Prùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body



Podobné dokumenty
. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu,

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

Příklady z matematiky(pro ITS)

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

27. června Abstrakt. druhá odmocnina a pod. jsou vynechány. Také je vynechán např. tangensu.) 1 x ln x. e x sin x. arcsin x. cos x.

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

Funkce. Vlastnosti funkcí

Seminární práce z matematiky

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009

10. Derivace, průběh funkce

1. Písemka skupina A...

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Definice derivace v bodě

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

Výsledky úloh. 1. Úpravy výrazů + x 0, 2x 1 2 2, x Funkce. = f) a 2.8. ( ) ( ) 1.6. , klesající pro a ( 0, ) ), rostoucí pro s (, 1)

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

1. Písemka skupina A1..

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Definiční oblasti Úlohy k samostatnému řešení... 83

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.

Cvičení 1 Elementární funkce

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

7.1 Extrémy a monotonie

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

Příklady k přednášce 3

Aplikace derivace ( )

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty

Matematika 1. Matematika 1

Cyklometrické funkce

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

Ukázka závěrečného testu

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 2008/2009- Série I.

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

Cyklometrické funkce

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Průběh funkce II (hledání extrémů)

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE

Derivace vyšších řádů, aplikace derivací

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

(Zavedení pojmu funkce, vlastnosti. Repetitorium z matematiky

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

f jsou osově souměrné podle přímky y = x. x R. Najdi

Logika. 1. cvičení. Matematika 1, NMMA701, Ondřej Bouchala

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

IX. Vyšetřování průběhu funkce

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A

6. URČITÝ INTEGRÁL Výpočet určitého integrálu Úlohy k samostatnému řešení... 68

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

Zimní semestr akademického roku 2013/ září 2014

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Diferencovatelné funkce

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné

Funkce základní pojmy a vlastnosti

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Soubor příkladů z Matematické analýzy 1 (M1100) 1

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Příklad 4.1 Zapište pomocí kvantifikátorů definice minima, maxima, infima a suprema podmnožiny R. Čemu se rovná sup a inf? 2n M = 3n + 1 n N.

1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R;

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

D(f) =( 1, 1) [ ( 1, 1) [ (1, 1). 2( x)3 ( x) 2 1 = 2(x) 3. (x) 2 1 = f(x) Funkce je lichá, není periodická

Průběh funkce jedné proměnné

Transkript:

Urèete, kde je unkce rostoucí a kde klesající: Prùbìh unkce a) () =ln 0; e klesající ; e ; + rostoucí b) () =+ [( ; 0) [ (0; ) klesající ; ( ; ) [ (; +) rostoucí] c) () =e jj [ ( ; 0) rostoucí ; (0; +) klesající] d) () = sin [rostoucí v R] Urèete lokální etrémy unkce: a) () = e [= 0 lokální minimum; = lokální maimum] = arctg + (k +); kzlokální minimum b) () =e cos = arctg + k ; k Zlokální maimum c) () = [= lokální minimum; = 0 lokální maimum] d) () =ln + [nemá lokální etrém] Urèete, ve kterých intervalech je unkce konvení a ve kterých jekonkávní a najdìte inení body: ; [ a) () = ++ 6 ; + konvení ; konkávní 75 = inení body b) () = ( ; ) konvení + ( ; +) konkávní ( j j ; 0) [ (0; ) [ (; +) konvení c) () = (; ) konkávní 5 =;= inení body 0; konvení d) () =ln( + ) ( ; 0) [ ; + konkávní5 =0;= inení body Urèete inení body unkce: a) () = arctg [nemá inení body] b) () =sin(ln ) =e =+k ;kz a) () = 8 +; h ;i [() = nejvìt¹í ; () = nejmen¹í] b) () =tg ; D E ; 6 " = nejmen¹í ; # = 6 nejvìt¹í 6 c) () = arccos ; h;+) [() = 0 nejmen¹í ; nejvìt¹í hodnoty nenabývá] d) () =ln ; (0; i (e )=e nejvìt¹í ; () = 0 nejmen¹í Urèete nejvìt¹í a nejmen¹í hodnotu unkce v uvedeném oboru: e) () =+e ; ( ; +) [(0) = nejmen¹í ; nejvìt¹í hodnoty nenabývá] Tyeset by AMS-T E X

