SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala
3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné příklady k přemýšlení a k procvičování látky obsažené ve skriptech Matematická analýza. Tento tet není ukončen. Průběžně ho měním a doplňuji. Prosím proto čtenáře o shovívavost a sdělení všech připomínek.. prosince 999 Jiří Bouchala
5 Příklad. Dokažte matematickou indukcí: a) n N : + 3 + 5 + + n ) = 3nn + )n ) b) n N : 3 + 3 4 + + n n+) n+) = c) n N) k N) : n 3 + 3n + n = 6k n n+3) 4 n+) n+) d) n N) q R \ {}) : + q + q + q 3 + + q n = qn+ q e), + )) n N) : + ) n + n f) n N : n > 4 n > n. Příklad. Určete eistují-li) min M, ma M, sup M a inf M, je-li: a) M = { p q : p N q N p q} b) M = { 5 999n 5 999n : n N} c) M = {, 9,, 99,, 999,, 9999,, 99999,... } d) M = { R : cos ) = }. Příklad 3. Buď A, B R. Dokažte platnost následujících tvrzení: a) A = + = inf A > sup A = b) A inf A sup A c) A má alespoň dva prvky inf A < sup A d) A má nejvýše jedno supremum a nejvýše jedno infimum e) supa B) = ma{sup A, sup B} f) infa B) = min{inf A, inf B} g) A B = sup A sup B.
6 Příklad 4. Určete definiční obor funkce f dané předpisem: a) f) = ln ) ) b) f) = arcsin + c) f) = arccosln 3 ) d) f) = ln + + ) e) f) = ln ln ln ). Příklad 5. Načrtněte graf funkce f dané předpisem: a) f) = + b) f) = 6 c) f) = arctgsgn ) d) f) = arcsinsin ) e) f) = sinarcsin ) f) f) = cosarcsin ) g) f) = arcsincos ). Příklad 6. Sestrojte graf funkce f, víte-li: Df = R, f je lichá, f) = = f 3 ), f je periodická s periodou 3,, ) 3 : f) =. Vypočtěte f), fπ), f ).
7 Příklad 7. Najděte eistuje-li) inverzní funkci k funkci f, je-li: a) f) = 4 + b) f) = + c) f) = 9, Df = 3, d) f) = 9, Df =, 3 e) f) = sin sin, Df =, π) f) f) = cos, Df = π, π. Příklad 8. Určete, zda je funkce f g rostoucí případně klesající), víte-li, že: a) f a g jsou rostoucí funkce b) f a g jsou klesající funkce c) f je rostoucí funkce a g je klesající funkce d) f je klesající funkce a g je rostoucí funkce. Příklad 9. Najděte všechna R, pro která platí: a) sin 5 cos + = b) cos + sin) c) tg +tg = cos) d) sin = 3 tg e) tg 3 + tg = + tg f) tg + cos +sin =.
8 Příklad. Vypočtěte: a) lim n 4 + 5n 3 + ) b) lim n 4 5n 3 + ) c) lim 3n + 6n n 7n + 3 5 3n d) lim n + 6 3 n e) lim + 6n ) 3 n 4 + 8n f) lim 4n n n ) n ) n 3n n g) lim h) lim 3n 3n ) n 3n i) lim j) lim 3n n n k) lim n n 4 n + 3n l) lim 6n + 4 n n m) lim 6 n+ 3 n n + )! n! n sinn!) n) lim 3n + )! + n + o) lim n3 + n 3 3n + 5 p) lim n + ) n 4 n q) lim n + n ) n r) lim + ) n 5n s) lim + n) n+5 t) lim + n) 5n u) lim + 3 + 9 + + 3 n + 4 + 6 + + v) lim + + + n 3 4 8n 6 n n w) lim sinln n) n) ) lim n + n + n sinn) n cos3n) + n + sin4n)) y) dalších alespoň) 6 limit z libovolné sbírky příkladů. Příklad. Najděte geometrickou posloupnost a n ), pro kterou platí: a a = 3, a 4 a 3 =. Příklad. Dokažte ekvivalenci: a n a n +. Příklad 3. Nechť a R a nechť a n ), b n ) a c n ) jsou takové posloupnosti, že: n N : b n = a n c n = a n. Dokažte, že potom platí ekvivalence: a n a b n a c n a).
Příklad 4. Definujme posloupnost a n ) rekurentně rovnostmi: a =, a n+ = + a n. Vypočtěte lim a n. 9 Příklad 5. Určete, zda daná limita eistuje, a pokud ano, vypočtěte ji: a) lim 3 + ) b) lim + c) lim + 3 3 4 + + 3 tg) d) lim sin5) cos3) e) lim f) lim ) + g) lim h) lim i) lim sin + ) + k ), k R j) lim + a) + b) ), a, b R + sin3) sin k) lim l) lim + 3 m) lim ln sin + n) lim + tg tg o) lim sin) ) 3 3 + 3 p) lim ) tg π ) ) sin3) + sin5) e sin cos q) lim r) lim sin) s) lim tg ) sin3) sin + u) lim sin w) lim arccotg v) lim cos + t) lim cos ) lim arccos sin + )) +. Příklad 6. Rozhodněte, zda je funkce f spojitá v R, je-li: +3+ 3 +, f) =, je-li =, pro R \ {,, }, 3, je-li =, 4, je-li =.
Příklad 7. Vypočtěte f ) a určete Df, je-li funkce f daná předpisem: a) f) = b) f) = 3 c) f) = 3 d) f) = 3 e) f) = + f) f) = 3 + + g) f) = + ) + h) f) = e a ln a), a R+ \ {e} i) f) = e arctg e ) j) f) = ln k) f) = sin ) cos l) f) = m) f) = ln arcsin n) f) = ln 3 ln ) o) f) = arcsin 3 ) p) f) = sincos tg )) q) f) = a+b c+d r) f) = ln, a, b, c, d R, ad bc s) f) = arcsin + + arctg t) f) = ln cos arctg e e u) f) = arccos + ln +.
Příklad 8. Určete teď, když znáte l Hospitalovo pravidlo, zda daná limita eistuje, a pokud ano, vypočtěte ji: ln a) lim n, n R+ 4 3 3 + b) lim 3 3 5 3 + + 4 3 + c) lim 4 d) lim cossin ) sin5) + 5 ) e) lim cos4)5 + 6 5 f) lim ) tg3) + n ln, n R + g) lim sin ) + h) lim i) lim cos 3) + 6 cos) j) lim 8 lnsin ) n k) lim l) lim ln n, n R \ {} + ) m) lim sin n) lim o) lim ) p) lim ln e q) lim + n, n R+ r) lim π e tg + π ) ). Příklad 9. Najděte nějakou) funkci f : R R, pro niž platí: f je spojitá na intervalu,, f) = f) =, neeistuje, ) takové, že f ) =. Příklad. Najděte intervaly ryzí monotonie funkce f dané předpisem: a) f) = 3 + 3 36 + 999 b) f) = sin + cos) c) f) = e d) f) = ln e) f) = 8 f) f) = arccos g) f) = 3 + h) f) = e 3 + i) f) = + 3 3 ) j) f) = arctg.
Příklad. Najděte všechny lokální etrémy funkce f dané předpisem: a) f) = 6 3 3 + 3 + 999 b) f) = sin + cos c) f) = arctg d) f) = e) f) = + 3 3 + f) f) = sin 3 + cos 3 g) f) = + ) 3) 3 h) f) = + i) f) = 4 3 tg j) f) = 3 3 k) f) = arctgln )) l) f) = ln. Příklad. Najděte všechny globální etrémy funkce f na intervalu J, je-li: a) f) = sin) +, J =, π b) f) = tg 4, J = π, π ) c) f) = + 4, J =, 3) d) f) =, J =, + ) e) f) = arctgln )), J = Df f) f) = 3 4 +, J =, 8). Příklad 3. Najděte obdélník daného obvodu s s R + ), jehož úhlopříčka má: a) maimální velikost b) minimální velikost. Příklad 4. Do rotačního kužele o poloměru podstavy r a výšce h r, h R + ) je vepsán rotační válec s maimálním objemem. Určete poloměr podstavy a výšku tohoto válce. Příklad 5. Dvě chodby široké 3m a 7m se křižují v pravém úhlu. Zjistěte maimální délku žebříku, který je možno přenést ve vodorovné poloze z jedné chodby do druhé. Výsledek zaokrouhlete na centimetry.)
Příklad 6. Najděte co největší intervaly, na nichž je funkce f ryze konvení resp. ryze konkávní), a určete všechny inflení body funkce f, je-li: a) f) = 5 + + π b) f) = 3 5 5 4 + 3 c) f) = ) d) f) = e) f) = + 3 f) f) = 4 + 3 5 + 7 g) f) = e h) f) = cos i) f) = 3 + 7 k) f) = arctg j) f) = 3 + ) 7 5 ) l) f) = ln. 3 Příklad 7. Najděte všechny asymptoty grafu) funkce f dané předpisem: a) f) = c) f) = sin b) f) = j) f) = 44 6 3 + + 5 3 +. + Příklad 8. Vyšetřete průběh funkce f dané předpisem: a) f) = 4 + 5 b) f) = 3 c) f) = e d) f) = ln ) e) f) = cos + sin f) f) = arcsinsin ) g) f) = arcsincos ) h) f) = arccotg i) f) = arcsin + j) f) = ln + 3 4) k) f) = e + l) f) = arcsin ln ) m) f) = sin + cos n) f) = ln3 + ) o) f) = e + p) f) = 4 3 q) f) = e r) f) = 3 3 s) f) = t) f) = ln + +.
4 Příklad 9. Vyšetřete průběh funkce f dané předpisem: a) f) = 3 6 + A) f) = 3 e b) f) = 3 3 + B) f) = arcsin + c) f) = 4 6 + 5 C) f) = + arccotg) d) f) = 3 3) D) f) = sin lnsin ) e) f) = 5 5 4 + 5 3 E) f) = arccos + f) f) = + F) f) = e tg g) f) = + 4 G) f) = + lncos ) h) f) = + + ln H) f) = i) f) = 3 I) f) = ln j) f) = + 3 J) f) = + ) ln k) f) = + 3 l) f) = m) f) = 4 sin K) f) = cos 3 L) f) = tg ) 3 M) f) = e + ) n) f) = N) f) = e o) f) = 4 O) f) = e p) f) = 3 3 8 P) f) = ln q) f) = 3 + ) 3 ) Q) f) = + sin r) f) = e R) f) = lncos ) s) f) = 4 S) f) = ln + ) t) f) = + e T) f) = ln 4 u) f) = ln U) f) = e v) f) = ln + V) f) = 3 ) ) f) = 3 X) f) = e + 3.
5 Příklad 3. Určete Maclaurinův polynom n tého řádu funkce f dané předpisem: a) f) = + ) s s R) b) f) = cosh c) f) = ln + 7). Příklad 3. Určete Taylorův polynom n tého řádu funkce f v bodě, je-li: a) f) = 3, =, n = 3 b) f) =, =, n = 3 c) f) = ++ +, =, n = 3 d) f) = tg, =, n = 5 e) f) = ln cos, =, n = 6. Příklad 3. Pomocí Taylorovy věty vypočtěte přibližně s chybou menší než 4 ): a) b) π c) arctg, 7 d) 3 e e), ),. Příklad 33. Rozviňte funkci f podle mocnin c), je-li: a) f) = 4 3 +, c = b) f) = 3 + 5, c = c) f) = 7 + 5 + 3 +, c =.
