E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht množina bodů nespojitosti funkce f v má míru. Potom f je integrovatelná v, tj. integrál f,dd resp. f,,zdddz eistuje. poznámka : alší podrobnosti najdete ve skriptech J.Neustupa: Matematika II. Příklad 7. Rozhodněte, zda daný integrál dd eistuje, jestliže : + a {[, E : + }; b {[, E : + }; c {[, E : + }. Budeme vcházet z toho, že dvojný a trojný integrál vlastní je definován pouze pro funkce omezené na omezené množině a dále budeme používat větu o eistenci. a Množina je měřitelná, ted je omezená a její hranice má míru a f, je spojitá a + omezená na. Integrál eistuje. b Množina je měřitelná, ale f, není omezená v, protože [, a lim [, [, +. Integrál neeistuje. c f, opět není omezená na [,, integrál neeistuje. 5
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad8.Je dána množina {[, E : + }. Všetřete, zda eistují dvojné integrál : sin + dd dd a dd, b + +, c + +, d dd, e + a eistuje, lim [, [, b neeistuje, lim [, [, c eistuje, d neeistuje, protože např. lim + dd. sin + < funkce je omezená, + +, + + je spojitá v E, [, [,, + e neeistuje, protože např. lim [, [, +. / Příklad 9. Všetřete, zda eistují trojné integrál : dddz a W ++z, W {[,,z E :,, z }, b +zdddz, W {[,,z E :, z }, W c + +z 9 dddz, W {[,,z E : < + +z < }. W a neeistuje, protože funkce neníomezenánaw,{++z } W, ++z b neeistuje, protože množina W není omezená v E, c eistuje; W je měřitelná množina v E ; + +z 9 ve W, ted integrovaná funkce je spojitá na W; 8 < + +z 9 < pro každý bod [,,z W, 5 ted funkce je omezená na W. III.. Fubiniho věta pro dvojný integrál Množinu M {[, E ; a b, φ φ }, kde funkce φ, φ jsou spojité na < a,b > a φ φ, nazýváme elementárním oborem integrace vzhledem k ose. Necht M je elementární obor integrace vzhledem k ose. Necht funkce f, je spojitá v M. Pak b φ f,dd f,d d. a 6 φ
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 poznámka: Analogick pro elementární obor vzhledem k ose Vpočítejte dvojné integrál na daných obdélníkových množinách : Příklad. I I ln dd +, {[, E :, } d d ln. Příklad. I d [ Obdélník je ohraničen křivkami,,,. d [ ln ln + d ln ln ln+ln dd +, {[, E :, } [ I + d d d + 5 + d 5 [ d ln 5 ln ln 9 5. Příklad. I sin dd, {[, E : π, } I [ sin / π/ sin d 8 / cos d π 7 7π. [ d poznámka: Je-li funkce tpu f, g h a množina je obdélník b d < a, b > < c, d >, pak f,dd gd h d. Příklad. I I [ e t e d ln ln e + dd, {[, E :, } + d t d dt a c e t dt [ ln + e ln e ln e ln. 7
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Množina E je omezená zadanými křivkami. Načrtněte ji a vjádřete jako elementární obor integrace. Příklad., 5,, 5 { : 5 - Šipka označuje možný směr vnitřní integrace při výpočtu dvojného integrálu na pomocí Fubiniov vět. -5 Množina je elementárním oborem integrace vzhledem k ose. Příklad 5.,, : nebo { : je elementární oblast integrace vzhledem k ose i k ose Příklad 6. 8, 8 9 8 8 9, ± : { 8 8
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad 7.,,, [, [, { : : [, Zaměňte pořadí integrace : Příklad 8. I f,d d { { I f,d d. Příklad 9. I { f,d d [, { I f,d d. 9
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad 5. I { f,d d Množina E je omezená křivkami :, což je rovnice horní polovin kružnice +,, což je rovnice horní větve parabol,,. Ve směru os rozdělíme množinu na tři části tak, ab tto části bl elementárními obor integrace. [, : : : { + I Příklad 5. I f,d d+ { : { 6 : 6 I 6 f,d d. f,d d + 6 f,d d+ 6 6 6 f,d d f,d d. + Nový směr vnitřní integrace dovoluje vjádřit celou množinu bez předcházejícího dělení : { : 6 5
