladracionálnífunkce R ()= +5 (+)(+) hledáme ve tvaru +5 (+)(+) = A + + B +. Pro určení neznámých konstant A a B například vnásobíme výše uvedenou rovnost polnomem(+)(+)adostáváme: +5=A(+)+B(+) +5=(A+B)+(A+B). Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin proměnné na levé a pravé straně dostaneme soustavu rovnic pro neznámé konstant A a B: : =A+B : 5=A+B. Vřešenímtétosoustavzískáme A=3aB=.Dosazenímvpočtenýchkonstantdo naznačeného rozkladu pak můžeme psát R()= 3 +7 +9+7 +3+ =++ 3 + +. Pojm k zapamatování: základní elementární funkce(mocninné, eponenciální a logaritmické, goniometrické a cklometrické, hperbolické a hperbolometrické), elementární funkce polnom, kořen polnomu, kořenový činitel lomená racionální funkce parciální zlomk 7
Příklad k procvičení:. Zjednodušte výraz a stanovte podmínk: a 3 a a) b) ( a a ) 3 a 3 b: 3 b a 3 c)( 3 + 3 ) (+) ( + ).Jedánafunkce a)určete D f. b) Vpočítejte nulové bod funkce f. c)určete,prokterá jefunkcekladná. f()= 3 + 3 + 3. V množině R řešte následující rovnice a nerovnice: f) a) 3 + = +3 + + b) + + + = c) 7 + =3 d) + e) 5( ) <3+ 3 5 g) +3+ += h) + +8=+ 4. Určete definiční obor: f ()= 3 f ()= 8+8 f 4 ()= 3 8 f 5 ()= 8 3 f 3 ()= f 6 ()= 3 9+9 + f 7 ()= 5+ 3 f 8 ()= 3+ 3 3 f 9 ()= +3 + 3+ 5.Vpočtěte: a=log7, b=log 3 3, c=log. 3 6. Vpočtěte: a) =( ) log 4 +log + log 3 37 log 3 3 b),jestliželog = 3 5 7 c) z,jestliželog =. z 7. Načrtněte graf funkcí f()=log (+) 3 g()=log( ) h()= + k()= 3 ( ) 3 8
8.Určete,prokteréhodnotparametru a Rjsoufunkce ( ) a 3 f()= a g()=loga+ a+5 a rostoucí, resp. klesající. 9. Určete definiční obor následujících funkcí: f ()=log( +4 6) f ()=log f 4 ()= 4 64 f 5 ()= f 7 ()=log ( 3) f 8 ()= 3 3 + ln( ) + + f 6 ()= ln(4 7) f ()=log 8 f ()= ln( ) f 3 ()= +ln ln ( ) 9 3 f 9 ()=ln(ln(ln)). Načrtněte graf funkcí a určete primitivní periodu: ( ) f ()=sin() f ()=cos +π f 3 ()=sin( π) f 4 ()=tg(3)+ f 5 ()=arcsin(+) f 6 ()=arctg( )+. Vpočtěte: ( 3 arcsin, arcsin, arccos ), arccos, arctg 3, ( arctg( ), arccotg ) 3. Určete definiční obor funkcí: f ()= f ()= f 3 ()=tg() f 4 ()= cos sin cos f 5 ()=e sin f 6 ()=arcsin( 3) f 7 ()=arccos 4 f 8 ()=arcsin( )+lnln f 9 ()= arctg +3 π 4 f ()= + f ()= ln(sin) f ()= sin+ 3 sin sin f 3 ()= f cos 4 ()= 3 + f 5 ()=arcsin + +3sin 3 f 6 =arctg +7 f 7 ()=arcccos f 8 ()= 3. Pro danou funkci určete inverzní funkci a její definiční obor: a) f()=cos( 3), π 3, 3 9 arcsin 5
