Příklady z matematikypro ITS) František Mošna Definiční obor: Zjistěte maimální definiční obor funkce:. f)=ln 2 8 9 ) + +2 Df= 2, ) 9, ).2 f)=ln 2 4 5 ) 36 2 Df= 6, ) 5,6.3 f)=ln 2 7 8 ) 00 2 Df= 0, 9) 2,0.4 f)=ln 8 2) + 2 0+2 Df= 9,3) 7,9).5 f)= 2 7+0+ln 49 2) Df= 7,2 5,7).6 f)= 2 8+5+ln+) Df=,3 5, ).7 f)= 2 4+3+ln 25 2) Df= 5, 3,5).8 f)=ln 36 2) 2 7+0 Df= 6,2 5,6).9 f)=ln 2 7+0 ) + 8 2 Df= 9,2) 5,9.0 f)= 2 6+ln+0) Df= 0, 2 3, ). f)=ln 2 7 2 ) + 2 Df=7, ).2 f)= 2 2 ln5 ) Df=, 2,5).3 f)= 2 6+ln 6 2) Df= 4, 2 3,4).4 f)=ln 2 +2 3 ) + 5 Df= 5, ).5 f)= 2 2 3+ +5 Df= 5, 3, ).6 f)= 2 +3 40+ln2 ) Df=, 8 5,2).7 f)=ln 2 +3 0 ) + +8 Df= 8, 5) 2, )
2.8 f)=ln6 )+ 2 6+8 Df=,2 4,6).9 f)=ln 2 9+4 ) + +3 Df= 3,2) 7, ).20 f)= 2 3 0+ln 36 2) Df= 6, 2 5,6).2 f)=ln+7)+ 2 0+2 Df= 7, 3 7, ).22 f)= + 3 + 25 2 Df= 5, 3,5 2 +2 8.23 f)= +ln7 ) Df= 4, ) 2,7) +.24 f)= +3 2 +ln0 ) 6+5 Df= 3,) 5,0).25 f)=ln 2 2 4 5 + 9.26 f)= 2 2 3 +ln 36 2).27 f)= 2 2 3 +ln 25 2) Df=,2) 5,9 Df=, 3,6) Df=, 3,5.28 f)= 36 2 ln 3 2 6+5 Df=,3) 5,6.29 f)= 6 2 ln 2 +4+3 Df= 3, ),4.30 f)=ln5 )+ + 2 4+3 Df=,) 3,5).3 f)=ln 5 2 +3 4 + 0 Df= 4,) 5,0 Inverzní funkce: Kfunkci fprosténasvémmaimálnímdefiničnímoboru)zjistětefunkciinverzní f,včetnědefiničníhooboru Df aoboruhodnot Hf : 2. f: y= π+arcsin2 3) f : y= 2 3+sin π)), Df = π 2,3π 2, Hf =,2
3 2.2 f: y= ln2 3) f : y= 2 3+e 2), Df = 0, ), Hf = 2, ) 2.3 f: y= π+2arcsin 2 3 2.4 f: y= π 2arcsin 5) f : y=2+3sin π 2, Df = 0,2π, Hf =,5 f : y=5+sin π 2, Df = 0,2π, Hf = 4,6 2.5 f: y= 2 3 6 2 ) f : y= 2 2 +6 3 2, Df =, 3 2, Hf =,3 2.6 f: y= 2 5+ln 3)) f : y=3+e 2 5, Df =, ), Hf =3, ) 2.7 f: y= 2 ) π arccos 3 f : y=3+cos 2 π 2), Df = π 4, π 2, Hf = 3,4 2.8 f: y= π 2arctg f : y=+tg 2 π 2, Df =0, π, Hf =, ) 2.9 f: y= 3 ) 4 e 2 f : y=2 ln 2 4 3), Df = ), 4 3, Hf =,2 2.0 f: y= ln2 3) f : y= 2 3+e 2), Df = 0, ), Hf = 2, ) 2. f: y=arcsin f : y=2 2 sin 2, Df = 0, π 2, Hf =, 2.2 f: y= arcsinln ) MS3 2.3 f: y= ln f : y=e sin 2, Df = 0, π 2, Hf =,e f : y=e 22 4, Df = 0,, Hf =,e 2.4 f: y=arctg 2 ) f : y=2+ tg ) 2, Df = π 2, π 4, Hf = 2, ) Derivace- tečna, normála: Zjistěterovnicitečnyarovnicinormálykfunkci fvbodě T: 3. f)=5+e 2 T=,? t: 3 y+3=0 n: +3y 9=0 3.2 f)=3 ln 2 T=,? t: 2 y+=0 n: +2y 7=0
4 3.3 f)= +3 cos T=0,? t: y+3=0 n: +y 3=0 3.4 f)=4arctg 2 T=4,? t: 4y+4π 4=0 n: 4+y π 6=0 3.6 f)=2 arctg 2 T=,? t: 2+ πy π+2=0 n: π 2y+3 π=0 3.7 f)=2+ln 3 ) 5 2 T=,? t: 7 2y 3=0 n: 2+7y 6=0 3.8 f)=3+ln ) T=2,? t: 2 y =0 n: +2y 8=0 3.9 f)= 2 T=,? t: 2 y 2=0 n: +2y =0 3.0 f)= ++cos T=0,? t: 3 2y+2=0 n: 2+3y 3=0 3. f)=2+ sin +9 T=0,? t: 3y+6=0 n: 3+y 2=0 3.2 f)=5+2 ln T=,? t: 2 y+3=0 n: +2y =0 3.3 f)=arctg ) T=,? t: y =0 n: +y =0 3.4 f)=e +cos +2 π) T=π,? t: 2 y 2π+=0 n: +2y π 2=0 3.5 f)=3+2+ 2 cos T=0,? t: 2 y+3=0 n: +2y 6=0 3.6 f)= 2ln T=,? t: 2 y 2=0 n: +2y =0 3.7 f)= π cos T=π,? t: 2πy 3π=0 n: 2π+y+ 2π 2 =0 3.8 f)= 8cos +4 T=0,? t: +2y 8=0 n: 2 y+4=0 3.9 f)=5+ 3+ln T=,? t: 2 y+3=0 n: +2y =0 3.20 f)= 2 + T=2,? t: 3 2y+4=0 n: 2+3y 9=0
5 3.2 f)=2 arctg ) T=,? t: 2 y 2=0 n: +2y =0 3.22 f)= e + T=0,? t: 2y+2=0 n: 2+y =0 3.23 f)=3 +3ln T=,? t: y+2=0 n: +y 4=0 3.24 f)=2+ )arctg T=,? t: π 4y+8 π=0 n: 4+πy 4 2π=0 3.25 f)= 2 2 T=4,? t: 5 2y 36=0 n: 2+5y 88=0 3.26 f)= 3++ ln T=,? t: 5 4y+3=0 n: 4+5y 4=0 3.27 f)= cos T=π,? t: +y=0 n: y 25=0 3.28 f)= ln 3 T=,? t: 2+y+=0 n: 2y 7=0 3.29 f)=2+ + arctg T=0,? t: y+2=0 n: +y 2=0 3.30 f)=2++e tg T=0,? t: 2 y+3=0 n: +2y 6=0 3.3 f)= 2 +5 T=2,? t: 2 3y 5=0 n: 3+2y 2=0 3.32 f)=ln arctg T=,? t: π 4y π=0 n: 4+π y 4=0 3.33 f)=4arctg 2 2 7 ) T=2,? t: 6 y+ π 32=0 n: +6y 6π 2=0 3.34 f)=+ 4+ln T=,? t: 5 4y+7=0 n: 4+5y 9=0 3.35 f)= 3+ ln T=,? t: 2+y+=0 n: 2y 7=0 Derivace- průběh funkce: Zjistěte maimální intervaly, na kterých je funkce f rostoucí, na kterých je klesající a její lokální etrémy: 4. f)= e 2 + rostoucína, 2, klesajícína, ana 2, ), lokálníminimumvbodě alokálnímaimumvbodě 2 4.2 f)=6 7)e 6 klesajícína,,rostoucína, ),lokálníminimumvbodě
6 4.3 f)= 3ln+) klesajícína,2, rostoucína 2, ),lokálníminimumvbodě2 4.4 f)=9 25arctg rostoucína, 4 3 ana 4 3, ),klesajícína 4 3 3,4, lokálníminimumvbodě 4 3 alokálnímaimumvbodě 4 3 4.5 f)= ln rostoucína 0,e 2,klesajícína e 2, ), lokálnímaimumvboděe 2 4.6 f)=e 2 klesajícína, 2, rostoucína 2, ), lokálníminimumvbodě 2 4.7 f)=5+4)e 5 klesajícína,,rostoucína, ), lokálníminimumvbodě 4.8 f)=e rostoucína,,klesajícína, ), lokálníminimumvbodě 4.9 f)= 3 rostoucína,3)ana 3, ), klesajícína, lokálníminimumvbodě 4.0 f)= 3) rostoucína,, klesajícína, ),lokálníminimumvbodě 4. f)= 4.2 f)= ln rostoucína 0,)ana,4, klesajícína 4, ), lokálnímaimumvbodě4 klesajícína 0, e 2, rostoucína e 2, ), lokálníminimumvbodě e 2 4.3 f)= ln 2 rostoucína 0, e, klesajícína e, ), lokálnímaimumvbodě e 4.4 f)= e rostoucína 0, 2, klesající na 2,, lokálnímaimumvbodě 2 4.5 f)= 2 +2+5 klesajícína,, rostoucína, ), lokálníminimumvbodě 4.6 f)= 2 2 rostoucína 0,, klesajícína,2, lokálnímaimumvbodě 4.7 f)= klesajícína 0,9, rostoucína 9, ), lokálníminimumvbodě9 4.8 f)= +ln klesajícína0,, rostoucína, ), lokálníminimumvbodě 4.9 f)= 2 8 ln klesajícína0,2, rostoucína 2, ), lokálníminimumvbodě2 4.20 f)= 2 +0 rostoucína 0, 8 ana 0, ), klesajícína 8,0, lokálnímaimumvbodě 8alokalníminimumvbodě0
7 4.2 f)= 2 ln) rostoucína0,e, klesajícína e, ), lokálnímaimumvboděe 4.22 f)=4 5) e 4 klesajícína,, rostoucína, ), lokálníminimumvbodě 4.23 f)= ln rostoucína0,e, klesajícína e, ), lokálnímaimumvboděe 4.24 f)= 2 arctg rostoucína, ana, ), klesajícína,, lokálnímaimumvbodě alokalníminimumvbodě 4.25 f)= 5 arctg klesajícína0,4, rostoucína 4, ), lokálníminimumvbodě4 4.26 f)= 4 +5 arctg rostoucína, 2 ana 2, ), klesajícína 2,0)ana 0,2, lokálnímaimumvbodě 2alokalníminimumvbodě2 4.27 f)= 3 3 klesajícína 0,64, rostoucína 64, ),lokalníminimumvbodě64 4.28 f)= +2 2+0 rostoucína 2,, klesajícína, ), lokálnímaimumvbodě 4.29 f)= +2 ln klesající na 0,2+2 3, rostoucí na 2+2 ) 3,, lokalníminimumvbodě2+2 3 4.30 f)= 2 + +4 klesajícína, 3, rostoucína 3, ), lokalníminimumvbodě 3 4.3 f)= +0arctg rostoucína, 3 ana 3, ), klesajícína 3,0) ana 0, 3,lokálnímaimumvbodě 3 alokalníminimumvbodě 3 4.32 f)=5 3 rostoucína0,3, klesajícína 3, ), lokálnímaimumvbodě3 4.33 f)=ln 4 ) rostoucína0,4, klesajícína 4,6), lokálnímaimumvbodě4 4.34 f)= 3 ) 2 rostoucína,)ana 3, ), klesajícína,3, lokalníminimumvbodě3 4.35 f)=e 3 3e 2 +5 klesajícína,ln2, rostoucína ln2, ), lokálníminimumvboděln2
8 4.36 f)= 2 +)arctg klesajícína, ) 4.37 f)=ln 4arctg rostoucí na 0,2 3 ana 2+ ) 3,, klesající na 2 3,2+ 3, lokálnímaimumvbodě2 3alokalníminimumvbodě2+ 3 4.38 f)= 6 e 32 6 rostoucína, 3 ana 0, 3, klesajícína 3,0 ana 3, ), lokálnímaimumvbodě 3a 3 alokalníminimumvbodě0 4.39 f)= 3 +3 rostoucí na 0, ) 3, klesající na 3,, lokálnímaimumvbodě 3 4.40 f)= e 5 rostoucína,5, klesajícína 5, ), lokálnímaimumvbodě5 4.4 f)=arctg e ) klesajícína,, rostoucína, ), lokalníminimumvbodě 4.42 f)= 2 + +2) 3 klesajícína, 2), 2, ana 3, ), rostoucína,3, lokálnímaimumvbodě3alokalníminimumvbodě 4.43 f)= 4arcsin 5 klesajícína 5, 3 ana 3,5, rostoucína 3,3, lokálníminimumvbodě 3alokalnímaimumvbodě3 4.44 f)=+3arccos 5 klesajícína 5, 4 ana 4,5, rostoucína 4,4, lokálníminimumvbodě 4alokalnímaimumvbodě4 Zjistěte maimální intervaly, na kterých je funkce f konvení, na kterých je konkávní a její body inflee: 4.45 f)= 4 +2 3 36 2 50+80 konvenína, 3 ana 2, ), konkávnína 3,2, infleevbodech 3a2 4.46 f)= 3 6 2 +7+5 konvenína,2, konkávnína 2, ), infleevbodě2 4.47 f)= 2 2ln) konvenína 0, e, konkávnína e, ), infleevbodě e
9 4.48 f)=e konkávnína, 2, konvenína 2, ), infleevbodě 2 4.49 f)= ln) konkávnína 0, 2, konkávnína 2, ), infleevbodě 2 4.50 f)= 2 4+5 ) e konvenína,3 ana 5, ), konkávnína 3,5, infleevbodech3a5 4.5 f)= 2 2 + konkávní na, 3 ana ana 0, 3, konkávní na 3,0 3, ),infleevbodech 3, 0a 3 4.52 f)= 2+ln konkávní na 0, 3 e 2, konvení na ) 3 e2,, infleevbodě 3 e 2 4.53 f)=ln+ 2 ) konkávnína, ana, ), konkávnína,, infleevbodech a 4.54 f)= 3 6 2 +9 konkávnína,2, konkávnína 2, ), infleevbodě2 Integrály: Vypočítejte integrál: 6. sin d 2cos +c 6.2 cos d 2sin +c 6.3 d 2 ln ln+c 6.4 d ln lnln+c 6.5 2arctgd + 2 arctg 2 +c 6.6 2 e 2 +3 d e 2 +3 + c 6.7 d 2 ln ln+c
0 6.8 cosarctg ) + 2 d sinarctg ) + c 6.9 3 lnd d 2ln ln+c 6.0 4 0 d 2 +9 2 6. π/2 0 cosd +sin ln2 6.2 4 0 5arctg d 2 4 6.3 π 0 sin d +cos lnπ ) 6.4 4 2 lnd 4ln2 3 6.5 6.6 0 4 2arctgd ) 2 +2 d π/2 ln2 6 6.7 0 e d +e ln2 6.8 2 0 3 2 2)d 3 2+ ln5 Vypočítejte obsah rovinného obrazce pod grafem funkce f v mezích od a do b: 6.9 f)= + 2 a=0 b= π/4 6.20 f)= a= b=3 ln3 Diferenciální rovnice: Vyřešte diferenciální rovnici s podmínkou: 6. y =2 +y 2) y0)= y=tg 2 + π 4 )
6.2 y = ycotg yπ)= 2 y=2sin 6.3 y = +y 2) cos y0)= 3 y=tg π 3 +sin ) 6.4 y = y 2 y0)= 2 y= 2e 6.5 y = 2 y y)=4 y=ln ±2) 2 6.6 2y =+y 2 y0)=0 6.7 2y =y y4)=e y=tg y=e 6.8 y 2 +3 ) =2cos 2 y y)=0 6.9 2y cosy= y0)=0 6.0 y =2e y y0)=4 y=arctg ln 2 +3) ln4 ) y=arcsin y =3 e ) 2, y 2 =+e ) 2 6. 2y e y = y)=0 y=ln 6.2 y = y 2 + y0)=3 y=3e arctg 6.3 y = y y2)=6 y=3 6.4 3y y cos) 2 = y0)=2 y= 3 8+tg 6.5 2yy = + 2 y0)=2 y= 4+arctg 6.6 y = 2 cos 2 y0)=0 y=tg 2 6.7 y = +y 2) cos y0)= 3 6.8 y =3 cosy) 2 y0)= 6.9 2 y =+y 2 y0)=0 6.20 y = ycos y0)=5 ) y=tg sin + π 2 y=arctg 3 + π 4 ) y=tg y=5 e sin
2 Soustavy lineárních rovnic: Vyřešte soustavu lineárních rovnicpomocí elementárních úprav): 7. 2z + t = +2y z 3t = 2y +2z +5t = 3 2 +4y z +3t = 3, 2,,0 + α 38,3, 8,2) 7.2 y 2z +t = 2 +y 3z t = +y 2z +t = 0 3 +y 7z +t = 7 26,6,,0+ α 5,0, 2,) 7.3 3 +4y z t = +2y z + t = 2 +4y 2z +7t = 5 2,,0,+ α,,,0) 7.4 2 + y 2z + t = + y + z +2t = 4 3 +2y +4t = 7 + y +2z +3t = 6 3,,2,0+ α 2,,,) 7.5 y +2t = 4 2 +3z 3t = 3 +2y 5z + t = 7 2, 2,,0+ α0,2,,) 7.6 2 3y +5z t = 7 3 + y +2z 7t = 5 5 2y +8z 6t = 9 5, 4, 3,0+ α4,, 2,) 7.7 2 +5y +z = 4 +2y +z + t = 5 3 +2y z +t = 2,,5,0+ α 5,2,0,) 7.8 3 +4y z t = +2y z + t = 2 +4y 2z +7t = 7 4 5, 5,0,3 5 + α,,,0) 7.9 +2y +3z t = 5 2 +5y + z +4t = 2 3 +6y +4z 8t = 0 8,7,3,0+ α26,,,) Vektory, hodnost: Napište vektor a jako lineární kombinaci vektorů u, v a w: 8. a=2, 3,3), u=,2,), v=3,,2), w=, 2,) a=2 u v+3 w
3 8.2 a=4, 3, 5), u=2,,3), v=,,4), w=3, 2,) a=2 u 3 v+ w Zjistěte hodnost matice A: 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 2 4 2 2 5 4 4 5 5 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 3 5 7 9 2 2 3 2 0 3 4 2 5 2 3 2 3 3 4 7 4 7 3 3 2 2 2 3 5 5 4 3 2 3 0 0 4 4 2 3 3 2 5 2 6 6 8 hod3 hod2 hod3 hod2 hod2 hod2 Zjistěte, jsou-li vektory lineárně závislé nebo lineárně nezávislé 8.9 2, 3,2,),,, 2,),7, 3, 2,5) lineárnězávislé 8.0 3,,,2),,3,5,4),,5,9,6) lineárnězávislé 8.,,,2),,2,2, 2),7,2,3,9) lineárněnezávislé 8.2,2,,2),4,,7,5),,,2,) lineárnězávislé 8.3 2,,3,4,),3,,3,,2),5,0,6,3,3) lineárnězávislé
4 8.4 4,,,3),,,, 3),3,,,) lineárněnezávislé 8.5,3,, ),2,2,,),3,,2,9),,,,2) lineárnězávislé 8.6,2,3, ),2,,3,),4, 7,3,5) lineárnězávislé Determinanty- Cramerovo pravidlo: Vyřešte pomocí Cramerova pravidla soustavu lineárních rovnic: 9. 2 + y +z = 2 +2y +z = 3 3 +2y +z = 7 2,3, 5 9.2 2 + y = 3 +2y + z = 3 y +2z = 5 2,,3 9.3 +3y +5z = 7 2 2y +2z = 6 3 3y + z = 7 2,0, 9.4 2 +y = 4 y +z = 2 +y +z = 3,2, 9.5 4 + y +z = 9 +z = 3 +2y +z = 2,0, 9.6 3 +3y + z = 0 2 y +2z = 0 5 + y + z = 6 3,3,0 9.7 +3y 2z = 7 + y + z = 0 2y +2z = 7, 2, 9.8 2 + y 3z = 0 3 + y + z = 6 +2y +3z = 3 2,, 9.9 + y + z = 6 2 2y + z = 2 + y 2z = 2,2,3
5 9.0 +3y +5z = 7 2 2y + z = 5 3 3y + z = 7 2,0, 9. 3 y + z = + y z = 3 2 + z = 0,0, 2 9.2 2 y + z = 6 z = 3 + y 2z = 3 2,, 9.3 y z = 0 2 y + z = 5 3y = 3 3,2, 9.4 +2y z = 2 2 + y + z = 7 y + z = 2,2,3 9.5 + y z = 7 2 + y + z = 4 +2y + z = 0, 3,5 9.6 +2y + z = 7 2 + y + z = 8 + y + z = 6 2,,3 9.7 2 + y = 4 y + z = 2 + y + z = 3,2, 9.8 + z = 2 + y = 4 + y + z = 2,0, 9.9 3 y +2z = 4 y +3z = 9 2 + y 2z =,3,2 9.20 2y + z = 0 2 + y 3z = 5 3 y z = 6 2,0,
6 Matice- maticové rovnice: Vyřešte maticovou rovnicizjistěte X): 0. A B 3X ) 3 3 2 ) 2 0 ) 5 3 ) 0.2 AX+ 2X 2 4 ) 5 4 8 5 0.3 A B+ X ) 3 3 3 5 ) 2 ) 2 ) 0.4 A A X 2 5 ) 5 2 0.5 AX 5X ) 9 2 7 8 ) 2 4 ) 2 5 5 2 0.6 XB 3X ) 3 7 7 ) 2 ) 3 4 0.7 A B 3X ) 0 2 5 ) 2 6 ) 3 2 4 4 0.8 A B 2X ) 0 3 0 ) 5 2 3 ) 2 9 3 0.9 A B 2X ) 6 5 5 ) 2 3 2 ) 2 0.0 A2X+ B ) 4 5 3 0 ) 0 2 ) 8 2 3 0. XA+3X ) 7 7 5 ) 2 0 ) 5 8 2 7 0.2 A B+4X ) 4 6 ) 2 2 ) 3 6 4 7 0.3 XB X ) 2 7 2 4 ) 2 ) 3 4 8
7 0.4 XB+ X ) 2 2 2 6 0 2 7 3 5 2 9 4 0.5 A 2 AX ) 5 2 8 3 ) 9 4 6 7 0.6 A B 4X ) 3 3 2 3 ) 2 0 ) 2 5 3 2 0.7 A B ) 2 2 5 ) 3 2 2 3 4 ) 4 3 4 2 0.8 XB 2X ) 0 5 ) 3 0 2 ) 8 3 2 4 0.9 A B+2X ) 5 2 7 7 ) 2 ) 3 8 4 0.20 A B X ) 4 2 ) 2 3 ) 9 0 5 4 0.2 XB X ) 3 5 2 3 ) 4 4 4 3 ) 5 8 6 0 0.22 A B 5X ) 0 6 4 0 ) 0 ) 5 4 0.23 XA X ) 8 4 5 4 ) 4 4 5 8