INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace elementárních funkcí a pravidla pro derivování, jste schopni derivovat libovolnou funkci Možná Vás napadne, zda je možno z derivované funkce nějakým způsobem získat původní funkci Opačnou operací k derivování je integrace (anglické tety používají termín antiderivace) V této kapitole se seznámíte s pojmem primitivní funkce Množinu všech primitivních funkcí k dané funkci nazveme neurčitým integrálem Seznámíte se základními metodami integrace (substituční metoda a metoda per partes) V závěru se budeme věnovat způsobům integrace některých vybraných druhů funkcí Primitivní funkce a neurčitý integrál Cíle Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné Předpokládané znalosti Předpokládáme, že umíte dobře derivovat funkce jedné proměnné, že znáte tabulku derivací elementárních funkcí Předpokládá se i základní znalost pojmu diferenciál funkce Výklad V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Pro danou funkci f ( ) dovedeme nalézt její derivaci f ( ) = g( ) Věnujme se nyní opačné úloze Hledáme takovou funkci F( ), aby daná funkce f ( ) byla její derivací, tj aby platilo F ( ) = f( ) Tato funkce, pokud ovšem eistuje, se nejen v matematice hledá velmi často a jmenuje se primitivní funkce Postup hledání primitivní funkce se nazývá integrování (opačná operace k derivování) Příklad Pro funkci derivování f ( ) = f ( ) = 6 = g( ) Opačná úloha F( ) = integrování f( ) =, protože platí F ( ) = = = f( ) - 9 -
Primitivní funkce a neurčitý integrál Definice Říkáme, že funkce F( ) je v intervalu ( ab, ) primitivní funkcí k funkci f ( ), platí-li pro všechna ( ab, ) vztah F ( ) = f( ) Řešené úlohy Příklad Najděte primitivní funkci k funkci f ( ) = v intervalu (,) Hledáme funkci F( ), jejíž derivace se na intervalu (,) rovná Je zřejmé, že to bude nějaký násobek funkce Po krátkém eperimentování zjistíme, že je to funkce F( ) =, neboť F ( ) = = = = f( ) Podle věty budou i funkce, které se liší konstantou, primitivní k dané funkci Příklad Najděte primitivní funkci k funkci f ( ) = v intervalu (, ) Jelikož všechny úvahy v řešení příkladu platí pro libovolné reálné (, ), je řešením stejná funkce F( ) = Příklad Najděte primitivní funkci k funkci f ( ) =, n N v intervalu (, ) n Podobnými úvahami dojdeme k tomu, že primitivní funkce má tvar n+ F( ) =, n n + pro všechna ) (,, protože Příklad 5 Najděte primitivní funkci k funkci n+ n ( n+ ) n = = = = n+ n+ F ( ) f( ) f( ) = v intervalu (0, ) Vidíme, že vztah uvedený v příkladu nelze použít pro n = Snažíme se najít funkci, jejíž derivací je f( ) = = Z přehledu derivací elementárních funkcí víme, - 0 -
že touto funkcí je funkce F( ) ln, neboť = [ ] Příklad 6 Najděte primitivní funkci k funkci Primitivní funkce a neurčitý integrál F ( ) = ln = = f( ) pro (0, ) f( ) = v intervalu (,0) Podobnými úvahami jako v předcházející části zjistíme, že primitivní funkcí k funkci f( ) = pro (,0) je funkce F( ) = ln = ln( ) Funkce F( ) = ln Avšak také funkce je primitivní funkcí k funkci f( ) = pro (,0) (0, ) F( ) = ln + 5 bude primitivní funkcí k dané funkci, neboť platí F ( ) = ln 5 + = = f( ), protože derivace konstanty je rovna nule Je zřejmé, že tvrzení platí nejen pro konstantu 5, ale i pro libovolnou jinou konstantu C Věta Je-li F( ) primitivní funkce k funkci f ( ) v intervalu ( ab, ), pak také funkce F( ) + C, kde C je libovolná reálná konstanta, je primitivní funkcí k funkci f ( ) v intervalu ( ab), ( ab, ) ( ) ( ) ( ) Důkaz: Jelikož na intervalu platí [ F + C] = F = f dostaneme podle definice uvedené tvrzení Poznámka K dané funkci eistuje nekonečně mnoho primitivních funkcí, které se liší konstantou Definice Množina všech primitivních funkcí k funkci f ( ) na intervalu ( ab, ) se nazývá neurčitý integrál této funkce Píšeme: f ( d ) = F ( ) + C Poznámka - se nazývá integrační znak, - f ( ) je integrovaná funkce (integrand), - d je diferenciál integrační proměnné, - C je integrační konstanta - -
funkci Základní neurčité integrály Příklady 5 a 6 bychom mohli v souladu s definicí formulovat: Integrujte f( ) = na daném intervalu Zápis: d Výsledek, který jsme získali (množina všech primitivních funkcí F( ) = ln +C ), zapíšeme: d = ln + C Tento vztah platí pro všechna, pro něž jsou příslušné funkce ( a ln ) definovany, tj pro všechna 0 V takových případech často vynecháváme interval, ve kterém pracujeme Základní neurčité integrály Operace integrování (tj operace určování primitivní funkce) a derivování jsou navzájem inverzní Z tabulky derivací elementárních funkcí hned dostaneme tabulku neurčitých integrálů (tab ) O správnosti uvedených vztahů se podle definice snadno přesvědčíme derivováním Tabulka Tabulka základních integrálů [] 0d = C [] d = + C n+ n [] d = + C n + [] d = ln + C [5] sin d = cos + C [6] cos d = sin + C [7] d = tg + C cos [8] d = cotg + C sin [9] pro > 0, n pro 0 π pro (k+ ), k Z pro kπ, k Z d = arcsin + C pro (, ) [0] d = arctg + C + a [] a d = + C ln a pro a > 0, a - -
Základní neurčité integrály [] e d = e + C [] f ( ) d = ln f ( ) + C f( ) d [] = arctg + C a + a a d [5] = arcsin + C a a pro a > 0 [6] f ( a + b) d = F( a + b) + C pro a 0 a pro ( a,, a > 0 Poznámka Eistují rozsáhlé tabulky, ve kterých lze nalézt množství dalších neurčitých integrálů K výsledkům můžeme dospět použitím pravidel a metod integrace, které budou uvedeny v následující části Dnes však tyto tabulky ztrácejí význam, neboť jsou dostupné matematické programy, které zvládnou integraci složitých funkcí (např Derive, Maple, Mathematic Na Internetu lze nalézt řadu online kalkulátorů (např http://integralswolframcom/indejsp, http://wwwwebmathcom/integratehtml a další) Po zadání integrované funkce je nalezena primitivní funkce Neurčité integrály z dalších funkcí lze získat různými integračními metodami Z pravidel pro derivování funkcí ( f ± g) = f ± g, ( cf ) = cf, c = konst a z vlastnosti primitivní funkce okamžitě plyne: Věta Mají-li funkce f ( ) a g ( ) na intervalu ( ab, ) primitivní funkce, pak platí: ( f ( ) ± g ( )) d = f ( ) d ± g ( ) d cf ( ) d = c f ( ) d, c = konst f ( d ) = f( ) + C Řešené úlohy (úpravou integrandu) Příklad Vypočtěte integrál + + d - -
Základní neurčité integrály + + 0 d = d+ d + d = + + ln C + Příklad Vypočtěte integrál ( ) d = ( ) d = ( + ) d = d d + d = + + C + + C Příklad Vypočtěte integrál tg d sin cos tg d = d = d = d tg C = cos cos cos + Příklad Vypočtěte integrál cotg d ( sin ) cos cotg d = d = d = ln sin C sin sin + (Použili jsme vztah [] z tabulky ) Příklad 5 Vypočtěte integrál e + d e + e + ( e + )( e e + ) d = d = ( e e + ) d = e e C e + e + + + Při úpravě čitatele zlomku jsme použili vztah a + b = ( a+ b)( a ab+ b ) Příklad 6 Vypočtěte integrál d 8 6 9 - -