6 Příklad 34. Vypočtěte: a) d) π b) + 3 3 e) 3 c) 3 ) f) 5 ) 4 3 3 4 + 4 +. 3 Příklad 35. Vypočtěte integrací per partes: a) d) + )e b) ln e) 6) cos c) arctg f) sin 3 ln. Příklad 36. Najděte rekurentní vzorce pro výpočet integrálů: sin n, cos n n N). Příklad 37. Vypočtěte pomocí první substituční metody: a) d) π) b) 3 + e) sin 5) cos 5) c) 9 + 5 f) ) 3 7 + 3 arccos 3. Příklad 38. Vypočtěte pomocí uvedené substituce: a) c) e) 3 3, = t b) + 3, 3 = t d) ln 3 + ln ), ln = t f), = t 3 + e, = t +, + = t.
7 Příklad 39. Vypočtěte: 3 a) b) + ) 6) + ) + ) 4 + 3 4 c) d) ) + ) ) ) 3 5 3 5 + 5 3 + 3 e) 3 8 f) + 7 + + 3) + ) 3 + 3 + 7 g) h) + + ) + 3) ) 4 3 + 3 + 5 i) 4 3 6 j) + 4 4 + ) k) + 4 l) + 4 3 m) n) + 4 + 4 o) 3 + + p) 4 6 + ) + ) 3 5 + q) r) + + 5 4 + 7 + 4 + s) t) + 3 + 3) 3 6 + 4 + u) 3 + v) 4 4 3 4 + 8 5 4 w) 3 + 6 ) + + 7 3 + 4 + 7 + 4 + 3 y) 3 6 z) + 3 8 6. Příklad 4. Vypočtěte: a) cos 5 b) sin 3 cos c) sin 4 d) cos 3 sin) e) sin 5 cos3 f) sin 4 cos 4 + cos g) 4 sin 7 cos 7 h) + cos cos 5 cos 4 i) sin 4 j) sin 3.
8 Příklad 4. Vypočtěte: a) 8 b) c) d) + + e) 3 + ) ) f) 4 + 4 ) 3 g) + ) 4 + h) 6 + 6 7 + 4 5. Příklad 4. Vypočtěte: a) + + + b) + c) + d) 3 e) + 4 + f) g) 4 + 3 h) i) + 8 + + 8 j) + 3 + 9 ) 4 3 + ). Příklad 43. Vypočtěte: a) c) e) g) i) 8 3π π e e 3 b) sin d) sin 3 cos f) ln h) 4 j) 3 ln 9 4 + e arccos 3
9 k) m) o) q) 4 e e 3 5 9 l) 3 + + ln p) + ) + r) n) π 3 π 4 π 9 + 5 ) 3 3 + sin + 5 + 3 cos 3 3 sin. Příklad 44. Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami: a) y = 5, =, y = 3 b) = y, y = 3 3 c) y =, y = ) d) y = arcsin, y = π, = e) 3 + y = f) = y, y =, y =. Příklad 45. Vypočtěte délku křivky: a) {, y) R : y = 3} b) {, y) R : y = ln 3 8} c) {, y) R : y = arcsin + } d) {, y) R : y = 3 4} e) {, y) R : y = 3 5 3} f) {, y) R : y = }.
Příklad 46. Vypočtěte: a) c) e) e 3 ln b) ) 3 + 3 f) d) 3 + + ). Příklad 47. Rozhodněte o konvergenci integrálu: a) c) e 3 b) arctg 4 + d) e 4 +.
Literatura [] J. Bouchala, Matematická analýza, VŠB TU, Ostrava, 998. [] J. Charvát, M. Hála, Z. Šibrava, Příklady k Matematice I, ČVUT, Praha, 99. [3] J. Eliaš, J. Horváth, J. Kajan, Zbierka úloh z vyššej matematiky. časť), Alfa, Bratislava, 969. [4] L. Zajíček, Vybrané úlohy z matematické analýzy pro. a. ročník, Matfyzpress, Praha, 998. [5] J. Veselý, Matematická analýza pro učitele první díl), Matfyzpress, Praha, 997. [6] J. Veselý, Matematická analýza pro učitele druhý díl), Matfyzpress, Praha, 997. [7] K. Rektorys a spol., Přehled užité matematiky I a II, Prometheus, Praha, 995.