VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a + b + 4 4 c + 0 d e + + 4 f + + 4 g + 70 4 h 4 4. a b c d - e log a f 0 g h i j k - 4. a 7 b 4. a AK absolutně konverguje b D diverguje c D d AK e D f AK g AK II. MOCNINNÉ ŘADY. a R=; pokud p > pak AK pro a D jinak; pokud p 0, ] pak AK pro <, K pro = a D pro = ; pokud p 0, pak AK pro < a D jinak b R=/, AK pro + < R, K pro = 4/, D pro = / c R=, AK pro < R, jinak D d R=, pokud a > pak AK pro R a jinak D, pokud a pak e AK pro < R a jinak D e R = /4, AK pro < R, jinak D f R=ma{a, b}, AK pro < R, jinak D g R=, AK pro < R, D pro > R; pokud b > a pak AK pro = R; pokud a b pak K ma{a,b} pro = /a a D pro = /a h R=/, AK pro < R, jinak D i R=, AK pro R, jinak D. a f = n, g = n + n, h = nn, poloměr konvergence. b f = + n, g = n+ n+ + n, h = + n n+ 4 n= n+ n+ + n, poloměr konvergence. n+ c f = n+ 7 n, g = n+ n n+ 7 n, h = 7 + 7n+ n n+ n= + n n+ n+ n+ 7 n, poloměr konvergence..poloměr konvergence je vždy +. a f = n e n! n, g = f + f = e + n= e f + f = e + e + n= e g = + 8f 8f = 8 e 8 48 + 8 + e 8 n= + 4 e 8 n! n! n! 4.Poloměr konvergence je vždy +. n+ n n+! + n= + 8 n n+ + n! n! n!, g = + + n! n! n! 8 e 8 n! n!, h = n+ n! b f = n! n, h = f + n c f = +8 n, e 8 n! + 8 n, h = + 8g 8g = 4 e 8 + a f = n+ n, g = n+ n+! n, h = n+! n n+ n n n!, b sin = sin + = sin cos +cos sin = + n+! g = f + f =..., h = g + g =... nebo take h = f + f + f c sin = sin cos + cos sin = cos n n+ + sin n+! n n, g = n! f+f =..., h = g+g =... nebo take h = f+4 f+4f. a c cos = / f n n, R b n! n= n+ n,, n+ n+ n n, R d + n+ n! n= n+ nn+ n+ n+, < III. HLEDÁNÍ PRIMITIVNÍ FUNKCE - ÚVOD Výsledky jsou uvedeny vždy až na konstantu :. a 0 + log 0 e sin na, 0 a 0, b e +, R c na, 0 a 0, d + e arctg + n n n= n, < n
. a, R { sin + 4k [ b F = + k, + k], k Z sin + 4k + + k, + k, k Z c 4, R { d F = cos cos < e F = k cos + sin + k, [ + k, + k + ], k Z 4 4, 0 { { e f F = [0, ] g F = < 0 e h F = + < 0 + + +,. a log cos na každém z intervalů + k, + k, k Z b log sin na každém z intervalů k, k +, k Z c tg na každém z intervalů + k, + k, k Z d arctg, R e log log na 0, a, f +, R g log loglog na, e a e, 4. a 4 +7 7 4, D f = 0, b 7 + 9, D f = R \ {0} c 4 + + 9, D log 4 log log 9 f = R d arctg, D f = R e, Df =, f 4 arctg4, D f = R g cos, D f = R \ {0} h + sin, D 4 f = R i arctg +, D f = R j arctgsin, D f = R log + + + 4 log k F =, ] + log + + 4 log + [, ] log + [, ] log + + 4 log + [, ] log + + + 4 log [, a = 4 = 4+, na R. a cos + sin + cos sin, R b e sin +e cos, R c log, 0, d I n := n e d = n e ni n ; I := e e, R e 4 log, 0, f e sin + cos sin, R. a cos, D f = k Z + k, + k b 8 d log log, D f = R \ {0} 8 + 7, D f = R \ { } e arctg log +, D f = R c arctg, D f = R f cos + sin, D 4 f = R g / log 4 log + 8 9, Df = 0, h e + +, D f = R i log + log +, D f = 0, j e, D f = R k e, D f = 0, l cos sin, D f = 0, IV. HLEDÁNÍ PRIMITIVNÍ FUNKCE - POKRAČOVÁNÍ Výsledky jsou uvedeny vždy až na konstantu :. a arcsin +sin arcsin = arcsin + 4, D f =, b sinarctg = a a a, D a + f = R c + a + a log + + a, D f = R d 7 + 8 log + +, D + f = R \ { } e log + + 8 log + log +, D f = R\{,, } f + +0+0 log, D f = R \ {} g a sgn a log + a, D f =, a] [a, h + sgn log +, D f =, ] [, +. a + log log ++ 9 9 + + + 8 + arctg, D f = R\{} b 8 log + ++ arctg + 8 log + + arctg, D f = R c + log e + loge +, D f = R\{0} d loge / + log e / + arctge /, D f = R e arctglog/ + 9 0 log log log+, D f = 0, \ {e, e }. a log cos 4 +cos, D cos + f = R \ k Z {k, + k} [dá se řešit substitucí t = cos ]