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Pomocí Fubiniho vět převed te dvojný integrál f,dd na dvojnásobné integrál pro oba směr integrace, jestliže množina E je omezená křivkami : Příklad 5.,, + f,dd f,d d [, + f,d d + f,d d. Příklad 5., { Vřešením soustav dostaneme průsečík parabol s přímkou o rovnici. f,dd f,d d [, + f,d d+ + + f,d d. [, + Načrtněte množinu E omezenou zadanými křivkami a vpočítejte dané integrál : Příklad 5. I dd, :,, I / / / [ 8 d d + d / 5 6 / [ d / / d 5
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad 55. I a a a Příklad 56. I dd, : + a, I a a a d d a d a [ a d a a + d [a a5 5 + 7 a 7 a7 5 + 7 5 a7 dd +, :, neboli je rovnice parabol s vrcholem [,. Průsečík parabol s přímkou najdeme tak, že zjistíme jejich -ové souřadnice: { po dosazení, Příklad 57. I I d d + + +d + + d + d + + [ d + ln + arctg je rovnice hperbol. ln+arctg +dd, :,,, I + +d d + + + d [ + + + d+ }{{} lichá funkce d - + + }{{} sudá funkce d [+ 5
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad 58. I +dd, :,, Stanovíme -ové souřadnice průsečíků parabol s přímkou : {. Po dosazení +, I +d d + [ d 5 +7 +7 6 6d - [ 6 6 5 5 + 7 + 7 8 6 76 5 Příklad 59. +dd, :,, [, Příklad 6. 6. 6. 6. 6. [, +9 d +dd [ + d [ 5 8 + dd, :,,, dd ln ln u ln, v u, v [ d 8 / +d d + 8 d [ / d d ln d / d lnd per partes [ ln 8ln 6 dd +, :,,, [ ln 5 cos+dd, :, π, [- + dd, :,, + +dd, :, 5 [5, 5 [
65. 66. 67. 68. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 dd, :, [9 + dd, :,,, dd, :,, +dd, :,,, [ +ln 5 [ 5 [ +8ln 69. Převed te dvojný integrál oběma způsob na dvojnásobný tj. obě pořadí integrace a integrál vpočítejte. {[, E ; ln,, },f, / [ Omezená množina E je zadána nerovnicemi nebo hraničními křivkami a je dána funkce f, a Načrtněte množinu s popisem os, měřítkem, popisem křivek a vznačením bodů, které jsou pro řešení úloh důležité. b Ověřte splnění předpokladů pro použití Fubiniho vět. c Množinu vjádřete ve tvaru elementárního oboru integrace vzhledem ke vhodně zvolené ose. d Vpočítejte f, dd. 7. {[, E ;, +}, f, c,,+ d 6 5 7. {[, E ; + π, π, } f, sin+ [π c, π, +π dπ 7. E je ohraničena křivkami: /,, f, c, /, d 9 7. {[, E ;, +, } f, c,, d 7 5
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 7. {[, E ;, } f, c 6 6 d6 75. E je ohraničena křivkami:,, f, c d 76. E je ohraničena křivkami:, /, f, c / d 5 III.. Substituční metoda pro dvojný integrál Necht eistuje vzájemně jednoznačné regulární zobrazení oblasti Bu,v E na oblast E definované rovnicemi φ u,v, φ u,v. Pak f,dd Bu,v f φ u,v, φ u,v J dudv, kde J φ u φ u φ v φ v Příklad 77. Rozhodněte, zda eistuje integrál +,, }. Pokud ano, spočítejte jej. Zde použijeme transformaci do polárních souřadnic. arctg dd rcosϕ r rsinϕ ϕ π J r arctg dd, kde {[, E : Množina je měřitelná v E. Funkce f, arctg není definována na množině {[, E : }. Množina bodů nespojitosti funkce f v, tj. {[, :, <, >} je množina mír nula v E. ále platí, že funkce f je omezená na množině \, proto daný integrál eistuje. ϕ rdr dϕ 55
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 ϕdϕ [ ϕ rdr π [ r π 6. Vpočítejte integrál : Příklad 78. : + dd, {[, E : + b }, b > b + b b + dd / π/ bcosϕ rcosϕ rsinϕ J r r rdr dϕ / π/ [ r + b r brcosϕ r bcosϕ cosϕ π ϕ π bcosϕ dϕ / π/ b cos ϕdϕ / b cos ϕdϕ b 9 b. Příklad 79. ln+ + dd, {[, E : + a, } ln+ + dd / π/ π +a Příklad 8.* ln+r rdrdϕ lntdt π rcosϕ rsinϕ J r / [ tlnt t π/ +a dϕ π r a π ϕ π ln+r rdr [ +r t rdr dt +a ln+a a. dd, kde E je množina ohraničená křivkami,,,. 56 Použijeme transformaci, kde { u v {[u,v E : u, v }.
