4..7 Cyklometrické funkce Předpoklady: 46 Cyklometrické funkce: funkce inverzní k funkcím goniometrickým z minulé hodiny známe první cyklometrickou funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ). Př. : Nakresli graf funkce y = cos x. Omez její definiční obor tak, aby bylo možné nalézt inverzní funkci. Nakresli do nového obrázku graf funkce y = cos x s omezeným definičním oborem a graf funkce k ní inverzní. Omezíme definiční obor pouze na D ( f ) 0; - =.
- - 0 - Funkce inverzní k funkci y = cos x se nazývá y = arccos x (arkus kosinus). Př. : Srovnej v tabulce vlastnosti funkcí y = cos x (s omezeným definičním oborem) a y = arccos x. y = cos x y = arccos x D ( f ) = 0; D ( f ) = ; H ( f ) = ; ( ) = 0; H f funkce je klesající funkce je klesající
Př. : Urči: a) arccos b) arccos c) arccos0 d) arccos e) arccos ( ) f) arccos ( ). a) arccos = 0 (protože cos 0 = ) b) arccos = 4 (protože cos = ) 4 c) arccos0 = (protože cos = 0 ) d) arccos = (protože cos = ) 6 6 arccos = (protože cos = ) e) ( ) f) arccos ( ) neexistuje = (protože funkce y = cos x nemá nikdy hodnotu -) Př. 4: Urči pomocí kalkulačky ve stupních s přesností na minuty přibližné hodnoty: a) arccos 0, b) arccos ( 0, 7) c) arccos d) arccos 6. a) arccos0, 78 8 c) arccos 0, 7 4 6 b) ( ) arccos 48 d) arccos 4 6 Př. 5: Urči v obloukové míře: a) y = arccos b) arccos. Hledané hodnoty 4 nejdříve odhadni, poté je urči s pomocí kalkulačky s přesností na setiny. Funkce arccos je klesající, platí arccos0 =,57 hledaná hodnota bude větší než,05 a menší než,57. Kalkulačka: arccos, rad. 0,79. Funkce arccos je klesající, platí arccos =,6 4 4 hledaná hodnota bude větší než,6 4 a menší než 5,6. Kalkulačka: arccos, 47 rad 6 4. Př. 6: Najdi všechna x, pro která platí cos x = 0,8. -0,8 není tabulková hodnota funkce y = cos x nemůžeme přesně určit hodnotu úhlu x. arccos 0,8 4 8. Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna ( )
Přesně musíme zapisovat požadovaný úhel, pro který platí cos x = 0,8, pomocí funkce arccos jako arccos ( 0,8). Platí tedy x = arccos ( 0,8). Z jednotkové kružnice zjistíme, zda existují další taková čísla: T x - x S R T - Z obrázku je vidět, že v intervalu 0; existují dvě hodnoty x, pro které platí cos x = 0,8: x = ( ) a x ( ) arccos 0,8 = arccos 0,8. Funkce y = cos x je periodická s nejmenší periodou cos x = 0,8 platí pro všechna čísla = { arccos ( 0,8) + k ; arccos ( 0,8) + k }. k Z Podobně budeme postupovat i u dalších goniometrických funkcí: 4
Př. 7: Nakresli graf funkce y = tg x. Omez její definiční obor tak, aby bylo možné nalézt inverzní funkci. Nakresli do nového obrázku graf funkce y = tg x s omezeným definičním oborem a graf funkce k ní inverzní. 4 - - - =. Omezíme definiční obor pouze na ( ) ; D f 5
4 - - - 6
4 - - - 4 - - - Funkce inverzní k funkci y = tg x se nazývá y = arctg x (arkus tangens). Př. 8: Srovnej v tabulce vlastnosti funkcí y = tg x (s omezeným definičním oborem) a y = arctg x. y = tg x y = arctg x ( ) = ; D f D ( f ) = R funkce je rostoucí funkce je lichá H ( f ) = R H ( f ) = ; funkce je rostoucí funkce je lichá 7
