Základní elementární funkce

Základní elementární funkce Základní elementární funkce Za základní elementární funkce považujeme funkce: a) eponenciální a logaritmické; b) obecné mocninné; c) goniometrické a cklometrické; d) hperbolické a hperbolometrické. Eponenciální a logaritmické funkce. Definice Eponenciální funkce je funkce f() = a, a R, a > 0, R. Podívejme se, jak se jednotlivé fukce liší v závislosti na eponentu : a) = n, kde n N: a n = a } a {{... a }. n krát b) = 0: a 0 =. c) = n, kde n Z: a n = a n. d) = p q, kde p q Q: a p q = q p. e) R \ Q: Zde je problém. Jak definovat například a π, a,...? Pro libovolné R eistuje posloupnost { n } racionálních čísel taková, že n. Pak eistuje lim n an = α, α > 0, která nezávisí na volbě posloupnosti { n }. Potom definujeme a = α. f) Jen pro úplnost doplňme přehled o případ, kd a =. Potom a = pro R. f() = a, a > f() = a, 0 < a < 0 Obrázek : Eponenciální funkce f() = a Mgr. Jana Hoderová, Ph.D. ÚM FSI v Brně,. 0. 005

Základní elementární funkce. Věta (Vlastnosti eponenciální funkce) Nechť a R, a > 0, a. Potom má eponenciální funkce f() = a tto vlastnosti: ) Pro, R platí: a a = a +, a a = a, (a ) = a. ) D(f) = R, H(f) = (0, ) (viz Obrázek ). ) f je rostoucí pro a >, klesající pro 0 < a < (viz Obrázek ).. Poznámka Speciálním případem je přirozená eponenciální funkce f() = e. Užívá se i značení f() =ep().. Definice Nechť a R, a > 0, a. Inverzní funkce k f() = a se nazývá logaritmická funkce o základu a. Značí se f() = log a. 5. Poznámka Následující rovnosti jsou ted ekvivalentní: = a = log a. f() = log a, a > 0 f() = log a, 0 < a < Obrázek : Logaritmická funkce f() = log a 6. Věta (Vlastnosti logaritmické funkce) Nechť a R, a > 0, a. Potom má logaritmická funkce f() = log a tto vlastnosti: ) log a () = log a + log a, log a = log a log a, log a = log a, log b = log a log a b. b) D(f) = (0, ), H(f) = R (viz Obrázek ). c) f je rostoucí pro a >, klesající pro 0 < a < (viz Obrázek ). Mgr. Jana Hoderová, Ph.D. ÚM FSI v Brně,. 0. 005

Základní elementární funkce 7. Poznámka Speciální případ:. a = e, značíme loge = ln... přirozená logaritmická funkce. a = 0, značíme log 0 = log... dekadická logaritmická funkce 8. Věta Pro libovolné a R, a > 0, R platí a = e lna. Důkaz: e lna = ( e lna) = a. Obecné mocninné funkce 9. Definice Nechť a R. Funkce f() = a definovaná vztahem a = e aln se nazývá obecná mocninná funkce. a > a = 0 < a < a = 0 a < 0 0 Obrázek : Obecná mocninná funkce f() = a 0. Věta (Vlastnosti obecných mocninných funkcí) Nechť a R. Potom má obecná mocninná funkce f() = a tto vlastnosti: ) () a = a a, ( ) a = a, a b) D(f) = H(f) = (0, ) (viz Obrázek ). c) f je rostoucí pro a > 0, klesající pro a < 0 (viz Obrázek ). d) V některých speciálních případech má funkce definiční obor širší než (0, ). Např. f() = má D(f) = R. Mgr. Jana Hoderová, Ph.D. ÚM FSI v Brně,. 0. 005

Základní elementární funkce Goniometrické funkce a cklometrické funkce. Definice Goniometrické funkce úhlu v intervalu 0, π definujeme pomocí jednotkové kružnice (viz Obrázek ) takto: Značí-li B bod na jednotkové kružnici, který obdržíme tak, že na tuto kružnici naneseme od bodu A[, 0] oblouk délk v kladném směru (tj. proti směru oběhu hodinových ručiček) pro 0, resp. v záporném směru (tj. po směru oběhu hodinových ručiček) pro 0, tak první souřadnici bodu B prohlásíme za cos a druhou souřadnici za sin. Ted B[cos, sin ]. Obrázek : Jednotková kružnice Z Obrázku lze včíst i hodnot dalších goniometrických funkcí úhlu, tj. tg a cotg, které je také možno vjádřit vztah: tg = sin cos, cos cotg = sin. 0 5 6 7 0 5 6 7 Obrázek 5: f() = sin Obrázek 6: f() = cos. Poznámka Úhel může být zadán ve stupňové nebo v obloukové míře. Připomeňme si vzájemnou vazbu: 80 o = π, o = π 80,... Ted hovoříme-li o oblouku délk, například pro = 0 o = π 6, nanášíme na jednotkovou kružnici od bodu A[, 0] délku π. 6 = 0,5 v záporném směru a získáme tak bod B [ [ cos ( π 6 ), sin( π 6 )] = ],. Mgr. Jana Hoderová, Ph.D. ÚM FSI v Brně,. 0. 005

Základní elementární funkce 5 5 5 0 5 5 Obrázek 7: f() = tg 0 5 6 Obrázek 8: f() = cotg. Věta (Vlastnosti goniometrických funkcí) ) sin + cos =, připomeňme, že platí: sin = (sin ), tg cotg =, sin = sin cos, cos = cos sin. b) D(sin ) = D(cos ) = R, H(sin ) = H(cos ) =, (viz Obrázk 5 a 6). c) D(tg ) = R { π + kπ, k Z}, D(cotg ) = R {kπ, k Z}, H(tg ) = H(cotg ) = R (viz Obrázk 7 a 8).. Definice Cklometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Ve všech případech musíme zúžit definiční obor původní goniometrické funkce na interval, ve kterém je prostá: sin je prostá na π, π, inverzní funkci značíme arcsin, cos je prostá na 0, π, inverzní funkci značíme arccos, tg je prostá na ( π, ) π, inverzní funkci značíme arctg, cotg je prostá na (0, π), inverzní funkci značíme arccotg. 0 0 Obrázek 9: f() = arcsin Obrázek 0: f() = arccos Mgr. Jana Hoderová, Ph.D. ÚM FSI v Brně,. 0. 005

Základní elementární funkce 6 5. Poznámka Pro π, π jsou rovnosti = arcsin a = sin ekvivalentní. Pro další goniometrické a cklometrické funkce platí analogické vztah. 6. Věta (Vlastnosti cklometrických funkcí) a) Pro, platí arcsin + arccos = π, pro R platí arctg + arccotg = π. b) D(arcsin ) = D(arccos ) =,, H(sin ) = π, π, H(arccos ) = 0, π (viz Obrázk 9 a 0), D(arctg ) = D(arccotg ) = R, H(arctg ) = ( π, π ), H(arccotg ) = (0, π) (viz Obrázk a ). 0 Obrázek : f() = arctg 0 Obrázek : f() = arccotg Přípomínk k tetu a případná upozornění na chb můžete zaslat na adresu: hoderova@fme.vutbr.cz Mgr. Jana Hoderová, Ph.D. ÚM FSI v Brně,. 0. 005