tg, b tg + log tg + Df = R \ k Z {k, + k, + k} [dá se řešit substitucí t = tg ] 4 c logcos + logcos, D f = R \ { k Z { + k} arctgtg arctg tg + k / d F = + k, + k, k Z + k / = + k, k Z log tg tg + + arctg tg tg + + k, + k 4 e F = = + k log tg tg + + pro k Z arctg tg tg + + + k, + k 4 f F = arctg tg + k pro + k, + k, k Z + k pro = + k, k Z { g F = arctg tg + + k pro + k, + k, k Z + k pro = + k, k Z 4. a log +, D f = 0, b log + +, D ++ f = R c sgn, D + f =,,. a t +t+ b t+ = +, =. Pak na intervalu, vede na integrál z t ; na t intervalu, vede na integrál z t. a F = log t. tg + + arctgtg tg tg + 8 arctg 8 tg 8 k 8, + k, + k, k Z log + k / 8, = + k, k Z b log + + + +++, D f =, 0, V. NEWTONŮV INTEGRÁL. a b log c 4 d e 00 f g a4 h e k ε i ab arctg a tg b j log. a b c d 7 + + arctgtg8 9 arctg tg8 + e substituce = y +, poté rozdělit na součet dvou integrálů, z nichž jeden je nulový jakožto integrál 4 z liché funkce a druhý se spočte standardně f e e n+ e / + e substituce = e y, pak rozdělit e na součet n integrálů, každý z nich převést substitucí [posunutí] na integrál přes 0,, použí vlastnosti eponenciály a dopočítat g + +... + n + n+ log substitucí y = tg lze převést na n n integrál z racionální funkce, pak aplikovat substituci z = y a dopočítat h rozdělíme na integrál přes y+ intervaly, a, 4 4 VI. MOCNINNÉ ŘADY - SČÍTÁNÍ ČÍSELNÝCH ŘAD. a e 4, R b,, c log log +, [, ] \ {0}, součet je 0 pro = 0 d +,, e,, + f,, g arctg log +, [, ]. a log b c 4 d 8 e 8 f arctg/ g 4 h log i 4 e
VII. KONVERGENCE NEWTONOVA INTEGRÁLU. a konverguje b diverguje c konverguje d konverguje e diverguje f konverguje g konverguje, pokud p, q < h konverguje, pokud q < a p < i konverguje j konverguje, pokud p, q > 0 k konverguje, pokud p >. a konverguje, pokud m < b konverguje c konverguje, pokud k < d konverguje, pokud α < < α + β e konverguje, pokud α, f konverguje, pokud α + γ > a β γ > g konverguje, pokud p > nebo p = a q > 4. oba integrály jsou konvergují. a konverguje neabsolutně b konverguje neabsolutně c konverguje, pokud α, d neabsolutně konverguje e konverguje neabsolutně. a konverguje neabsolutně b konverguje, pokud α, c konverguje pro α < 0 a neabsolutně pro α > VIII. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU. a arctg b 4. c d e ab. a 8 7 0/ b log +. a + log/ b e + c d a 4 4. Objem = a b, povrch = 4 ab. a diverguje b konverguje VIII. METRICKÉ PROSTORY. a ano b ne. a ano b ne c ano. d e f 4 n ano, g n ne 4. a b a =. obě tvrzení platí pokud je metrika generovaná normou, jinak ne jako příklad lze vzít prostor s diskrétní metrikou. a je uzavřená, má prázdný vnitřek, N = N = N b Int Q =, Q = Q = R, Q není otevřená ani uzavřená. c Množina není uzavřená ani otevřená, vnitřek je prázdný, hranice i uzávěr jsou { : n n N} {0}. d Množina není uzavřená ani otevřená. Vnitřek je {[, y] R : > 0, y < 0}, uzávěr {[, y] R : 0, y 0}, hranice{[, y] R : 0 & y 0 & = 0 y = 0}. e Otevřená, uzávěr {[, y] : + y 0}, hranice {[, y] : + y = 0}. f Uzavřená, vnitřek {[, y] : > y}, hranice {[, y] : = y}. g Uzavřená, prázdný vnitřek. h Ani uzavřená ani otevřená, vnitřek prázdný, hranice i uzávěr {[, y, z] R : 0, y 0, + y =, z 0}. i Uzavřená, prázdný vnitřek. j Otevřená, uzávěr {f C[0, ] : f [0, ]}, hranice {f C[0, ] : f {0, }} k Uzavřená, prázdný vnitřek.
IX. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH - LIMITY, SPOJITOST, DERIVACE. a-v, b-i, c-vi, d-ii, e-iii, f-iv. a 0 b Limita neeistuje c Limita neeistuje d 0 e 0 f g Limita neeistuje h Limita neeistuje i j k Limita neeistuje, protože funkce není definována na prstencovém okolí bodu 0,, limita přes množinu {, y R : 0} je. l Limita neeistuje, protože funkce není definována na prstencovém okolí bodu 0, 0, limita přes množinu {, y R : y} také neeistuje. m 0 n Limita neeistuje, protože funkce není definována na prstencovém okolí bodu 0, 0, limita přes množinu {, y R : y 0} je +. o 0. a ano, f, = b ne c ano, f0, y = y d ne 4. a = mm y n, = y nm y n pro, y R. b = yey, = y ey pro, y R. c = y+z, = +y, = +y pro, y, z y z R. d, y = y sgn pro 0., y = sgn y pro y 0. y 0, 0 = 0, 0 = 0. 0, y pro y 0 a, 0 pro 0 neeistují. e, y = sgny+cos sin, y y, y = sgny + cos, pokud y cos., cos neeistuje pro R. k, y y k+ = 0 pro k Z., cos neeistuje pro k. f, y = cos sgnsin sin y,, y = y cos y sgnsin sin y, pokud sin sin y. + k, + l = + k, + l = 0. V ostatních bodech y parciální derivace neeistují. g, y = cos sgncos y sin,, y = sin y sgncos y sin, y pokud sin cos. + k, k + l = + k + l, k = 0. V ostatních bodech parciální derivace y neeistují. h Pokud, y > 0 nebo, y < 0, pak = z z ; = z z ; z = y y y y y z y log. y i Pokud > 0 a z 0, pak = y y z ; = y z log ; = y z log y. j Pokud > 0, pak z y z z z = cosy y y; = y cosy y log. k = e +y+y +y, = +y+y y e +y+y +y +y+y pro, y 0, 0; v bodě 0, 0 jsou obě parciální derivace nulové. l Pokud > y, pak +y ; y = +y y. Jinak parciální derivace nemají smysl.. viz. výsledky zkouškových písemek zde: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/edu.php?edutype=archpis. a ne b ne c ano d ne e ano f ano = 7. a f, y = 4 4 +y 4 y 4, y4 4 +y 4 y 4y pro, y 0, 0, v bodě 0, 0 totální diferenciál neeistuje b f, y =, 0 pro > y, f, y = 0, y pro < y, f0, 0 = 0, 0, v 4 +y 4 4 +y 4 bodech a, a kde a 0 totální diferenciál neeistuje. 0 0 sin 8. a F,, 0 = sin cos cos 0 + + + + + b F 0, 0, 0 = 0. 9. a G F 0, 0 = b,0, F 0, 0, 0 =. 4 0 0 0
0. a F, = b F 0, 0 = 0.. a F r F = 8r + 4s, s / e e = 4r + s, F t = t b F s = 4s + 8st + t, F t = 4s + s + 8t +