Urèete asymtoty grau unkce : a) () = [svislé = ;=; vodorovná y =0] b) () = [svislé = ;= ; ¹ikmé y = v + y = v ] c) () = +ln [svislá =0] d) () =ln e+ svislá = e ; ¹ikmé y = +e v e) () =+ arctg h¹ikmé y =+ v +;y= i v ) ()=e [vodorovná y =0 v +] Urèete rùbìh unkce () =. D =( ; ) [ ( ; ) [ (; +) ; 0 () = + ( ) ; 00 () = ( +) ( ) 0 + 0 + + 0 + + 0 0 & & & 00 + 0 + _ in.bod _ asym. y =0 = = y =0 Urèete rùbìh unkce () =ln D =(0;+); 0 ()=ln +ln; 00 () = (ln +) 0 e e + 0 e e 0 + 0 + + 0 0 + % lok.ma. & lok.min. % 00 0 + _ in.bod asym. nemá Urèete rùbìh unkce () = arctg + D =( ; ) [ (; +) ; H ; ; 0 () = + ; 00 () = ( + ) 0 + = 0 = = = = 0 = = = & & 00 0 + + _ in.bod asym. y = = y = =

Urèete rùbìh unkce () = e = D =( ; 0) [ (0; +) ; 0 () =e = ( ) ; 00 () =e + = 0 = + + + 0 + + e = + + 0 0 0 + & & lok.min. % 00 + + asym. nemá =0 nemá Urèete rùbìh unkce () = arccos D = h ; i ; 0 () = arccos ; 00 () = 0 0 0 + = + 0 % 00 _ Urèete rùbìh unkce () =+e D =( ; +) ; 0 () = e ; 00 () =e 0 + + + + + 0 0 + & lok.min. % 00 + asym. nemá y = Urèete rùbìh unkce () = ln D =(0;) [ (; +) ; 0 () = ln ln ; 00 () = ln ln 0 e e + 0 + e e = + 0 0 0 + & & lok.min. % 00 + 0 _ in.bod _ asym. = nemá Urèete rùbìh unkce () = arccos + D =( ; +) ; H (0;); 0 ()= jj( + ) ; 00 () = ( + ) ;>0; 00 () = ( + ) ;<0

0 + 0 0 + & lok.min. % 00 asym. y = y = Pro které èíslo je souèet s jeho druhou mocninou minimální? [ =] Urèete rozmìry kvádru s ètvercovou základnou, který má øi daném objemu V nejmen¹í ovrch. hkrychle a = V;S=6 V i Na hyerbole dané rovnicí y = naleznìte bod, který je nejblí¾e bodu A = [; 0]. [B = [; ] ;B = [; ]] Urèete intervaly monotonie daných unkcí: a) () = [( ; ) rostoucí ; (; +) klesající] b) () = 6 [(; +) rostoucí ; ( ; ) klesající] c) () = + [( ;0) [ (; +) rostoucí ; ( ; ) [ (0; ) klesající] d) () = [( ; =) rostoucí ; (=; +) klesající] e) () = [( ;) rostoucí ; ( ; ) [ (; +) klesající] + ) ()= + [(=; ) [ (; +) rostoucí ; ( ; 0) [ (0; =) klesající] g) () = e [(0; ) rostoucí ; ( ; 0) [ (; +) klesající] h) () =ln+ [(; +) rostoucí ; (0; ) klesající] Urèete lokální etrémy unkce: " =+k ; maima a) () = cos sin 7 k Z# +k ; =6+k minima 6 b) () = arcsin [lokální maimum v =0] =+k ; maima c) () =je sin j k Z k ; minima d) () =ln + [lokální minimum v =0] lokální maimum v =e e) () =ln lokální minimum v = ) ()=+e [lokální minimum v = ln ] g) () = ln ( + e ) [ unkce nemá lokální etrémy] h) () = arccos + [lokální minimum v =0] Urèete intervaly, ve kterých je unkce konkávní, ve kterých jekonvení a inení body unkce: (; +) konvení a) () = 5 0 + + ( ; ) konkávní = inení bod 5

b) () = + +e [konvení v R] (=; +) konvení c) () = +ln (0; =) konkávní 5 == inení bod d) () = ( ;) konvení ( ; ) [ (; +) konkávní ( ; =) [ ( =; +) konvení e) () =e ( =; =) konkávní 5 = = inení body ( ; 0) [ (8; +) konvení ) ()=e (0; 8) konkávní 5 =0a= 8 inení body Urèete inení body unkce: a) () =+ sin [ k = k ; k Z] b) () =e = [ = ] c) () =e ( +) [ = ; = ] d) () = ln =e 8= Urèete nejvìt¹í hodnotu (M ) a nejmen¹í hodnotu (m) unkce na daném intervalu: a) () = ; h0;i [M=() = ;m=(=) = =] b) () = +; ( ;) [M = (0) = ;m nenabývá] c) () = ; ( ;) [nenabývá M ani m] d) () = arctg + ; (; i [m = () = arctg ;M nenabývá] e) () = e = ; (0; +) m = (=)=e =;Mnenabývá ) ()=e ; (0; +) M = () = e ;mnenabývá g) () = arctg ; ( ;=i [m = (0)= 0;M nenabývá] h) () = e ; ( ; +) [m = (0)=0;M nenabývá] Urèete asymtoty grau unkce: a) () =e = [y = + v ; =0] b) () = [y= v ; =] c) () = arccos [y = = v ] d) () = ln [nemá asymtoty] e) () =lnr e [y=0 v +;=0] e ) ()=ln [= ; =] + g) () =e + [y= v ] h) () = ln ( + e ) [y =0 v +;y= v ] Urèete rùbìh unkce () = ln. D =(0;) ; 0 () = ( ) ; 00 () = ( ) 5