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Nní spočítáme a pomocí u a v a dále Jakobián u, u v, v u u u v, v v v u v ; J u u u v u v v v u v u v 9 v + 9 v v. Užitím vět o substituci dostaneme u dd J dudv v / u v dv v du / v dv udu [ [ u v. Příklad 8.* dd, E je omezená přímkami +, +, + +, 5 5 Nejvhodnější substituce bude následující } + u v,, kde {[u,v E : u, v 5}. Potom u +v uv +v ; J +v v +v u +v u +v u +v + uv +v u +v ; u dd +v uv 5 u J dudv +v +v uv u +v +v du 5 u v [ u 5 du +v dv v + 5 dv +v +v + +v [ +v 5 +v 6 6 +. Příklad 8. + +9 dd, {[, E : +9 6, } Použijeme transformaci do zobecněných polárních souřadnic eliptických : rcosϕ rsinϕ }, J r, r, ϕ π. dv dv 57
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 8. 8. 85. 86. + +9 dd dϕ +6r 6rdr π + 9r cos ϕ+9 r sin ϕ 6rdr dϕ [ +6r / π 8 7 7. +dd, {[, E : + a } [πa dd, {[, E : + } Použijte souřadnice +rcosϕ, +rsinϕ. + dd, {[, E : + } [π [ 9 +dd, {[, E :,,, 9} Použijte souřadnice u, [ v. J v, 9 Vpočtěte integrál 87. {[, E ; f,dd, je-li dána množina a funkce f, 9 +, } f, 88. {[, E ; +9 9, }, f, [ π 8 89. {[, E ; +, }, f, + [ 9. {[, E ; 6 + 9,, }, f, 9. {[, E ; +, }, f, 9. {[, E ; +, }, f, e [π e [ 8 5 [ 9 [ 58
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III.6. Aplikace dvojných integrálů Určete plošný obsah rovinného obrazce E ohraničeného danými křivkami : Příklad 9., +, + P dd d d d [ [ d. Příklad 9.,,, 8 8 P dd 8 d d+ 8 d d d+ [ d ln + [ 8 + ln ln +ln8 ln +ln. +ln 8 Příklad 95. Určete plošný obsah rovinného obrazce omezeného osou a jedním obloukem ckloid o parametrických rovnicích at sint, a cost. P ϕ aπ dd πa ϕ Jeden oblouk ckloid opíše bod kružnice, která se kotálí po přímce, tj. t,π. a substituce : t at sint d a costdt t a cost <,πa > t <,π > a cost dt a +a +cost dt a π + a a ϕ d d ϕd a cost a costdt cost+cos t [ t+ sint π [ dt a t sint πa +a π πa. π + 59
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad 96. Určete plošný obsah rovinného obrazce omezeného asteroidou / + / a /. a P dd rcos Použijeme transformace do souřadnic : ϕ rsin ϕ / / rcos ϕ + rsin ϕ a / r / a / r a ϕ π P, J cos ϕ rcos ϕsinϕ sin ϕ rsin ϕcosϕ rsin ϕcos ϕ. rsin ϕcos ϕdr dϕ sin ϕ [ r dϕ a a π 8 πa. rsin ϕcos ϕ+rsin ϕcos ϕ cosϕ sin ϕcos ϕdϕ dϕ a a [ rdr ϕ sinϕ π Určete plošný obsah rovinného obrazce omezeného uzavřenou křivkou : Příklad 97. + a Bernoulliova lemniskáta a P dd rcosϕ rsinϕ J r. Podosazenídozadánídostávámepostupně:r a r cos ϕ sin ϕ,r a cosϕ, r a cosϕ cosϕ, ϕ π, π π, 5π. P cosϕ a [ sinϕ Příklad 98.* P π rdr dϕ a. +9 dd rcosϕ r sinϕ J r [ r a cosϕ dϕ a cosϕdϕ r r cos ϕ r sinϕ r cos ϕsinϕ cos ϕsinϕ ϕ π 6
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 P 6 7 cos ϕsinϕ dϕ rdr 9 cos ϕsin ϕdϕ 5 [ r cos ϕsinϕ dϕ cos ϕ cos ϕdϕ cos ϕ cos 6 ϕdϕ Wallisova formule 7 π 5 6 π π 86. Příklad 99.* + a escartesův list a a P dd J r ϕ rϕ rdr dϕ ϕ rcosϕ rsinϕ ϕ r rϕ ϕ ϕ ϕ ϕ r ϕdϕ. Nní určíme rϕ a dosadíme do posledního integrálu. + a r cos ϕ+r sin ϕ ar cosϕsinϕ, takže rϕ acosϕsinϕ cos ϕ+sin ϕ, ϕ π, r rπ. dϕ 9a P acosϕsinϕ cos ϕ+sin ϕ čitatel a jmenovatel vdělíme cos 6 ϕ 9a C a lim C + a. tg ϕ tg ϕ+ dϕ cos ϕ u a du u + tgϕ u dϕ du cos ϕ cos ϕsin ϕ dϕ cos ϕ+sin ϕ 9a [ C lim a C + u + Příklad. Určete plošný obsah rovinného obrazce omezeného křivkami + +, + +,,. + + + + + + + + u u + du lim C + C + + P dd rcosϕ rsinϕ J r + + r cosϕ + + r cosϕ cosϕ r cosϕ π ϕ 5 π 6
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 5 π π 5 cosϕ 5 π π 5 cosϕ rdr dϕ 5 cos ϕdϕ 5 5 π + sin 5π 5 π π π π π sinπ cosϕ [r dϕ cosϕ 5 π +cosϕ dϕ 5 [ ϕ+ sinϕ 5 π + π 6cos ϕ cos ϕ dϕ 5 π π 5π +. 6 Příklad.Je dána parabolická úseč s tětivou kolmou k ose. élka tětiv je a, výška úseče h, a plošná hustota. Určete : a moment setrvačnosti úseče vzhledem k tětivě, b těžiště úseče. h a Analtické vjádření této parabol bude h p. [ a Použijeme-li bod,, pak h p a h p a h h. a a Moment setrvačnosti k tětivě je nní momentem setrvačnosti vzhledem k ose. J : h h dd a h h a d d h h a [ h h a d a a a a h h d h a + 8 66 h d a a a6 a a + a a h a 5 7 b T [, T, T M m h h a m dd a M a a d h dd T a d d a a d [ a + 85 5a 67 6h a 5. h h a d [ a a h a a 6 ha, h h a 5 h a ha 5 h, T d d 5 h a, [, 5 h. a 7a 6 6
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad.Určete těžiště rovinné desk omezené křivkami +, +, je-li. + + + + T [ T,, T M m, m P π π π, kde P je plocha dané desk M π 56 dd cosϕ cosϕ rcosϕ rsinϕ J r r cosϕdr dϕ cos ϕdϕ + r cosϕ + r cosϕ cosϕ r cosϕ π ϕ π [ r cosϕ π cosϕ π 7π, T 7π π, T [ 7,. cosϕ dϕ π 56cos ϕdϕ Příklad. Určete souřadnice těžiště kruhové výseče viz obrázek, je-li konst. α α a T [ T,, m πa π α a α, M dd rcosϕ rsinϕ J r r a α ϕ α α α a sinα, T asinα α. [ r r cosϕdr dϕ a [ α sinϕ α Příklad. Určete moment setrvačnosti vzhledem k počátku soustav souřadnic homogenní rovinné desk s plošnou hustotou k omezené křivkami +, +. J k k + dd [polární souřadnice r drdϕ 5 kπ. 6