d d d d = = = 8 6 9 8 (6+ 9 ) 8 (+ ) + 9 (+ ) Základní neurčité integrály = d + arcsin = + C Použili jsme vztah [6] z tabulky + Poznámka I když všechny primitivní funkce k funkci f ( ) mají až na konstantu stejný tvar, může se stát, že při použití různých integračních metod dostaneme pokaždé trochu jiný výsledek V tomto případě je vždy možno převést jeden tvar výsledku na druhý Například první metodou dostaneme tg d = + C Jinou metodou nám vyjde cos cos tg cos d = + tg + C sin cos + sin jsou správné, neboť + tg = + = = cos cos cos Oba výsledky Kontrolní otázky Kolik primitivních funkcí eistuje k funkci Ke které funkci je funkce F( ) = (ln ) primitivní? Je funkce sin sin primitivní funkce k funkci Je funkce + primitivní funkce k funkci arctg? e? Uveďte některé z nich cos? 5 Lze při výpočtu následujícího integrálu použít naznačený postup? + ( + ) d = d + d 6 Platí e sin d = e d sin d? Úlohy k samostatnému řešení d) d b) d e) ( ) d + 8 d f) + d + d + - 5 -
( ) d b) ( + cos sin ) 6 d) sin cos d e) d) 5 d + 9 b) d + + e) d b) ln d) sin + e d d cotg d f) d + d f) d arccos e) tg d f) 5 0 + 5cos + + d b) + d d) Výsledky úloh k samostatnému řešení + + d e) Základní neurčité integrály d sin cos cos d cos d + 7 d d + e d e + + ( + ) cotg 5 5 + C; b) 6 + + C; + C ; d) + + + C; e) b) f) d) + +C f) + arctg + C + sin + C; tg cotg + C; d) tg+ C arctg + C ; b) cos d d + + C ; ln ln cos + C ; e) cotg + C; arctg + C ; arctg + C ; + + arctg + C ; e) arcsin + C ; f) arcsin + C ln ln + C ; 6 + ; ln ( ) b) ln arccos C + + C ; d) cos + e + C ; e) ln cos + C ; - 6 -
Základní neurčité integrály ( ) f) ln e + +C 5 arcsin + C ; d) 7 0 + 5sin + arctg + C; b) ln0 7 + arctg + C ; e) tg + cotg+ C + arctg + C ; Kontrolní test Ke které funkci je funkce F( ) arctg ln( ) 6 6 = + + primitivní? + arctg +, b) arctg, + ( + ) arctg +, d) ( + ) ( + ) Ke které funkci je funkce F( ) = arcsin e e primitivní? e e e, b) e e + e e, e ( + e ) + e, d) e e Ke které funkci je funkce = primitivní? F( ) ( ), b) ( + ), ( ), d) ( + ) Vypočtěte neurčitý integrál + d 9 7 + +, b) + + + C, 6 7 C 9 9 7 + C, d) 7 + + C - 7 -
Základní neurčité integrály 5 Vypočtěte neurčitý integrál ( ) d ( ) + ( ) + C, b) 6 ( ) ln + ( ) ln + C, + C, d) + + C ln ln ln ln 6 Vypočtěte neurčitý integrál + + d ln + C, b) 5 C 5 +, 5 ln + C, d) ln 6 + cos 7 Vypočtěte neurčitý integrál d + cos cotg + + C, b) + cotg + C, d) tg 8 Vypočtěte neurčitý integrál cotg d + C + tg + C, + + C cotg + C, b) tg + C, cotg + C, d) 9 Vypočtěte neurčitý integrál C 8 d + + +, b) 8ln + C, d) + C sin + + + C, + C - 8 -
0 Vypočtěte neurčitý integrál d 5 + arccos + C, b) arcsin + C, + arcsin + C, d) arccos + C Základní neurčité integrály Výsledky testu b); ; b); ; 5 ; 6 ; 7 b); 8 ; 9 d); 0 Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou V opačném případě je třeba prostudovat kapitoly a znovu Shrnutí lekce V prvých dvou kapitolách jste se seznámili s pojmy primitivní funkce a neurčitý integrál Operace integrování (tj operace určování primitivní funkce) a derivování jsou navzájem inverzní Tabulka obsahuje přehled základních integrálů Doporučujeme vytisknout si tuto tabulku, neboť bude využívána v dalších kapitolách při integraci složitějších funkcí Všechny příklady a cvičení v kapitole vyřešíme tak, že integrovanou funkci upravujeme, až dostaneme základní integrály uvedené v tabulce - 9 -