0 = = ln 0 + + 0 + % 00 0 + _ in.bod asym. =0 = Urèete rùbìh unkce () = arccos. D =( ; i[h;+); 0 ()= jj ; 00 () = jj + = 0 = 0 + + + + % % 00 + _ asym. y = = y = = Urèete rùbìh unkce () =ln +. D =( ;);; 0 ()= ; 00 () = ( + ) ( ) 0 + 0 + 0 0 + & min. % 00 + asym. = = Urèete rùbìh unkce () =lnr e e. D =(0;+); 0 e ()= e ; 00 () = ( e ) 0 + + 0 0 & 00 + asym. =0 y=0 Urèete rùbìh unkce () =ln +. D =( ;) ; 0 () = ; 00 () = ( ) 6

0 0 + 0 + + % 00 0 + _ in.bod asym. = = Urèete rùbìh unkce () =ln +. D =( ;+); 0 ()= + ; 00 () = ( ) ( + ) 0 + 0 ln + 0 + 0 + % 00 0 + 0 _ in.bod in.bod _ asym. = Urèete rùbìh unkce () = + arcsin D = h0; i ; 0 () =r. ; 00 () = 0 0 0 + + 0 % 00 _ asym. nemá = Urèete rùbìh unkce () =e. D =( ; +) ; 0 () =( )e ; 00 () =( )e 0 + 0 e e 0 0 + + 0 e % lok.ma. & 00 0 + _ in.bod asym. y =0 Urèete rùbìh unkce () = ln ( + e ). D =( ; +) ; 0 () = e +e ; 00 () = ( + e ) + + 0 0 & 00 + asym. y = y =0 7

Urèete rùbìh unkce () = e +. D =( ; ) [ ( ; +) ; 0 () = e ( + ) ; 00 ( + ) () = e ( + ) 0 + 0 + + + + 0 0 + & & lok.min. % 00 + _ asym. y =0 = Urèete rùbìh unkce () =+ ln. D =(0;+); 0 ()= + ln ; 00 () = ln 0 e = + + + 0 + + % 00 0 + _ in.bod asym. =0 y = Urèete rùbìh unkce () =ln+. D =(0;+); 0 ()= ; 00 () = 0 + + + + + 0 0 + = + & lok.min. % 00 + 0 in.bod _ asym. =0 Urèete rùbìh unkce () = arctg. D =( ; +) ; 0 () = arctg + + ; 00 () = ( + ) 0 + + + 0 + + 0 0 + & lok.min. % 00 + asym. y = y = Pro které kladné èíslo je jeho souèet s jeho øevrácenou hodnotou minimální? [ = ; s = ] Pro které kladné èíslo je jeho rozdíl s jeho druhou mocninou maimální? = ; r = Do kru¾nice o olomìru R vei¹te obdélník, který má nejvìt¹í obsah a tento obsah urèete. 8

ètverec o stranì a = R ;P=R Který obdélník vesaný do ùlkruhu o olomìru R má nejvìt¹í obsah a jaký? a = R ;b= R ;P=R Do koule o olomìru R vei¹te válec, který má nejvìt¹í objem, a který má nejvìt¹í lá¹». r = Rr ;h=r ;V= R 6 ro lá¹» bez odstav r = R ;h=r ;S=R 5+ ro lá¹» s odstavami r = Rr 5 5 ;h=rr5 ; S = R + 5 0 0 Do rotaèního ku¾ele s vý¹kou v a olomìrem odstavy R vei¹te válec s nejvìt¹ím objemem. r = R; h= v; V = vr 7 Který kvádr se ètvercovou odstavou má øi daném objemu V nejmen¹í ovrch? Který válec má øi daném objemu V minimální ovrch? i hkrychle a = V;v= V;S=6 V " r r V V # r = ;v= ;S= V 75 9