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Příklad 5. Určete polohu těžiště obrazce omezeného kardioidou r a + cos ϕ, ϕ,π, a >,. a r a+cosϕ T [ T,, T M m ϕ rϕ m dd ϕ +cosϕ rdr dϕ rdr dϕ r dϕ a +cosϕ dϕ a +cosϕ+cos ϕdϕ π [ϕ+sinϕ a + +cosϕ a dϕ a π +a π a π, [ +cosϕ M dd polární souř. r cosϕdr dϕ cosϕ a +cosϕ dϕ a 5 a π; T 5a 6. cosϕ+cos ϕ+cos ϕ+cos ϕ dϕ Je dána omezená množina E a funkce f, a Načrtněte množinu. b Ověřte splnění předpokladů pro použití Fubiniov vět c Uved te alespoň dva příklad možného fzikálního významu daného integrálu. Uved te, zda se jedná o hmotnost při jaké hustotě, statický moment nebo moment setrvačnosti při jaké hustotě a vzhledem k jakému bodu nebo přímce. d Vpočítejte f, dd. 6. je ohraničena křivkami:, +,,, f, / cm pro / m pro / d 6 7. je ohraničena křivkami:,, f,, cm pro m pro d 6
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 8. je ohraničena křivkami:,, f, cm pro m pro J pro d 9 6 9. {[, E ;, +, }, f, + cm pro + m pro + d 5. je ohraničena křivkami:, /,, f, cm pro m pro m pro J pro d 6 5. je ohraničena křivkami:, /,, f, cm pro d 8+ 5. {[, E ; +,, }, f, cm pro m pro m pro d Určete plošný obsah P rovinného obrazce E ohraničeného danými křivkami :., 8, 5., +,, 5.,,, 6. + 9 7. ln,, 8., 8 + [ 875 [ 6 [ ln [ 9 8 [ e [ π 65
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 Určete hmotnost m rovinné desk omezené křivkami : 9., +, je-li hustota,. + a, je-li, +, a >.,,, je-li,. +, +, je-li, [ 5 8 [ 9 a [ 9 5 [ 6. +, +,,, je-li hustota, v libovolném bodě rovna vzdálenosti tohoto bodu od počátku soustav souřadnic. Určete hmotnost m rovinné desk při dané plošné hustotě,. [ 7 9. {[, E ; +,, },, [6 5. {[, E ;,, /},, 6. {[, E ; +, + },, [ 9 5 [ 6 Určete těžiště T rovinné desk omezené křivkami : 7.,, je-li, 8. sin,,,π, je-li, 9. +, +, je-li, [ [ T 5, [ [ π T, π 8 [ [ T 5,. + a,,, je-li, jde o čtvrtinu asteroid ležící v I. kvadrantu, použijte souřadnice rcos ϕ, rsin ϕ Určete moment setrvačnosti :. kruhu o poloměru a vzhledem k jeho tečně,,,. elips + vzhledem k ose,,,. čtvrtin kruhu o poloměru a vzhledem k jeho ose souměrnosti,,, Zvolte polohu tak, ab osa bla osou souměrnosti.. čtverce o straně a vzhledem k jeho vrcholu,,, [ T T 56a 5π 5. části mezikruží +, +, omezeného přímkami, v I. kvadrantu s hustotou, k, k > vzhledem ke středu mezikruží. Je dána omezená množina E a funkce f, a Načrtněte těleso, jehož objem bude roven hodnotě spočítaného integrálu. b Načrtněte průmět tělesa do rovin z. c Napište název ploch z f,. d Vpočítejte f, dd. [ 5 πa [ [ a π 6 [ a [ 5kπ 6 66
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 6. je ohraničena křivkami:,,, f, + z [ crovina d 7. {[, E ; +, + }, f, + z [ crotační paraboloid d 8. {[, E ;,, }, f, z [ crovina d 7 9. {[, E ;,, }, f, z [ cválcová plocha d 6. {[, E ;, +, }, f, z [ chperbolický paraboloid d 7. {[, E ; + 9, }, f, 9 z [ ckulová plocha d9π 67