b) g()=3+4arccos( ),, c) h()=+arctg(3 4), R. 4.Dokažteplatnostvztahucosh sinh =.(Použijtedefiniceoboufunkcí.) 5. Dokažte, že platí: a)argcosh=ln(+ ) provšechna, ), a)argsinh=ln(+ +) provšechna R, a)argtgh= ln+ provšechna (,), a)argcotgh= + ln provšechna (, ) (, ). 6. Rozložte polnom na kořenové činitele: P ()= +4 6 P ()= 3 + P 3 ()= 3 3 +3 P 4 ()= 4 6 P 5 ()= 4 P 6 ()=5 3 3 +3 5 P 7 ()= 3 + 6 7. Určete kořen polnomu: P ()= 3 3 +3,má-likořen, P ()= 3 8+,má-likořen, P 3 ()= 5 7 4 +8 3 3,má-likořen, P 4 ()= 5 + 4 9 3 4 +3 36,má-likořen+ia 3. 8. Vjádřete racionální nerze lomenou funkci jako součet polnomu a racionální rze lomené funkce(tj. vdělte čitatele jmenovatelem): R ()= 4 + 3+6 R ()= 3 +7 R 3 ()= 4 +3 3 ++ 9. Rozložte na parciální zlomk: R ()= R 4 ()= + (+ )(+ ) R ()= 3 3 3 R 5 ()= +3+6 (+) 3 R 3 ()= 3 3 3 R 6 ()= ++ ( ) (+ ) Výsledk příkladů k procvičení:.a) a 3 a, a > b) b, a,b > c) +, + >.a) D f = R\{,,} b) = c)(, ) (, ) 3.a) { } 5 b) nemářešení c) {,4} d) (,4 e) R f) 7 5,3) ( 3,8 5 g) nemá řešení h) {,} 4. D f = R\{±} D f = R\{8,} D f3 = R\{ 3,,3} D f4 = 8 3, ) D f5 =(, D f6 = R\{,} D f7 = 5, ) D f8 =(, 3, ) D f9 =(,3) 3, ) 5. a= 3, b=, c= 5 6.a) = b) = 5 9 c) z= 7
7. Graf funkcí jsou na následujícím obrázku: f() (+)-3 = log g() (-) = log /3-6 - 3 h() = + -3 k() = - 7 ( ) - 3 8.Funkce f rostepro a (, 5),klesápro a (3, );funkce grostepro a (, )aklesápro a (, ). 9. D f =(, 3) (, ) D f =(,3) D f3 = R + \{e} D f4 = 3, ) D f5 =,) (,) D f6 =, ) D f7 =(3, ) D f8 = ( 7 ( ) (,) (, ) D f9 =(e, ) D f =(8, ) D f =, 5 + ) 5,. f () = sin p = - - f () = cos ( + p = 4 -
f 3 () = sin ( - ) p = - - f 4() = tg 4 + p = 3 - - 6 6 3 f 5 () = arcsin ( +) - -3 - - - - + f 6 () = arctg ( - ) + není periodická není periodická - + - -. π 6, π 3, 3 π, π, π 3, π 4, 3 π. D f = R\{kπ;k Z} D f = R\{kπ;k Z} D f3 = R\{(k+) π ;k Z} 4 D f4 = k Z π +kπ, π +kπ D f5 = 5 k Z 6 π+kπ,3π+kπ 6 D f6 =, D 3 f7 = 3,5 D f8 =(, D f9 =, ) D f = R\{ 3π+kπ;k Z} D f = { π+kπ;k Z} D f = R\{kπ;k Z} D f3 = R\{ 5 6 π+kπ,π+kπ;k Z} D 6 f 4 =, ) D f5 = (, D f6 = R\{} D f7 =, D f8 =, ( ( ) 3.a) f ()= 3 arccos ), Df =, b) g ()= +cos 3 4, D g = 3,3+4π c) h ()= (4+tg( )), D 3 h = ( π,+ ) π
6.P ()=( )(+3) P ()=(+)( +) P 3 ()=( )(+)( 3) P 4 ()=( +4)(+)( ) P 5 ()=( +3)(+)( ) P 6 ()=( )(5 ++5) P 7 ()=(+3)( ) 7. P : trojnásobnýkořen; P : dvojnásobnýkořenajednoduchýkořen 3; P 3 : dvojnásobnýkořen,dvojnásobnýkořenajednoduchýkořen 3 ; P 4 : jednoduchádvojice ±i,dvojnásobnýkořen 3ajednoduchýkořen 8. 9. R 3 ()= R ()= 4+ +9 R ()= +++ 3+6 R 3 ()= 8 + 4+ ++ R ()= 3( ) + 4 3(+) 9(+) + 4 3(+) 9( ) R 5 ()= + + (+) + 3 (+) 3 R ()= 3 + + ++ R 4 ()= + + R 6 ()= ( ) + 3