Př. 9: Urči: a) arctg b) arctg c) arctg 0 d) arctg e) arctg. a) arctg = (protože tg = ) 4 4 b) arctg ( ) = (protože tg = ) c) arctg 0 = 0 (protože tg 0 = 0 ) d) arctg ( ) e) = (protože tg = 4 4 arctg = 6 (protože tg = ) 6 Př. 0: Urči pomocí kalkulačky přibližně ve stupňové míře: a) arctg 0 b) arctg 0,4 c) arctg d) arctg 50. arctg 0 84 7 b) arctg 0,4 48 a) ( ) c) arctg 80 57 d) arctg 50 89 5 Př. : Najdi všechna x, pro která platí tg x =. nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce y = tg x nemůžeme přesně určit hodnotu úhlu x. Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna arctg 6 6. Přesně x = arctg. Funkce y = tg x je v rámci své jedné periody (například v intervalu ; ) prostá (viz. graf nahoře) nemusíme hledat další hodnoty x, protože všechny další už se vyskytují v jiných periodách. tg x = platí pro všechna čísla = { arctg + k }. k Z ) Poslední goniometrickou funkcí je funkce y = cotg x. 8
Př. : Nakresli graf funkce y = cotg x. Omez její definiční obor tak, aby bylo možné nalézt inverzní funkci. Nakresli do nového obrázku graf funkce y = cotg x s omezeným definičním oborem a graf funkce k ní inverzní. 4 - - - Omezíme definiční obor pouze na D ( f ) ( 0; ) =. 9
4 - - - 0
4 - - - 4 - - - Funkce inverzní k funkci y = cotg x se nazývá y = arccotg x (arkus kotangens). Př. : Srovnej v tabulce vlastnosti funkcí y = arccotg x. y = cotg x (s omezeným definičním oborem) a y = cotg x y = arccotg x ( ) = ( 0; ) D ( f ) = R H ( f ) = R H ( f ) = ( 0; ) D f funkce je klesající funkce je klesající Př. 4: Urči: a) arcotg b) arccotg c) arccotg 0 d) arccotg. a) arccotg ( ) = 4 (protože cotg 4 = )
b) arccotg = (protože cotg = ) c) arccotg ( 0) = (protože cotg = 0 ) d) arccotg = (protože cotg = ) 6 6 Př. 5: Urči pomocí kalkulačky přibližně ve stupňové míře: a) arcotg 0, b) arcotg 5 c) arcotg. Problém: Většina kalkulaček neosahuje tlačítko funkce arccotg x ( cot ), kalkulačky mají pouze tlačítko funkce arctg x ( tan ). použijeme vzorec tg x ( cotg x) vypočteme úhel x. a) arccotg 0, 84 7 b) arccotg5 9 =, z hodnoty cotg x určíme hodnotu tg x a z ní ( x x ( ) cotg = 0, tg = 0, = 0, arctg0 84 7 ) ( x x ( ) cotg = 5 tg = 5 = 0,, arctg 0, 9 ) c) arccotg ( ) 5 6 ( cotg x = tg x = ( ) = 0,5, ( ) y = arccotg x má hodnoty pouze v intervalu ( 0; ) k hodnotě ( ) přičtem 80 arccotg ( ) 5 6 ) arctg 0,5 6 4, funkce arctg 0,5 6 4 Př. 6: Najdi všechna x, pro která platí cotg x =. Výsledek urči přibližně pomocí kalkulačky i přesně pomocí cyklometrické funkce. Protože - nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce hodnotu úhlu x. y = cotg x, nemůžeme přesně určit arccotg 6 4. Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna ( ) (podrobněji u kalkulaček, které mají pouze funkci tangens: cotg x tg x ( ) = = =, arctg 8 6, funkce arccotg y = x má hodnoty pouze v intervalu ( 0; ) k hodnotě arctg 8 6 přičteme 80 arccotg 6 4 ) ( ) Přesně musíme zapisovat požadovaný úhel, pro který platí cotg x = pomocí funkce arcoctg jako arccotg ( ). Platí tedy x = arctg ( ). Funkce y = cotg x je v rámci své jedné periody (například v intervalu ( 0; ) ) prostá (viz. graf nahoře) nemusíme hledat další hodnoty x, protože všechny další už se vyskytují v jiných periodách. cotg x = platí pro všechna čísla = { arctg ( ) + k }. k Z
Př. 7: Petáková: strana 44/cvičení 4, 44 hodnoty arccos, arctg, arccot Shrnutí: